资产价格受限信息下的局部风险最小化

然后，（F，P）-半鞅满足关于F的s结构条件，即St=s+Mt+ZtαFsdhMis，t∈ [0，T]，其中αFt=RZK（ζ；T，Xt，St）η（dζ）St-RZK（ζ；t，Xt，St）η（dζ）=RRzνFt（dz）RRzνFt（dz），t∈ [0，T]。资产价格受限信息下的LRM 19请注意，由于（5.17）成立，那么αFis定义良好，EhRT（αFt）dhMiti<∞.此外，S还允许标准H分解，它由T=S+Ztz给出m（杜，dz）- νHu（dz）du+ZtzνHu（dz）du，t∈ [0，T]，其中νHt（dt，dz）=νHt（dz）dt表示m（dt，dz）的（H，P）-可预测对偶投影，并满足关于H的结构条件，即St=S+Nt+ZtαHsdhNis，T∈ [0，T]，其中NT=ZtZRzm（杜，dz）- νHu（dz）du, αHt=RRzνHt（dz）RRzνHt（dz），t∈ [0，T].5.2.2。H-伪最优策略。来介绍MMP*对于基本的纯跳跃市场模型，我们还假设如果t是S的跳跃时间，那么αFtMt=K（ζ；t，Xt）-, 圣-)RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）<1和“exp（ZT（αFt）dhMit）#=E”exp（ZTRZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt）#∞. （5.18）备注5.4。值得强调的是，（5.18）的一个有效条件是E“exp（ZTη（Dt）Dt）#∞.事实上，E“exp（ZTRZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt）#≤ exp（ZTη（Dt）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt）#=E“exp（ZTη（dt）dt）#。因此，我们可以应用Ansel Stricker定理，定义可测概率的变化*数据处理FT=LT，其中过程L由t=E给出-ZαFrdMrt=E-Z-ZZαFrSr-K（ζ；r，Xr）-, Sr-)eN（dr，dζ）t、 每个t∈ [0，T]。在MMP下*, 这对（X，S）的动力学变得dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ），S=S>0，（5.19），其中*（dt，dζ）=N（dt，dζ）- η*t（dζ）dt和η*t（dζ）dt=1.- αFtSt-K（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt20 C.CECI、K.COLANERI和A。

克雷塔罗莱（F，P*)-随机测度N（dt，dζ）的可预测对偶投影。在续集中，我们将假设以下可积条件成立：EP*“ZT|u（t，Xt）|+σ（t，Xt）+ZZ | K（ζ；t，Xt）-)|η*t（dζ）dt#<∞. （5.20）由于概率测度的变化是马尔可夫的，所以对（X，S）仍然是（f，P）*)-马尔可夫过程（见[11，命题3.4]），其生成元由以下命题推导而来。提议5.5。假设（5.20）安第普*“ZTη*t（Dt）+η*t（Dt）dt#<∞, （5.21）式中Dt={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-) 6=0}和Dt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6= 0}. 那么，这对（X，S）就是（F，P）*)-生成函数为x，Sf（t，x，s）的马尔可夫过程=Ft+u（t，x）Fx+σ（t，x）Fx+ZZf（ζ；t，x，s）η*t（dζ）-FssZZK（ζ；t，x，s）η*t（dζ），（5.22）式中f（ζ；t，x，s）：=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s））- f（t，x，s）。此外，下面的半鞅分解保持Sf（t，Xt，St）=f（0，X，S）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M2，ft，其中M2，f={M2，ft，t∈ [0，T]}是（F，P）*)-由dm2给出的鞅，ft=Fxσ（t，Xt）dWt+ZZf（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）。（5.23）证明推迟到附录B。在e之前，我们假设（5.4），因此我们可以通过（5.6）计算H-伪最优策略。考虑到附录A中（A.7）给出的纯跳跃模型的滤波器动态，在假设（5.20）和（5.21）下，我们得到βHt=eβHt+φHt，t∈ [0，T]，其中eβHt=dhπ（g），Si*,HtdhSi*,Ht=RRz wg（t，z）νH，*t（dz）RRzνH，*t（dz），t∈ [0，T]，φHt=dHhPr≤·Gr高级，-R·αHrdNritdHhSit=αHtRRzneβHtz- wg（t，z）oνHt（dz）RRzνHt（dz），t∈ [0，T]。

（5.24）这里g（t，x，s）是（5.3）与L的解*十、 S=LX，沙wg（t，z）由wg（t，z）=dπt给出-（gνF，*)dνH，*t（z）- tπ-（g） +dπt-（Lg）dνH，*t（z），t∈ [0，T]。此外，νF，*t（dz）dt=（1）- αFtz）νFt（dz）dt和νH，*t（dz）=（1）- αHtz）νHt（dz）dt分别表示（F，P*)可预测和（H，P*)-随机测度m（dt，dz）和[3，命题2.2]的可预测对偶投影，*t（dz）=πt-（νF，*（dz））。让我们注意到，命题A.2中定义的运算符考虑了S和X之间的公共跳时。值得注意的是，（5.24）中出现的测度m（dt，dz）的（H，P）-可预测的对偶投影νHt（dz）dt可以用现实世界概率测度P下的滤波器来表示。事实上，对于每一个t，集eπt（f）：=LRM在资产价格的限制信息21E[f（t，Xt，St）|Ht]下∈ [0，T]。那么，νHt（dz）=eπt-（νF（dz））（再次参见[3，提案N2.2]以获取证据）。因此，在存在跳跃的情况下，我们还需要了解P下的滤波器动力学。附录a.5.3中的（a.8）给出了由eπ满足的Kushner-Stratonovich方程。市场模式上的跳跃式差异。在马尔可夫模型概述的最后一部分，我们希望讨论跳跃扩散市场模型的适用性，其中风险y资产价格动态由几何跳跃扩散描述，其中通常，X表示影响S动态的不可观察随机因素，并由与S具有共同跳跃时间的马尔可夫跳跃扩散建模。

准确地说，我们考虑以下SDE系统：dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-u（t，Xt，St）dt+σ（t，St）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)N（dt，dζ）, S=S>0，（5.25），其中N（dt，dζ）是（F，P）-泊松随机测度，平均测度ηt（dζ）dt根据之前的模型，Wand Ware（F，P）-独立于N（dt，dζ）的布朗运动，使得对于每个t∈ [0，T]，带ρ∈ [-1，1]，系数u（t，x），u（t，x，s），σ（t，x）>0，σ（t，x，s）>0，K（ζ；t，x）和K（ζ；t，x，s）是它们的参数的r值可测函数，因此系统（5.25）存在唯一的强解，例如参见[32]。特别是，这意味着对（X，S）是（F，P）-马尔可夫过程。为了保证S的非负性，我们假设K（ζ；t，Xt，St）+1>0 P-a.S.对于每一个（t，ζ）∈ [0，T]×Z.对于隐式，我们也取u（T，Xt，St）<c，0<c<σ（T，St）<c和K（ζ；T，Xt，St）<c，T∈ [0，T]，ζ∈ Z、 （5.26）对于一些常数c，c，c，c。最后，根据前面的模型，我们得出“ZTη（Dt）Dt#<∞. (5.27)5.3.1. 股票价格S相对于F和H的结构条件。

S关于F的正则F-分解由t=S+Mt+Γt，t给出∈ [0，T]，其中M是平方e可积（F，P）-ma rtingaledMt=Stσ（T，St）dWt+St-ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)eN（dt，dζ）=Stσ（t，St）dWt+ZRz（m（dt，dz）- νFt（dz）dt）和Γ是以下R值非减损F-可预测有限变化过程dΓt=St-u（t，Xt）- , 圣- ) +ZZK（ζ；t，Xt）- , 圣- )η（dζ）dt=圣- u（t，Xt）- , 圣- ) +ZRzνFt（dz）dt。我们注意到，相对于勒贝斯盖测度，M的F-可预测四次变化是绝对连续的，即dhM it=atdt，AT=St-σ（t，St）-) +ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）= 圣-σ（t，St）-) +ZRzνFt（dz），t∈ [0，T]。关于半鞅，然后关于半鞅，分别是∈ [0，T]22 C.CECI，K.COLANERI和A.CRETAROLAandSt=S+Nt+ZtαHsdhNis，T∈ [0，T]，其中αFt=u（T，Xt-, 圣-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）St-σ（t，St）-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）=圣-u（t，Xt）-, 圣-) +RRzνFt（dz）St-σ（t，St）-) +RRzνFt（dz），t∈ [0，T]，（5.28）和dnt=Stσ（T，St）dIt+ZRz（m（dt，dz）- νHt（dz）dt），αHt=St-pu（t，Xt）-, 圣-) +RRzνHt（dz）St-σ（t，St）-) +RRzνHt（dz），每t∈ [0，T]，其中I是（H，P*)-（5.9）中定义的布朗运动。请注意，在S动力学系数的假设下，αFis得到了很好的定义，并且因为（5.27）也有EhRT（αFt）dhMiti<∞ 满满的。5.3.2. H-伪最优策略。来介绍MMP*对于基础市场模型，我们假设在S的每个跳跃时间，以下条件αFtMt=K（ζ；t，Xt）-, 圣-)u（t，Xt）-, 圣-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）σ（t，St-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）<1保持，即exp（ZT（αFt）dhMcit+ZT（αFt）dhMdit）#∞. （5.29）备注5.6。（5.29）的有效条件由E“exp（ZTη（Dt）Dt）#<∞.

实际上，E“exp（ZT（αFt）dhMcit+ZT（αFt）dhMdit）#≤ E“exp（ZT）u（t，Xt）-, 圣-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）σ（t，St）-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt）#≤ E“exp（ZT）u（t，Xt）-, 圣-)σ（t，St）-)+ η（Dt）dt）#≤ 经验ccTE“exp（ZTη（Dt）Dt）#然后，我们可以应用Ansel Stricker定理，定义概率测量p的变化*数据处理FT=Lt，其中过程L由Lt=E给出-ZαFrdMrtwith t∈ [0，T]。在MMP下*, 这对（X，S）的动力学可以写成dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-σ（t，St）dW*t+ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）, S=S>0，其中W，W*是（F，P）*)-布朗运动*t=Wt+ZtSuαFuσ（u，Su）du，t∈ [0，T]，资产价格限制信息下的LRM，其相关系数为ρ，eN*（dt，dζ）是P下的补偿泊松测度*吉文·拜恩*（dt，dζ）=N（dt，dζ）- η*t（dζ）dt和η*t（dζ）=（1- 每t的αFtStK（t，Xt，St））η（dζ）∈ [0，T]，带有α鳍（5.28）。我们假设*“ZT|u（t，Xt）|+σ（t，Xt）+η*t（Dt）+ZZ | K（ζ；t，Xt）|η*t（dζ）dt#<∞, （5.30）EP*“ZTη*t（Dt）Dt#∞, （5.31）式中Dt={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-) 6=0}和Dt={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6= 0}.同样，由于概率测度的变化是马尔可夫的，所以（X，S）对仍然是（F，P）*)-马尔可夫过程，我们给出了它的P*-生成以下结果。提议5.7。假设（5.30），（5.31）。那么，这对（X，S）就是（F，P）*)-生成函数为x，Sf（t，x，s）的马尔可夫过程=Ft+u（t，x）Fx+σ（t，x）Fx+ρσ（t，x）σ（t，s）sF十、s+σ（t，s）sFs+ZZf（ζ；t，x，s）η*t（dζ）-FssZZK（ζ；t，x，s）η*t（dζ），（5.32）式中f（ζ；t，x，s）=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s））- f（t，x，s）。此外，下面的半鞅分解成立：f（t，Xt，St）=f（0，x，s）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M3，ft，其中M3，f={M3，ft，t∈ [0，T]}是（F，P）*)-由dm3给出的鞅，ft=Fxσ（t，Xt）dWt+Fsσ（t，St）StdW*t+ZZf（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）。

（5.33）证明推迟到附录B。最后，我们给出了一个假设（5.4），如前几例所示。因此，考虑到附录A第A.2位（A.1）中给出的跳跃扩散情况下过滤器的动力学，在（5.26）、（5.30）、（5.31）下，H-伪最优策略可以写成βHt=eβHt+φHt，t∈ [0，T]式中，eβHt=St-σ（t，St）-)ht-（g） +RRz wg（t，z）νH，*t（dz）街-σ（t，St）-) +RRzνH，*t（dz），t∈ [0，T]，φHt=αHtRRzeβHtz- wg（t，z）νHt（dz）St-σ（t，St）- ) +RRzνHt（dz），t∈ [0，T]。在附录r的（A.2）和（A.3）中分别定义了ht（g）和wg（t，z），选择f=g，g（t，x，s）是（5.3）与L的解*十、 S=LX，S.Acknowledgets 24 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola作者感谢不知名的审稿人的有用意见和建议，这些意见和建议导致了论文的显著改进。作者还希望感谢印度国立阿尔塔材料研究所（INdAM）的《材料分析》和《材料应用的可能性》（GNAMPA）提供的财政支持。参考文献[1]J.P.安塞尔和C.斯特里克。最小限度的存在。在J.Azéma、P.A.Meyer和M.Yor的《Séminaire deProbabilitéS XXVII》编辑中，《数学课堂讲稿》第1557卷，第22-29页。施普林格柏林海德堡，1993年。[2] P.布雷莫德。点进程、队列和强度。在点进程和队列中，Springer系列统计。斯普林格纽约，1981年。[3] C.塞西。部分观测高频数据模型的风险最小化套期保值。《随机学：可能性和随机过程国际期刊》，78（1）：13–31，2006。[4] C.塞西。跳跃市场模型在限制信息下的中间消费效用最大化。《国际理论与应用金融杂志》，15（6）：24-582012。[5] C.塞西和K.科拉内里。

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