美式期权为什么要用最小二乘法

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longstaff的最小二乘法是蒙特卡洛模拟计算美式期权最常用的方法，但是我总是对这个理论不是特别明白：按照书上的说法，在非最后一个行权日，需要比较继续持有期权的“期望”收益和立即行权的收益，继续持有的收益需要计算期望值（也就是最小二乘法）。但蒙特卡洛本身已经模拟出了实际的路径，在该路径下继续持有的收益是确定的啊，为什么还需要再去求一次期望值？这似乎和蒙特卡洛本身有点矛盾（蒙特卡洛本身就是为了避免考虑求取期望等等的难度而直接模拟出实际路径）。。。还有最小二乘法这种回归方法，除了比较接近实际结果外，其本身V=a*S^2+b*S+C这个公式有没有什么解释意义？

此外，我看longstaff的paper上举的简单的例子中，只会针对立即行权的收益>继续持有收益的路径用最小二乘法回归，其他路径未处理。但是有的软件的处理方法会对所有路径的继续持有收益进行最小二乘的回归。究竟哪种更合理呢？还是两种都可以呢？

有没有哪位大侠能解答下我的疑惑，或者说下自己的看法也行，感激不尽~~~~~

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关键词：最小二乘法 美式期权 最小二乘 Longstaff 蒙特卡洛模拟 期权 最小二乘法

我个人的理解是这样的，也不知道对不对
首先，对于每一条模拟的路径，可以看成是总体中的一个样本点，也就是一个观察值，
比如 第一条路径 在某时刻 t 的股价是 S1  期权的价值是 V1
         第二条路径 在某时刻 t 的股价是 S2  期权的价值是 V2
         。。。。。
        相当于在某一时刻 t ，你得到了该股票价格的一个观测序列 和 期权价值的 观测序列
        然后从中得到股价 与期权价值之间的关系  
      
      根据这些点，进行拟合，就是所说的最小二乘法

      V=a*S^2+b*S+C  没什么具体的意义  
    首先，最小二乘法 说的是  用 一组基函数 的线性组合 来最佳逼近 L2空间（不知道你有没学过泛函或者数值分析，或数值代数）

然后  这个公式 就是  用 多项式函数的  三个基函数  1   X   X^2   的线性组合 来逼近 期权价值的函数

当然，你也可以用其他的基函数来逼近  比如  三角函数  傅里叶函数  等等一堆的基函数来逼近

cxqing 发表于 2011-5-27 15:04
我个人的理解是这样的，也不知道对不对
首先，对于每一条模拟的路径，可以看成是总体中的一个样本点，也就 ...

我最近也在看这个问题。我觉得你说的对，但是我想问问题的人不明白，通过倒推，为什么不能直接利用模拟出的路径得出继续持有期权的价值？为什么要多一步求线性回归呢？

能再详细讲解么 好复杂

leolikai 发表于 2014-1-24 17:42
我最近也在看这个问题。我觉得你说的对，但是我想问问题的人不明白，通过倒推，为什么不能直接利用模拟出 ...

模拟是对实际情况的模拟，从现在的情况是不能知道将来的确切路径是如何，但美式期权持有人必须现在就决定是继续持还是立即执行。立即执行的期权值容易知道，而继续持有的期权值可以证明就是那个期望值，这个期望就得用许多样本路径来求其统计估计值。