理性误差下GARCH模型的实证研究

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英文标题：
《Empirical Study of the GARCH model with Rational Errors》
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作者：
Ting Ting Chen and Tetsuya Takaishi
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We use the GARCH model with a fat-tailed error distribution described by a rational function and apply it for the stock price data on the Tokyo Stock Exchange. To determine the model parameters we perform the Bayesian inference to the model. The Bayesian inference is implemented by the Metropolis-Hastings algorithm with an adaptive multi-dimensional Student\'s t-proposal density. In order to compare the model with the GARCH model with the standard normal errors we calculate information criterions: AIC and DIC, and find that both criterions favor the GARCH model with a rational error distribution. We also calculate the accuracy of the volatility by using the realized volatility and find that a good accuracy is obtained for the GARCH model with a rational error distribution. Thus we conclude that the GARCH model with a rational error distribution is superior to the GARCH model with the normal errors and it can be used as an alternative GARCH model to those with other fat-tailed distributions.
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中文摘要：
我们使用GARCH模型，该模型具有由有理函数描述的厚尾误差分布，并将其应用于东京证券交易所的股价数据。为了确定模型参数，我们对模型进行贝叶斯推理。贝叶斯推理由Metropolis-Hastings算法实现，该算法具有自适应的多维学生t-建议密度。为了将该模型与具有标准正态误差的GARCH模型进行比较，我们计算了信息标准AIC和DIC，发现这两个标准都支持误差分布合理的GARCH模型。我们还利用已实现的波动率计算了波动率的准确性，发现对于误差分布合理的GARCH模型，获得了很好的准确性。因此，我们得出结论，具有合理误差分布的GARCH模型优于具有正态误差的GARCH模型，并且可以作为具有其他厚尾分布的GARCH模型的替代模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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2022-5-5 08:20:17 上传

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关键词：GARCH模型 ARCH模型 GARCH 实证研究 ARCH

GARCH模型的实证研究，带有合理的误差，包括广岛大学综合艺术与科学学院，东广岛739-8521，日本经济大学，广岛731-0192，日本邮件：d102355@hiroshima-u、 ac.JP电子邮件：tt-taka@hue.ac.jpAbstract.我们使用了GARCH模型，该模型具有随机函数描述的厚尾误差分布，并将其应用于东京证券交易所的股票价格数据。为了确定模型参数，我们对模型进行贝叶斯推理。贝叶斯推理是通过Metropolis-Hastings算法实现的，该算法具有自适应的多维学生t-建议密度。为了将模型与具有标准正态误差的GARCHmod el进行比较，我们计算了信息标准：AIC和DIC，并发现这两个标准都支持误差分布合理的GARCH模型。我们还可以使用已实现的波动率来计算波动率的准确性，并发现对于误差分布合理的GARCH模型，可以获得很好的准确性。因此，我们得出结论，具有合理误差分布的GARCH模型优于具有正态误差的GARCHmod el模型，并且可以作为具有其他厚尾分布的GARCH模型的替代模型。1.引言金融波动性在风险管理中起着核心作用，如衍生产品价格估计和投资组合分配，从金融市场观察到的数据中衡量可靠的波动性很重要。由于波动性在金融市场中无法直接观察到，我们必须依赖某种估计技术。

通常，为捕捉资产回报和波动特性而设计的参数波动率模型通常用于实证金融。最流行和最成功的模型是GARCH模型[1]，它是ARC H模型[2]的一个广义版本。在GARCH模型中，资产收益率rtat时间t表示为rt=σtt，其中σ是时间变化的波动率，由过去收益率和最近波动率的函数给出。在原始GARCH模型中，标准正态分布，即iid N（0，1）用于恐怖。众所周知，GARCH模型很好地捕捉了资产收益的相关属性，如收益分布的厚尾行为和波动率聚类，这些被归类为程式化事实[3]。另一方面，在实证研究中，经常观察到GARCH模型不能有效地解释retur n分布中的瘦素性荨麻疹。为了解决这个问题，我们提倡采用不同的分布，其尾部比恐怖分子的正态分布更肥。恐怖项采用了几种尾部比正态分布更厚的分布形式，如Student t分布[4]和广义误差分布（GED）[5]。通过使用学生的t分布或GED forterrors，通常可以更好地利用财务回报数据。然而，对于GARCH模型的恐怖项，学生的t分布和GED不一定是最优解，人们也可以选择其他厚尾分布。在这项研究中，我们应用了一个有理函数描述的帕德逼近。

Padèe逼近可以近似某个域中的函数。金融帕德近似用于描述利率收益率分布[6,7]，其中合理收益的参数通过拟合利率收益率分布获得。在这里，我们为GARCH模型的恐怖应用一个有理函数。InRef。[8] 利用美元/日元汇率收益率和Akaike信息准则（AIC）[9]和偏差信息准则（DIC）[10]对具有理性误差的GARCH模型进行了研究，结果表明，具有理性误差的GARCH模型优于具有正态误差的GARCH模型。通过使用东京证券交易所的gstock回报数据，我们进一步研究了带有理性误差的GARCH模型的有效性。在本研究中，为了阐明模型效应，除了AIC和DIC之外，我们还利用了已实现波动率，这是对综合波动率的无模型估计。使用已实现波动率作为真实波动率的代理，我们通过两种模型的损失函数计算波动率的准确性，并使用损失函数比较哪种模型更有效。2.正态误差分布的GARCH模型Bollerslev介绍了GARCH（p，q）模型[1]，它是ARCH模型[2]的一个推广版本。garch（p，q）模型用asyt=σtt，（1）和σt=ω+qXi=1αiyt表示-i+pXi=1βiσt-i、 （2）其中αi、βi和ω是GARCH模型的参数。这些参数是在模型与返回数据匹配时确定的。由于波动率σt应为正，GARCH参数限制为ω>0、αi>0和βi>0，以确保正波动率。是N（0，1）之后的一个独立正态误差，返回时间序列由yt给出。在本研究中，我们主要关注GARCH（1,1）模型，即。

p=1和q=1，其中波动过程由σt=ω+αyt给出-1+βσt-1，（3）以及下文中的GARCH模型仅表示GARCH（1,1）模型。此外，对于具有范数误差的GARCH模型，我们称之为GARCH-N模型。3.具有有理误差分布的GARCH模型一般情况下，Padèe逼近的有理函数由两个多项式函数stm（x）和BN（x）asPM表示，N（x）=TM（x）BN（x），（4），其中M和N分别代表多项式TM（x）和BN（x）的阶数。为了把PM，N（x）看作一个概率分布，我们必须施加条件，它必须是正的，并且归一化为1。此外，与正态分布类似，我们假设PM，N（x）在原点处取最大值，且与x=0轴对称，即PM，N（x）=PM，N(-x） 。在参考文献[6]中，导出了具有有限方差的可能标准化分布，以近似利率分布。由P0,4（x）=aπ（1+（a+2a）x+ax）给出具有可测参数a和Ai的最简单归一化概率分布。（5） 概率d分布的方差计算为-1/a.由于GARCH误差分布的方差通常设置为1，我们还将P0,4（x）的方差设置为1，即a=-1.最后我们得到了GARCH模型asP（x）=aπ（1+（a）的合理误差分布- 2） x+x）。（6） 当我们将（6）的有理误差或分布用于tof the GARCH模型时，我们称之为带有有理误差的GARCH模型（GARCH-RE模型）[8]。已实现的波动性高频财务数据的近期可用性使我们能够计算已实现的波动性，其构成为日内收益的平方和[11,12,13,14]，另见示例[15]。

假设对数价格过程LnP（s）遵循一个连续时间的随机微分，d LnP（s）=σ（s）dW（s），（7）其中W（s）代表标准布朗运动，σ（s）是时间s的现货波动率。在这个假设下，综合波动率由σh（t）=Zt+htσ（s）ds定义，（8）其中h代表要综合的区间。在经验金融中，“日波动率”至关重要，对于日波动率而言，h需要一天时间。由于σ（s）是潜在的，在金融市场中无法观察到，（8）无法进行分析评估。让我们定义每个iod的采样 通过 = h/n，即我们在h的时间间隔内采样n次返回，然后- 第t天的日内回报 采样周期由对数价格差异asrt+i给出= ln Pt+i- ln-Pt+（i）-1), （9） 式中，PTI是t时的资产价格。使用这些日内收益，t日的已实现波动率RvTon由日内r eturns的平方和（Rvt=nXi=1rt+i）给出. （10） 在相同的情况下，RVtis在n的极限下收敛到（8）的综合波动率→ ∞. 然而，在实际金融市场中，存在多种类型的b ias，如微观结构噪声[16]，因此，在存在偏差的情况下，无法保证综合波动率的收敛性。让我们假设金融市场中观察到的对数价格受到独立噪声[17]的污染，即ln P*t=ln Pt+ξt，（11）式中ln P*观察到的平均价格和平均价格的方差为ρ。在这个假设下，观察到的回报率r*这是拜尔给的*t=rt+ηt，（12）式中ηt=ξt- ξt-. 因此房车*从市场上观察到的数据是作为平方收益r的总和获得的*t、 房车*t=nXi=1（r*t+i), （13） =RVt+2nXi=1rt+iηt+i+nXi=1ηt+i.

（14） 在这些独立的噪声中，偏压似乎为asPni=1ηt+i对应于~ 2nρ。因此，由于房车*t边缘为n→ ∞.实际上，为了避免微观结构噪声造成的失真，需要选择一个良好的采样周期，以减少微观结构噪声偏差，同时保持已实现波动率的准确性。建议最佳采样周期为5分钟[18]。人们还可以使用基于核的估计，这些估计旨在减少微结构噪声[17,19,20]。另一种偏见是由于“非交易时间”。由于股票市场不是24小时开放的，高频数据只能在24小时内获得。在东京证券交易所，国内股票在两个交易日进行交易：（a）上午交易日9:0011:00。（b） 下午交易时段12:30-15:00。在不包括非交易期间的日内回报的情况下计算的每日已实现波动率可能会被低估。当我们只考虑每个交易周期的波动性[21,22]时，就不会出现ias问题。否则，我们需要适当地处理这种偏见。Hansen和Lund e[23]提出了一个想法，通过引入调整因子来规避这个问题，调整因子可以修改已实现的波动率，从而使已实现的波动率的平均值与每日收益的方差相匹配。设（R，…，RN）为N个日对数，由日对数差价构成。调节因子c（HL调节因子）由c=PNt=1（Rt）给出-“R）PNt=1RVt，（15），其中“R”表示Rt的平均值。然后使用该系数将每日实现的波动率修改为cRVt。虽然最初引入HL调整因子是为了修正非交易时间的b ias，但它也可以在一定程度上修正微观结构噪声偏差影响。5.

实证结果本研究分析了松下公司在东京证券交易所的股价数据。该股票在Topix cor e 30指数中上市，该指数包括30只流动性最高、市值最高的股票。我们的数据集从2006年6月3日开始，到2009年12月30日结束。图1显示了松下公司的日收益时间序列。我们对图1中的日收益应用GARCHRE和GARCH-N模型，并估计与这些日收益相对应的日波动率。GARCHRE和GARCH-N模型的参数估计是通过贝叶斯推理进行的。进行贝叶斯推理的一种流行方法是马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法。由于存在多种MCMC方法，我们需要为GARCH模型的贝叶斯推断选择合适的方法。我们通过MetropolisHastings算法[24,25]和自适应多维学生t建议密度（MHAS算法[26,27,28,29]）进行贝叶斯推理。在MH算法中，我们需要指定提议密度。在参考文献[30]中，从辅助过程构造的建议密度用于MH算法。裁判。[31,32]使用多维学生t-建议密度，密度参数由最大似然法确定。这里我们使用MHAS算法0 200 400天-0.2-0.10.10.2图1。Panasonic Co.的日收益时间序列，其中多维学生的t建议密度的密度参数在蒙特卡罗模拟过程中自适应确定，以便多维学生的t建议密度与模型的后验分布相匹配。MHAS算法对于GARCH模型的贝叶斯推断非常有效[26,27,28,29]。MHAS算法的实现如下所示。

我们放弃了MHAS算法的第一次6000蒙特卡洛更新。然后我们收集了50000个蒙特卡罗样本进行分析。表1显示了蒙特卡罗样本的平均参数值。标记为* 显示由theMHAS算法生成的蒙特卡罗数据的自相关时间。我们发现自相关时间的值很小，这表明MHAS算法有效地生成了不相关的蒙特卡罗样本。为了比较模型的优度，我们使用了两个信息标准：AIC[9]和DIC[10]。AIC由AIC定义=- ln L（°θ）- 2k，其中k是模型的参数个数，L（°θ）是模型在θ处的似然函数。θ表示θ=（α，β，ω，a）表示GARCH-RE模型，θ=（α，β，ω）表示GARCH-N模型。θ代表蒙特卡罗样本的平均参数。DIC由2[ln L（°θ）定义- 2E（ln L（θ））]其中E（ln L（θ））是ln L（θ）的蒙特卡罗平均值。对于AIC和DIC，选择最小值的模型作为最能预测时间序列的模型。如表1所示，AIC和DIC都给出了较小的GARCH重构值。因此，我们发现GARCH-RE模型优于GARCH-N模型。接下来，我们将GARCH-RE和GARCH-N模型与波动率的准确性进行比较。为此，我们测量了模型波动率与真实波动率之间的差异。由于我们不知道真实波动率的价值，我们使用已实现波动率作为真实波动率的代理。已实现波动率由日内收益的平方和（10）构成。图2显示了作为采样周期函数的平均已实现波动率，即每个采样周期的已实现波动率平均值。

这种图被称为参考文献[33]中提倡的“挥发性信号图”，以可视化微观结构噪声对实现的挥发性的偏差。正如（14）中所预期的，我们发现，在小采样周期（或高采样频率）下，已实现的波动率会出现差异。在这项研究中，我们用表1纠正了这种偏差。GARCH-RE和GARCH-N模型的贝叶斯推断结果。由* 显示由τint=1+2P定义的自相关时间τ∞t=1ACF（t），其中cf（t）代表自相关函数。GARCH-RE-GARCH-Nα0.132（38）5.4（10）*0.148(31) 2.7(3)*β0.858(41) 5.8(12)*0.836(33) 2.8(2)*ω2.8(1.2) × 10-56.5(16)*1.3(5) × 10-53.3(4)*a1。57(9) 4.2(6)*– –AIC-4151.29-4148.35DIC-4156.30-4151.980 10 20 40采样周期0。00010.00020.00030.00040.0005图2。波动率特征图：每个采样周期的平均已实现波动率。调整因子，将已实现波动率的平均值调整为日收益率的方差。图3显示了HL调整系数作为采样周期的函数。随着采样周期的缩短，HL调整系数减小。微观结构噪声偏差反映了s小采样周期的实际波动率，可以解释这种降低。随着采样周期的增加，HL调整系数达到2左右的平台，预计微结构噪声偏差影响较小。该系数为2意味着，由于非交易时间，原始已实现波动率被低估，且非交易时间内的波动率大小与交易时间内的波动率大小大致相同。