资产价格受限信息下的局部风险最小化

更准确地说，每个ξ∈ L（英尺，P*) 可以唯一地写为ξ=U′+ZTHHudSu+G′TP*- a、 （4.9）其中U′∈ L（F，P）*), HH={HHt，t∈ [0，T]}∈ Θ（H，P*) G′={G′t，t∈ [0，T]}是平方可积的（F，P*)-P下G′=0弱正交S的鞅*, 根据[8]中给出的定义2.1。引理4.5。ξ假设∈ L（HT，P*) S对于P是平方可积的*. LeteβH∈ Θ（H，P*) 嗯∈ Θ（H，P*) 分别是分解（4.8）和（4.9）中的被积函数。然后HHT=eβHt，T∈ [0，T]。（4.10）证据。Létξ∈ L（HT，P*) 考虑分解（4.9）。通过在HTP下对HTP进行条件预期*, 我们得到ξ=EP*胡HTi+ZTHHudSu+EP*hG′THTi=bU+ZTHHudSu+bGT，（4.11）其中我们有setbU:=EP*胡HiandbGt:=EP*hG′tHti+EP*胡Hti- EP*胡嗨，每一个t∈ [0，T]，所以bg={bGt，T∈ [0，T]}是一个平方可积（H，P）*)-P下BG=0弱正交于S的鞅*. 的确，EP*胡Hti-EP*胡你好∈ L（Ht，P*), 每一个t∈ [0，T]在P下明显弱正交于S*由于S关于F和H的鞅性质。此外，对于每∈ Θ（H）我们有*“EP*hG′THTiZT#udSu#=EP*“EP*“G’TZT~nudSuHT##=EP*“G′TZT~nudSu#=0，因为在P下G′与S弱正交*. 此外，布∈ L（H，P）*) 由于BG是H适应的，所以在P下它也与S长正交*, 见[8，备注2.4]。然后，通过Galtchouk-Kunita-Wa-tanab组合的唯一性，ξ的表示（4.11）和（4.8）重合，尤其是这意味着（4.10）。以下命题提供了连续情况下策略β和β之间的关系。提案4.6。让ξ∈ L（HT，P*) 是一个未定权益，假设S是连续的，关于P是平方可积的*.

然后，H-伪最优策略βHand与F-伪最优策略βFholdsβHt=p之间的下列关系，*βFt，t∈ [0，T]。（4.12）这里是符号P，*D指（H，P*)-R值可积过程D={Dt，t的可预测投影∈[0，T]}。如果满足以下条件，我们说平方可积（F，P）-鞅O与平方可积（F，P）-鞅M弱正交：OTZT~ntdMt= 0，适用于所有流程∈ Θ（H）。LRM的资产价格信息受限。当S具有连续轨迹时，分解（4.6）（关于F）和（2.4）（关于H）与P下相应的Galtchouk Kunita Watanabe分解一致*, 见上文（4.7）和（4.8）。引理4.5意味着βH=hh，因为hSi是H-可预测的，这是因为在这种情况下，hSi=[S]，其FS通过定义进行调整，在P*, 通过应用[8，命题4.1]我们得到（4.12）。在一般情况下，即当S也表现出跳跃时，β-手-β-F之间的关系更加复杂。在[12]中，（4.7）和（4.6）中分别给出了β和βF之间的关系，根据P*. 类似的结果可用于推导（4.8）和（2.4）中分别给出的β和βH之间的关系，即P下与G相关的局部特征*.我们现在可以得出以下结果。提案4.7。让ξ∈ L（HT，P*) 假设S是关于toP的平方可积*. H-伪最优策略ψ的第一部分*= （βH，η）*) 由βHt=HHt+φHt，t给出∈ [0，T]。

（4.13）换句话说，βHt=d（RteβFudhSiu）p，H，*dhSip，H，*t+φHt=d（RtβFudhSiu）p，H，*dhSip，H，*t+φHt-d（Rtφfudhiu）p，H，*dhSip，H，*t、 （4.14）每t∈ [0，T]，其中Dp，H，*表示（H，P*)-R值过程D={Dt，t的可预测对偶投影∈[0，T]}的有限变分，以及φF={φFt，T的过程∈ [0，T]}和φH={φHt，T∈ [0，T]}分别由φFt=dFh[eG，S]给出，-R·αFrdMritdFhSit，φHt=dHh[G，S]，-R·αHrdNritdHhSit（4.15）每t∈ [0，T]，其中尖括号根据P.证明计算。考虑引理4.5，通过[8，proposition 4.9]我们得到hht=eβHt=d（Rteβfudhiu）p，H，*dhSip，H，*t、 t∈ [0，T]。然后，通过应用[12，定理3.2]，我们得到了βH=eβH+φ，βF=eβF+φF，然后得到等式（4.14）。最后，在（4.15）中的表达式后面加上[12，第8页的备注]。在下一节中，我们将讨论一些马尔可夫模型，其中存在一个不可观测的随机因素，影响股票价格动态，我们将展示如何计算H-伪最优策略导致MMM P下的过滤问题*以及真实世界的概率测度Ep.5。马尔可夫模型在本节中，我们希望将我们的结果应用于一些马尔可夫模型。我们认为，风险定价过程的动态取决于一些不可观察的过程X，它可能代表驱动市场的其他市场、宏观经济因素或微观结构规则的活动。我们考虑一个欧式未定权益，其支付为ξ∈ L（HT，P）∩ L（HT，P*) 形式为ξ=H（T，ST），其中H（T，s）是确定性函数。我们通过设置vft:=EP来定义过程vft和vh*[H（T，ST）| Ft]，VHt:=EP*[H（T，ST）| Ht]，T∈ [0，T].14 C.塞西、K.科拉内里和A。

如果这对（X，S）是一个（F，P*)-马尔可夫过程，则存在一个可测函数g（t，x，s），使得vft=EP*[H（T，ST）|Ft]=g（T，Xt，ST）（5.1）每T∈ [0，T]和vht=EP*hEP*[H（T，ST）| Ft]|Hti=EP*[g（t，Xt，St）|Ht]，t∈ [0，T]。（5.2）我们用L表示*十、 （F，P*)-对（X，S）的马尔可夫产生器。然后，通过[13，第4章，第1.7条]过程f（t，Xt，St）-ZtL*十、 Sf（u，Xu，Su）du，t∈ [0，T]是一个（F，P*)-算子L域中每个函数f（t，x，s）的鞅*十、 S，用D（L）表示*十、 S）。然后，下面的结果可以计算函数g（t，x，s）。引理5.1。设（t，x，s）∈ D（L*十、 例如：*十、 Seg（t，X，s）=0，t∈ [0，T）eg（T，x，s）=H（T，s）。（5.3）然后eg（T，Xt，St）=g（T，Xt，St），每T∈ [0，T]，其中g（T，x，s）在（5.1）中给出。证据L e t eg（t，x，s）∈ D（L）*十、 S）b e（5.3）的溶液。然后程序ss{eg（t，Xt，St），t∈ [0，T]}是一个（F，P）*)-由于eg（T，XT，ST）=H（T，ST），利用鞅的性质，我们得到了eg（T，XT，ST）=EP*[H（T，ST）|英尺]。在计算H-伪最优策略时，我们将考虑这样一种情况，即交易方可用的信息由股票价格过程产生的过滤表示；换句话说，我们假设ht=FSt T∈ [0，T]。（5.4）我们定义了滤波器π（f）={πt（f），t∈ [0，T]}，通过为每个T设置∈ [0，T]πT（f）：=EP*[f（t，Xt，St）|FSt]对于任何可测函数f（t，x，s），使得*[f（t，Xt，St）|]∞, 每一个t∈ [0，T]。

众所周知，π（f）是一个具有cádlág轨迹的概率测度值过程（见[28]），它提供了P*-给定信息流的X的条件律。然后，在（5.2）中，过程vht可以用滤波器asVHt=πt（g）来表示 T∈ [0，T]，（5.5），其中函数g（T，x，s）是具有最终值（5.3）的问题的解。因此，我们可以描述ξ次部分信息aseβHt=HHt=dhπ（g），Si的Galtchouk Kunita Watanabe分解（4.8）中的积分β*,HtdhSi*,Ht，t∈ [0，T]，其中h i*,H表示相对于H和P计算的尖括号*.最后，通过命题4.7，我们得到H-伪最优策略的第一个分量由βHt=eβHt+φHt=dhπ（g），Si给出*,HtdhSi*,Ht+dHh[G，S]，-R·αHsdNsitdHhSit，t∈ [0，T]，（5.6），其中G是（H，P*)-ξ的Galtchouk-Kunita-Wata-nabe分解（4.8）中的鞅，在资产价格的限制信息下给出15Gt=-U+πt（g）-中兴通讯∈ [0，T]。在下文中，我们显式地计算了过程β，并提供了H-伪最优策略ψ*= （βH，η）*)通过描述φH.5.1的过程，分别建立了一个差异、纯跳跃和跳跃-差异市场模型。差异市场模式l。在第一个模型中，我们考虑的情况是，风险资产定价过程的动力学是一个几何差异过程，它取决于一个不可观测的

精确地说，我们假设这对（X，S）满足以下随机微分方程组（简写为SDE）：（dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，X=X∈ R、 dSt=Stu（t，Xt，St）dt+σ（t，St）dWt, S=S>0，（5.7），其中W={Wt，t∈ [0，T]}和W={Wt，T]}∈ [0，T]}是（F，P）-布朗运动，对于每T，hW，Wit=ρT∈ [0，T]，带ρ∈ [-1，1]，系数u（t，x），σ（t，x）>0，u（t，x，s）和σ（t，s）>0是其参数的R值可测量函数。为简单起见，我们取：u（t，Xt，St）<cand 0<c<σ（t，St）<c，T∈ [0，T]（5.8）对于某些常数，c，c，c。我们假设系统（5.7）存在唯一的强解，例如参见[21]。特别是，这意味着对（X，S）是（F，P）-马尔可夫过程。5.1.1. 股票价格S相对于F和H的结构条件为（5.8），对于每一个指数σ（t，St）>0∈ [0，T]，我们得到满足关于F的结构条件，即St=S+Mt+ZtαFudhMiu，T∈ [0，T]，其中mt=ZtSuσ（u，Su）dwua和αFt=u（T，Xt，St）Stσ（T，St），T∈ [0，T]。根据[27，引理2.2]，S也满足了过滤H的结构条件，即给定的S=S+Nt+ZtpαFudhNiu，t∈ [0，T]，其中pY通常表示给定（可积）过程Y在P下的H-可预测投影，N是满足dnt=Stσ（T，St）的（H，P）-鞅dWt+u（t，Xt，St）-pu（t，Xt，St）σ（t，St）dt.最后，我们定义了过程I={It，t∈ [0，T]}通过设置它：=Wt+Ztu（u，Xu，Su）-每t的pu（u，Xu，Su）σ（u，Su）du（5.9）∈ [0，T]。已知I是一个（H，P）-布朗运动，称为创新过程（见[20]和[25]）。然后，S满足SDEdSt=St（pu（t，Xt，St）dt+σ（t，St）dIt），S=S>0.16 C.塞西，K.科拉内里和A.克雷塔罗拉5。1.2. H-伪最优策略。

注意，多亏了（5.8），Novikov条件“exp（ZTu（t，Xt，St）σ（t，St）dt）#∞因此，我们可以引入MMM P*对于密度由bydP给出的基础模型*数据处理FT=LT，其中进程L={LT，t∈ [0，T]}由Lt=E定义-Zu（u，Xu，Su）σ（u，Su）dWut每t∈ [0，T]。正如第5节开头所指出的，我们假设条件（5.4）来计算未定权益ξ=H（T，ST）的H-伪最优策略。注意，在（5.4）下*)-过程的可选投影可以写成π（D）。根据Girsanov定理，过程fw={fWt，t∈ [0，T]}，由fwt定义：=Wt+Ztu（u，Xu，Su）σ（u，Su）du，T∈ [0，T]是一个（F，P*)-布朗运动。另一方面，对于每个t，fWt=It+Ztpu（u，Xu，Su）σ（u，Su）du∈ [0，T]，这意味着fw是（H，P*)-布朗运动，因为所有涉及的过程都是H-a适应的。然后，在MMP下*, 系统（5.7）可以写成（dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，X=X∈ R、 dSt=Stσ（t，St）dfWt，S=S>0，（5.10），其中WandfW被证明是相关的（F，P*)-相关系数ρ的布朗运动。重要的是，由于概率测度的变化是马尔可夫的，所以对（X，S）是lso和（F，P*)-马尔可夫过程（见[11，命题3.4]）。下面的结果提供了（F，P*)-马尔可夫对（X，S）的生成器。提议5.2。假设*“ZT|u（t，Xt）|+σ（t，Xt）dt#<∞. （5.11）那么，这对（X，S）就是（F，P）*)-生成函数为x，Sf（t，x，s）的马尔可夫过程=Ft+u（t，x）Fx+σ（t，x）Fx+ρσ（t，x）σ（t，s）sF十、s+σ（t，s）sFs（5.12）对于每个函数f∈ C1,2,2b（[0，T]×R×R+）。此外，以下分解保持Sf（t，Xt，St）=f（0，X，S）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M1，ftm1，f={M1，ft，t∈ [0，T]}是（F，P）*)-由dm1给出的鞅，ft=Fxσ（t，Xt）dWt+Fsσ（t，St）StdfWt。

（5.13）证明推迟到附录B。我们记得，在连续的情况下，MMM P下ξ的Galtchouk Kunita Watanabe分解（4.8）*而F"ollmer-Schweizer分解（2.4）是一致的，因此过程VHSS提供了最优值过程V（ψ）*) . 然后，计算βHwe将应用（4.5）和（5.5），这需要过滤器的知识。对于部分可观测系统（5.10）中资产价格受限信息下的LRM，过滤器动态由附录A中的Kushner-Stratonovich方程（A.5）描述。然后，在假设（5.8）和（5.11）下∈ [0，T]我们得到βHt=dHhπ（g），SitdHhSit=Ht-（g） 圣-σ（t，St）-)=ρπt-σG十、+ 圣-σ（t，St）-)tπ-Gs圣-σ（t，St）-), （5.14）其中，在（A.6）中定义了ht（g），选择f=g，g（t，x，s）是问题（5.3）的解决方案，其中*十、 S=LX，即（5.12）中给出的o。现在，我们检查等式（4.12）HOLDS；换句话说，βHCO与（H，P*)-βF的可预测投影，表示完全信息下伪最优策略ψF=（βF，ηF）的第一个分量。要推导βFwe的表达式，请考虑过程VF={VFt，t∈ [0，T]}由vft=EP给出*[H（T，ST）| Ft]，T∈ [0，T]得益于推论4.4，选择H=F；因此，βFt=dFhVF，SitdFhSitT∈ [0，T]。我们观察到vf与{g（t，Xt，St），t∈ [0，T]}，然后通过它的公式，我们得到vft=g（T，Xt，St）=ZtGxσ（u，Xu）dWu+Gsσ（u，Su）SudfWu, T∈ [0，T]，并显式计算尖括号sfhvf，Si和fhsi，我们在βFt=ρσ（T，Xt）中计算bta-)Gx+St-σ（t，St）-)GsSt-σ（t，St）-), T∈ [0，T]。最后，考虑到（5.14）和过滤器的定义，我们得出βH=p，*βF，其中p，*βf为（H，P*)-过程βF.5.2的可预测预测预测。一个纯粹的跳跃市场模型。

我们现在考虑这样一种情况，即风险资产价格动态由一个纯跳跃过程来描述，该过程依赖于一个不可观测的过程X，由一个与S具有共同跳跃时间的马尔可夫跳跃微分给出。更准确地说，dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)N（dt，dζ），S=S>0。（5.15）这里N（dt，dζ），（t，ζ）∈ [0，T]×Z，带Z R、 是具有非负强度η（dζ）dt的（F，P）-泊松随机测度。定义在可测量空间（Z，Z）上的度量η（dζ）为σ-有限。相应的（F，P）补偿随机测度由en（dt，dζ）=N（dt，dζ）给出- η（dζ）dt。这个过程是（F，P）-布朗运动，与N（dt，dζ）和u（t，x）无关，σ（t，x）>0，K（ζ；t，x）和K（ζ；t，x，s）是它们的参数的R值可测函数，因此系统（5.15）存在唯一的强解。特别是，这意味着对（X，S）是一个（F，P）-马尔可夫过程。注意，如果集合{ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6=0和K（ζ；t，Xt）-) 6=0}不是空的，S和X有相同的循环次数。例如，这一特征可以描述同时影响股价和影响股价的隐藏状态变量的灾难性事件。18 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe ass ume thatK（ζ；t，Xt，St）<C，（t，ζ）∈ [0，T]×Z，（5.16）对于某些常数c，为了保证S的非负性，我们还假设K（ζ；T，Xt，St）+1>0 P-a.S。。为了描述S的跳跃，我们引入了整数值随机测量em（dt，dz）=Xr：Sr6=0δ{r，Sr}（dt，dz），其中δa通常是点a处的狄拉克量度。注意，以下等式保持sztzrz m（du，dz）=ZtSu-ZZK（ζ；u，许）-, 苏-)N（du，dζ），一般来说，对于任何可测函数γ：R→ R、 我们得到ztzrγ（z）m（ds，dz）=ztzzzdu（ζ）γ（Su-K（ζ；u，许）-, 苏-)) N（du，dζ），其中Dt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6= 0}.

从现在开始，我们假设e“ZTη（Dt）Dt#<∞, η（Dt）>0，T∈ [0，T]。（5.17）备注5.3。回想一下，νF（dt，dz）表示随机测度m（dt，dz）的（F，P）-可预测对偶投影。在条件（5.17）下，在[10]和[3]中证明了，对于lebesgue测度，νF（dt，dz）是绝对连续的，也就是说，对于任何∈ B（R），νFt（A）=η（DAt），其中DAt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) ∈ A\\{0}。特别是，对于每t，νFt（R）=η（Dt），其中Dt=DRt∈ [0，T]提供了点过程m（（0，T]×R）的（F，P）-强度，该点过程计算截至时间T.5.2.1的S跳跃总数。股票价格S相对于F和H的结构条件。我们观察到，半鞅满足以下标准F-分解ST=S+Mt+Γt，t∈ [0，T]，其中M是由dmt=St给出的平方e-可积（F，P）-ma鞅-ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)eN（dt，dζ）=ZRz（m（dt，dz）- νFt（dz）dt）和Γ={Γt，t∈ [0，T]}是一个满足dΓT=St的R值非减损F-可预测有限变化过程-ZZK（ζ；t，Xt，St）η（dζ）dt=ZRzνFt（dz）dt。关于勒贝格测度，M的F-可预测二次变化是绝对连续的；实际上，dhMit=atdt，其中at=St-RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）=RRzνFt（dz）dt，每t∈ [0，T]。在续集中，我们将假设点过程m（（0，t）×R）的（F，P）-强度是严格正的，即νFt（R）=η（Dt）>0p-a.s，它计算Sup到时间t的跳跃。每一个t∈ [0，T]。