具有模糊性的最优消费与投资组合选择

存在Rd×Rd×dsuch thatG（p，a）=sup（q，q）的有界闭子集Θ∈Θnhp，qi+tr（AB）o，for（p，A）∈ Rd×Sd。允许Ohm = C2d（R+）是所有Rd值连续路径（ωt）t的空间∈R+ω=0，距离ρ（ω，ω）=∞Xi=1-ih（最大值）∈[0，i]|ωt-ωt |）∧ 1i，ω，ω∈ Ohm.每个t∈ [0, +∞) , 我们设置ωt={ω·∧t、 ω∈ Ohm}. 我们将考虑标准过程^Bt（ω）=（Bt，Bt）（ω）=ωt，t∈ [0, +∞ ) , ω ∈ Ohm.对于每个T>0，我们考虑以下随机变量空间：Lip(OhmT） ：=n~n（ωT··，ωtm）|T，··，tm∈ [0，T]，ν∈ Cl，lip（Rd×m），m≥ 1o。很明显，它保持着那张嘴唇(Ohm（t） 嘴唇(OhmT） ，尽管如此≤ T<∞. 我们进一步完善了(Ohm) =∞[n=1Lip(Ohmn） 。每X∈ 嘴唇(Ohm) x=^（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，···，^Btm-^Btm-1） 对我来说≥ 1, φ ∈ Cl，lip（R2d×m）和0=t≤ T≤ ··· ≤ tm<∞, 我们设定了^E[~n（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，···，^Btm-^Btm-1） ]=eE[~n(√T-tξ（t）-t） η，··，ptm-商标-1ξm（tm）- 商标-1） ηm）]，其中{（ξ，η），··，（ξm，ηm）}是次线性期望空间（e）中的一个随机向量Ohm,呃，eE）这样的t（ξi，ηi）是G分布的（ξi+1，ηi+1）独立于{（ξ，η），··，（ξi，ηi）}，对于每个i=1，2，··，m-1.相关的条件期望X=~n（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，···，^Btm-^Btm-1） 在下面Ohm^E[X]定义的TJI|Ohmtj]=^E[~n（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，···，^Btm-^-1)|Ohmtj]=ψ（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，··，Btj- Btj-1） 式中，ψ（x，x，··，xj）=eE[~n（x，x，··，xj，ptj+1-tjξj+1，（tj+1- tj）ηj+1··，ptm- 商标-1ξm（tm）-商标-1） ηm）]，对于（x，x，·，xj）∈ Rj，0≤ J≤ m、 为了p≥ 1，kXkp=Ep[X | p]，X∈ 嘴唇(Ohm), 定义嘴唇的标准(Ohm).让Lp(Ohm) （分别为Lp）(Ohmt） ）是嘴唇的完成(Ohm) （分别为Lip）(Ohmt） ）低于标准k·kp。然后是空间（Lp(Ohm), k·kp）是一个Banach空间和算子^E[·]（分别为^E[·]）|Ohmt] ）可以连续扩展到Banach空间Lp(Ohm) （分别为Lp）(Ohmt） ）。

此外，我们还有Lp(Ohm（t） Lp(Ohm（T） Lp(Ohm),对于所有0≤ T≤ T<∞.定义A.6（G-正态分布）设Γ为Rd×d的非空、有界和闭s ubs e t。次线性期望空间中的随机向量ξ(Ohm, H、 ^E）被称为G-正态分布，用ξ表示~N（0，Γ），如果每个Γ∈ Cl，lip（Rd），由u（t，x）定义的以下函数：=^E[Д（x+√tξ]，（t，x）∈ [0, ∞) 是下列抛物偏微分方程的唯一粘度解：(Ut=G（Du），（t，x）∈ [0, ∞) ×Rd，u（0，x）=~n（x）。（A.1）这里Du是u的Hessian矩阵，即Du=(xixju）di，j=1，and g（A）=supγ∈Γtr（γTA），A∈ Sd。例A.7在一维情况下，即d=1，我们取Γ=[σ，σ]，其中σ和σ是与0的constant≤ σ ≤ σ. 方程式（A.1）的形式如下(Ut=[σ(xxu）+- σ(xxu）-], （t，x）∈ [0, ∞) ×R，u（0，x）=φ（x）。如果σ=σ，G-正态分布就是经典的正态分布。例A.8在多维情况下，我们考虑一个典型情况，当Γ=ndiag[γ，··，γd]，γi∈ [（σi），（σi）]，i=1，···，do，其中σi和σi是0的常数≤ σi≤σi.n方程（A.1）具有以下形式Ut=dPi=1[（σi）(（西秀）+-（σi）(（西秀）-],u（0，x）=~n（x）。定义A.9 A过程B={Bt，t≥ 次线性期望空间中的}(Ohm, H、 ^E）称为G-B rownian运动，如果满足以下性质：（i）B=0；（ii）对于每个t，s≥ 0，差异Bt+s-Btis N（0，Γs）-对于所有N，分布且独立于（Bt，·Btn）∈ N和0≤ T≤ ··· ≤ tn≤ t、 定义A.10（最大分布）设∧为Rd的给定非空、有界和闭子集。

次线性期望中的随机向量ξ(Ohm, H、 ^E）被称为最大分布，由ξ表示~ N（λ，{0}），如果对于每个φ∈ Cl，lip（Rd），由u（t，x）定义的以下函数：=^E[~n（x+tξ）]，（t，x）∈ [0, ∞) 是下列抛物偏微分方程的唯一粘度解：(Ut=g（Du），（t，x）∈ [0, ∞) ×Rd，u（0，x）=φ（x），其中Du=(xiu）di=1，and g（p）=supq∈∧hp，qi，p∈ Rd.提案A.11 I f bt~ N（[ut，ut]，{0}），其中u和u与u恒定≤ u，那么对于∈ Cl，lip（R）^E[~n（bt）]=supv∈[ut，ut]~n（vt）。提案A.12（其公式）让bt~ N（[ut，ut]，{0}）和Bt~N（[σt，σt]，{0}），其中u和u是带u的常数≤ u、dσ和σ与σ一致≤ σ. 然后呢∈ C（R）和xt=X+Ztαsdbs+Ztβsdbs，对于所有t∈ [0，T]，其中α在Mandβ中∈ M、 我们有а（Xt）- ν（X）=Ztx~n（Xu）βudBu+Ztx~n（Xu）αudbu+Ztxx~n（Xu）βudhBiu，0≤ T≤ 在一个模棱两可的世界里，投资者对管理风险资产价格动态的规律并不确定。因此，我们不确定概率度量。我们首先在这样一个连续时间的骑士式环境中建立了经典模型。当我们想研究奈特案例中的标准萨缪尔森——默顿消费——投资组合问题时，我们用连续样本路径来研究资产价格。我们假设C（[0，T]）是所有连续模式的集合，这些模式的值在具有支持范数的有限时间范围[0，T]内。我们的州际空间是Ohm=nω：ω∈ C（[0，T]），ω=0o。坐标过程B=（Bt）t≥0是Bt（ω）=ωt。在经典情况下，坐标过程Bt（ω）=ω（t）将扮演噪声的角色，但在这里它将是不确定的，而不是概率噪声；模棱两可的，或者像彭所说的，G-布朗运动。为了模拟这种二次布朗运动，我们构造了一组先验。

我们以经典的维纳测度Punder为起点，B是标准布朗运动。请注意，PDO并不反映投资者的世界观；它只是充当一组先验知识的构造工具。设F=（Ft）t≥0表示由B生成的过滤，由allP null集合完成。在连续时间差异框架中，基本上有两个参数过程描述了所有的不确定性、漂移和波动性。因此，我们借助于凸紧子集Θ来建模模糊性 Rd×Rd×d.投资者不确定漂移过程u=（ut）的精确值或分布，其值以rdn为单位，也不确定波动过程σ=（σt）的精确值或分布，其值以Rd×d为单位。对于每个“假设”θ=（u，σ），一个F-逐步可测量的过程，其值以Θ为单位，随机微分方程dxt=utdt+σtdBt，在我们的参考测度P下，X=0有一个唯一的解Xθ。我们假设Pθ是Xθ的分布，即Pθ（a）=P（Xθ）∈ A） 尽管如此∈ FT.设Pbe由以这种方式构造的所有概率测度Pθ组成。我们的先验集P是弱收敛拓扑下Punder的闭包。不明确的波动性会导致不等价的先验。例如，设Pσ和Pσ为过程（σBt）t的分布≥0和（σBt）t≥分别为0。那么Pσ和Pσ是相互奇异的，即Pσ（hBiT=σT）=Pσ（hBiT=σT）=1，其中B的二次变化过程定义如下，0=T≤··· < tm=T和tk=tk+1- tk，hBiT=limtk→0米-1Xk=1 | Btk+1- Btk |。前面的构造是一个世界的标准连续时间模型，在这个模型中，投资者面临关于漂移和波动的模糊性。先验集合自然会导致次线性期望：^E[·]=supP∈政治公众人物。我们的连续时间不确定性模型的一个优点是，可以用二次函数来描述不确定性。

次线性函数G:Rd×Sd→ R:G（p，A）=sup（q，q）∈Θnhp，qi+tr（AQ）o，for（p，A）∈ Rd×Sd，其中sds是d×d对称矩阵的集合，将在参数水平上局部描述我们模型中漂移和波动的不确定性。设（B，B）是^E下的一对随机向量，使得B是GBrownian运动，B是G-分布过程，它只是具有均值不确定性。B是一个G-正态分布过程，它只是具有确定性。为了看到这一点，我们考虑d=1和Θ=[u，u]×[σ，σ]。然后过程b具有参数[u，u]的平均不确定度，即^e[bt]=ut，以及-^E[-bt]=ut，且过程B不具有平均不确定性，即^e[bt]=^e[-Bt]=0，但具有参数[σ，σ]的波动不确定性，即^e[Bt]=σt，a和-^E[-Bt]=σt。感兴趣的读者可以参考附录，了解G-布朗运动的基本定义和基本结果。前面的结构是一个典型的模型，在这个模型中，投资者面临着漂移和波动的模糊性，但知道这些过程的某些界限。B.1规范模型虽然最优政策的抽象描述在非常普遍的情况下成立，但我们将经常关注关于漂移的模糊性独立于关于单个资产收益波动性的模糊性的特殊情况。对于g-iven常数ui≤ui，σi≤σi，i=1，··，d，我们考虑[u，u]=n[u，··，ud]T，ui∈ [ui，ui]，i=1，···，do和Γ=ndiag[γ，···，γd]，γi∈ [（σi），（σi）]，i=1，·do。为了给出一个显式解，我们考虑了Θ=[u，u]×Γ和a=diag{1，·1}的一个特例。我们称之为规范模型。C.证明。命题C的性质s.1V（x）在x证明中是递增和凹的。为了证明这个命题，我们用byJ（π，c，x）=E[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]，也用Xx表示（2.2）的解。

对于任意的0<x≤ y、 通过G布朗运动驱动的随机微分方程的比较定理，我们得到了Xx≤ Xy。由于效用函数u和遗赠函数Φ严格递增，通过e期望的单调性，我们知道J在x中递增。因此，V在x中递增。对于任意0<x，x和λ∈ [0,1]，我们用xλ=λx+（1）表示-λ） x.对于任何c，c∈ C和π，π∈ 我们认为∏dXt=rXt（1- （πt）T1）dt+Xt（πt）Tdbt-ctdt+Xt（πt）TAdBt，X=X，和dXt=rXt（1- （πt）T1）dt+Xt（πt）Tdbt-ctdt+Xt（πt）TAdBt，X=X，我们用Xλ：=λX+（1）表示- λ） X，cλ：=λc+（1）- λ） candπλ：=λπX+（1）- λ） πXλX+（1）- λ） X.然后是cλ∈ C、 πλ∈ π和Xλ满足以下条件dXλt=rXλt（1- （πλt）T1）dt+Xλt（πλt）Tdbt- cλtdt+Xλt（πλt）TAdBt，Xλ=Xλ，由于函数u和Φare分别相对于c和X凹，我们有Φ（t，Xλt）≥ λΦ（T，XT）+（1）-λ） Φ（T，XT）。andu（s，Xλs）≥ λu（s，Xs）+（1）- λ） u（s，Xs），s∈ [0，T]。因此，由于^E的正同质性和次可加性，下面的holdsE[ZTu（s，cλs）ds+Φ（T，XλT）]≥ E[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]+（1-λ） E[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]，即J（πλ，cλ，xλ）≥ J（π，c，x）+J（π，c，x）。因此，V（xλ）≥ J（π，c，x）+J（π，c，x）。由于上述情况适用于任何c，c∈ C和π，π∈ π，它等于v（xλ）≥ V（x）+V（x）。这意味着V在x中是凹的。C.2定理3.1的证明。对于任意（π，c）∈ 我们假设X是与（π，C）相关的方程（2.2）的解。从公式中可以得出，ν（T，XT）=ZT[~nT（T，XT）+rXt k x（T，XT）（1）- πTt1）- x（t，Xt）ct]dt+ZTx（t，Xt）XtπTtdbt+ZTx（t，Xt）XtπTtAdBt+ZTxx（t，Xt）XthATπtπTtA，d<B>ti+~n（0，x）。因为所有的x∈ R、 ψ（T，x）=Φ（T，x）。

然后T-king期望收益率se[Φ（T，XT）+ZTu（T，ct）dt]=E[ZT[ηT（T，XT）+rXt~nx（T，XT）（1）- πTt1）- x（t，Xt）ct]dt+ZTx（t，Xt）XtπTtdbt+ZTxx（t，Xt）XthπtπTt，d<B>ti+ZTU（t，ct）dti+（0，x）=EhZT[t（t，Xt）+rXtx（t，Xt）（1）- πTt1）- ψx（t，Xt）ct]dt+ZTu（t，ct）dt-ZTG(-νx（t，Xt）Xtπt，-Xt~nxx（t，Xt）在πtπTtA）dt+ZT~nx（t，Xt）XtπTtdbt+ZT~nxx（t，Xt）XthπtπTt，d<B>ti+ZTG(-νx（t，Xt）Xtπt，-在πtπTtA）dti+~n（0，x）处的Xt~nxx（t，Xt）。根据方程（3.2），我们得到e[Φ（T，XT）+ZTu（T，ct）dt]≤ EhZTаx（t，Xt）XtπTtdbt+ZTаxx（t，Xt）XthπtπTt，d<B>ti+ZTG(-νx（t，Xt）Xtπt，-在πtπTtA）dti+~n（0，x）=~n（0，x）处的Xt~nxx（t，Xt）。对于最后一个不等式，我们使用了G-随机演算的性质，EhZTаx（t，Xt）XtπTtdbt+ZTаxx（t，Xt）XthπtπTt，d<B>ti+ZTG(-νx（t，Xt）Xtπt，-在πtπTtA）dti=0时的Xt~nxx（t，Xt）。因此，V（x）≤ ~n（0，x）。设（π，c）满足上（π，c）∈B×Anu（t，c）+~nt（t，x）+xr~nx（t，x）（1）- πT1）- c~nx（t，x）]+inf（q，q）∈Θ{ˋx（t，x）xhπ，qi+xˋxx（t，x）hATπTA，qi}o=nU（t，^c）+ˋt（t，x）+xrˋx（t，x）（1）- （π）T1）- ^cаx（t，x）]+inf（q，q）∈Θ{~nx（t，x）xh^π，qi+x^xx（t，x）hAT^π（^π）TA，qi}o，和dXt=[rXt（1- π（t，Xt）T1）dt+Xtπ（t，Xt）Tdbt- ^c（t，Xt）dt+Xt^π（t，Xt）TAdBt，X=X。如果π=^π，c=c，那么从上面的证明可以得出v（X）=^（0，X），因此我们有v（X）=^（0，X）=sup（π，c）∈π×CJ（π，c，x）=J（π，c，x）。这就是完整的证据。C.3定理3.2的证明。

根据定理3.1，我们考虑以下不确定HJB方程：sup（π，c）∈B×Anu（t，c）+~nt（t，x）+xr~nx（t，x）（1）- πT1）- c~nx（t，x）]+inf（u，Q）∈[u，u]×{ΓΓx（t，x）xhπ，qi+xΓxx（t，x）hππt，qi}o=0，边界条件为Γ（t，x）=Φ（t，x）。上面的方程可以写成：sup（π，c）∈B×Anu（t，c）+~nt（t，x）+xr~nx（t，x）（1）- πT1）- c~nx（t，x）]+infu∈[u，u]{~nx（t，x）xhπ，qi}+xinfQ∈Γ{~nxx（t，x）hππt，Qi}o=0，如果Γx（t，x）>0，则最优控制^ui=ui{πi>0}+ui{πi≤0}，i=1，··，d和infu∈[u，u]nаx（t，x）xhπ，uio=аx（t，x）xdXi=1πiui{πi>0}+аx（t，x）xdXi=1πiui{πi>0}≤0}.如果φxx（t，x）<0，则infq∈Γ{~nxx（t，x）hππt，Qi}=~nxx（t，x）dXi=1（πi）（σi）因此，我们有以下等式：sup（π，c）∈B×Anu（t，c）+аt（t，x）+аx（t，x）xr- ~nx（t，x）c+~nx（t，x）xdXi=1πi（ui）- r） 1{πi>0}+ψx（t，x）xdXi=1πi（ui- r） 1{πi≤0}+x~nxx（t，x）dXi=1（πi）（σi）o=0。（C.1）从一阶条件来看，Uc（t，^C）=x（t，x）。因为uc（t，c）相对于c是递减的，所以它的逆存在，并且用v表示。

因此，最佳消耗规则如下所示：^c=v（^x（t，x））。引理C.2如果a=σxаxx（t，x）<0且b=аx（t，x）x>0，f（π）=aπ+bπ（u- r） 1{π>0}+bπ（u- r） 1{π≤0}，那么supπf（π）有以下三种情况。（i） 如果r≤ u，然后supπf（π）=f（π）=-b（u）-r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，其中^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。（ii）I fu<r<u，则supπf（π）=f（π）=f（0）=0，其中π=0。（iii）如果：≤ r、 然后supπf（π）=f（π）=-b（u）- r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，其中^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。引理C.2的证明。案例一：如果≤ u，然后supπ<0f（π）=0，然后supπ≥0f（π）=f（π）=-b（u）-r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，\'-π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。因此，supπf（π）=f（^π）=-b（u）-r） 4a=-（x）ux，~n- r） 2σ，其中^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。情况二：如果u<r<u，那么supπ<0f（π）=f（0）=0，并且supπ≥0f（π）=f（0）=0，因此，supπf（π）=f（π）=f（0）=0，其中π=0。案例三：如果≤ r、 然后是supπ≥0f（π）=0，而supπ<0f（π）=f（°π）=-b（u）- r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，其中‘π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。因此，supπf（π）=f（^π）=-b（u）- r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，其中^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。证据是完整的。现在我们回到我们的证据。我们定义（πi）=（σi）xаxx（t，x）（πi）+аx（t，x）xπi（ui）- r） 1{πi>0}+~nx（t，x）xπi（ui）-r） 1{πi≤0}，我们想要得到dpi=1supπif（πi）。我们考虑以下情况。案例一：r≤ 根据上述引理，dXi=1supπf（πi）=dXi=1f（πi）=-~nx（t，x）~nxx（t，x）dXi=1（ui）-r） 2（σ）i，其中^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui-r（σ）i.情况二：supiui≤ r、 从上面的引理可以得出dXi=1supπf（πi）=dXi=1f（^πi）=-~nx（t，x）~nxx（t，x）dXi=1（ui）-r） 2（σ）i，其中^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui-r（σ）i.情况III:infiui<r<supiui.我们用A={i |ui表示≥ r、 i=1，··，d}，A={i|ui≤ r、 i=1，·d}，A={i|ui<r<ui，i=1，·d}。

从上面的引理可以得出dXi=1supπf（πi）=dXi=1f（^πi）=-~nx（t，x）~nxx（t，x）Xi∈A（μi）-r） 2（σ）i-~nx（t，x）~nxx（t，x）Xi∈A（μi）- r） 2（σ）i，i在哪里∈ A^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui-r（σ）i；因为我∈ A^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui-r（σ）i∈ A、 πi=0。（C.1）相当于以下等式u（t，v（φx（t，x）））+φt（t，x）+φx（t，x）xr- ~nx（t，x）v（~nx（t，x））-πx（t，x）（ui）- r） 2（σi）~nxx（t，x）{r≤ui}-πx（t，x）（ui）- r） 2（σi）~nxx（t，x）{ui≤r} =0，ψ（T，x）=Φ（T，x）。（C.2）C.4命题3.4的证明命题3.4的证明。我们只给出（i）的证明，因为（ii）和（iii）的证明是相似的。根据u和Φ的定义，方程式（C.2）具有以下形式φ1-α-1x1- α+аt+аxxr- ~nx（t，x）v（~nx）-πx（t，x）（ui）-r） 2（σi）~nxx=0，~n（T，x）=Kx1-α1 - α.（C.3）我们假设φ（t，x）的形式为φ（t，x）=f（t）x1-α1 - α、 其中f（t）是一个函数，稍后给出。因此，将上述形式的φ（t，x）代入（C.3），我们得到以下方程式（αf（t）1-α-1+βf（t）+f′（t）=0，f（t）=K，其中β=r+Xi（μi）- r） 2（σi）α(1 - α).上述方程的解由f（t）=hKα给出-1eβα-1（T）-t） +αβ-1（eβα）-1（T）-（t）-1） 我知道。因此，从定理3.2我们可以得到期望的结果。证据是完整的。