本地市场香草和第一代异国情调期权的定价

现在，让我们研究在T时以货币单位支付的DNToptions的定价，前提是fl<Ft<FU，0≤ T≤ T、 （225）否则为零。同一基本产品还有其他变体，但为了简洁起见，我们只考虑这一个。显然，我们几乎不需要做什么来调整我们早期的发现以适应眼前的问题。感兴趣的区间现在变成sxsl<x<XsU，（226），其中s=H，DH，I，R。根据σ（F），我们有xs{L，U}=自然对数F{L，U}, s=H，βlnβF{L，U}- 1.+ 1., s=DH，√|ωI|阿尔克坦F{L，U}-锰- 阿尔克坦1.-锰, s=I，√ωRln(1-p） （F{L，U}-q） （1）-q） （F{L，U}-p）. 在所有四种情况下，边界条件均为clearU（τ，XsL，x）=0，U（τ，XsU，x）=0。（228）相应的支付额（x）=E-x、 s=H，e-βx，s=DH，√α√|ωI|sinp |ωI|十一∞- 十、, s=I，√α√ωRsinh√ωRXR∞- 十、. s=R.（229）5.2解析解当ρ=0时，DNT的定价可以（半解析）进行[38]，[42]。和以前一样，我们可以用公式（τ，x，x）表示相应的解=∞Xk=1sk（τ，x）νskek（x），（230），其中ek（x）=sin（ζsk（x- 四十） ），（231）ζsk=πk（XsU）- XsL），（232）和νsk是初始条件us（x）的傅里叶系数：νsk=2ζsk√σ（FL）+(-1） k+1√σ（FU）（XsU）- XsL）λsk。（233）相应地，Us（τ，x，x）=（XsU- XsL）∞Xk=1usk（τ，x）ζsk√σ（FL）+(-1） k+1√σ（FU）λskek（x）。（234）5.3数值解之前，在本小节中，我们将仅限于由等式（27）、（228）、（229）管辖的标准赫斯顿模型。我们通过第3节中发展的数值方法解决了定价问题，并比较了相应的解决方案。ADI方法在本案中的应用相对简单，尤其是因为相应的边界条件是异源施加的。我们忽略了细节。伽辽金方法非常适合求解DNT期权定价问题。

如果期权的到期日不太短，可以考虑很少的模式。x方向的离散化可以公平地进行，而不会对精度产生太大影响。执行小ρ展开也很简单，因为通常只考虑前几个项就足够了。一如既往，通过MC方法实现高精度是很困难的。与其他方法相比，障碍的存在使其更加精细，并且需要使用非常多的路径和非常小的时间步长。为了达到可接受的精度，我们每天使用200000条路径和3个时间步。不用说，对于所考虑的问题，MC方法无法与其他感兴趣的方法竞争。5.4 NTT问题不同数值解的比较在下文中，我们对一个在aunit区间到期1年的双屏障期权进行估值。作为初始条件，我们采用函数（229），s=H。在图4中，我们回顾了各种ADI方法的收敛性。图4这张图清楚地表明，所有的ADI方法都是一致的。特别是，收敛性是二次的。然而，很明显，对于所有的ADI方法，时间上的收敛只是线性的。因此，对于DNT选项（至少在我们的计算中），未观察到与预测-校正步长相关的增益不准确。我们还证明了伽辽金方法关于模式数的二次收敛性。在图5中，我们展示了通过前面讨论的数值方法获得的XL的DNT价格行为≤ 十、≤ XU，x=2.628。很明显，本文中考虑的所有方法都会产生一致的价格。我们看到，即使有30个模态，伽辽金方法也能获得很好的收敛性。最后，我们展示了图6中描述的解析展开法的收敛性。

图表显示了XL的价格≤ 十、≤ XU，x=2.628。我们看到，即使只有三个扰动，相对于伽辽金方法得到的解，我们也能获得合理但不完美的收敛性。图6附近的二维布朗运动考虑到相应FD解的复杂性，我们可以看一个更简单的问题。在这一节中，我们考虑一个象限和一个有吸收边界的矩形中的二维布朗运动。相应的问题本身就很有趣，可以分别视为双单无触点期权和双DNT期权的定价问题。在第6.1节中，我们考虑了具有吸收边界的正象限中的二维布朗运动。这个定价问题可以通过数值和分析来解决，这样我们就可以用后者来衡量前者的质量。我们的结论是，对于这个问题，欠考虑数值方法的工作正如预期的那样。在第6.2节中，我们考虑了具有吸收边界的矩形中的二维布朗运动。虽然相应定价问题的解析解不再可行，但可以应用第3节的所有方法进行数值求解。同样，不同解决方案之间的一致性是好的，伽辽金方法似乎是最有效的。6.1具有吸收边界的正象限中的二维布朗运动6。1.1问题公式在正象限中考虑两个相关的布朗运动。相应的生存概率由方程qτ（τ，x，x）决定-Qxx（τ，x，x）- ρQxx（τ，x，x）-Qx，x（τ，x，x）=0，（235）Q（0，x，x）=1，（236）这是最简单的双因素问题，对于基准测试非常有用。边界条件的形式为Q（τ，0，x）=0，Q（τ，x，0）=0。

（237）在（x，x）平面中对应的域isDq={（x，x），0≤ x<∞, 0≤ x<∞}. （238）这个问题与更为重要的DNT期权定价问题密切相关，但它确实有一些重要的区别。6.1.2解析解问题（235）、（236）、（237）可以解析解。可以证明变量的变化（x，x）=> （y，y）=> （r，φ），（239）式中y=x，y=-ρ（ρx）- x） ，y=r sinφ，y=r cosφ，（240）允许我们消除交叉导数，并将所讨论的定价问题转化为以下问题qτ（τ，r，φ）-Qrr（τ，r，φ）+rQr（τ，r，φ）+rQφ（τ，r，φ）= 0，（241）Q（0，r，φ）=1，（242）Q（τ，r，0）=0，Q（τ，r，$）=0，Q（τ，r，φ）→R→00，Q（τ，r，φ）→R→∞1.（243）此处$=arccos(-ρ). 因此，我们成功地将正象限映射到一个半带Q={（r，φ），0≤ r<∞, 0≤ φ ≤ $}. （244）由于等式（241）的系数是φ-独立的，我们可以使用伽辽金方法来求解它，参见[24]，[39]，[56]。在φ方向满足边界条件（243）的等式（241）的初等解可以写成公式mqk（τ，r，φ）~ gk（τ，r）sin（ζkφ），（245），其中，就像以前一样，ζk=πl/$，而gk（τ，r）是以下问题的解gk，τ（τ，r）-gk，rr（τ，r）+rgk，r（τ，r）-ζkrgk（τ，r）= 0，（246）我们写eq（τ，r，φ）=π∞对于（xgkr，todk）和（xgkr，todk）的初始条件，分别是→R→00，gk（τ，r）→R→∞1，（248）gk（0，r）=1。（249）可以直接检查gk是自相似函数；gk（τ，r）=rπ√~ne-υI（ζk）-1） （Ⅴ）+I（ζk+1）（Ⅴ）≡rπJk（Γ），（250），其中Γ=r/4τ，见附录C。相应地，Q（τ，r，φ）=rπ∞Xk=1，k oddJk（Γ）ksin（ζkφ）。（251）基于格林函数积分的替代推导可以在许多论文中找到，更多细节参见[31]、[43]和[47]。

最后，为了计算Q（τ，x，x），我们需要做的就是通过等式（240）用（x，x）表示（r，φ）。6.1.3数值解我们希望用数值方法解决问题（235），（236），（237）。为此，我们对等式（235）和相应的初始条件（236）进行了分解；边界处的边界条件是明确的，实际上，我们选择自然边界条件来获得适当大的x，x值。我们通过ADI方法解决了相应的离散问题。6.1.4象限问题解析解和数值解的比较图7对解析解和数值解进行了比较。该图表明，ADI解确实收敛于解析解，并且这种收敛是好的。此外，它还表明，自然边界条件的选择是适当的。我们强调，选择Dirichlet边界条件会导致严重的精度损失。6.2具有吸收边界的矩形中的二维布朗运动在本节中，我们考虑矩形中两个相关的布朗运动。这可以被视为四重无触点选项的定价问题。Lipton和Little[41]提出了下面描述的直线上的解，并在[39]第12.9.6.2.1节问题公式中进行了更详细的讨论。矩形中两个相关布朗运动的生存概率由等式（235）和初始条件（236）以及公式Q（τ，0，x）=0，Q（τ，L，x）=0，Q（τ，x，0）=0，Q（τ，x，L）=0，（252）在（x，x）平面isDr中对应的域={（x，x），0≤ x<L，0<x<L}。（253）6.2.2数值解问题（235）、（236）、（252）的数值解相对简单。它可以通过第3节中开发的任何方法解决；具体来说，我们使用标准的CS方法。

由于所有相关的边界条件都是虹膜式的，所以CS方法的应用非常简单，特别是根据我们之前的讨论，并留给读者作为练习。小ρ展开式更有趣，因此我们将对其进行详细讨论。如前所述，我们可以将Q（τ，x，x）作为向量函数Q（τ，x，x）=∞Xk=1，k=1Qkk（τ）ekk（x，x），（254），其中ekkare是formek的正交（但不是正态）基向量，k（x，x）=sinπkxL罪πkxL≡ 罪ζkx罪ζkx. （255）很明显，Qkk（τ）是一个矩阵，而不是一个向量，因此处理这一事实的一种方法是使用基于张量的形式主义，如上文第3.2节所述。然而，为了多样性，我们描述了如何使用基于矩阵的技术。为此，我们假设1≤ 基≤ N、 将每一对（k，k）映射成一个数字k（并返回），如下所示k=（k- 1） +（k）- 1） N，k=千牛+ 1，k=k- （k）- 1） N+1。（256）和writeeK（x，x）=sinζkx罪ζkx. （257）这使我们可以把Q（τ，x，x）看作τ，Q（τ，x，x）的向量函数=> {QK（τ）}≡-→Q（τ）。（258）我们可以把定价公式写成如下-→Qdτ- A.-→Q- ρB-→Q=0，-→Q 0（0）=-→ν . （259）HereAeK=（埃克，xx+埃克，xx）=-ζk+ζk埃克≡ -λKeK，（260）BeK=eK，xx=N-1XL=0，L6=KLLKLL（1-(-1） k-l） （1）-(-1） k-l） （k）-l） （k）-l） 埃尔≡N-1XL=0uK，LeL，（261）1=N-1XK=0LL（1+(-1） k+1）（1）+(-1） k+1）ζζeK=N-1XK=0π（1+(-1） k+1）（1）+(-1） k+1）kkeK≡N-1XK=0νKeK。（262）很明显，νK=πkk，k，kodd，0，否则。（263）这里，根据定义，uK，L=0如果（K- l） （k）- l） =0。我们假设ρ很小，并将其用作展开参数。然后-→Q=-→Q（0）+ρ-→Q（1）+ρ-→Q（2）+ρ-→问题（3）=∞Xn=0ρn-→Q（n），（264）在哪里-→Q（0）dτ- A.-→Q（0）=0，-→Q（0）（0）=-→ν，（265）d-→Q（1）dτ- A.-→Q（1）=B-→Q（0），-→Q（1）（0）=0，（266）d-→Q（2）dτ- A.-→Q（2）=B-→问题（1），-→Q（2）（0）=0，（267）等。一般来说，d-→Q（n）dτ- A.-→Q（n）=B-→Q（n）-1),-→Q（n）（0）=0。（268）很明显-→Q（0）=N-1XK=0e-λKτνKeK≡N-1XK=0ν（0）K（τ）eK。

（269）我们可以写作-→Q（1）在表格中-→Q（1）=N-1XK=0ν（1）K（τ）eK。（270）将该表达式代入定价方程，得到τν（1）K（τ）+λKν（1）K（τ）=N-1XK=0e-λKτνKuK，K，ΓK（0）=0，（271），因此Γ（1）K（τ）=N-1XK=0Θ（1）λK，λK（τ）νKuK，K.（272），其中Θ（1）λ，λ（τ）是问题的解τ（1）λ，λ（τ）+λ（1）λ，λ（τ）=e-λτ，Θ（1）λ，λ（0）=0，（273），我们用形式Θ（1）λ，λ（τ）=e表示-λτφλ-λ(τ) , (274)φu(τ) =eμτ-1u, u 6= 0,τ, u = 0.（275）最后，-→Q（1）=N-1XK=0，K=0Θ（1）λK，λK（τ）νKuK，KeK。（276）同样地，-→Q（2）=N-1XK=0ν（2）K（τ）eK，（277）式中τν（2）K（τ）+λKν（2）K（τ）=N-1XK=0，K=0Θ（1）λK，λKΘKuK，KuK，K，ν（2）K（0）=0，（278），因此Γ（2）K（τ）=N-1XK=0，K=0Θ（2）λK，λK，λK（τ）νKuK，KuK，K.（279），其中Θ（2）λ，λ，λ是问题的解τΘ（2）λ，λ，λ（τ）+λΘ（2）λ，λ，λ（τ）=Θ（1）λ，λ（τ），Θ（2）λ，λ，λ（0）=0，（280）或同等地，τΘ（2）λ，λ，λ（τ）+λΘ（2）λ，λ，λ（τ）=e-λτφλ-λ(τ) , Θ(2)λ,λ,λ(0) = 0. （281）我们写出Θ（2）λ，λ，λ（τ）=e-λτψλ-λ,λ-λ(τ) . （282）一个简单的计算得到ψu，u（τ）=φu(τ)-φu(τ)(u-u），u6=u，τe|τ-φu(τ)u, u= u6= 0,τ, u= u= 0.（283）一般来说，Θ（M）λ，。。。，λM+1（τ）=e-λτψλ-λ,...,λ-λM+1（τ）≡ E-λτψu,...,ψM（τ），（284）ψu，。。。，ψM（τ）=MXi=1φui（τ）Yi6=i（ui）- ui），（285），其中通过l\'Hospital\'规则计算上述表达式的极限行为。6.2.3矩形问题不同数值解的比较图8比较了解析解和数值解。该图表明，ADI解确实收敛于伽辽金解，并且这种收敛是好的。因此，对于矩形问题，Galerkin和ADI方法得到了一致的结果。图8结论和建议在本文中，我们在LSV（更具体的QLSV）框架中考虑了香草和异国情调期权的定价问题。

我们描述了解决相应问题的几种已知数值方法，特别强调了适当边界条件的选择。我们观察到，对于看涨期权，CS方法及其修正比简单Do方法具有更好的收敛性。然而，对于DNT选项，这一优势将消失。此外，我们提出了一种受伽辽金-里兹启发的新方法，并令人信服地证明，在适用的情况下，它是非常有效和快速的。这是因为伽辽金方法通过更自然地处理X方向，可以减少典型ADI方法所需的计算量。我们还强调了伽辽金方法和ρ幂展开法之间的密切联系。我们证明，对于ρ=0，通过伽辽金方法得到的解是精确的。在可能的情况下，我们使用解析解进行基准测试，并表明数值解在极限范围内收敛于解析解。我们要感谢莱夫·安德森、尼古拉斯·哈钦斯、斯图尔特·英格利斯、马歇尔普顿、阿图尔·塞普和大卫·谢尔顿的有益讨论。参考文献[1]Albanese。C.，Bellaj，T.，Gimonet，G.和Pietronero，G.，针对交易对手信用风险的一致性全球市场模拟和证券化措施，量化金融，2011，11，1-20。[2] 阿尔巴尼斯。C.，Campolieti，G.，Carr，P.和Lipton，A.，Black-Scholes-goeshypergeometric。《风险》杂志，2001,14（12），99-103。[3] Andersen，L.B.G.，Heston随机波动率模型的简单有效模拟。《计算金融杂志》，2008，11（3），1-42。[4] 安徒生，L.B.G.，二次波动的期权定价：重温。《金融与随机》，2011年，第15191-219页。[5] Andersen，L.B.G.和Andreasen，J.，跳跃扩散过程：波动率微笑拟合和期权定价的数值方法。

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