本地市场香草和第一代异国情调期权的定价

我们将在后面看到，出于我们的目的，这是没有必要的，因为我们可以使用定价方程本身作为边界条件。3通用定价问题的数值解我们无法找到具有非零相关性的LSV定价问题的解析解，因此有必要为其解决方案开发适当的数值方法。在本节中，我们将讨论这些方法。在第3.1节中，我们将介绍如何在时间和空间上对非uniformgrid上的定价问题进行离散化。虽然在计算领域内，这种操作是完全标准的，但我们确实利用了一些非标准的方法来离散边界条件，并通过暗示来解决问题。也就是说，我们区分了两种情况：（A）内生边界条件的情况，当方程本身提供边界条件时；（B） 在外生边界条件的情况下，当我们简单地施加通常的Dirichlet边界条件时。在一维情况下，一些研究人员已经成功地使用了内生离散化，如[19]，[20]。一旦定价问题（具有适当的边界条件）被离散化，我们就有了几种攻击途径，我们依次讨论。在第3.2节中，我们介绍了显式方法。虽然由于其不利的稳定性，很少在实践中使用，但我们讨论它，首先是为了获得一个额外的数据点，用于比较不同的数值结果，其次是为了说明通过所谓的快速指数法实现这种方法的一种切实可行的方法，这一方法最近由Albanese及其同事推广，参见，例如[1]。此外，最近O\'Sullivan-O\'Sullivan[48]提出了EFD方案的一个版本，该方案比基本方案更有效。

在第3.3节中，我们介绍了几种解决定价问题的ADI方法，包括原始道格拉斯（Douglas）方法[17]，因克雷格·斯奈德（Craig Sneyd）而改进的方法[15]，以及因亨斯多弗（Hunsdorfer）和维沃（Verwer）而改进的两种CS类型方法[27]，以及因霍特（In’t Hout）和韦尔弗特（HW），[30]。在[35]、[28]、[29]等几种方法中，ADI方法已成功地用于解决赫斯顿定价问题。它们还被用来为跨货币互换定价，例如[16]，并解决金融工程领域的许多其他问题。我们在第3.4节中介绍的下一种方法比前面提到的方法标准低得多，事实上，据我们所知，在我们感兴趣的环境中，它以前从未被应用过。该方法受经典伽辽金-里兹（Galerkin-Ritz）思想[22]，[50]的启发，明智地利用了现货和方差方向上二维定价方程的结构，并将其简化为仅方差方向上一维方程的耦合系统。通过充分明确地处理混合项，解决了相应的系统。我们强调，当随机驱动因素之间的相关性ρ为零时，相应的系统变得不耦合，并且可以精确求解，正如Lipton[39]所指出的那样。这一观察结果是第3.5节的起点，其中ρ的幂展开以半显式方式呈现。我们强调，使用ρ作为小参数的想法并不新鲜，例如参见[7]。然而，我们显著改进了已知结果，并强调了伽辽金方法和展开方法之间的联系。

最后，在第3.6节中，我们简要讨论了通过MC方法对香草和第一代异国风情的定价。3.1不同运营商的离散化从前面的讨论来看，很明显，定价问题可以写成Uτ（τ，x，x）- LsU（τ，x，x）=0，（54）U（0，x，x）=U（x），（55）U（τ，XL，x）=0，U（τ，XU，x）=0。（56）这里，感兴趣的运算符可以表示为：Ls=Ls（11）+L（12）+Ls（22），（57）Ls（11）U=a（x）（Uxx）- ωsU，（58）L（12）U=a（x）Uxx，（59）Ls（22）=a（x）Uxx+bs（x，x）Ux，（60），其中系数由等式（50）、（51）给出。首先，我们在τ方向上离散等式（54）。这个过程很简单。我们选择一个网格T={τ=0，τ，…，τn，…，τn-1，τN=T}加N+1点，写出如下动力学方程un+1（x，x）- 联合国（x，x）τn+1，n- Ls（Un（x，x）+（1）- ） Un+1（x，x））=0，（61），其中τn+1，n=τn+1- τn和Un（x，x）=U（τn，x，x）。很明显，u（x，x）=u（x，x）。（62）这里∈ [0,1]是一个混合参数，它定义了所考虑方案的明确程度。在大多数情况下，我们在时间上使用统一的网格，因此τn+1，n=τ. 我们强调，这是最常见的，但诺曼斯认为这是在τ方向上离散等式（54）的唯一方法。在某些情况下，三级离散化更准确。非均匀网格上微分算子的离散化是一种常见的过程，参见，例如[53]。虽然相应的公式无处不在，但为了方便读者，我们给出了计算中实际使用的公式。我们考虑非均匀网格X={X，X，…，xi，…，xi-1，xI}和i+1点，并为以下运算符D=D/dx，D=D/dx编写二阶精确的FD表达式。网格点之间的差异用xi，j=xi- xj，i=1。。。，I+1，j=0。。。，我

通过使用上述公式，我们将其表示为公式L的五对角矩阵L=DDBC* * ** * ** * *爱必惜* * ** * ** * *人工智能-1bI-1cI-1dI-3dI-2dI-1dI, （82）式中i=a（xi）ηci，-1+b（xi）ξci，-1，bi=a（xi）ηci，0+b（xi）ξci，0- c（xi），ci=a（xi）ηci，+1+b（xi）ξci，+1。（83）我们考虑两种可能性：（A）边界条件是内生的，由算子本身决定；（B） 边界条件是外生的，由所讨论的衍生产品的性质决定；为了简洁起见，在后一种情况下，我们只考虑外生Dirichlet边界条件。在（A）情况下，我们有d=A（x）ηf0,0+b（x）ξf0,0- c（x），d=a（x）ηf0,1+b（x）ξf0,1，d=a（x）ηf0,2+b（x）ξf0,2，d=a（x）ηf0,3，（84）dI=a（xI）ηbI，0+b（xI）ξbI，0- c（xI），dI-1=a（xI）ηfI，-1+b（xI）ξfI，-1，迪-2=a（xI）ηbI，-2+b（xI）ξbI，-2，迪-3=a（xI）ηbI，-3.（85）如果（B）我们有d=1，di=0，di=1，di-i=0，i=1。。。，3.（86）内生边界条件在过去曾用于单因素结构问题，见[19]，[20]。用Ls=Ls（11）+L（12）+Ls（22）的形式表示离散化算子L是很自然的。（87）我们使用上述公式来获得一维网格X，X上微分算子Ls（11），Ls（22）的离散化版本Ls（11），Ls（22）。下面我们表示五对角（Iι+1）×（Iι+1）矩阵l（Iιι）的矩阵元素。为了得到矩形网格上L（12）的离散化版本L（12） 十、 我们使用公式（63）两次，得到交叉导数的九点模板表示F十、十、x1，i，x2，i=Xα，α∈ξci，α，i，αfi+α，i+α，（88），其中ξci，α，i，α=ξci，αξci，α，αι∈  ≡ {-1, 0, 1}. （89）这里1≤ iι≤ Iι- 1.对于网格X的端点 X相应的表达方式略有不同，留给读者推导。

因此，L（12）fi、 i=ρεxiXα，α∈ξci，α，i，αfi+α，i+α=Xα，α∈l（12）i，α，i，αfi+α，i+α。（90）3.2显式方法完全显式方案简单明了，可以用单步单元表示==> Un+1=FE（Un），（91），其中Un+1=PUn，P=I+τLs=I+τLs（11）+L（12）+Ls（22）, （92）我是身份操作员。考虑到Un=Un，i，iis是矩阵而不是向量，我们必须将P定义为四指数张量，P=Pi，i，j，j，并将映射（91）表示为以下Un+1，i，i=X0≤jι≤IιPi，I，j，jUn，j，j。1的张量元素Pi，I，j，j≤ iι≤ Iι- 1的形式为pi，i，j，j=δi，jδi，j+τl（11）i，jδi，j+Xα，α∈l（12）i，α，i，αδi+α，jδi+α，j+δi，jls（22）i，j,（93）式中δi，jis为克罗内克三角洲。很明显，相应的张量是非常稀疏的。我们顺便注意到，我们可以将一个矩阵Un，i，ii唯一地映射到一个向量Un，i，其中i（i，i）=i+i（i+1），0≤ 我≤ II+I+I。这样做，我们可以定义一个矩阵，避免完全使用张量。尽管该方案简单，但在实践中很少使用，因为它不稳定，除非相应的时间步长非常小，比如一年到期的期权一小时。因此，为了计算N=PNU，（94），必须执行N 1矩阵乘法，非常昂贵。然而，最近，通过使用快速幂运算，该方案获得了新的生命力，参见Albanese等人[1]。假设N=2N，我们可以通过以下递归P=P，P=P，PN=PN来计算N-steps-1，（95）sincePN=PN。（96）虽然根据我们的经验，这种方法仍然太麻烦，不可行（至少如果不使用GPU），但它可以用于比较目的。3.3 ADI方法自然使用公式（87）来构造所谓的ADI方案，以解决离散化定价问题。

在这里，我们通过用参数化的隐式-显式FD格式离散微分算子Ls（11）和Ls（22），并以显式方式处理算子L（12）。我们从Do方案开始，它由一个预测步骤和两个校正步骤组成，可以符号化地写为：==> Y==> Y==> Y==> Un+1=FD（Un），（97）式中Y=Un+τLsUn，Y=Y+τLs（11）Y- Ls（11）Un,Y=Y+τLs（22）Y- Ls（22）Un,Un+1=Y.（98）它在时间上是一阶精度。更精确的方案重复Do方案两次，一次用于预测，一次用于校正。我们考虑以下三点：CS方案：联合国==> Y==> Y==> Y==>~Y==>~Y==>~Y==> Un+1=FCS（Un），（99）其中Y=Un+τLsUn，Y=Y+τLs（11）Y- Ls（11）Un,Y=Y+τLs（22）Y- Ls（22）Un,~Y=Y+τL（12）（Y）- Un），Y=Y+τLs（11）~Y- Ls（11）Un,~Y=~Y+τLs（22）~Y- Ls（22）Un,在硬件方案中，Un+1=~Y.（100）：Un==> Y==> Y==> Y==>~Y==>~Y==>~Y==> Un+1=FIW（Un），（101），其中序列（100）中的第四步被以下一步取代Y=Y+- τLs（11）+Ls（22）+τL（12）（Y）- 联合国）。高压方案：联合国==> Y==> Y==> Y==>~Y==>~Y==>~Y==> Un+1=FHV（Un），（102），其中序列（100）中的第四步被以下一步取代Y=Y+τLs（Y）- 联合国）。（103）Do方案始终是一阶精度，当=1/2时CS是二阶精度，而IW和HV方案对于任何都是二阶精度。当时，Do和CS方案是无条件稳定的≥ 1/2（因此CS方案的唯一实际选择是=1/2）。IW和HV方案（无对流项）在≥ 1/3和≥ 1.-p1/2；据推测，当≥（1+p1/3）/2。在[29]之后，我们分别为IW和HV方案选择=1/3和=（1+p1/3）/2。3.4伽辽金方法我们现在描述解决问题（49）、（52）的伽辽金方法。

根据所考虑的仪器，可以在整个轴上确定问题(-∞, ∞), 半轴，或在有限的间隔上。具体来说，我们假设问题是在有限的时间间隔[XsL，XsU]上定义的。（当然，当s=I，R时，XsL=Xs，XsR=Xs是可能的。）∞.) 像往常一样，我们可以在xD方向上选择一个方便的基，并在f（τ，x，x）中表示U（τ，x，x）=∞Xk=1Uk（τ，x）ek（x）。（104）这里是适当选择的x，XsL基函数≤ 十、≤ XsU。在所讨论的情况下，使用formek（x）=sin（ζk（x）的正交（但不是正交正态）基是很方便的- 其中ζk=πk/s、 当然，我们考虑一个截断序列u（τ，x，x）=MXk=1Uk（τ，x）ek（x），（106），其中M适当大。我们现在可以把U（τ，x，x）看作是两个变量（τ，x）的向量函数，向量分量由指数k（τ，x，x）参数化=>-→U（τ，x）={Uk（τ，x）}，并将问题（49）、（52）改写为τ-→U-L（22）-→U- ρεxxBs-→U- xCs-→U=0，（107）-→U（0）=-→u，（108）式中L（22）-→U=εx-→Uxx+κ（1- 十）-→Ux，（109）Bs-→U=-→Ux+~bs（x）-→U，Cs-→U=-→Uxx-ωs-→U，（110）和)bs（x）=, s=H，β，s=DH，p |ωI | cotp |ωI|十一∞- 十、, s=I，√ωRcoth√ωRXR∞- 十、, s=R.（111）很明显，BSEK=MXl=1（^uskl+？uskl）el≡MXl=1usklel，（112）Csek=-ζk+ωs埃克≡ -λskek，（113）u=MXk=1νskek，（114），其中^uskl=（0，l=k，2kl）((-1） k-L-1） （k）-l） （XsU）-XsL），l6=k，（115）°skl=δkl，s=H，βδkl，s=DH，√|ωI |（|）-XIL）Rxuxilcotp |ωI|十一∞- 十、罪ζk十、- 十一罪ζl十、- 十一dx，s=I，√ωR（XRU）-XRL）RXRULCOTH√ωRXR∞- 十、罪ζk十、- XR罪ζl十、- XRdx，s=R，（116）νsk=秀- XIL张秀熙（x）sinζk十、- 十一dx，（117）和ζl=πl/（XsU）- XsL）。我们注意到相应的被积函数在X=Xs时是奇异的∞, 当然，前提是XsU=Xs∞, 但不管怎么说，积分定义得很好。

虽然可以用超几何函数来表示¨uskl，s=I，R，但用数值计算它们更容易，这就是我们要做的。在定价方程和初始条件中替换上述公式会产生τUk-~Ls（2,2）kUk- ρεxxMXl=1usklUl=0，（118）Uk（0）=νk，（119）式中L（2,2）k=εxx+κ（1）- 十）十、-λskx。（120）换句话说，我们用单因子抛物型偏微分方程的耦合系统来代替二因子抛物型偏微分方程。我们通过完全显式地处理交叉项来解决这个方程组，这允许我们使用标准技术来解决带有非零源项的标量单因子偏微分方程。我们强调，当ρ=0时，这个系统变得不耦合。在后一种情况下，它可以解析求解。在适用的情况下，伽辽金方法通常优于标准方法，因为它以自然的方式处理x方向的问题。一般来说，计算节省为I/M.3.5阶小ρ展开式（107）。如果我们假设ρ很小，我们可以将其用作展开参数并写入-→U在表格中-→U=-→U（0）+ρε-→U（1）+（ρε）-→U（2）+（ρε）-→U（3）=∞Xn=0（ρε）n-→U（n），（121）在哪里τ-→U（0）-L（22）-→U（0）- xCs-→U（0）=0，-→U（0）（0）=-→u，（122）τ-→U（1）-L（22）-→U（1）- xCs-→U（1）=xxBs-→U（0），-→U（1）（0）=0，（123）τ-→U（2）-L（22）-→U（2）- xCs-→U（2）=xxBs-→U（1），-→U（2）（0）=0，（124）等。一般来说，τ-→U（n）-L（22）-→U（n）- xCs-→U（n）=xxBs-→U（n）-1),-→U（n）（0）=0，（125）下面我们需要解决以下初值问题τwn-L（22）wn+λxwn=0，wn（0）=xneψx，（126），其中λ，ψ为给定常数，n=0，1，2。。。。

相应的解Wn可以通过使用一个有效的方法找到：w（τ，x，λ，ψ）=D0,0（τ，λ，ψ）E（τ，x，λ，ψ），w（τ，x，λ，ψ）=（D1,0（τ，λ，ψ）+D1,1（τ，λ，ψ）E（τ，x，λ，ψ），w（τ，x，λ，ψ）=D2,0（τ，λ，ψ）+D2,1（τ，λ，ψ）x+D2,2（τ，λ，ψ）xE（τ，x，λ，ψ），（127）等，其中，通过定义，D0,0（τ，λ，ψ）=1，and（τ，x，λ，ψ）=eA（τ，λ，ψ）+B（τ，λ，ψ）x，（128）一般来说，wn（τ，x，λ，ψ）=nXm=0Dn，m（τ，λ，ψ）xm！E（τ，x，λ，ψ）。（129）所有系数都可以明确写出。让我们计算n=0，1，2，3的相关量。很明显，a（τ，λ，ψ），B（τ，λ，ψ）满足以下常微分方程组（τ，λ，ψ）- κB（τ，λ，ψ）=0，B（τ，λ，ψ）-εB（τ，λ，ψ）+κB（τ，λ，ψ）+λ=0，提供形式（0，λ，ψ）=0，B（0，λ，ψ）=ψ）的初始条件。（130）Riccati变换（τ，λ，ψ）=-2κεln（γ（τ，λ，ψ）），B（τ，λ，ψ）=-2γ（τ，λ，ψ）εγ（τ，λ，ψ），（131）产生γ（τ，λ，ψ）+κγ（τ，λ，ψ）-ελγ（τ，λ，ψ）=0，（132）提供初始条件γ（0，λ，ψ）=1，γ（0，λ，ψ）=-εψ. （133）一个简单的代数表明，相应的解可以写成形式γ（τ，λ，ψ）=eΞ+τ/2Υ（τ，λ，ψ）2$（λ），（134），其中Υ（τ，λ，ψ）=Ξ-(λ) - εψ+Ξ+(λ) + εψE-$(λ)τ,Ξ±(λ) = κ + $ (λ) ,$ (λ) =√κ+ ελ.（135）最后，A（τ，λ，ψ）=-κεΞ+（λ）τ+2 lnΥ(τ,λ,ψ)2$(λ),B（τ，λ，ψ）=-(Ξ+(λ)(Ξ-(λ)-εψ)-Ξ-（λ） （Ξ+（λ）+εψ）e-$(λ)τ)εΥ(τ,λ,ψ).（136）为了计算Dn，我们对ψ的有效解进行微分，得到d0,0=1，D1,0+D1,1x=˙a+˙Bx，D2,0+D2,1x+D2,2x=˙A+˙Bx+¨A+¨Bx，D3,0+D3,1x+D3,2x+D3,3x=˙A+˙Bx+ 3.˙A+˙Bx¨A+¨Bx+...A+。。。所以d0,0=1，D1,0=˙A，D1,1=˙B，D2,0=˙A+¨A，D2,1=2˙A˙B+¨B，D2,2=˙B，D3,0=˙A+3˙A¨A+。。。A、 D3,1=3（˙A˙B+˙A–B+˙A˙B）+。。。B、 D3,2=3˙A˙B+˙B–B, D3,3=˙B.（138）这里˙A=2κOhm,¨A=2κεOhm,...A=4κεOhm, （139）˙B=4Θ，¨B=8εΘOhm,...B=24εΘOhm,具有Ohm =1.- E-$(λ)τΥ（τ，λ，ψ），Θ=$（λ）e-$(λ)τΥ (τ, λ, ψ).

（140）当我们考虑n阶扰动时，我们引入了一组有序的时间τ=（τ=0<τ<…<τn<τn+1=τ）。（141）特别是，对于n=0（对于前导阶项），我们只有两点τ=0<τ=τ。通过使用此符号，我们可以-→W（0）（τ，x）形式-→W（0）（τ，x）=∞Xk=1C0,0eA（0,1）+B（0,1）xνk-→埃克。（142）如果使用以下符号0,0=1，A（0,1）=A（τ- τ、 λk，0），B（0，1）=B（τ）- τ、 λk，0）。（143）因为n=0没有中间时间点，我们可以写-→U（0）（τ，x）=-→W（0）（τ，x）。（144）对上述结构的概括允许我们引入-→W（n）（τ，x）如下-→W（n）（τ，x）=∞Xk=1，。。。，kn+1=1（Pnm=0Cn，mxm）×eA（0，n+1）+B（n，n+1）xνkukk。。。uKNKNK+1-→ekn+1，（145），其中我们稍微滥用了符号，并写下了A（n，n+1）=Aτn+1- τn，λkn+1，B（n- 1，n）,B（n，n+1）=Bτn+1- τn，λkn+1，B（n- 1，n）.A（0，n+1）=A（0，1）+A（n，n+1）（146）这种定义显然是反复出现的（望远镜式的）。我们声称-→U（n）可以用-→W（n）通过中间时间步上的简单积分，即。，-→U（n）（τ，x）=τZτZτ。。。τZτn-2τZτn-1.-→W（n）（τ，x）dτ。。。dτn.（147）为了证明这一事实，我们可以使用Duhamel原理，将相应的非齐次问题简化为齐次问题族。仔细考虑x的幂，我们可以得出以下循环关系cn，m=nXl=1（B（n- 1，n）中国-1，l-1+lCn-1，l）Dl，m（n，n+1），n>0，m=0。。。，n、 （148）式中，C0,0=1，Cn，n=0，如果n>n，和Dl，m（n，n+1）=Dl，mτn+1- τn，λkn+1，B（n- 1，n）.