具有模糊性的最优消费与投资组合选择

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英文标题：
《Optimal consumption and portfolio choice with ambiguity》
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作者：
Qian Lin and Frank Riedel
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider optimal consumption and portfolio choice in the presence of Knightian uncertainty in continuous-time. We embed the problem into the new framework of stochastic calculus for such settings, dealing in particular with the issue of non-equivalent multiple priors. We solve the problem completely by identifying the worst--case measure. Our setup also allows to consider interest rate uncertainty; we show that under some robust parameter constellations, the investor optimally puts all his wealth into the asset market, and does not save or borrow at all.
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中文摘要：
我们考虑连续时间内存在奈特不确定性时的最优消费和投资组合选择。我们将这个问题嵌入到这种情况下的随机演算的新框架中，特别是处理非等价多先验的问题。我们通过确定最坏的情况来彻底解决这个问题。我们的设置还允许考虑利率的不确定性；我们证明，在一些稳健的参数星座下，投资者将其所有财富最优地投入资产市场，并且根本不储蓄或借贷。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Optimal_consumption_and_portfolio_choice_with_ambiguity.pdf (346.2 KB)

2022-5-5 08:50:46 上传

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关键词：投资组合选择 消费与投资 投资组合 模糊性 Quantitative

具有模糊性的最优消费与投资组合选择*, 德国比勒菲尔德大学弗兰克·里德尔数学经济中心2014年1月9日摘要在连续时间内存在奈特不确定性的情况下，我们考虑最优消费和投资组合选择。我们将这个问题嵌入到这种情况下的随机演算的新框架中，特别是处理非等价多先验的问题。我们通过确定最坏情况的衡量标准来彻底解决问题。我们的设置还允许考虑利率的不确定性；我们发现，在一些稳健的参数星座下，投资者将其所有财富最优地投入资产市场，并且根本不储蓄或借贷。*电子邮箱：钱。Lin@uni-比勒菲尔德。简介投资和消费财富的最佳方式属于基本金融问题。标准教科书中的答案使用了莫顿（1969）在风险资产几何布朗运动模型框架内的解决方案。在本文中，我们将这一基本模型推广到允许资产和利率动态的K-nightian不确定性，并研究模糊性的后果——厌恶投资者。在连续的时间里，骑士式的不确定性导致了一些微妙的问题。关于波动性的不确定性，以及关于短期利率的不确定性，需要使用单一的概率度量，这是一个奇怪的，但在一个模糊的世界自然事实中。投资者很谨慎，认为自然会有令人不快的惊喜。特别是，风险资产的波动性可能会在一定范围内走上令人惊讶的道路。幸运的是，最近几年出现了一种新的随机演算，它将无处不在的It^o演算扩展到了这样多个先验模型。

最近，Epstein和Ji（2011）详细讨论了这种方法的合理性以及效用理论和均衡资产定价的结果。我们在这里展示如何将classicMerton–Samuelson模型嵌入到这个新框架中。新框架的优点是，它允许使用基本上众所周知的鞅参数来确定候选策略的最优性，就像在经典案例中一样。一般来说，在奈特不确定性下很难得到明确的结果，但我们能够完全解决模糊性——规避投资者的最优消费——投资组合问题。在第一步中，我们推导了经典汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的奈特不确定性的扩展。对该方程进行更仔细的分析，可以得出最坏情况下的衡量标准。然后，我们使用新技术验证了在最坏情况下，模糊厌恶型投资者表现为经典的预期效用最大化者。最坏情况测度的存在会立即产生一个maxmin结果：模糊度下的值函数是期望效用下的值函数的较低包络。模棱两可会导致不同的最佳对账单和消费计划的预测。与简单的静态模型一样，不确定资产的平均收益的高度模糊性导致不参与资产市场。就波动率而言，我们表明，我们的风险和模糊性规避投资者总是使用最大可能的波动率来确定期权，马丁尼（200 6）开发了这样一个框架，用于研究奈特不确定性下的期权定价；Peng（2007）从奈特不确定性下的s cratch发展了整个随机演算理论。错误的政策。

当我们将利率不确定性考虑在内时，会出现一个更令人惊讶且据我们所知的新结果：对于稳健的参数集，当利率不确定性非常高时，投资者会将其所有财富投入资产市场，这是我们在最近金融危机后的数学中观察到的现象。当利率较低，且投资者认为模糊性非常高时，他们倾向于将所有资本仅投入资产。储蓄和借贷都被认为是不确定的有价值的活动。奈特不确定性或模型不确定性的问题最近引起了广泛关注，无论是在实践中，还是在理论上，随着许多财务决策对可疑概率假设的敏感性变得清晰，不确定性下的决策和r isk测量的广泛理论已经发展起来。Gilboa和Schmeidler（1989）通过削弱Savag e（1954）和Anscombe和Aumann（1963）之前用于证明（主观）预期效用的强独立性公理或确定性原则，为骑士式不确定性下的决策新方法奠定了基础。这些模型与行星风险度量密切相关（Artzner、Delbaen、Eber和Heath（1999））。随后，该理论被推广到变分偏好（Maccheroni、Marinacci和Rustic（2006a）、F"ollmer和Schied（2002））和动态时间一致性模型（Epstein和Schneider（2003）、Maccheroni、Marinacci和Rustichini（2006b）、Riedel（2004））。萨缪尔森（1969年）和默顿（1969年）的开创性成果为大量文献奠定了基础。

由于基本模型中的平均收益率、波动率和利率都是常数，因此对这些参数具有随机、时变动态的后果进行了详细研究。对均值回复漂移（或“可预测收益”）、随机波动率模型和随机期限结构模型进行了详细研究。这些模型都在预期效用范式下工作，因为它们假设参数为aknown分布。同样，我们也可以研究完整的信息模型，其中投资者更新了对某个未知参数的初始信念。与这些贝叶斯模型不同的是，我们关注的是最近的奈特方法，即投资者对其模型参数的世界持悲观、最大化的观点。我们也可以放松跨时效用函数的时间加性结构，如递归效用模型Duffee和Epstein（1992）、Hindy-Huang-Kreps模型（Hindy和Huang（1992）、Bank和Riedel（2001））、Barberis（2000）研究均值回复回报和估计误差。Chacko和Viceira（2005）研究随机波动性。有关随机利率和波动性的最新一般方法，请参见Liu（2007）。Schroder和Skiada s（2002）或允许交易约束和交易成本，这些主题超出了本文的范围。根据安德森、汉森和萨金特（2003）的精神，奈特方法与模型不确定性或稳健性考虑密切相关。例如，特洛伊和瓦尼尼（2002）和马恩霍特（2004）研究了带有漂移模糊性的r-obust投资组合选择问题。Chen和Epstein（2002）、Miao（2009）、Schied（2005）、Schied（2008）、Liu（2010）、Liu（2011）等也讨论了连续时间内的漂移模糊性。F"ollmer、Schied和Weber（2009）对这些文献进行了调查。

在这些论文中，与我们的方法相比，我们使用了一个参考度量，它的先验是等价的。特别是，我们不能在这些模型中讨论波动性的不确定性。论文的结构如下。下一节将在新的框架内阐述奈特不确定性下的默顿模型。投资组合的最优消费和利率规则如下。第4节接着概括了模糊的利率。附录收集了有关新的统计学微积分的相关信息。2奈特不确定性下的萨缪尔森-默顿模型萨缪尔森（1969）和默顿（1971）提出了连续时间内资产定价的标准方法；它们使用安全资产或债券，确定性动态Cdpt=RPTDt（已知利率r）和风险资产S（满足布朗运动B的uStdt+σstdbt）以及已知漂移和波动性参数u和σ）。当然，正如我们在导言中所讨论的那样，这个基本模型以多种形式进行了扩展。。在这里，我们展示了如何为不知道特定参数及其概率定律的投资者处理最优投资组合消费选择问题。因此，在未知参数分布未知的意义上，我们具有奈特不确定性。

然而，投资者愿意（或知道）相关参数的特定界限；她是模糊的——厌恶，旨在找到对此类参数不确定性具有鲁棒性的政策，从某种意义上说，它甚至对恶意的性质都是临时性的。就建模而言，我们的新方法展示了如何将萨缪尔森-默顿模型嵌入到扩展的随机演算框架中；该模型的优点是，它允许使用著名的it类型鞅参数来解决问题。从技术上讲，我们将用所谓的G-布朗运动来代替标准的布朗运动B，我们用相同的符号B来表示。a G-布朗运动是一种具有未知波动过程的扩散。它与经典微积分中已知的布朗运动有许多相同的性质；然而，其二次变化hBi不等于失效时间t；仅对formhBit的估计∈σ,σ对于某些波动性范围0<σ≤ 给出了σ。经典模型为f或σ=σ。我们将漂移项udt替换为一个模棱两可的术语dbtwb，其中b是一个有界变化过程，允许在两个界[u，u]之间出现任何漂移。我们现在称之为不确定资产的新模型为asdSt=Stdbt+Stdbt。我们将在续集中为返回过程编写dRt=dbt+dbt。它表现出波动性和不确定性。无风险资产是标准的，价格动态Cdpt=rPtdt，其中r是恒定利率。我们可以考虑利率的不确定性，正如我们在第4节中所展示的那样。目前，当我们保持恒定和已知利率的理想假设时，结果更加透明。然后，投资者的信念通过一组f ormPu、σ的先验值进行总结，其中u和σ是（逐步可测量的）随机过程。

在前一个Puσ下，不确定资产具有漂移u和波动率σ，短期利率等于r。请注意，对于不同的波动率或短期利率规格，前一个是相互单一的。投资者不预先确定空集合；在模型不确定性下，需要减少“不可能”事件的数量。只有在所有可能的优先级下为空的事件才能被认为是可忽略的。从技术上讲，这些事件被称为极性事件；如果一个事件在所有先验条件下的概率为1，我们说它几乎肯定会发生。在附录中，我们更详细地描述了更一般的多维情况下（使用Shige Peng的方法）的先验集P和相应的次线性和超线性期望的数学构造。第一次阅读时可以跳过。2.1资产价格指数B是波动率界为[σ，σ]的G-布朗运动。设b为漂移界为[u，u]的两个最大分布递增过程。不确定资产价格随着DST=StdRt，S=1的变化而变化，其中收益动态满足度RT=dbt+dbt。本地无风险债券演变为sdPt=Ptrdt，P=1.2消费和交易机会投资者选择投资组合策略π和消费计划c。不确定性减少了投资者可能选择的一组可能的消费计划和交易策略。这反映了不确定性可能带来的市场的经济不完整性。与经典案例一样，我们希望给出跨期预算约束的精确含义Xt=XtπTtdRt+（1）- πTt1）Xtrdt- ctdt=rXt（1- πTt1）dt+XtπTtdbt- ctdt+XtπTtAdBt。

（2.1）为了做到这一点，我们必须引入适当的限制条件，直观地说，使随机微分方程在所有先验条件下同时有意义。为了精确定义消费计划和投资组合选择，我们引入了随机变量空间和随机过程，从技术上讲，这与经典情况不同，因为先验的不等价性。我们用Ohm = C2d（R+）所有R2d值连续路径（ωt）t的空间∈w=0的R+，配备了由紧集上的uniformconvergence生成的拓扑。我们让我(Ohm) 是上所有有界函数和连续函数集的完备Ohm 在范数kξk=^E[|ξ|]：=supP∈PEP[|ξ|]。对于t∈[0，T]，我们定义了以下spaceLip(Ohmt） =n~n（ωt··，ωtm）|m∈ N、 t，··，tm∈ [0，t]，对于p的所有有界函数≥ 1，我们现在考虑如下形式的过程η：η=n-1Xj=0ξj[tj，tj+1），其中0=t<t<·和ξj∈ 嘴唇(Ohmtj），j=0，·n- 1，Wedenote上述过程的集合Mp，0。Mp中的标准值为0，定义为ηkp=^EhZT |ηt | pdtip=^Ehn-1Xj=0 |ξtj | p（tj+1- tj）我p、 最后，我们用mpt表示在上述范数下Mp，0的完成。投资者选择一个消费计划c，这是一个非负随机过程∈ M.投资者还可以选择投资于i风险资产的财富πi的分数，以及财富1的分数-Pdi=1π投资于无风险资产。初始捐赠x>0且投资组合-消费政策（π，c）的投资者的财富由dxt=XtπTtdRt+（1）给出- πTt1）Xtrdt- ctdt=rXt（1- πTt1）dt+XtπTtdbt-ctdt+XtπTtAdBt，（2.2），其中π=（π，··，πd）是交易策略，1=（1，··，1）T。

消费和投资组合过程对（π，c）是可容许的，如果Xt≥ 0，t∈[0，T]，c∈ 曼德π∈ 我们用∏表示B中所有可容许π取值的集合=(-∞, +∞). 此外，我们用C表示所有此类可容许的C.2.3效用的集合。投资者是模糊的——在其先验集合上厌恶并最大化最小预期效用。对于任意随机变量X(Ohm, FT），我们表示byEX:=infP∈PepX不确定结果的最低预期值X.投资者的消费效用c∈ 如果遗赠一个终极财富XTisU（c，X）=E[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]，效用函数u和遗赠函数Φ分别严格地相对于c和X递增、凹和可微。我们进一步假设u和Φ分别是C1，3和C。此外，我们假设边际效用为零：limc→0cu（t，x）=∞.我们定义了值函数：V（x）=sup（π，c）∈π×CU（c，X），即投资组合和初始财富的间接效用函数。在附录中，我们证明了在具有模糊性3的x.3最优消费和投资组合选择中，V（x）是递增的和凹的。1鲁棒动态规划原理我们快速回顾了默顿提出的一维经典动态规划方法。