本地市场香草和第一代异国情调期权的定价

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英文标题：
《Pricing of vanilla and first generation exotic options in the local
  stochastic volatility framework: survey and new results》
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作者：
Alexander Lipton, Andrey Gal, and Andris Lasis
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Stochastic volatility (SV) and local stochastic volatility (LSV) processes can be used to model the evolution of various financial variables such as FX rates, stock prices, and so on. Considerable efforts have been devoted to pricing derivatives written on underliers governed by such processes. Many issues remain, though, including the efficacy of the standard alternating direction implicit (ADI) numerical methods for solving SV and LSV pricing problems. In general, the amount of required computations for these methods is very substantial. In this paper we address some of these issues and propose a viable alternative to the standard ADI methods based on Galerkin-Ritz ideas. We also discuss various approaches to solving the corresponding pricing problems in a semi-analytical fashion. We use the fact that in the zero correlation case some of the pricing problems can be solved analytically, and develop a closed-form series expansion in powers of correlation. We perform a thorough benchmarking of various numerical solutions by using analytical and semi-analytical solutions derived in the paper.
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中文摘要：
随机波动率（SV）和局部随机波动率（LSV）过程可用于模拟各种金融变量的演化，如汇率、股票价格等。人们已经做出了相当大的努力来为写在这些过程控制的基础上的衍生品定价。然而，仍然存在许多问题，包括标准交替方向隐式（ADI）数值方法在解决SV和LSV定价问题上的有效性。一般来说，这些方法所需的计算量非常大。在本文中，我们解决了其中一些问题，并提出了一种可行的替代方法，以替代基于伽辽金-里兹思想的标准ADI方法。我们还以半解析的方式讨论了解决相应定价问题的各种方法。我们利用了在零相关性的情况下，一些定价问题可以解析地解决的事实，并发展了一个封闭形式的相关幂级数展开式。我们使用本文推导的解析解和半解析解对各种数值解进行了全面的基准测试。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Pricing_of_vanilla_and_first_generation_exotic_options_in_the_local_stochastic_v.pdf (1.56 MB)

2022-5-5 07:40:28 上传

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关键词：computations Benchmarking Quantitative Applications Computation

本地随机波动性框架中的普通和第一代Exotic期权定价：调查和新结果Lexander Lipton Bank of America Merrill Lynch和帝国理工学院Andrey GalBank of America Merrill LynchAndris Lassisbank of America Merrill Lynch 12月20日，2013年抽象随机波动率（SV）和局部随机波动率（LSV）过程可用于模拟各种金融变量的演变，如汇率、股价等。相当大的影响力被投给了在这些过程控制的基础上对衍生品进行定价。尽管如此，仍然存在许多问题，包括标准交替方向隐式（ADI）数值方法在解决SV和LSV定价问题上的有效性。一般来说，这些方法所需的计算量非常大。在本文中，我们解决了其中的一些问题，并提出了一种可行的替代方法，以替代基于伽辽金-里兹思想的标准ADI方法。我们还讨论了以半解析方式解决相应定价问题的各种方法。我们利用了在零相关性的情况下，一些定价问题可以解析地解决的事实，并发展了一个关于相关性幂的闭式级数展开式。我们使用文中导出的解析解和半解析解对各种数值解进行了彻底的基准测试。内容1简介32局部随机波动定价问题53一般定价问题的数值解103.1微分算子的离散化。113.2明确方法。153.3 ADI方法。163.4伽辽金法。173.5小ρ膨胀。

193.6蒙特卡罗法。244认购期权定价问题264.1公式。264.2分析溶液。274.2.1赫斯顿模型。274.2.2替换的Heston模型。294.2.3 QLSV型号。304.3数值解。314.4 Call问题解析解和数值解的比较。335双免触摸选项的定价问题345.1公式。345.2分析溶液。355.3数值解。355.4 DNT问题不同数值解的比较366二维布朗运动366.1具有吸收边界的正象限中的二维布朗运动。376.1.1问题表述。376.1.2分析溶液。376.1.3数值解。396.1.4象限问题解析解和数值解的比较。396.2具有吸收边界的矩形中的二维布朗运动。396.2.1问题表述。396.2.2数值解。

396.2.3矩形问题不同数值解的比较。437结论和建议43A对蒙特卡罗方法的简要评论48B方程（199）、（206）、（210）的推导48C方程（250）的推导501简介在Black-Scholes和Merton（BSM）的标准欧洲期权定价模型（见[10]和[45]）中，远期价格过程假定为对数正态，并以单一波动率σ为特征。相应的SDE的形式为DFT=σFtdWt，F=F，（1），其中FTT是特定到期日的可观察远期价格，σ是恒定波动率，WT是布朗运动。注意，等式（1）假设资产价格为风险中性鞅。这种动态直接导致了一个封闭形式的公式，用于计算资产上的看涨期权（FT）的价格-K） +在到期时间T≥ t、 t≤^T。在时间t，未贴现价格cbs（t，Ft；t，K）由cbs（t，Ft；t，K；σ）Ft=Φ（d+）给出- eXKΦ（d）-), （2） 其中Φ（·）是累积高斯分布函数，d±=-XK±∑τσ√τ、 （3）XK，ln（K/Ft），τ，T- t、 在这里和下面，像往常一样，（x）±=±max（±x，0）。（4） 实际上，看涨期权的市场价格很少与其理论价值一致，因此，为了使BSM公式（2）起作用，从业人员被迫引入所谓的隐含波动率σimp（t，Ft；τ，K），它取决于期权到期日（τ）和行使日（K）。在几乎所有的期权市场中，σimp（t，Ft；τ，K）是一个依赖于执行和到期日的隐含波动率面，具有副重要性。通过使用这个曲面，我们可以写出一个带有敲打K和到期时间T的看涨期权的价格≥ 式（2）中的t，带式（d）中的d±=-XK±σimp（t，Ft；τ，K）τσimp（t，Ft；τ，K）√τ.

（5） 图1显示了澳元兑日元货币对的典型波动面。图1在这附近。为了解释隐含波动率的存在和行为，文献中提出了动力学（1）的各种替代方案，如[46]、[18]、[25]、[8]、[33]、[5]、[11]、[9]、[40]、[23]、[14]等。广义峰值，文献中讨论了以下方法：（A）局部波动（LV）模型，假设σ是tand-Ft的确定函数；（B） 随机波动率（SV）模型，假设σ是一个随机变量，可能与金融时报相关，但不直接依赖金融时报；（C） 局部随机波动（LSV）模型，结合局部和随机波动动力学；（D） 跳跃扩散（JD）模型，假设Ftincorporates的过程跳跃；（E） 通用波动率（UV）模型，结合LV、SV和JD模型，增加波动率跳跃。虽然在理论上很有吸引力，但由于其复杂性，成熟的UV模型在实践中很少使用；相反，不同的资产类别倾向于使用更简单的模型，反映各自基础的最相关特征。例如，与股票挂钩的产品主要通过LV模型定价，而LSV实际上是外汇期权定价的标准；信用产品通常使用京东模型定价。在所有情况下，期权的价值都由偏微分方程给出，并辅以初始和边界条件。这些方程是使用标准It^o演算技术直接从随机波动性动力学中推导出来的。

它们通常通过结合数值、解析和渐近方法来解决。本文综述了经典Heston随机波动率模型及其推广中常用的求解偏微分方程的数值方法；我们还提出了一些新的数值和分析技术。具体而言，我们研究了应用于Heston偏微分方程的各种有限差分（FD）方法：基于快速幂运算的显式有限差分（EFD）方案，由于[48]，可以将其视为该方案的简化版本；由于[17]、[15]、[27]和[30]，我们研究了四种交替方向隐式（ADI）方案。在此基础上，我们引入了伽辽金方法（或者更准确地说，伽辽金-里兹方法），它允许我们在不使用时间平均步长的情况下获得相关项的良好表示，就像在OFFD方法中一样。据我们所知，这种方法以前从未用于解决LSV。与其他方法相比，这种方法具有显著的优势，因为我们将在后面演示，它以更自然的方式处理定价问题。在此基础上，我们提出了一种用ρ的幂进行解析展开的方法，这使我们能够获得定价问题的近似解析解。我们还简要讨论了赫斯顿模型中的蒙特卡罗（MC）方法。本文的组织结构如下。在第2节中，我们将介绍LSV模型，并应用Liouville变换以简单而统一的方式编写它。我们特别强调所谓的二次LSV（QLSV）模型。我们表明，标准赫斯顿模型和替换的赫斯顿模型可以视为QLSV模型的特例。在第3节中，我们讨论了解决一般LSV模型的香草和第一代exoticoptions定价问题的各种数值方法，特别是QLSV模型。

在第4节中，我们对看涨期权的Liouville变换定价问题进行了阐述，并展示了如何用解析和数值方法来解决这个问题。第5节是本文的核心部分，专门分析双不接触（DNT）选项。我们计算并比较了通过第3节所述的各种方法获得的此类期权的价格，并得出结论，这些价格是一致的。为了进一步证实伽辽金方法的有效性，我们在第6节专门研究了正象限和吸收边界矩形中二维布朗运动的相关（但不完全相同）定价问题。我们发现，与之前一样，通过不同方法计算的解之间有很好的一致性。我们在第7节中得出结论。最后，在附录中，我们推导了本文主体部分使用的一些公式，并作了一些补充说明。2局部随机波动率定价问题假设为简单起见，利率为零，我们可以用DFT=σ（t，Ft，At）dWt，F=F，dAt=F（t，At）dt+g（t，At）dZt，A=A，dWtdZt=ρ（t，Ft，At）dt（6）形式来描述风险中性局部随机波动率（LSV）动力学，Atis是一个不可观测的辅助变量，Wt、ZT是两个相关的布朗运动，相关ρ，|ρ|<1。我们强调，这里和下面的Atis是一个隐藏变量，无法直接观察到，但可以（潜在地）使用统计方法进行过滤。相应的定价PDE的形式为vt+σ（t，F，A）VF+ρ（t，F，A）g（t，A）σ（t，A，F）VF A+g（t，A）VAA+F（t，A）VA=0。（7） 该方程应增加适当的边界和最终条件，这些条件取决于所考虑的衍生工具。

这种普遍性的定价问题的解析解或半解析解是不可能的，而其形式上相对简单（见下文）的数值解可能需要大量的计算工作。下面我们希望更具体地假设σ（t，Ft，vt）=√vtσ（Ft），（8）式中vt(≡ At）是一个（仍然不可观察的）比例因子，遵循标准的Feller平方根过程[21]，因此DFT=√vtσ（Ft）dWt，F=F，dvt=κ（θ）- vt）dt+ε√vtdZt，v=v，dWtdZt=ρdt。（9） 相应的PDE读数svt+vσ（F）VF F+ρεvσ（F）VF v+εvvv+κ（θ-v） Vv=0。（10） SDE的适当规范化系统可以写为以下D‘F’t=√“v”t“σ“F”tdW\'t，F=1，d\'v\'t=\'κ（1- \'v\'t）d\'t+\'ε√\'v\'tdZ\'t，\'v=\'v，dW\'tdZ\'t=ρd\'t，（11）式中，\'t=∑t，dW\'t=∑dWt，dZ\'t=∑dZt，\'F\'t=FtF，\'v\'t=vtθ，\'“英尺=σ（F\'F\'t）σ（F），\'κ=κ∑，\'ε=ε√θ∑，`v=vθ，（12）是无量纲量。这里∑=√θσ（F）/F.（13）下面我们省略了条和写ft=√vtσ（Ft）dWt，F=1，dvt=k（1- vt）dt+ε√vtdZt，v=v，dWtdZt=ρdt。（14） 相应的归一化PDE读数，Vt+vσ（F）VF F+ρεvσ（F）VF v+εvvv+κ（1- v） Vv=0。（15） 由于式（15）的系数与时间无关，因此引入τ=T很方便- 并将其改写为公式vτ的正向方程-vσ（F）VF- ρεvσ（F）VF v-εvvv- κ (1 - v） Vv=0。（16） 我们特别感兴趣的是σ（Ft）=αFt+βFt+γ，（17）其中σ（F）是一个在正半轴上不消失的二次多项式，包括退化情况，当σ（F）是一个在正半轴上为正的线性多项式，σ（Ft）=βFt+γ，（18）和经典的赫斯顿模型（α=0，β=1，γ=0），σ（Ft）=Ft.（19）该模型在[40]中介绍；从那时起，它在实习医生和学者中都很流行。

（例如，它是由一家知名的软件供应商在商业上提供的。）[57]，[49]和[4]中讨论的波动性。σ（F）的另一个流行选择是SABR启发的，参见[23]，σ（F）=αFιt.（20）。虽然我们的大多数结果可以逐字扩展到这种情况，但为了简洁起见，我们不详细讨论它。当尺寸σ（Ft）的形式为（17）时，相应的无尺寸‘∑“英尺可以写为‘∑“英尺=α“F”t- 1.+β“F”t- 1.+ \'γ，\'α=αFσ（F），\'β=αF+βFσ（F），\'γ=1，（21），或在省略条的情况下，σ（F）=α（F- 1） +β（F）- 1) + 1. （22）我们希望简化等式（16）。为此，我们遵循[39]、[2]和[13]，应用刘维尔变换（F，V）=> （X，U），其中dfσ（F）=dX，X=ZFdFσ（F），V=√σU，（23）并将转换后的定价PDE写入公式τ中-五、UXX+2σσ- (σ)U- ρεvUXv-εvuv-κ -κ -ρεσ五、Uv=0，（24），其中=d/dF。假设σ（F）是一个二次多项式（22），相应的Pdeca可以写成：Uτ-v（UXX）- ωU）- ρεvUXv-εvuv-κ -κ -ρε（α（F）- 1) + β)五、Uv=0，（25）式中ω=β- 2α. （26）当α=0时，我们得到了一个定价方程，其系数是依赖的。对于标准的赫斯顿模型，我们有uτ-五、UXX-U- ρεvUXv-εvuv-κ -κ -ρε五、Uv=0，（27），其中X=ln（F），X∈XH，XH∞= [-∞, ∞] , 五、∈ [0, ∞] . （28）当0≤ β<1我们处理所谓的移位赫斯顿模型。相应的定价方程的公式为τ-五、UXX-βU-ρεvUXv-εvuv-κ -κ -ρεβ五、Uv=0，（29），其中x=βln（βF- 1) + 1) . （30）自变量（X，v）的自然域的形式为∈XDH，XDH∞, XDH=βln（1）- β） ，XDH∞= ∞, 五、∈ [0, ∞] . （31）我们讨论了上述方程的适当边界和初始条件。当α>0时，情况更加复杂。平方方程σ（F）=0，（32）的根由±=α给出- β ± 2√ωα，（33），所以ω=α（R+- R-).

逆映射→ F和pσ（F）的形式为：=√pq sinh(√ωR（X）-信安(√ωR（XR）∞-十） ），pσ（F）=√ωR√阿尔法·辛赫(√ωR（XR）∞-十） ）。（46）式（25）的公式为τ-五、UXX- ωRU- ρεvUXv-εvuv-κ -κ -ρεαF-p+q五、Uv=0，（47）或，用X和重排列项表示F，Uτ-五、UXX- ωRU- ρεvUXv-εvuv-κ -κ - ρε√ωRcoth√ωRXR∞- 十、五、Uv=0，（48），其中X∈XR，XR∞, 五、∈ [0, ∞].为了简化后续开发，以统一的形式重写相应的定价方程是很有用的。为此，我们引入了新的变量x，x，x，v，以及uτ-a（x）（Uxx）- ωsU）- a（x）Uxx-a（x）Uxx- bs（x，x）Ux=0，（49）其中（x）=x，a（x）=ρεx，a（x）=εx，（50）bs（x，x）=κ -κ -ρεx、 s=Hκ-κ -ρεβx、 s=DH，κ-κ - ρεp |ωI | cotp |ωI|十一∞- 十、x、 s=I，κ-κ - ρε√ωRcoth√ωRXR∞- 十、x、 s=R，（51）xin等式（49）的自然域是区间[Xs，Xs]∞], 这可能是有界的，也可能是无界的，取决于s。选择适当的初始和边界条件来增加等式（49），取决于所考虑的实际导数。我们对vanillas和第一代exotics感兴趣，比如障碍看涨期权和看跌期权、单触式和双触式期权等。对于这些选项，XHA的域是[XsL，XsU] [Xs，Xs∞]. 相应的初始条件可以写成asU（0，x，x）=us（x），（52），其中us反映了相关工具的支付效果。例如，对于覆盖的调用选项[XsL，XsU]=[Xs，Xs]∞], ushas是表单（177），而对于DNT选项Xs<XsL<XsU<Xs∞, 和ushas表格（229）。XD方向中的边界条件为simpleU（τ，XsL，x）=rL（τ），Us（τ，XsU，x）=rU（τ），（53），其中rL，rU代表屏障处的相应回扣。当Xs{L，U}= ∞. 同时，X方向上边界条件的确切形式也有点难以表述。