资产价格受限信息下的局部风险最小化

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英文标题：
《Local risk-minimization under restricted information to asset prices》
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作者：
Claudia Ceci, Katia Colaneri and Alessandra Cretarola
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we investigate the local risk-minimization approach for a semimartingale financial market where there are restrictions on the available information to agents who can observe at least the asset prices. We characterize the optimal strategy in terms of suitable decompositions of a given contingent claim, with respect to a filtration representing the information level, even in presence of jumps. Finally, we discuss some practical examples in a Markovian framework and show that the computation of the optimal strategy leads to filtering problems under the real-world probability measure and under the minimalmartingale measure.
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中文摘要：
本文研究了一类半鞅金融市场的局部风险最小化方法，其中对至少能观察到资产价格的代理的可用信息有限制。我们通过对给定或有权益的适当分解来描述最优策略，并考虑代表信息水平的过滤，即使存在跳跃。最后，我们在马尔可夫框架下讨论了一些实际例子，表明在现实世界概率测度和最小鞅测度下，最优策略的计算会导致过滤问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Local_risk-minimization_under_restricted_information_to_asset_prices.pdf (437.3 KB)

2022-5-5 07:20:37 上传

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关键词：资产价格 Minimization Quantitative Restrictions Applications

资产价格受限信息下的局部风险最小化。在本文中，我们研究了半鞅金融市场的局部风险最小化方法，其中对至少可以观察资产价格的代理的可用信息有限制。我们通过对给定或有权益的适当分解来描述最优策略，并考虑代表信息水平的过滤，即使存在跳跃。最后，我们在马尔可夫框架下讨论了一些实际例子，并表明在现实世界概率测度和最小鞅测度下，最优策略的计算会导致滤波问题。关键词：局部风险最小化；部分信息；马尔可夫过程；过滤。AMS MSC 2010：初级：60J25；60G35；91B28；第二个y:60J75；60J 60.1。引言在本文中，我们研究了半鞅市场模型的局部风险最小化方法（参见[14]、[35]和[39]对这个问题的更深入讨论），其中对交易者可用的信息有限制，并讨论了一些马尔可夫模型，在这些模型中，我们甚至通过过滤问题来明确计算最优策略。更准确地说，我们假设在我们的模型中，代理人对市场的了解有限，因此他们的选择不能基于过滤F:={Ft，t所描述的全部信息流∈ [0，T]}，确定了固定的时间范围。可用信息水平基本上由较小的系数给出：={Ht，t∈ [0，T]}。

然而，由于一般来说，股票价格是公开的，我们假设代理人至少可以合理地观察到股票价格。在这个市场中，我们考虑一个欧式未定权益，其最终支付由给定概率空间上的HT可测平方可积随机变量ξ给出(Ohm, F、 P）。其中，通过鞅来研究股票的半有效性（HedP）和半有效性（HedP）是一个不完全的问题。局部风险最小化的二次套期保值方法将[15]中引入的风险最小化理论扩展到了半鞅情形，该理论是在实词概率测度P下，当价格过程是局部鞅时建立的。局部鞅情形主要是在完全信息和部分信息下发展起来的。受限信息环境中的一篇先驱论文由[37]表示，其中最优策略是通过可预测的双重预测构建的。最近，在[8]中，作者通过或有权益的正交分解描述了风险最小化策略，称为受限信息下的Galtchouk Kunita Watanabedecomposition。[7]首次研究了部分信息下的局部风险最小化方法，由于部分信息下的后向s-tochastic微分方程的存在性和唯一性结果，作者描述了FT-可测包含索赔ξ的最优套期保值策略，通过[8]中引入的弱正交性的新概念，在严格信息的情况下，通过F"ollmer-Schweizer分解的合适版本。

更准确地说，他们证明了F"ollmer-Schweizer分解中关于股票价格过程的H-可预测积分2 C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola给出了H-局部风险最小化策略；然而，它们没有提供任何操作方法来明确表示最优策略。在这种情况下，我们的贡献是，在投资者可获得的信息至少由股票价格给出的附加假设下，提供一个HT可测量或有类别的最佳策略的完整描述。这种情况的特点是过滤条件如下：FSt Ht Ft，t∈ [0，T]，其中fst是股票价格过程S直到时间T生成的σ-场。本文的关键点是，风险资产价格过程S满足关于toF的结构条件，见（2.1），根据上述条件，它是（H，P）-半鞅。事实上，由于agiven Continent cla im的收益始终被认为是一个可测量的随机变量，这使得人们可以将部分信息下的套期保值问题简化为完全信息下的等价问题，因为所有涉及的过程都是H适应的。我们将看到，S也满足了与H有关的结构条件，见第3.1点，然后可以通过将[12]的结果扩展到部分信息框架，即第4.7点来描述最优策略。有限信息下的渡边捷昭（Galtchouk Kunita Watanabe），对应于最小鞅测度，P*, 参见定义4.1，代表实现目标的基本工具。我们还研究了完全信息下的最优策略与不完全信息下的最优策略之间的关系。

在命题4.6中，假设股票价格过程具有连续的轨迹，然后在命题4.7中将结果归纳为不连续的情况。最后，我们考虑了一些受不可观测随机因素影响的马尔可夫模型。我们讨论了三个有意义的例子，在这些例子中，我们描述了关于F和H的基础价格过程的结构条件，并计算了当信息流与股票价格过程的自然过滤一致时的最优策略。在第一个例子中，S是一个几何扩散过程，其漂移取决于相关且不可观测的

例如，在[25,29,28]中可以找到连续部分可观测系统的结果，在[2,26,16,11,10,3]中分析纯跳跃观测情况，在[17,18,19,4,5,22,6]中研究混合型观测情况。请注意，上述模型在部分信息下的最佳策略需要了解关于P的过滤器动态*, 它提供了P*-给定信息流对资产价格的影响，

[39]更多细节：St=S+Mt+ZtαFudhMiu，t∈ [0，T]，（2.1）其中S∈ L（F，P），M={Mt，t∈ [0，T]}是一个R值平方可积（cádlág）（F，P）-鞅，从空开始，hmi={hM，Mit，T∈ [0，T]}表示其F-可预测的二次变异过程，αF={αFt，T∈ [0，T]}是一个R值的F-可预测过程，这样RTαFsdhMis<∞ P-a.s。。备注2.1。假设S是实词概率测度下的半鞅是很自然的。这是一个等价的概念，它的存在是等价的。此外，根据[1，第24页]和[31，定理1]中证明的结果，如果除此之外，S具有连续轨迹或cádlág路径，且以下条件成立：E“supt∈[0，T]St#<∞,然后，S满足（2.1）中给出的关于F的结构条件。无需进一步说明，所有随后出现的数量将以计算单位表示。随时∈ [0，T]，市场参与者可以通过交易来重新分配财富。我们假设他们对市场有丰富的知识，那么他们的选择不能基于完整的信息流。为了描述这一情景，我们考虑了过滤FS:={FSt，t∈ [0，T]}由风险资产价格过程生成，即FSt=σ{Su，0≤ U≤ T≤ T}，过滤H：={Ht，T∈ [0，T]}，表示可供贸易商使用的信息；这两种过滤都应该满足完整性和正确连续性的通常假设，而且由于资产价格信息已向公众公布，因此可以假设股票价格过程与过滤F和H相适应，即FST Ht Ft，t∈ [0，T]。

（2.2）条件（2.2）意味着代理人至少可以观察协商资产的市场价格。在这个市场中，我们考虑一个欧洲类型的未定权益，其最终支付由一个HT可测量的随机变量ξ给出|ξ|< ∞ （或等效地，ξ）∈ L（HT，P））。然后，我们的目标是通过局部风险最小化方法（参见[14]、[35]和[39]），研究在不完全市场驱动下，给定的包含索赔ξ的套期保值问题，其中对交易者可用的信息有限制。重要的是要强调，根据过滤条件（2.2），风险资产价格过程是（H，P）-半鞅。然后它允许对H进行半鞅分解，即St=S+Nt+Rt，t∈ [0，T]，（2.3）式中N={Nt，T∈ [0，T]}是一个N=0且R={Rt，T]的R值平方可积（H，P）-马氏ale∈ [0，T]}是R=0的有限变化的R值H可预测过程。此外，由于R是H-可预测的，因此该分解是唯一的（参见[33，第三章，Theo-rem 34]），并将被称为S的标准H-分解。空间L（F，P）表示所有F-可测随机变量H的集合，使得|H|=ROhm|H|dP<∞.4 C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola另一方面，给定或有权益的支付总是被认为是一个可测量的随机变量。

我们观察到，所有涉及的过程都是H-适应的，这允许在部分信息下将Hedging问题减少到完全信息下的等效问题。现在，我们简要回顾了关于局部风险最小化方法（关于H）的主要概念和结果。由于我们研究了S的两种分解，在后半部分中，我们将M称为S的F-鞅部分，将N称为S的H-鞅部分。首先，我们介绍了（对冲）策略的定义，并假设了一些最低要求，使其可容许。定义2.2。空间Θ（H）（分别Θ（F））由所有R值H可预测（分别可预测）过程θ={θt，t组成∈ [0，T]}满足以下可积条件：EZTθudhNiu+ZT |θudRu |！< ∞响应。EZTθudhMiu+ZT |θu |αFu | dhMiu！< ∞.定义2。3.H-a容许策略是一对ψ=（θ，η），其中θ∈ Θ（H）和η={ηt，t∈ [0，T]}是一个r值H-适应过程，使得值过程V（ψ）={Vt（ψ），T∈ [0，T]}:=θS+η是右连续的平方可积的，即Vt（ψ）∈ L（Ht，P），每t∈ [0，T]。注意，θ和η分别描述了投资于风险资产和无风险资产的财富金额。对于任何H-容许策略ψ，我们可以定义相关的成本过程C（ψ）={Ct（ψ），t∈ [0，T]}这是由ct（ψ）=Vt（ψ）给出的热值H-适应过程-ZtθudSu，对于每t∈ [0，T]。在我们的框架下，市场是不完整的，那么通过自我融资策略完美复制给定的或有权益是不保证的。然而，即使H-容许策略ψ与VT（ψ）=ξ通常不会是自融资的，结果表明，好的H-容许策略在以下意义上仍然是平均自融资的。定义2.4。

如果相关成本过程C（ψ）是（H，P）-鞅，则H-容许策略ψ称为平均自融资。与[39]类似，我们引入了伪最优策略的概念。定义2.5。让ξ∈ L（HT，P）是或有债权。使VT（ψ）=ξP的H-容许策略ψ-a、 当且仅当ψ是平均自融资且（H，P）-鞅C（ψ）与s的H-鞅部分N强正交时，s被称为ξ的H-伪最优，见（2.3）。我们跳过了[35]中给出的局部风险最小化策略的最初定义，因为它是一种技术性和微妙的策略。此外，在一维情况下，在半鞅的温和假设下，局部风险最小化和伪最优策略是一致的，参见[39，定理3.3]。使用伪最优策略的优点是，它们可以通过对包含索赔ξ的适当分解来表征。LRM根据资产价格的限制性信息5定义2.6。让ξ∈ L（HT，P）是欧式未定权益的支付。如果存在一个随机变量U，我们说ξ允许关于S和H的off"ollmer-Schweizer分解∈ L（H，P），a过程βH∈ Θ（H）和平方可积（H，P）-鞅a={At，t∈ [0，T]}与S，N的H-m可分解部分强正交，因此ξ=U+ZTβHtdSt+ATP- a、 s。。（2.4）备注2.7。例如[36,38,31,12,7]中给出了F"ollmer-Schweizer分解存在的一些充分条件。刻画H"ov-Weizer的最优分解使我们能够得到下面的结果。提议2.8。未定权益ξ∈ L（HT，P）允许一个唯一的H-伪最优策略ψ*= (θ*, η*) 带vt（ψ）*) = ξP- a、 s.当且仅当分解（2.4）成立。