具有模糊性的最优消费与投资组合选择

当v（t，x）用财富x表示时间t的值函数时，动态规划原理非正式地表示v（t，Xt） 最大π，cu（t，ct）+E[v（t+t、 Xt+t | Ft]，根据微积分的一般规则，它导致典型的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程supπ，cnu（t，c）- cvx（t，x）+πx（u）- r） vx（t，x）+πxσvxx（t，x）o=0。它反映了通常的鞅原理：对于具有财富过程X的所有可容许策略（π，c），间接效用和过去消费效用v（t，Xt）+Ztu（s，cs）dS之和是一个超鞅，是最优策略的鞅。因此，我们应该期待一个类似的等式，但需要注意的是，大自然（或我们的谨慎）选择了漂移u和波动率σ的最坏参数。对于给定的投资组合消费政策（π，c），自然会使效用最小化，从而导致局部不确定的HJB方程SUPπ，cinf（u，σ）∈Θnu（t，c）- cvx（t，x）+πx（u）- r） vx（t，x）+πxσvxx（t，x）o=0。（3.1）事实上，如果我们能找到一个合适的光滑函数来解决这个调整后的HJB方程，我们就解决了我们的问题。以下VerificationTherem更详细地说明了这一事实。定理3.1设φ∈ C1,2（（0，T）×R+）是下列方程sup（π，c）的一种形式∈B×Anu（t，c）+~nt（t，x）+xr~nx（t，x）（1）- πT1）- c~nx（t，x）]+inf（q，q）∈Θ{x（t，x）xhπ，qi+xxx（t，x）hATππTA，qi}o=0，（3.2）带边界条件（t，x）=Φ（t，x）。那么我们就有v（x）=~n（0，x）=sup（π，c）∈π×CU（c，X）。上述定理给出了关于最优消费和最优选择的不确定HJB方程，具有非常普遍的漂移和波动模糊性。在我们的典型案例中，这些不确定性很容易彼此分离（从这个意义上说，它们是“独立的”），但对于漂移和波动性不确定性之间的依赖性，还有许多更有趣的可能规定。

例如，Epstein和Ji（2013）认为Θ=n（u，σ）：u=umin+z，σ=σmin+αz，0≤ Z≤zo，其中umin、σmin、α>0和z是固定的确定性参数。3.2标准模型中的最坏情况度量在本节中，我们将通过将其简化为合适的经典预期效用最大化问题，彻底解决模糊-厌恶投资者选择问题。为了做到这一点，我们将分析HJB方程，以猜测之前最坏的情况。然后，我们将验证最坏情况下的值函数也能解不确定的HJB方程。在规范模型中，可以明确地解决自然界的极小化问题。让我们再看看不确定的HJB方程。首先，就像在经典案例中一样，我们很自然地认为间接效用是递增的，或者说φx>0，或者（严格地说）是凹的，或者说φxx<0。在正则模型中，对于漂移，我们得到了simplyinfu∈[u，u]nаx（t，x）xhπ，uio=аx（t，x）xdXi=1πiui{πi>0}+аx（t，x）xdXi=1πiui{πi>0}≤0}.显然，如果我们是长的，自然会决定低漂移，如果我们是短的，自然会决定高漂移。对于波动率，由于价值函数是凹的，我们最终将收益的潜在波动率最大化。对于波动性，我们立即得出结论，自然界总是选择其最大可能的价值。厌恶风险和模糊性的投资者会对波动性进行谨慎估计，或在估计的基础上增加模糊性溢价。在解决了自然的选择之后，我们只剩下一个简单的消费和对开本权重的最大化问题，但当我们从短期仓位变为长期仓位时，线性部分的扭结为零。

因此，我们需要tomaximizeu（t，c）+~nt（t，x）+~nx（t，x）xr- ~nx（t，x）c+~nx（t，x）xdXi=1πi（ui）- r） 1{πi>0}+ψx（t，x）xdXi=1πi（ui- r） 1{πi≤0}+x~nxx（t，x）dXi=1（πi）（σi）除以π和c。投资组合的解取决于无风险利率与漂移边界的关系。让我们写下a（t，x）=-代表代理人的间接相对风险规避。最佳投资组合选择包含最坏的情况。投资者评估最佳多头仓位和最佳空头仓位，然后选择最佳多头仓位。最佳对开本为^πi=ui- ra（t，x）（σi），i=1，·，d，如果最低可能漂移高于无风险率，ui>r，这是一个多头仓位。最优的投资组合选择是^πi=ui-ra（t，x）（σi）如果对比ui<r，这是一个空头头寸。重要的情况是中间一种情况，模糊度允许比利率更低或更高的漂移；在这种情况下，最优投资组合不会投资于不确定资产，即^πi=0。这是因为多头头寸以最低溢价来评估，而空头头寸以最高溢价来评估。财富回报率严格低于无风险利率，这导致风险资产市场的不参与。当我们将最优投资组合的公式与经典的默顿解进行比较时，我们得出以下猜想：如果ui>r，投资者表现为最低可能漂移ui，则为真实漂移。如果利率属于可能漂移的区间，然后，他表现得好像漂移等于无风险利率（在这种情况下，标准的风险规避预期效用最大化器不投资风险资产）。因此，让我们定义如下最坏情况参数：最坏情况下的波动率是最高可能的演变率σ*= [σ，··，σd]。

最严重的漂移取决于利率r与[u，u]：ui的关系=ui，如果ui>r；r、 如果我≤ R≤ui；我还有别的。我们让他*= [^u，···，^ud]。让亲婴儿测量P*= Pu*,σ*最坏情况优先权（0，x）是使用最坏情况优先权的预期效用最大化器的函数值。定理3.2模糊性——厌恶投资或选择与最坏情况先验P下的预期效用最大化相同的最优策略*. 特别是，具有先验P的期望效用最大化者的价值函数*解不确定的HJB方程（3.1），V（x）=φ（0，x）=sup（π，c）∈π×CU（c，X），最佳消耗规则是^c=v（^X（t，X）），其中v是uc的倒数，并且（i）如果r≤ infiui，则最优投资组合选择为^ui=ui，i=1，···，d和710πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui- r（σi）。（ii）如果是supiui≤ r、 那么最优的投资组合选择是^ui=ui，i=1，··，d和^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui- r（σi）。（iii）如果infiui<r<supiui，则最优投资组合选择为^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui- r（σi）{r≤ui}-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui-r（σi）{ui≤r} 。前面的定理可以得出几个有趣的结论。首先，我们已经确定了一个第一种情况下的度量，我们已经证明了一个minmax定理。推论3.3我们有以下极小极大定理：设φ（P，x）表示一个期望效用最大化子的值函数，其信念为P，初始值为cap i tal x。设v（x）为模糊-厌恶投资者的间接效用函数。Thenv（x）=minP∈Pφ（P，x）ormax（π，c）minP∈PEP[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]=minP∈Pmax（π，c）EP[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]。事实上，在最坏情况下，模糊厌恶型投资者表现为n预期效用最大化者*并不意味着它们的需求函数是不可区分的。请注意，最糟糕的情况通常是漂移等于利率的情况。

在这种信念下，预期效用最大化者根本不投资于风险集合，这一结果目前已得到证实。3.3 CRRA效用的显式解在本小节中，我们给出了常数相对风险规避（CRRA）效用的显式解，即u（t，c）=c1-α1 - α、 Φ（T，x）=Kx1-α1 - α, α 6= 1.我们得到了以下结果。有关证据，请参见附录。提案3.4（i）如果r≤ infiui，则最优消费和投资组合规则由以下^c=hKα给出-1eβα-1（T）-t） +αβ-1（eβα）-1（T）-（t）-1） 我-1x，且^πi=αui-r（σi），i=1，·，d，其中β=r+dXi=1（ui- r） 2α（σi）(1 - α).（ii）如果是supiui≤ r、 然后，最优消费和投资组合规则由以下公式给出：-1eβα-1（T）-t） +αβ-1（eβα）-1（T）-（t）-1） 我-1x，且^πi=αui-r（σi），i=1，·，d，其中β=r+dXi=1（ui- r） 2α（σi）(1 - α).（iii）如果infiui<r<supiui，则最佳消费和组合规则由以下^c=hKα给出-1eβα-1（T）-t） +αβ-1（eβα）-1（T）-（t）-1） 我-1x，且^πi=αui- r（σi）{r≤ui}+αui- r（σi）{ui≤r} ，β在哪里=r+dXi=1（ui-r） 2α（σi）(1 - α） 1{r≤ui}+r+dXi=1（ui- r） 2α（σi）(1 - α） 1{ui≤r} 。特别是，如果ui<r<ui，那么最佳投资组合选择是^πi=0.3.4比较静态。根据上一小节中的上述结果，我们立即获得以下比较静态。命题3.5让漂移模糊度由[u]给出- κ、 u+κ]对于某些κ>0。随着κ增加，资产持有量减少。

经过一定程度的歧义κ*, 避免一起交易资产。正如陶氏和沃朗（1992）首先指出的那样，我们这里有一个众所周知的现象，即平均回报率的高度不确定性会让不确定的投资者远离资产市场。命题3.6投资者的风险敞口随着模糊性而减少：forparameter setsΘ设π和π表示最优投资组合选择。那么kπk≥ k^πk。这一结果源自这样一个事实：投资者总是在最大波动率下工作。如果资产是可变现的，他使用最小平均超额回报，如果她做空，她使用最大平均回报计算投资组合。因此，最佳持有资产的绝对数量会随着模糊性而增加。4利率不确定性对于长期投资者来说，固定和已知的利率，或者换句话说，期限结构，不是一个合理的假设。投资者在短期利率方面面临相当大的不确定性；一方面，信贷需求的随机性导致短期波动，另一方面，短期利率主要由央行政策决定。后者被认为是相当模糊的，而且有时是谨慎的，因为央行行长有强烈的动机隐藏他们的真正目标。因此，我们也考虑了利率的不确定性。引入关于短期利率的奈顿不确定性需要使用单数测度：如果我们对不同短期利率下的债券动态满足度YDPT=RTPTD在一个测度下和DPT=^RTPTD在另一个测度下的可能性进行建模，那么这些测度需要彼此独立。

这与经过充分研究的不确定资产模糊度模型形成对比，其中噪声项的存在允许使用等效的概率度量。但我们已经习惯于使用单数测度，因此我们的框架可以扩展到涵盖关于短期利率的骑士式不确定性。我们通过区间[r，r]对短期利率的模糊性进行建模，类似于漂移和波动的模糊性。利率的不确定性导致了一些新现象。在我们看来，最有趣的情况是，当不确定资产是可盈利的，但利率的不确定性很高时。那么，完全不参与债券市场，将所有资本投入到不确定资产中是最佳选择。不参与信贷市场；这也是我们在金融危机期间看到的现象。当然，我们在这里没有对这种不确定性的起源进行建模或解释，但我们表明利率不确定性在资产决策中可以发挥重要作用。现在让我们进入正式模式。在第一步中，如第2节所述，我们构建了一组先验。对于θ=（u，σ）和r，这是一个F可测量过程，其值分别为Θ=[u，u]×σ，σ]和[r，r]，我们考虑随机微分方程dxθt=utdt+σtdBt，X=0，和dyrt=rtdt，Y=0，在我们的参考测度P下。我们让Pr，θ是（Xθ，Yr）的分布，即Pr，θ（A）=P（（Xθ，Yr）∈ A） 毕竟∈ FT.设Pbe由以这种方式构造的所有概率测度Pθ组成。我们的先验集P是弱收敛拓扑下Punder的闭包。

先验集合自然会导致次线性期望：^E[·]=supP∈政治公众人物。次线性函数G:R×→ R:G（p，p，p）=sup（R，u，σ）∈[r，r]×[u，u]×[σ，σ]nrp+up+σpo。如第2节所述，设（B，B，^B）是^E下的一对随机向量，使得B是G-布朗运动，（B，^B）是G-分布过程，具有平均不确定性。B是一个G-正态分布过程，它只具有波动不确定性。在金融市场中，我们考虑最优消费和最优投资组合，不仅考虑回报和波动性的模糊性，还考虑利率的不确定性。无风险资产的价格现在由dpt=Ptd^bt定义，其中^b是G分布过程，^bt具有平均不确定性[rt，rt]。在本节中，我们只考虑金融市场中的一种风险资产。经典的“高风险”资产评估假设预期收益率和波动率是未知的。不确定资产价格随着DST=STDR的变化而变化，我们通过DRT=dbt+dbt对收益动态进行建模。正如我们在第2节中所做的，我们可以用同样的方式定义消费、交易机会和效用。我们考虑与常数相对风险规避（CRRA）效用相对应的情况，即u（t，c）=c1-α1 - α、 Φ（T，x）=Kx1-α1 - α, α > 0, α 6= 1.以下三种潜在的最优投资组合份额在以下情况中起到了决定性的最优政策作用。首先，π=u- rασ对应于最大漂移和最大利率为最坏情况参数的情况。同样，我们定义π=u- rασ和π=u- rασ。注意π≥ π≥ π.在本节中，我们有以下主要结果。定理4.1利率不确定性下的最优消费投资政策可分为五种情况：1。如果π≥ 0，（a）和π≤ 0，不参与资产标记et，或π*= 0，等时，（b）和0<π<1，投资者做多并储蓄，即π*= π、 （c）对于π≥ 1.我们有。

如果π<1，投资者将所有资本投入不确定资产，不参与信贷市场，或π*= 一,二,。在π的情况下≥ 1.投资者进行借贷（利用edcon消费）和π*= π.2. 如果π<0，投资者做空并储蓄（水平消费）和π*= π.关于上述定理，请参见以下图表。如果u≤ r、 然后π*= 0uπ*=u-rασ-→r、 如果u≥ r、 然后- ασπ*=u-rασrπ*= 1rπ*=u-rασ----→u-ασ.证据的细节见附录。我们的模型可以量化在什么条件下，不参与信贷市场对不愿含糊的投资者来说是最理想的。当最高可能漂移超过最高可能利率时，就会发生这种情况，因此不确定资产的投资可能是有利的，但当最低可能漂移通过涉及风险规避的均值-方差项进行调整时，就会发生这种情况- ασ，属于可能利率区间[r，r]。附录A G-布朗运动彭（2007）介绍了G-布朗运动的理论。为了方便读者，我们回顾了G-布朗运动理论的基本定义和一些结果。允许Ohm 是一个给定的非空集，H是一个定义在其上的实函数的线性空间Ohm 如果x，···，xn∈ H、 然后φ（x，··，xn）∈ H、 foreach~n∈ Cl，唇部（Rn）。这里Cl，lip（Rn）表示满足|~n（x）的函数的线性空间- |（y）|≤ C（1+| x | n+| y | n）|x- y |，对于所有x，y∈ Rn，对于某些C>0和n∈ N、 这两种情况都取决于~n。

空间H被认为是一组随机变量。定义A.1 H上的次线性期望^E是函数^E:H 7→R满足以下特性：对于所有X，Y∈ H、 我们有（i）单调性：如果X≥ Y，然后^E[X]≥^E[Y]。（ii）常数的保存：^E[c]=c，对于所有c∈ R.（iii）次可加性：^E[X]-^E[Y]≤^E[X- Y]。（iv）正同质性：对于所有λ≥ 0.三重(Ohm, H、 ^E）称为次线性期望空间。注A.2次线性期望空间可以看作是经典概率空间的推广(Ohm, F、 P）在次线性期望空间中被赋予与P.defination A.3相关联的线性期望(Ohm, H、 ^E），随机向量=（Y，·，Yn），Yi∈ H、 在另一个随机向量X=（X，··，Xm），Xi的^E下是独立的∈ H、 用X表示⊥ Y、 对于每个测试功能，如果∈ Cl，lip（Rm+n）我们有^E[^（X，Y）]=^E[^E[^（X，Y）]X=X]。次线性预期spa ce中的定义A.4(Ohm, H、 ^E），X和Y称为i dentica lly distributed，并用Xd=Y表示，如果每个^∈ Cl，lip（Rn）我们有^E[^（X）]=^E[^（Y）]。定义A.5（G分布）一对随机变量（X，η）在一个线性期望空间中(Ohm, H、 ^E）称为G分布，如果a，b≥ 0，（aX+b\'X，aη+b\'η）d=√aX+b\'X+（a+b）η，其中（\'X，\'η）是（X，η）的独立系数，即（\'X，\'η）d=（X，η）和（\'X，\'η）⊥ （X，η）。如果（X，η）是d维G-分布的，则∈ Cl，lip（Rd），让我们定义（t，x，y）：=^E[~n（x+√tξ，y+tη]，（t，x，y）∈ [0, ∞) 是下列抛物偏微分方程的解：tu（t，x）=G（Dyu（t，x，y），Dxxu（t，x，y）），（t，x）∈ [0, ∞) ×Rd，u（0，x）=~n（x）。这里G是以下的次线性函数：G（A）=^E[hAX，Xi+hp，ηi]，（p，A）∈ Rd×Sd，其中sdd是d×d对称矩阵的集合。