资产价格受限信息下的局部风险最小化

策略ψ*由θ显式给出*t=βHt，t∈ [0，T]，最小成本（ψ）*) = U+At，t∈ [0，T]；它的值过程是vt（ψ）*) = E“ξ-ZTtβHudSuHt#=U+ZtβHudSu+At，t∈ [0，T]，所以η*t=Vt（ψ）*) - βHtSt，每t∈ [0，T]。证据有关证明，请参见[39，命题3.4]。鉴于[39，定理3.3]和命题2.8，找到给定目标ξ的F"ollmer-Schweizer分解很重要，因为它允许获得H-伪最优策略。问题是如何进行这样的分解。如果股票价格过程S是连续的，则可以通过切换到特定的martinga-le测度P来计算最优策略*, 所谓的最小鞅测度（简称MMM），并计算P下ξ关于S的Galtchouk Kunita Watanabe分解*. 然而，关于更一般的情况，即当S仅为cádlág时，即使在完全信息的情况下，也很少有结果，参见例[12]。据我们所知，仅在[7]中研究了受限信息下的半鞅市场模型。3.股票价格S关于HIn的结构条件在续集中，我们将使用符号Ox（分别，pX）来表示给定过程的P下H的可选（分别，可预测）投影ss X={Xt，t∈ [0，T]}E[|Xt |]<∞ 为了每个人∈ [0，T]，定义为唯一的H-可选（分别为H-可预测）过程，使得oxτ=E[Xτ| Hτ]P-a.s.{τ<∞} 对于每个H停止时间τ（分别为pXτ=E[Xτ| Hτ-] P-a.s。

关于{τ<∞} 对于每个H-可预测停止时间τ）。我们还用Bp表示R值cádlág F适应过程B={Bt，t的（H，P）-可预测对偶投影∈[0，T]}的可积变分，定义为唯一的R值H-可预测过程Bp，H={Bp，Ht，T∈ [0，T]}可积分变量，使得对于每一个R值H-可预测（有界）过程，E“ZT#tdBp，Ht#=E”ZT#tdBt#，6 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola∈ [0，T]}。有关更多详细信息，请参见[8]第4.1节。当风险资产价格过程S具有连续的TrAj时，S相对于过滤H的经典分解形式为（参见[27]或[30]）：St=S+Nt+ZtpαFudhNiu，t∈ [0，T]，其中进程N={Nt，T∈ [0，T]}给定byNt=Mt+Zt[αFu-pαFu]dhMiu，t∈ [0，T]是（H，P）-鞅。回想一下，M表示S在F，se（2.1）下的鞅部分。由于S的二次变化过程由[S]t=St定义- 2ZtSu-dSu，t∈ [0，T]，结果是FS适应，而一般而言，S的可预测四次变化取决于过滤的选择。显然，如果S是连续的，我们有HHNI=FhMi，这些sha-rp括号是可预测的。这里，符号shh·i和fh·i只是强调了一个事实，即可预测的二次变化是分别针对过滤系数H和F计算的。然而，如果它不产生歧义，我们将始终编写emi=FhMi和hN i=HhNi来简化符号。在跳跃的存在下，这些关系不再成立，因为CfHmdi 6=HhNdi，其中md和nd分别表示鞅M和N的不连续部分。

为了明确计算可预测的二次变量，我们引入了与S:m（dt，dz）=Xs:Ss6=0δ（s，Ss）（dt，dz），其中δ表示点a处的狄拉克测度。用νF（dt，dz）和νH（dt，dz）表示P下m（dt，dz）相对于F和H的可预测双投影（关于定义，请读者参考[23]或[24]）。然后，通过[24，C第二章，推论2.38]我们得到了马廷加莱斯M和N的以下表示：Mt=Mct+ZtZRz（M（dt，dz）- νF（dt，dz）），t∈ [0，T]，Nt=Nct+ZtZRz（m（dt，dz）- νH（dt，dz）），t∈ [0，T]，其中Mc和Nc分别表示M和N的连续部分，我们有hMci=hNci，这是之前观察到的。HencehMit=hMcit+ZtZRzνF（dt，dz），t∈ [0，T]，hNit=hMcit+ZtZRzνH（dt，dz），T∈ [0，T]。现在，我们可以根据过滤H命题3.1推导S的结构条件。假设E“ZTα-FudhMiu#∞. （3.1）资产价格受限信息下的LRM 7然后（F，P）-半鞅S满足关于H的st结构条件，即st=S+Nt+ZtαHsdhNis，t∈ [0，T]，其中hNi与hmi的（H，P）-可预测du-al投影相吻合，即hN i=hMip，将R-值dh-可预测过程αH={αHt，T∈ [0，T]}由αHt:=d给出RtαFudhMiup、 HdhMip，Ht，t∈ [0，T]满足类似于（3.1）的可积条件。证据

通过[23，命题9.24]我们得到过程R={Rt，t∈ 分解（2.3）中的[0，T]}由byRt给出=ZtαFsdhMisp、 H，t∈ [0，T]。现在，通过应用[8，命题4.9]我们推断R对于hM ip是绝对连续的，因此，它可以写成Rt=RtαHsdhMip，Hs，t∈ [0，T]，其中过程α是RαFtdhMitp、 关于hM-ip，H.为了证明hN i=hMip，我们注意到hMci=hNci，这是H-可预测的，然后我们只需要证明hNdi=hMdip，H，这是ztzrzνH（ds，dz）=ZtZRzνF（ds，dz）p、 H，t∈ [0，T]。为了达到这个目的，我们观察到，通过定义νF（dt，dz）和νH（dt，dz），对于每个H-可预测（有界）过程ν=∈ [0，T]}我们有“ZT~nsZRzνF（ds，dz）#=E”ZTZR#szm（ds，dz）#=E“ZTZR#szνH（ds，dz）#=E”ZT#sZRzνH（ds，dz）#。最后，还需要检查αh是否满足所需的可积性条件，即“ZT”α胡dhNiu#∞.因为对于每一个H-可预测过程，我们有E“ZT k uαHudhMiu#=E”ZT k uαHudhNiu#=E“ZT k u（αFudhMiu）p，H#=E“ZT k uαFudhMiu#，通过选择φ=α并应用柯西-施瓦兹不等式，我们有E“ZT”α胡dhNiu#≤ 中兴通讯α-FudhMiu#∞.8 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola我们通过考虑（F，P）-鞅的F-可预测二次变化相对于Lebesgue测度是绝对连续的情况来结束本节，即hM it=Rtasds，t∈ [0，T]，对于某些值F-可预测过程a={at，T∈ [0，T]}。在这种情况下，hN it=hM ip，Ht=Ztpasds和RtαFsdhMisp、 H=每个t的Rtp（αFsas）ds∈ [0，T]；因此αHt=p（αFtat）pat{pat6=0}，t∈ [0，T]。MoreoverNt=oMt+oZtαFuaudu-每t的Ztp（αFuau）du（3.2）∈ [0，T]。实际上，考虑S相对于（2.1）中给出的F的结构条件，并将其投影到Ht上，即St=oSt=S+oMt+oZtαFuaudu, T∈ [0，T]。

（3.3）另一方面，由于Rt=Rtp（αFuau）du，我们得到st=S+Nt+Ztp（αFuau）du，t∈ [0，T]，从而证明了（3.2）。备注3.2。特别地，（H，P）-鞅N={Nt，t∈ N=0的[0，T]}可以分解为三个（H，P）-鞅的总和，见下面的等式（3.4）。实际上，（3.3）可以写成asSt=S+oMt+Ztoα富奥du+mt，t∈ [0，T]，其中进程m={mt，T∈ [0，T]}由mt:=o给出ZtαFuaudu-Zto（αFuau）du，t∈ [0，T]。注意，processoM={oMt，t∈ [0，T]}，以及过程m，都是（H，P）-鞅（参见[2，第四章，定理T1]的证明）。设置为nowemt:=Zto（αFuau）du-Ztp（αFuau）du，t∈ [0，T]。然后，过程em={emt，t∈ [0，T]}原来是（H，P）-鞅。HenceNt=oMt+mt+emt（3.4）每t∈ [0，T]。在第5节讨论的模型中，我们将看到如何明确计算S相对于F和H的结构条件。LRM资产价格受限信息94。H-伪最优策略在完全信息的情况下，当半移动ale S有连续的轨迹时，在[39，定理3.5]中证明了存在H-伪最优策略，并且可以通过MMM P下或有权ξ对S的Galtchouk Kunita Watanabedecomposition得到*. 这主要是因为，在连续轨迹的情况下，MMM压力保持正交性，然后MMM P下或有权益的Galtchouk KunitaWatanabe分解*提供了历史概率测度P下未定权益的F"ollmer-Schweizer分解。显然，如果（F，P）半鞅S表现出跳跃，这不起作用。然而，同样在存在跳跃的情况下，MMM和包含声明ξ的Galtchouk KunitaWatanabe分解仍然是计算H-伪最优策略的关键工具，参见例如。

[12] 对于完全信息下的半鞅市场模型。在这里，我们提供了一个类似的标准来描述部分信息情况下的伪最优策略，见等式（4.13）。此外，在下一节中，我们将展示一些受不可观测随机因素影响的马尔可夫模型，其中这种计算会导致历史概率测度P和MMM P下的过滤问题*.为方便读者阅读，我们首先回顾了MMM关于过滤F.defition 4.1的定义。等价鞅测度P*对于具有平方可积密度Dp的S*如果P为S，则称为最小鞅测度*= 如果与S，M的F-鞅部分强正交的每个平方可积（F，P）-鞅也是（F，P*)-鞅。如果我们假设- αFtMt>0 P- a、 美国。 T∈ [0，T]，和“exp（ZTαFtdhMcit+ZTαFtdhMdit）#∞, （4.1）其中mca和md分别表示（F，P）-鞅M和（2.1）中给出的αFis的连续部分和不连续部分，然后根据Ansel Stricker定理（见[1]），存在MMM P*对于S，这是由于密度过程L={Lt，t∈ [0，T]}给定的byLt:=dP*数据处理Ft=E-ZαFudMut、 t∈ [0，T]，（4.2），其中符号E（Y）指的是（F，P）-半鞅Y的Doléans-Dade指数。我们观察到条件（4.1）意味着非负（F，P）-局部鞅L确实是一个平方可积（F，P）-鞅，参见例[34]，并且一个lso（3.1）成立。现在，我们假设1- α-羟色胺Nt>0 P- a、 美国。 T∈ [0，T]，和“exp（ZTα-羟色胺dhNcit+ZTα-羟色胺#∞,其中，正如我们所说，Nc和Nd分别表示（H，P）-鞅N的连续部分和非连续部分。然后与之前类似，我们定义了（HT，Ohm) 这样Lt:=dPdPHt=E-ZαHudNuT T∈ [0，T]。（4.3）10 C.塞西、K.科拉内里和A。

Cretarola我们注意到，Lis是一个平方可积（H，P）的ale和P，相当于过滤H上的P，提供了过滤H的MMM。我们现在可以证明以下结果。提议4.2。让ξ∈ L（HT，P）是一个或有权益，它允许F"ollmer-Schweizer分解关于H和S，以及ψ*= (θ*, η*) 是相关的H-伪最优策略。然后，最优值为v（ψ）*) = {Vt（ψ）*), T∈ [0，T]}由vt（ψ）给出*) = EP[ξ| Ht]，t∈ [0，T]，其中EP[·| Ht]表示根据P计算的关于htp的条件期望；此外，FirstComponen tθ*H-伪最优策略ψ的性质*由θ给出*t=dHhVm（ψ）*), N itdhnit，t∈ [0，T]，（4.4），其中Vm（ψ）*) 是过程V（ψ）的（H，P）-鞅部分吗*) 这里的尖括号是计算的。证据由于（4.3）中的Lgiven是一个平方可积（H，P）-鞅，通过Cauchy-Schwarz不等式，我们得到EP[|ξ|]=E|ξ| LT≤ Eξ2E/1（LT）1/2< ∞,也就是说ξ∈ L（HT，P）。考虑ξ相对于S和H的F"ollmer-Schweizer分解，见（2.4），并让ψ*= (θ*, η*) 是伪最优策略。然后，通过位置2.8，我们得到g e tθ*= β-最优值过程V（ψ）*) 满足vt（ψ）*) = U+ZtβHudSu+At，t∈ [0，T]。观察到RβHtdStis是一个（H，P）-鞅，而L是（H，P）-鞅（参见[14]中第3.14条的证明），通过定义与过滤H有关的MMM，A变成了一个（H，P）-鞅。

然后，最优值过程V（ψ）*) 是（H，P）-鞅，因此可以写成vt（ψ）*) = EP[VT（ψ）*)|Ht]=EP[ξ| Ht]，t∈ [0，T]。最后，为了计算H-伪最优策略，我们考虑过程V（ψ）的（H，P）-鞅部分*)给定byVmt（ψ）*) = U+ZtβHudNu+At，t∈ [0，T]。然后，将计算得到的S的H-鞅部分N的可预测二次协变量转化为account，得到dhhvm（ψ）*), N it=βHtdHhNit，t∈ [0，T]，因为A在P下与N强正交。然后，我们得到方程（4.4）。当库存价格过程具有连续的轨迹时，最优值过程可以用MMM P来刻画*关于下文推论4.4中证明的过滤。我们用一个有用的引理开始。引理4.3。假设S有连续的轨迹。然后是关于MMP过滤的限制*关于过滤F.证明。证明推迟到附录B。LRM资产价格受限信息11推论4.4。假设S有连续的轨迹ad letξ∈ L（HT，P）是关于H和S的F"ollmer-Schweizer分解和ψ的未定权益*= (θ*, η*) 是相关的H-伪最优策略。然后，最优值过程V（ψ）*) = {Vt（ψ）*), T∈ [0，T]}由vt（ψ）给出*) = EP*[ξ| Ht]，t∈ [0，T]，其中EP*[·| Ht]表示根据P计算的关于htp的条件期望*; 此外，FirstComponen tθ*H-伪最优策略ψ的性质*由θ给出*t=dHhV（ψ）*), 西德希特，t∈ [0，T]，（4.5），其中尖括号根据P.证明计算。

该证明由命题4.2得出，根据L e mma 4.3，最优值过程V（ψ*)可以写成vt（ψ）*) = EP[ξ| Ht]=EP*[ξ| Ht]，t∈ [0，T]。最后，由于S的有限变化率是连续的，我们得到了dHhNi=dHhSi和dHhVm（ψ*), N i=dHhV（ψ）*), 是的，这导致了（4.5）。显然，推论4.4提供了MMM P的H-伪最优策略βHin项的一个特征*关于F，当S有连续的轨迹时成立。当S显示跳跃时，不可能提供最优值过程的类似特征。这主要是因为，就过滤H而言，通常情况下，MMM P不符合P的限制*超过H。

然后，为了明确地计算H-伪最优策略，我们遵循[12]在完整信息c上下文中提出的方法。假设ξ允许ξ的F"ollmer-Schweizer分解，分别对应于S和F，即ξ=eU+ZTβFtdSt+eATP- a、 （4.6）美国∈ L（F，P），βF∈ Θ（F）a ndeA={eAt，t∈ [0，T]}是一个平方可积的（F，P）-马氏体，其EA=0与P下S的F-马氏体部分M强正交。通过应用命题2.8和选择H=F，我们知道βF提供了完全信息下的伪最优策略。在续集中，我们对H-ps e udo最优策略β手进行了描述，并讨论了β手βF之间的关系*) （H，P*), 所有R值F-可预测（H-可预测）过程的集合δ={δt，t∈ [0，T]}满足以下可积条件：EP*“ZTδudhSiu#”∞.在截面上，我们假设ξ相对于P是平方可积的*.让我们观察s，因为s是P*-关于F和H的鞅，随机变量ξ允许Galtchouk Kunita Watanabe关于S的分解，以及P下的F和H的分解*,i、 e.ξ=eU+ZTeβFudSu+eGTP*- a、 s.，（4.7）ξ=U+ZTeβHudSu+GTP*- a、 （4.8）12 C.塞西、K.科拉内里和a.克雷塔罗拉∈ L（F，P）*), U∈ L（H，P）*),eβF∈ Θ（F，P）*),eβH∈ Θ（H，P*),eG={eGt，t∈ [0，T]}和G={Gt，T]}∈[0，T]}是平方可积的（F，P*) 和（H，P*)-分别为EG=G=0的鞅，在P下与S强正交*.另一方面，如果S对P也是平方可积的*, P*-S关于F和H的鞅性质也确保我们可以应用[8，定理3.2]，它提供了关于P的平方可积随机变量在特定信息下的Galtchouk Kunita Watanabe分解*.