本地市场香草和第一代异国情调期权的定价

（149）通过使用这些公式，我们立即得到了前三个展开项C1,0=B（0，1）D1,0（1，2），C1,1=B（0，1）D1,1（1，2），C2,0=（B（1，2）C1,0+C1,1）D1,0（2，3）+B（1，2）C1,1D2,0（2，3），C2,1=（B（1，2）C1,0+C1,1）D1,1（2,3）+B（1，2）C1,1D2,2,2,2）的以下表达式，（2，3）C2，（2，3）3）C2，（2，3）3）C2，（2，3）3）C2，1+2 2 2，2）2）2，2（3，4）2，（3，4）2）3）3）3）2，（2，3）3）2）3）3）3）2，3）B，（2，3）3，（3，（3）3）3）3）3）3）2）3）3）3）2）2，3）C2，3）C2，3）2，3）2，3）2，3）2，3，3）C2，3，3）2，3，3，3，3）2，3，3，3）2，3，3，3，3）C2，3）2，3，3，3，3，3，3，3）2，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3）3）C2，2D3，3（3，4）。（150）可以用同样的方式计算高阶修正。为了简化等式（147），我们改变变量，并将进行积分的单纯形变换为单位立方体。具体来说，我们引入ξ0≤ ξn≤ 1，并写出τ=ξ≡ η,ττ= ξ+ (1 - ξ) ξ≡ η,ττ= ξ+ (1 - ξ) ξ+ (1 - ξ) (1 - ξ) ξ≡ η、 （151）等。很明显，dτ=τdξ，dτ=τ（1- ξ） dξdξ，dτ=τ（1- ξ)(1 - ξ） 因此，τZf（τ）dτ=τZf（τη）dξ，τZτZτf（τ，τ）dτdτ=τZZf（τη，τη）（1）- ξ） dξdξ，τZτZτZτf（τ，τ，τ）dτdτdτ=τZZZf（τη，τη，τη）（1）- ξ)(1 - ξ） dξdξdξ（153）等。最后，为了在单位区间内进行积分，我们使用Bode’s规则。3.6蒙特卡罗方法考虑标准的赫斯顿SDE，我们可以将其写成以下DXT=-vtdt+√及物动词ρdZt+’ρdWt, x=0，dvt=κ（1- vt）dt+ε√vtdZt，v=v，（154），其中‘ρ=p1- ρ、 xt=ln（英尺/英尺），dWtdZt=0。一个众所周知的论点（例如，参见[26]中的零相关情况，以及[54]中的一般情况）显示了文本- xt=-ITt+ρJTt+ξTt，（155），其中ITt=ZTtvtdt，JTt=ZTt√vtdZt，（156）ξTt=N0，ρITt. （157）相当于xT- xt=-ρITt+ρJTt+＠ξTt，（158）式中＠ξTt=N-ρITt，ρITt. （159）尤其是xT=-ρIT+ρJT+＠ξT。

（160）因此，以它的值为条件，我们看到XT是一个正态变量。这一观察结果可以用来将经典的BSM公式（2）推广到随机波动的情况。相应的公式的形式为csv（0，1，v；T，K）=R∞R∞-∞CBS（0，ET；T，K；q′ρITT）φT是的，JT五、dITdJT，（161）式中：e-ρITt+ρJTt，（162）φτITt，JTt及物动词是的联合p.d.fITt，JTt一般来说，这个表达式太复杂了，没有任何实用价值。此外，它不能推广到第一代外部期权的定价，如DNT或障碍期权，这是本文的主要主题。上述方法可以逐字扩展到通用SVdynamics的情况。对于赫斯顿模型，表达式（158）可以简化。也就是说，VT的SDE可以积分为jtt=ε及物动词- 及物动词- κτ+κITt, （163）所以- xt=-ρITt+ρε及物动词- 及物动词- κτ+κITt+ξTt=ρε及物动词- 及物动词- κτ+^κITt+ξTt。（164）式中^κ=κ-ρε. 特别是，xT=ρε及物动词- 五、- κT+κIT+§ξT.（165）在不同的形式中，我们有dxt=utdt+σtdPWt，（166），其中uT=ρεdvtdt+ρκε-及物动词-ρκε，σt=’ρ√vt.（167）相应地，CSV（0，1，v；T，K）=R∞R∞CBS（0，ET；T，K；q′ρITT）χT它，vT五、dITdvT，（168）式中≈ETt=eρε（vT-及物动词-κτ+^κITt），（169）而χτ悉尼威立雅运输公司及物动词是的联合p.d.f悉尼威立雅运输公司以vt为条件。像往常一样，我们可以表示χτ悉尼威立雅运输公司及物动词如下χτ悉尼威立雅运输公司及物动词= χτITtvt，vtχτ（vT | vT），（170），其中χτ（vT | vT）是以vT为条件的vT的p.d.f.和χτITtvt，vt这是thep。d、 f.有条件的（vt，vt）。因此，我们可以将等式（168）改写为followscsv（0，1，v；T，K）=R∞R∞CBS（0，tt；T，K；q′ρITT）χT信息技术v、 vT××χT（vT | v）dITdvT。（171）同样，公式（171）过于复杂，无法在实践中使用，尤其是与基于傅里叶变换的刘易斯-利普顿公式[36]、[37]、[40]相比。

然而，对于如何建立精确（如果不实用）的MC模拟，它可以给出一些有用的提示，参见附录A。众所周知，例如[21]，χτ（vT | vT）是所谓的非中心平方分布，χτ（vT | vT）=eκτψ（κ，τ）exp(-ψ（κ，τ）（\'vt+\'vt））“vT”vTθIθ2ψ (κ, τ)√“vt”vt,（172）式中θ=2κ/ε- 1，Iθ（.）是修改后的贝塞尔函数，`vt=e-κτvt，`vt=eκτvt，ψ（κ，τ）=κεsinhκτ-→τ-→0ετ. （173）同时，χT信息技术v、 vT不能以封闭形式书写；然而，见下文等式（290）。条件θ>0，称为Feller条件[21]，意味着过程vt永远不会达到零；当违反此条件时，原点是可访问的，并且强烈反射。下面我们将看到，对于现实的外汇交易案例，Feller条件通常会被违反，这会导致数字上的复杂性。鉴于ψ（κ，τ）在τ-→ 0，当τ-→ 0.对于普通定价，一个大的时间步长是足够的，而对于障碍期权，需要非常小的时间步长，因此必须克服上述障碍。我们考虑了几个MC方案，如[12]、[34]、[52]、[3]，并得出结论，著名的Andersen二次指数（QE）方案在时间步长很小时表现尤其好。我们强调，对于小时间步长，不需要计算χτITtvt，vt因为它可以精确地近似如下≈（vt+vt）τ。（174）相应地，我们可以近似计算ut，σtin等式。

（166）如下所示：ut∈（ti，ti+1]=ρεvti+1-VTI+1-钛+ρκε-（vti+vti+1）-ρκε，σt∈（ti，ti+1）=ρq（vti+vti+1）。（175）这种近似可以用作开发混合PDE-MCmethod的基础，参见[44]，然而，我们无法通过这种方法获得令人满意的结果。4看涨期权的定价问题在本节中，我们将演示如何使用分析和数值方法来解决看涨期权的定价问题。在第4.2节中，我们讨论了具有任意ρ的标准Heston模型的解析解；在其他情况下，我们给出ρ=0的解析解。在第4.3节中，我们描述了如何通过第3节中开发的各种方法数值求解转化后的赫斯顿定价问题。在第4.4节中，我们根据市场对我们的模型进行校准，并使用相应的参数以解析和数值方式明确计算看涨期权价格。我们的结论是，对于看涨期权，数值和分析结果吻合得很好。4.1公式尽管本文的主要主题是在LSV框架下对奇异衍生工具进行有效估值，但显然有必要首先对普通期权进行定价。为简洁起见，我们专注于电话定价。看跌期权可以通过看跌期权平价定价。

一如往常，我们对所谓的备兑看涨期权定价，而不是以无量纲到期日和履约时间K来定价，其支付形式为v（F）=min{F，K}，（176），并将看涨期权的价格表示为现货和备兑看涨期权价格之间的差异。在第二节中，我们介绍了四个定价方程（27）、（29）、（43）、（48）。我们需要用相应的终端和边界条件来扩充它们。看涨期权对应的初始条件的形式为（x，x）=前，x∈-∞, XHK,柯-x、 x∈XHK，∞,s=H，√1.-βsinhββ十、- XDH, 十、∈XDH，XDHK,柯-βx，x∈XDHK，∞,s=DH，√α（m+n）√|ωI|sinp |ωI|十、- 十一, 十、∈十一、 希克,√αK√|ωI|sinp |ωI|十一∞- 十、, 十、∈XIK，XI∞,s=I，√α-pq√ωRsinh√ωR十、- XR, 十、∈XR，XRK,√αK√ωRsinh√ωRXR∞- 十、, 十、∈XRK，XR∞,s=R.（177）HereXsK=ln（K），s=H，βln（β）（K- 1） +1），s=DH，√|ωI|阿尔克坦K-锰- 阿尔克坦1.-锰, s=I，√ωRln(1-p） （K）-q） （1）-q） （K）-p）, s=R.（178）很明显，所有相应的支付在边界x=Xs，x=Xs处消失∞.XD方向的边界条件是simpleUs（t，Xs，x）=0，Us（t，Xs∞, x） =0，（179），当Xs0，∞= ∞. X方向的边界条件是自然施加的。4.2解析解在本节中，我们考虑初始条件（177）和边界条件（179）下的价格方程（27）、（29）、（43）、（48）的可能（半）解析解。4.2.1赫斯顿模型我们从赫斯顿模型（27）、（177）、（179）开始。众所周知，对于该模型，通过Lewis-Lipton公式[36]、[37]、[40]，有保障看涨期权的价格可以用一个fourier积分的形式表示。[51]、[32]和[55]中提供了有关相应傅里叶积分计算的其他信息。

具体来说，赫斯顿问题的解可以写成uh（τ，x，x）=2πZ的形式∞-∞uH（τ，k，x）νH（k）eikXdk，（180），其中νH（k）是uH（x）的傅里叶变换，νH（k）=Z∞-∞呃（x）e-ikxdX=e-ik-XHKλH（k）=pσ（k）e-ikXHKλH（k），（181）λH（k）=k+，（182）和uH（τ，k，x）满足以下等式τuH（τ，k，x）+λH（k）xuH（τ，k，x）-εxxuH（τ，k，x）-κ -κ - ρεik+十、xuH（τ，k，x）=0，（183）初始条件uh（0，k，x）=1，（184）以及xd方向上的正则性条件，这些条件由方程本身提供。像往常一样，我们可以使用affineansatz和writeuH（τ，k，x）=ea（τ，k）+B（τ，k）x，（185）~a（τ，k）- κB（τ，k）=0，~B（τ，k）-ε~B（τ，k）+（^κ）- ρεik）~B（τ，k）+λH（k）=0，（186）~A（0，k）=0，~B（0，k）=0。（187）Riccati变换（131）产生以下等式γ（τ，k）+（^κ- ρεik）~γ（τ，k）-ελH（k）～γ（τ，k）=0，（188）提供初始条件～γ（0，k）=1，～γ（0，k）=0。（189）两个线性独立的解是∧γ±（τ，k）=e±（k）τ/2，（190），其中±（k）=(^κ - ρεik）+$（k），$（k）=q（^κ）- ρεik）+ελH（k），（191），因此Υγ可以写成形式Υγ（τ，k）=eΞ+（k）τ/2Υ（τ，k）2$（k），（192），其中Υ（τ，k）=Ξ-（k） +Ξ+（k）e-$（k） τ，（193）相应地，~A（τ，k）=-κεΞ+（k）τ+2 ln]，τ（k）2美元,~B（τ，k）=-(1-E-$（k） τ）λH（k）Υ（τ，k），（194）因此，UH（τ，x，x）=pσ（k）2πZ∞-∞e~A（τ，k）+B（τ，k）x+ik（x）-XHK）λH（k）dk。（195）特别是，当ρ=0时，我们有Ξ±（k）=κ+$（k），$（k）=qκ+ελH（k）。（196）很明显，所有相关函数都是k的偶数函数，因此我们可以改写公式uh（τ，x，x）中的等式（195）=√σ（K）πR∞uH（τ，k，x）λH（k）cosK十、- XHKdk=√σ（K）πR∞uH（τ，k，x）λH（k）cos克伦FKdk。（197）4.2.2替代Heston模型相当令人失望的是，只有当ρ=0[40]时，才有可能在一个替代Heston模型中找到一个备兑看涨期权的价格。

原则上，可以假设ρ=0，并选择缩放参数β，以模拟非零ρ的影响。对于ρ=0，位移赫斯顿问题的解可以写成公式mudh（τ，x，x）=πZ∞uDH（τ，k，x）νDH（k）sinK十、- XDHdk，（198），其中νDH（k）是uDH（x）的正弦傅里叶变换。附录B的等式（292）表明，νDH（k）=R∞XDHuDH（x）sinK十、- XDHdx=√σ（K）sin（K（XDHK）-XDH）λDH（k）、（199）和uDH（τ，k，x）的形式为（185），式（196）中给出的A（τ，k），~B（τ，k）由λDH（k）代替，定义如下λDH（k）=k+β。（200）相应地，UDH（τ，x，x）=√σ（K）π×R∞uDH（τ，k，x）λDH（k）sinKXDHK- XDH罪K十、- XDHdk。（201）4.2.3 QLSV模型与以前一样，我们只能在ρ=0[40]时（半）解析地解决问题。在（A）的情况下，s=I，相应问题的解具有公式（τ，x，x）=∞Xk=1uIk（τ，x）νIksinζIk十、- 十一, （202）式中ζIk=πkI=p |ωI |πkπ+arctan锰>q |ωI | k，（203）和νika是相应的傅里叶系数νIk=伊兹西∞秀伊（x）仙ζIk十、- 十一dx。（204）相应的解的形式为（185）、（196），其中λH（k）被λIk替换=ζIk+ ωI.（205）我们注意到Uk是τ的衰减函数。附录B中的等式（295）表明，νIk=pσ（K）sinζIk希克- 十一我是λIk。（206）ThusUI（τ，x，x）=√σ（K）我∞Pk=1uIk（τ，x）λIksinζIk希克- 十一罪ζIk十、- 十一.（207）在（B）的情况下，s=R，相应问题的解具有公式ur（τ，x，x）=∞Xk=1uRk（τ，x）νRksinζk十、- XR, （208）式中ζRk=πlR=√ωRπllnpq> 0，（209）φRk是相应的傅里叶系数νRk=RZXR∞XRuR（x）sinζRk十、- XRdx，（210）和uRk（τ，x）由（185）、（196）给出，λH（k）由λRk代替=ζRk+ ωR。

（211）附录B的等式（293）表明，νRk=pσ（K）sinζRkXRK- XRRλRk，（212）所以ur（τ，x，x）=√σ（K）R×∞Pk=1uRk（τ，x）λRksinζRkXRK- XR罪ζRk十、- XR.eus到τ（x，τ）=√σ（K）s×∞Pk=1usk（τ，x）λsksin（ζsk（XsK- Xs）sin（ζsk（x）- 值得注意的是，积分（201）可以通过等距网格ζk=πk上的离散有限和来近似/, 哪里 是一个适当的Hosen离散化参数，因此UDH（τ，x，x）也可以近似地写成（214）形式。类似但更复杂的公式可在[6]中找到。4.3数值解为简洁起见，在本小节中，我们将仅限于由等式（27）、（177）、（179）管辖的标准赫斯顿模型。其他案例也可以按照类似的思路进行分析。将ADI方法应用于手头的问题很简单。我们需要做的就是指定计算域-L<x<L，0≤ x<L，在（x，x）-平面中，定义相应的一维网格。我们准备以速度换取计算的准确性。因此，我们选择了相对于X和X均匀的密集网格√x、 分别。鉴于赫斯顿模型的定价问题是在整个轴上定义的-∞ < x<∞, 用伽辽金方法来解决这个问题不是自然的（但也不是不可能的）。要做到这一点，我们需要艺术地切割这个领域，假设-L<x<L，并在x=±L处施加零边界条件。我们在这里不进行这方面的研究，并将伽辽金方法的发展推迟到下一节，在下一节中，我们使用伽辽金方法来定价具有令人印象深刻效果的双不接触选项。我们需要用s=H来解方程（122）、（123）、（124）。因为域覆盖了整个轴，在这种情况下，我们有Ek（x）=eikx。（215）很容易看出λk=k+, uk，k=ik+δ（k）- k） 。

（216）为了简单起见，我们选择了一个单模初始条件u（x）=eiκx，（217），使得νk=δ（k- κ) . （218）我们知道，实际的边界条件可以分解为单独的模式。通过使用公式（142），很容易看出-→W（0）（τ，x）=eA（0,1）+B（0,1）x-→ek=eA（0,1）+B（0,1）x+iκx（219），一般来说，-→W（n）（τ，x）=iκ+nnXm=0Cn，mxm！eA（0，n+1）+B（n，n+1）x+iκx，（220）其中所有λk都相同，λki=λκ，i=1。。。，n+1。因此，我们需要检查的是EA（τ，κ）+B（τ，κ）x=eA（0,1）+B（0,1）x+ρεiκ+RτdτPm=0Cn，mxmeA（0,2）+B（1,2）x+ρεiκ+RτRτdτdτPm=0Cn，mxmeA（0,3）+B（2,3）x+ρεiκ+RτRτRτdτdτdτPm=0Cn，mxmeA（0,4）+B（3,4）x+，（221）选择基函数ek（x）=cos（ζkx），其中ζk=cot（ζkL），会产生更好的结果。我们把它留给感兴趣的读者去追求。式中，~A（τ，κ），~B（τ，κ）由等式（194）给出。等价地，我们可以检查e＠A（τ，κ）+B（τ，κ）xρ=0=eA（0,1）+B（0,1）x，e~A（τ，κ）+B（τ，κ）xρρ=0=εiκ+RτdτPm=0Cn，mxm×eA（0,2）+B（1,2）x，2！e~A（τ，κ）+B（τ，κ）xρρ=0=εiκ+RτRτdτdτPm=0Cn，mxm×eA（0,3）+B（2,3）x，3！e~A（τ，κ）+B（τ，κ）xρρ=0=εiκ+RτRτRτdτdτdτPm=0Cn，mxm×eA（0,4）+B（3,4）x，（222）等。等式（222）可以用数字进行检查。MC方法在看涨期权定价中的应用非常简单，并按照第3.6.4.4节“看涨期权问题的解析解和数值解比较”中概述的思路进行。为了对解析解和数值解进行比较，我们必须选择一组具体的相关参数。为此，我们将赫斯顿模型校准为用于生成图1的一组市场数据。由于我们局限于与时间无关的参数，我们无法同时匹配所有市场价格。

我们选择一个具有代表性的到期日，比如T=1y，然后根据选定的市场价格对模型进行校准，而不是在最小二乘误差意义上进行校准。相应的尺寸参数为κ=2.580，θ=0.043，ε=1.000，ρ=-0.360，v=0.114，（223），它们的无量纲对应物为‘κ=59.758，‘ε=23.162，x=2.628。（224）我们强调θ=2κθ/ε- 1 = 2κ/ε- 1 = -0.7772，这样就明显违反了相关条件，这在实践中通常是如此。我们使用这些参数，通过前面讨论的ADI方法计算看涨期权的价格。在图2中，我们将这些方法的收敛性显示为空间和时间步长的函数。很明显，本文讨论的所有ADI方法在空间中都是二次收敛的。DO方法在时间上线性收敛，而预测-校正方法在时间上二次收敛。图2在图3附近，我们展示了价格与x的函数关系，固定x=2.628。显然，所有的数值方法都是一致的，并且收敛于通过Lewis-Lipton公式得到的半解析解。图3附近5双免触摸选项的定价问题DNT是我们特别感兴趣的。本节是本文的关键部分，我们希望比较各种分析和数值方法来解决相应的定价问题。在第5.1节中，我们提出了Liouville定价问题。在第5.2节中，我们通过分析ρ=0来解决这个问题。在第5.3节中，我们通过使用第3节中讨论的各种方法来解决赫斯顿定价问题。在第5.4节中，我们比较了通过这些方法获得的解，并证明了通过不同数值方法获得的结果通常非常一致。5.1公式到目前为止，我们已经考虑过普通电话。