本地市场香草和第一代异国情调期权的定价

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二次波动性资产上衍生工具的定价。工作文件，1999年。对蒙特卡罗方法的简要评论Broadie和Kaya[12]提出了一种利用公式（164）的蒙特卡罗方法。众所周知，χτ（vT | vT）是由等式（172）给出的所谓非中心卡方分布，条件概率χτITtvt，vt更难计算。通过使用第13.11节[39]的一般公式，其中首次计算了Heston过程（xt，vt）的一般转移概率密度，以及第13.2节的增强技术，可以很容易地表明，其条件分布的特征函数由Q（l，τ，vt，vt）=P（R（l），τ，vt，vt）P（κ，τ，vt，vt）给出，（286）式中p（κ，τ，vt，vt）=ψ（κ，τ）exp-ψ（κ，τ）（vt+vt）Iθ（2ψ（κ，τ）√vtvT），（287）ψ（κ，τ）=ψ（κ，τ）余弦κτ, （288）R（l）=pκ- 2iεl.（289）相应地，χτITtvt，vt=2πZ∞-∞Q（l，τ，vt，vt）e-伊利特尔。（290）有趣的是，与χτ（vT | vT）相比，χτITtvt，vt相对于换位vt是对称的<-> 布罗迪和卡娅给出了一个类似的公式[12]；然而，它们的推导是基于平方根过程到贝塞尔过程的简化，是相当间接的，不必要地复杂。

因此，为了找到χτITtvt，vt, 我们需要计算相应特征函数的傅里叶逆变换。不用说，这是一项困难（但并非无法克服）的任务，如果可能，应该避免。B方程（199）、（206）、（210）的推导为了计算νDH（k），我们使用公式rxecxsin（dx）dx=ecx[c sin（dx）-d cos（dx）]+dc+d，Rxsinh（cx）sin（dx）dx=c cosh（cx）sin（dx）-d sinh（cx）cos（dx）c+d，（291）并得到νDH（k）=R∞XDHuDH（x）sinK十、- XDHdx=√1.-βRxDhKxDhHnhβ十、- XDH罪K十、- XDHdx+KR∞XDHKe-βxsinK十、- XDHdx=√1.-βRYDHK0sinhβxsin（kx）dx+K√1.-βR∞YDHK0e-βxsin（kx）dx=√1.-βλDH（k）βHKYDEβ-sinkYDHK0- 凯科斯kYDHK0-E-βYDHK0-β-sinkYDHK0- 凯科斯kYDHK0-K√1.-βλDH（k）e-βYDHK0-β-sinkYDHK0- 凯科斯kYDHK0=√1.- βeβYDHK0+√1.- β+βK√1.-βE-βYDHK0sin（kYDHK0）λDH（k）+-√1.-βeβYDHK0+√1.-β+K√1.-βE-βYDHK0k cos（kYDHK0）λDH（k）=√σ（K）sin（kYDHK0）λDH（K），（292），其中YDHK0=XDHK- XDH。同样，νRk=RRXR∞XRuR（x）sinζk十、- XRdx=√αR√ωR√pqRXRKXRsinh√ωR十、- XR罪ζk十、- XRdx+KRXR∞XRKsinh√ωRXR∞- 十、罪ζk十、- XRdx=√αR√ωR√pqRYRK0sinh√ωRxsin（ζkx）dx+(-1） k+1KRYR∞克辛√ωRxsin（ζkx）dx=√αR√ωRλRk√pq√ωRcosh√ωRYRK0罪ζkYRK0-信义√ωRYRK0ζkcosζkYRK0+ (-1） k+1K√ωRcosh√ωRYR∞K罪ζkYR∞K-信义√ωRYR∞KζkcosζkYR∞K=√αRλRk√pqq（K）-q） p（K）-p） q+q（K）-p） q（K）-q） p+Kq（K）-p） （K）-q） +q（K）-q） （K）-p）罪ζkYRK0+√αζkR√ωRλRk-√pqq（K）-q） p（K）-p） q-q（K）-p） q（K）-q） p+Kq（K）-p） （K）-q）-q（K）-q） （K）-p）余弦ζkYRK0=√αRλRkp（K）- p） （K）- q） 罪ζkYRK0=√σ（K）sin（ζkYRK0）RλRk。（293）式中YRK0=XRK-XR，YR∞K=XR∞-XRK。

最后，为了计算νikwe，使用公式zxsin（cx）sin（dx）dx=c cos（cx）sin（dx）- d sin（cx）cos（dx）（d）- c） ，（294）并获得νIk=伊尔西∞秀伊（x）仙ζk十、- 十一dx=√α我√|ωI|√m+nRXIKXIsinp |ωI|十、- 十一罪ζk十、- 十一dx+KRXI∞西信p |ωI|十一∞- 十、罪ζk十、- 十一dx=√α我√|ωI|√m+nRYIK0sinp |ωI | xsin（ζkx）dx+(-1） k+1KRYI∞克辛p |ωI | xsin（ζkx）dx=√α我√|ωI |λIk√m+np |ωI | cosp |ωI | YIK0罪ζkYIK0-ζksinp |ωI | YIK0余弦ζkYIK0+ (-1） k+1Kp |ωI | cosp |ωI | YI∞K罪ζ季∞K-ζksinp |ωI | YI∞K余弦ζ季∞K=√αIλIk√m+NCOp |ωI | YIK0+ 凯科斯p |ωI | YI∞K罪ζkYIK0-√αζk我√|ωI |λIk√m+Np |ωI | YIK0- sin Kp |ωI | YI∞K余弦ζkYIK0=√α√（K）-m） +nIλIksinζkYIK0=√σ（K）IλIksinζkYIK0,（295）式中YIK0=XIK- 十一、 易∞K=XI∞- 希克。C根据公式（250）推导公式（250）。我们有gk，τ（τ，r）=-γJk（γ）τ，gk，r（τ，r）=rJk（γ）2τ，gk，rr（τ，r）=γJk（γ）τ+Jk（γ）2τ，（296）所以gk，τ（τ，r）-gk，rr（τ，r）+rgk，r（τ，r）-ζkrgk（τ，r）= -τγJk（γ）+（2γ+1）Jk（γ）-ζk~nJk（ν）.（297）因此，我们需要证明ΓJk（Γ）+（2Γ+1）Jk（Γ）-ζkνJk（ν）=0。（298）自=√~ne-υI（ζk）-1） （Ⅴ）+I（ζk+1）（Ⅴ）=√~ne-我们可以很容易地导出Kk（Γ）的一个等价方程：ΓKk（Ⅴ）+2ΓKk（Ⅴ）-υ+ υ +ζk- 1.Kk（Γ）=0。（300）通过定义修改后的贝塞尔函数，我们得到了ΓI（ζk±1）（Γ）+2ΓI（ζk±1）（Γ）-υ+ υ +ζk- 1.I（ζk±1）（Ⅴ）=ΓI（ζk±1）（Ⅴ）-υ -（1±ζk）I（ζk±1）（ν）。（301）这些表达式的总和产生了γKk（γ）+2γKk（γ）-υ+ υ +ζk- 1.Kk（Γ）=ΓKk（Γ）-υ -Kk（Γ）+ζkI（ζk+1）（ν）- I（ζk）-1)(υ)= γI（ζk+3）（γ）+（ζk+1）I（ζk+1）（γ）- γI（ζk）-1） （ν）=0，（302）如权利要求所述。这里我们使用的事实是-1(υ) - Iν+1（Ⅴ）=2ννIν（Ⅴ）。

（303）通过使用修正贝塞尔函数的渐近表达式，可以很容易地检查J（ν）是否满足相应的边界和初始条件。我们顺便注意到，等式（250）类似于标准布朗运动在具有吸收边界的正半轴上的生存概率的常见表达式，可以写成如下：g（τ，x）=Φ（Γ）- Φ (-υ） ，（304）式中Γ=x/√τ、 0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%0.500.900.991.011.101.50显著波动图1:AUDJPY隐含波动率面σimp（τ，K）。报价是2012年8月22日的。E1。E-021。E-011。E+00CSHV1。E-051。E-041。EI1HV（a）I→ ∞1.E-041。E-031。E-021。E-011。E+00CSHV1。E-071。E-061。E-05I2HV（b）I→ ∞1.E-051。E-041。E-031。E-021。E-011。E+00CSHV1。E-091。E-081。E-071。E-06NHV（c）N→ ∞图2：τ=1Y的ATM Europeancall定价问题有限差方案的收敛性。默认设置如下：N=1024，I=201，I=101，-5.≤ 十、≤ 5, 0 ≤ 十、≤ 10.在图（a）中，我们将Ifrom51更改为601，同时保持所有其他参数不变；我们假设I=601对应的值是“精确的”。类似地，在图（b）中，我们将Ifrom21改为401。最后，在图（c）中，我们将N从32变为1024。在x方向，我们使用统一的网格；在x方向上，我们使用一个网格，该网格相对于√x、 0.400.600.801.001.20IntrinCSAna0。000.200.405.04.53.93.42.82.31.71.20.60.10.51.01.62.12.73.23.84.34.9x1Ana（a）0.0E+001.0E-052.0E-053.0E-055.04.54.03.42.92.41.91.30.80.30.20.81.31.82.32.93.43.94.45.0CSAna-3.0E-05-2.0E-05-2.0E-05-1.0E-05x1（b）图3：通过Lewis方法获得的公式、UH-Lipton期权、Lipton期权和Lipton方法获得的期权-5.≤ 十、≤ 5，x=2.628。在图（a）中，exp形式的内在收益-|x|以及相应的文件；出于所有实际目的，这些文件相互重叠。

图（b）显示了数值解和半解析解之间的差异。1.E-051。E-04CSHV1。E-071。E-06I1HV（a）I→ ∞1.E-041。E-031。E-02GalerkinDouglasMCS1。E-061。E-05I2MCSHV（b）I→ ∞5.E-045。E-03GalerkinDouglasMCS5。E-05NMCSHV（c）N→ ∞1.E1。E-021。E-011。E+001。E-051。E-041。EM（d）M→ ∞图4：τ=1Y，XL=0，XU=1的DNT问题的有限差分方案的收敛性。基本设置与图2相同，此外，M=30。在图（a）、（b）、（c）中，我们展示了I的结果∈ [51601]，我∈ [21,401]和N∈ [32,1024]分别。在图（d）中，我们展示了M的结果∈ [10100].0.30.40.50.60.70.8DoMCSHVGal0。00.10.20.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x1GalMC（a）1。E0。E+001。E-042。E-043。E-044。E-040.00.10.20.20.30.40.50.50.60.70.80.80.91.0dogalcsgalhvgal-4。E-04-3。E-04-2。E-041。Ex1HVGal（b）图5：DNT选项的参数UH（τ，x，x）通过Galerkin和有限差分法获得，0≤ 十、≤ 1，x=2.628。图（a）显示了相应的文件；很明显，它们实际上是重叠的。此外，为了便于比较，本文还给出了MC模拟的结果。图（b）显示了ADI文件和Galerkinpro文件之间的差异。默认参数始终使用。0.30.40.50.60.70.8F000。10.20.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0x1F2Gal（a）00.010.020.030.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0F0GalF1GalF2Gal-0.03-0.02-0.01x1F2Gal（b）图6:DNT选项的参数UH（τ，x，x）通过Galerkin和0的渐近展开法获得≤ 十、≤ 1，x=2.628。图（a）显示了相应的文件；虽然没有重叠，但它们相当接近。图（b）显示了渐近公式和伽辽金公式之间的差异。

默认参数始终使用。0.00.20.40.60.81.00.00.81.72.53.40.00.00.81.52.33.03.84.5（a）3.0E2。0.04-0.54-0.04-0.04-0.54-0.01-0.04-0.54.01。00.40.81.11.51.92.32.63.03.43.84.14.54.9x1（b）图7：τ=1，ρ=-0.90. 计算域由0给出≤十、≤ 5, 0 ≤ 十、≤ 4.使用以下参数：I=201，I=101，N=1000，M=10。在图（a）中，我们展示了从分析和数值上获得的生存概率，它们显然彼此一致。在图（b）中，我们展示了两种解决方案之间的差异。在图（b）中，我们展示了两种解决方案之间的差异。我们在图（b）中展示了两种解决方案之间的差异。我们在图（b）中展示了两种解决方案之间的差异。我们在图（b）中展示了两种解决方案之间的差异。我们在图（b）中展示了两种解决方案之间的差异作为一个解决方案之间的函数的函数的函数的函数，作为X X X X X X X=1.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.200.200.200.200.400.400.400.400.400.400.400.600.600.τ=1，ρ=-0.900. 矩形定义如下0≤ 十、≤ 5,0 ≤ 十、≤ 4.我们使用与图7相同的参数。