资产价格受限信息下的局部风险最小化

Musiela，编辑，期权定价，利率和风险管理，第538-574页。剑桥大学出版社，剑桥，2001年。附录A.过滤方程式我们记得，过滤器与MMM P有关*由πt（f）=EP给出*[f（t，Xt，St）|FSt]，t∈ [0，T]对于任何可测函数f（T，x，s），使得*[f（t，Xt，St）|]∞, 每一个t∈ [0，T]。在这里，我们将推导跳跃扩散模型的过滤动力学，并推导连续模型和纯跳跃模型的等式，作为特殊情况。因此，使用第5.3节的相同符号，我们假设在P*是由dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-σ（t，St）dW*t+ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）, S=S>0。在S.5和S.5中，我们假设*. 我们记得，过程S的跳跃部分可以用（5.2）中定义的整数值dAndom测度m（dt，dz）来描述。我们用νF表示，*t（dz）dt-its（F，P*)-可预测的双重投影，按νH，*t（dz）dt-its（H，P*)-可预测的双重投影和以下关系保持νH，*t（dz）dt=πt-（νF，*（dz）感谢[3，提案2.2]。备注A.1。鞅表示定理（见[5，命题2.6]）是推导过滤方程的重要工具。特别地，它指出每（H，P*)-局部鞅可以表示为mt=M+ZthudI*t+ZtZRw（u，z）m（杜，dz）- νH，*u（dz）dt, T∈ [0，T]，对于合适的H-适应和H-可预测过程H={ht，T∈ [0，T]}和w（·，z）={w（T，z），T∈ [0，T]}对于everyz∈ R、 s atisfyingZTht+ZR | w（t，z）|νH，*t（dz）dt<∞ P*- a、 s.26 C.塞西、K.科拉内里和a。

克雷塔罗拉我在哪里*= {I*t、 t∈ [0，T]}是（H，P*)-由i给出的布朗运动*t=W*t+Ztb（u，Xu，Su）σ（u，Su）- πubσ杜特∈ [0，T]带b（T，Xt，St）=ZZK（ζ；T，Xt，St）η*每t的t（dζ）∈ [0，T]。以下结果提供了过滤器的动态。命题A.2（过滤方程）。在（5.26）、（5.30）和（5.31）项下，过滤器为每个函数f（t，x，s）求解库什纳斯特拉托诺维奇方程∈ C1,2,2b（[0，T]×R×R+），由πT（f）=f（0，x，s）+Ztπs（LX，Sf）ds+Zths（f）dI给出*s+ZtZRwf（s，z）（m（ds，dz）- νH，*s（dz）ds），（A.1）每t∈ [0，T]，其中ht（f）=ρπTσF十、+ Stσ（t，St）πtFs, （A.2）wf（t，z）=dπt-（fνf，*)dνH，*t（z）- tπ-（f） +dπt-（Lf）dνH，*t（z），（A.3）LX，Sis在（5.32）和lf（t，x，s，A）中给出：=RdA（t，x，s）{f（t，x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s）））- f（t，x，s）}η*t（dζ），对于每一个A∈ B（R），其中dA（t，x，s）={ζ∈ Z:K（ζ；t，x，s）∈ A\\{0}。证据我们考虑半鞅Z={Zt=f（t，Xt，St），t∈ [0，T]}w软管分解由zt=f（0，X，S）+ZtLX，Sf（u，Xu，Su）du+M3，ft，T给出∈ [0，T]，（A.4），其中LX，沙M3，票价分别在（5.32）和（5.33）中定义。通过对Htin（A.4）的条件期望，我们得到πt（f）=π（f）+Ztπu（LX，Sf）du+fMft，t∈ [0，T]，其中fmft=o，*M3，英尺+o，*ZtLX，Sf（u，徐，苏）杜-佐，*（LX，Sf（u，Xu，Su））每t∈ [0，T]，安藤，*是（H，P*)-给定过程Y和Fmfis an（H，P）的可选投影*)-鞅。由于备注A.1，存在一个H适应过程H（f）和一个H可预测过程WFEP*“ZThs（f）+ZR | wf（s，z）|νH，*s（dz）ds#<∞andfMft=πt（f）- π（f）-Ztπu（LX，Sf）du=Zthu（f）dI*u+ZtZRwf（u，z）m（杜，dz）- νH，*u（dz）du.为了确定过程h（f），我们定义了过程fw*= {fW*t、 t∈ [0，T]}byfW*t:=I*t+Ztπu（b）σ（u，Su）du，t∈ [0，T]。然后我们计算，*ZfW*安藤，*ZfW*单独和自*是H适应的，平衡的，*ZfW*=哦，*ZfW*持有。

根据它的产品规则，我们已经（ZtfW）*t） =ZtdfW*t+fW*tLX，Sf（t，Xt，St）dt+Fxσ（t，Xt）ρdt+F资产价格限制信息下的sStσ（t，St）dt+dMt，LRM，其中M:=ZfW*sdM3，fsis是一个（F，P*)-局部鞅。我们现在为M:eτn=T引入一个H-局部化序列∧ 信息：|fW*t|≥ 不，n≥ 1.如果我们把条件期望带到Ht上，在{t≤ eτn}我们开始了，*（ZtfW）*t） =o，*fW*tLX，Sf（t，Xt，St）+Fx（t）σ（t，Xt）ρ+FsStσ（t，St）dt+dfMt，其中fm是an（H，P*)-局部鞅。另一方面，*ZtfW*（t）=fW*到*LX，Sf（t，Xt，St）+ht（f）dt+dMt，其中misan（H，P*)-局部鞅。平心而论，*ZfW*=哦，*ZfW*, 有界变差项必须相等，这意味着ht（f）=ρπtσF十、+ Stσ（t，St）πtFs关于{t≤ eτn}。现在，当n→ ∞, eτngoes到tp-a.s.因此过程ht（f）对每个过程都是完全定义的∈ [0，T]。根据[5]中定理3.2的证明的相同论点，我们得到了wf（t，z）的表达式。备注A.3。[5]和[6]对系统（5.25）给出的成对信号观测分析了滤波方程解的强唯一性。这些结果可用于推导适当的条件，以确保在MMM P下过滤方程（A.1）的解具有强唯一性*. 在[6]中，作者分析了用u型标准化滤波器求解的Zakai方程的强唯一性，以及Kus-hner-Stratonovich方程与路径唯一性的关系。特别是，当信号过程X是一个在可数空间中取值的纯跳跃过程时，可以递归求解Zakai方程（参见[6]和[9]中的第5.3节），并且在假设X在有限空间中取值或X和S只有公共跳跃时间的情况下，路径唯一性成立。备注A.4（差异市场模型）。

如果这对（X，S）的动力学由系统（5.10）给出，我们可以观察到W*t=Wt+Ztu（u，Xu，Su）σ（u，Su）du=fWt，t∈ [0，T]，然后我*t=It，在（5.9）中给出，每t∈ [0，T]。因此，在（5.8）和（5.11）下，过滤器的动态变为πt（f）=f（0，x，s）+Ztπs（LX，Sf）ds+Zths（f）dIs（A.5）∈ [0，T]对于每个函数f∈ C1,2,2（[0，T]×R×R+），其中ht（f）=ρπTσF十、+ Stσ（t，St）πtFs, T∈ [0，T]。（A.6）备注A.5（纯跳跃市场模型）。对于系统（5.19）所描述的纯跳跃市场模型，在（5.16）、（5.20）和（5.21）下，过滤动力学由πt（f）=f（0，x，s）+Ztπs（LX，Sf）ds+ZtZRwf（s，z）（m（ds，dz）给出- νH，*s（dz）ds，（A.7）其中wf（t，z）=dπt-（fνf，*)dνH，*t（z）- tπ- （f）+dπt-（Lf）dνH，*t（z）。在[10]中，使用线性化方法，通过Feynman-Kac公式获得滤波器的显式表示。这种表示法可以为滤波器的计算提供递归算法。28 C.塞西、K.科拉内里和A.克雷塔罗拉。1.现实世界概率测度下的过滤方程。正如第5.2节所指出的，为了推导H-伪最优策略，我们还需要计算νHt（dz）dt，这是整数值随机测度m（dt，dz）的（H，P）-可预测对偶投影。

我们观察到，νHt（dz）dt有一个表示eπ的表达式，它是真实世界概率测度P下的滤波器，由νHt（dz）=eπt给出-（νF（dz））。根据（5.26）和（5.30），（5.31），通过扩展[5]中的结果，滤波器π解出以下Kushner-Strato-novich方程πt（f）=f（0，x，S）+ZteπS（LX，Sf）ds+ZtZRewf（S，z）（m（ds，dz）- eπs-（νF（dz））+Ztehs（F）dIs（A.8）用于每个函数F∈ C1,2（[0，T]×R×R+）和每T∈ [0，T]，其中ewf（T，z）=deπT-（νFf）deπt-（νF）（z）- eπt-（f） +deπt-（eLf）deπt-（νF）（z），t∈ [0，T]eht（f）=eπT（uf）- eπt（u）eπt（f）σ（t，St）+ρeπtσF十、+ Stσ（t，St）eπtFs, T∈ [0，T]，I是（5.9）定义的创新过程。运算器LX，sde注意到P下（X，S）的生成元，它由X，Sf（t，X，S）给出=Ft+Fxu（t，x）+Fssu（t，x，s）+Fxσ（t，x）+Fssσ（t，s）+F十、ssσ（t，x）σ（t，s）ρ+ZZf（ζ；t，x，s）η（dζ）f（ζ；t，x，s）=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s））- f（t，x，s），对于每一个A∈ B（R），运算符，由elf（t，x，s，A）定义：=ZdA（t，x，s）f（ζ；t，x，s）η（dζ），其中dA（t，x，s）={ζ∈ Z:K（ζ；t，x，s）∈ A\\{0}将信号X和观测S之间的公共跳变时间考虑在内。备注A.6（纯跳跃市场模型）。显然，我们可以将纯跳跃模型的滤波方程作为方程（a.8）的一种特殊情况来推导，现在我们有eh（f）=0和lx，Sf（t，x，s）=Ft+Fxu（t，x）+Fxσ（t，x）+ZZf（ζ；t，x，s）η（dζ）。附录B引理4.3的一些证明。我们用（BF，CF，νF）表示S的（F，P）-可预测特征（更多细节请参见[24]），用（BH，CH，νH）表示S的（H，P）-可预测特征。假设S有连续的轨迹，则νF=νH=0。

然后通过bft=ZtαFudhMiuCFt:=hSit=hMit，t给出了s的（F，P）-可预测特性∈ [0，T]，以及S areBHt=ZtαHudhNiuCHt:=hSit=hNit，T的（H，P）-可预测特征∈ [0，T]。LRM在资产价格的限制信息下，我们还记得，在连续轨迹的情况下，我们还得到αH=p（αF），和hSi=hM i=hNi。这意味着S的（H，P）-可预测特性也可以写成bht=ZtpαFudhMiuCHt:=hSit=hMit。利用S的定义，我们得到了它- S=Mt+ZtαFudhMiu=Nt+ZtαHudhNiu，t∈ [0，T]。因此，通过Girsanov定理，我们得到S有（F，P*)-可预测的特征（0，hMi，0），由于hMi=hNi，这也是（H，P*)-S的可预测特征。同样，根据Girsanov定理，S具有（H，P）-可预测特征由（0，hNi，0）决定。因此自（H，P*)-S的可预测特征与其（H，P）-可预测特征和P | H=P一致*|H、 通过[24，第3章，第4.31节]我们可以得出，P的限制*超过H。命题5.2的证明。观察概率的变化*数据处理自αFt=αF（t，Xt）以来的FTis马尔可夫-, 圣-), 对于每个t∈ [0，T]（见[11，命题3.4]）。那么这对（X，S）仍然是（F，P）*)-马尔科夫过程。计算发电机L*十、 我们把它的公式应用到函数f（t，Xt，St），我们得到f（t，Xt，St）=f（0，X，S）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M1，ft，其中LX是（5.12）中给出的算子，M1是（5.13）中给出的过程。此外，在（5.11）过程M1下，fis an（F，P*)-鞅；indeedEP*“ZTσ（t，Xt）F十、dt#<∞, EP*“ZTσ（t，St）StFsdt#<∞.命题5.5的证明。根据命题5.2证明中的相同论证，我们得到了f（t，Xt，St）=f（0，x，s）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M2，ft，其中LX是（5.22）中的算子，M2是（5.23）中的算子。

注意，在条件（5.20）和（5.21）下，过程M2，fis an（F，P*)-鞅；indeedEP*“ZTσ（t，Xt）F十、dt#<∞,安第普*“ZTZZ|f（ζ；t，Xt）-, 圣-)|η*t（dζ）dt#≤ 2kfkEP*“ZT{η*t（Dt）+η*t（Dt）}Dt#∞,其中kf k=sup{f（t，x，s）|（t，x，s）∈ R+×R×R+}。命题5.7的证明。与命题5.2的证明类似，我们得到了f（t，Xt，St）=f（0，x，s）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M3，ft，30 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola，其中LX是（5.32）中的算子，而M3，fis是（5.33）中给出的算子。此外，在条件（5.30）、（5.31）下，过程M3，fis an（F，P*)-鞅；indeedEP*“ZTσ（t，Xt）F十、dt#<∞, EP*“ZTσ（t，St）StFsdt#<∞安第普*“ZTZZ|f（ζ；t，Xt）-, 圣-)|η*t（dζ）dt#≤ 2kf啤酒*“ZT{η*t（Dt）+η*t（Dt）}Dt#∞.Claudia Ceci，意大利佩斯卡拉州I-65127，42岁，意大利皮达罗市切蒂佩斯卡拉“G.D\'Annunzio”大学经济系。电子邮件地址：c。ceci@unich.itKatia Colaneri，意大利佩斯卡拉I-6 5127，42岁，Viale Pindaro，切蒂佩斯卡拉“G.D\'Annunzio”大学经济系。电子邮件地址：katia。colaneri@unich.itAlessandra克雷塔罗拉，佩鲁贾大学数学和计算机科学系，意大利佩鲁贾I-06123，维亚瓦尼泰利1号。电子邮件地址：亚历山德拉。cretarola@unipg.it