具有模糊性的最优消费与投资组合选择

C.5定理C.3的证明与第3节类似，我们有相应的不确定HJB，如下所示。sup（π，c）∈B×Anu（t，c）+~nt（t，x）- c~nx（t，x）+inf∈[r，r]{xrаx（t，x）（1）- π） }+inf（u，σ）∈[u，u]×[σ，σ]{аx（t，x）xπu+xаxx（t，x）πσ}o=0，（C.4）带边界条件а（t，x）=Φ（t，x）。在给出定理4.1的证明之前，我们先给出下面的定理，这将是接下来所需要的。定理C.3∈ C1,2（（0，T）×R+）是（C.4）和dˋxx<0的溶液，则最佳消耗量为^C=v（ˋx（T，x）），其中v是uc的倒数，并且（i）如果≤ r、 那么最优投资组合选择是^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。（ii）如果u<r<u，则最佳投资组合选择为^π=0。（iii）如果r<u<r，则最优投资组合选择为^π=h-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu-rσi∧ 1.（iv）如果：≥ r、 如果-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u-r） σ<x，则最优投资组合选择为^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ；如果-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u-r） σ>x，则最优投资组合选择为^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ；如果-~nx（t，x）~nxx（t，x）u-rσ≤ 十、≤ -~nx（t，x）~nxx（t，x）u-rσ，那么最佳组合选择是^π=1。定理C.3的证明。从一阶条件可以得出^c=v（^x（t，x））。其中v是uc（t，c）的倒数。我们用a=σxаxx（t，x）<0和b=аx（t，x）x>0表示。

让我们考虑以下函数sf（π）=aπ+bπ（u- r） 1{π>1}+bπ（u- r） 1{0≤π ≤1} +bπ（u）- r） 1{π≤0}+br1{π>1}+br1{π≤1}.为此，我们定义了以下函数：f（π）=aπ+bπ（u-r） +br，π>1，f（π）=aπ+bπ（u-r） +br，0≤ π ≤ 1，f（π）=aπ+bπ（u- r） +br，π≤ 0.让我们在下列情况下考虑supπf（π）。案例一：如果≤ r、 t hensupπ>1f（π）=f（1）=a+bu，sup0≤π≤1f（π）=f（0）=br，supπ<0f（π）=f（π）=br-b（u）- r） 4a，其中π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。由于a<0且b>0，我们有supπf（π）=f（π），其中π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。情况二：如果u<r<u，那么SUPπ>1f（π）=f（1）=a+bu，SUP 0≤π≤1f（π）=f（0）=br，supπ<0f（π）=f（0）=br。由于a<0和b>0，我们有supπf（π）=f（π），其中π=0。情况三：如果r<u<r，那么supπ>1f（π）=f（1）=a+bu，sup0≤π≤1f（π）=f（π）>f（0）=f（0），f（π）>f（1）=f（1），其中π=[-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu-rσ]∧ 1，supπ<0f（π）=f（0）=br，因此，可以得出supπf（π）=f（π），其中π=[-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu-rσ]∧ 1.情况四：1≥ r、 （a）如果-~nx（t，x）~nxx（t，x）u-rσ<x，t hensupπ>1f（π）=f（1）=a+bu，sup0≤π≤1f（π）=f（¨π）>f（0）=f（0），f（¨π）>f（1）=f（1），其中¨π=[~nx（t，x）~nxx（t，x）x（u- r） σ，supπ<0f（π）=f（0）=br。因此，supπf（π）=f（^π），最优投资组合选择是^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）x（u- r） σ。（b） 如果-~nx（t，x）~nxx（t，x）u-rσ>x，然后是supπ≥1f（π）=f（\'\'π）>f（0）=f（0），f（\'π）>f（1）=f（1），其中\'\'π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ，sup0≤π≤1f（π）=f（1）=f（1）=a+bu>f（0）=f（0），supπ<0f（π）=f（0）=br。由上可知，最优投资组合选择为^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。（c） 如果-~nx（t，x）~nxx（t，x）u-rσ≤ 十、≤ -~nx（t，x）~nxx（t，x）u-rσ，然后是supπ≥1f（π）=f（1），sup0≤π≤1f（π）=f（1）=f（1）=a+bu>f（0）=f（0），supπ<0f（π）=f（0）=br。因此，最优的投资组合选择是^π=1。证据是完整的。

定理4.1的证明。类似于命题3.4的证明，从定理C.3我们可以得到（i）如果≤ r、 那么最优的投资组合选择是^π=u- rασ。（ii）如果u<r<u，则最佳投资组合选择为^π=0。（iii）如果r<u<r，则最佳投资组合选择为^π=hu- rασi∧ 1.我们现在考虑≥ r在以下情况下。案例一：假设-rασ<1，根据定理C.3，那么方程（C.4）有以下形式φ1-α-1x1- α+аt+аxxr- νxv（Фx）-νx（u）- r） 2σФxx=0，Ф（T，x）=Kx1-α1 - α.（C.5）与命题3.4的证明类似，最优投资组合选择为^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ=u- rασ。案例二。假设- rασ>1，根据定理C.3，那么方程（C.4）有以下形式φ1-α-1x1- α+аt+аxxr- νxv（Фx）-νx（u）- r） 2σФxx=0，Ф（T，x）=Kx1-α1 - α.（C.6）与命题3.4的证明类似，最优投资组合选择为^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）x（u- r） σ=u- rασ。案例二。如果u- rασ≤ 1.≤u- rασ，则最优投资组合选择为^π=1。程序完成了。参考Anderson，E.，L.Hansen和T.Sargent（2003）：“模型规格、稳健性、风险价格和模型检测的四个半群，”欧洲经济协会期刊，1（1），68–12 3。Anscombe，F.和R.Aumann（1963）：“主观概率的定义”，《数理统计年鉴》，34，1999-205。Artzner，P.，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.Heath（1999）：“风险的一致性度量”，数学金融，9，2 03–228。Bank，P.和F.Riedel（2001）：“具有跨期替代的不确定性下的最优消费选择”，《应用概率年鉴》，11,75 0–788。Barberis，N.（2000）：《金融杂志》，第55225-264页，“当回报是可预测的时，进行长期投资。”。查科，G.和L。

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