股票和股票之间的互相关不对称性和因果关系

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英文标题：
《Cross-correlation asymmetries and causal relationships between stock and
  market risk》
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作者：
Stanislav S. Borysov, Alexander V. Balatsky
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study historical correlations and lead-lag relationships between individual stock risk (volatility of daily stock returns) and market risk (volatility of daily returns of a market-representative portfolio) in the US stock market. We consider the cross-correlation functions averaged over all stocks, using 71 stock prices from the Standard \\& Poor\'s 500 index for 1994--2013. We focus on the behavior of the cross-correlations at the times of financial crises with significant jumps of market volatility. The observed historical dynamics showed that the dependence between the risks was almost linear during the US stock market downturn of 2002 and after the US housing bubble in 2007, remaining on that level until 2013. Moreover, the averaged cross-correlation function often had an asymmetric shape with respect to zero lag in the periods of high correlation. We develop the analysis by the application of the linear response formalism to study underlying causal relations. The calculated response functions suggest the presence of characteristic regimes near financial crashes, when the volatility of an individual stock follows the market volatility and vice versa.
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中文摘要：
我们研究了美国股市中单个股票风险（每日股票收益的波动性）和市场风险（具有市场代表性的投资组合的每日收益的波动性）之间的历史相关性和超前-滞后关系。我们考虑所有股票的平均互相关函数，使用标准普尔500指数1994-2013年的71个股票价格。我们关注的是在市场波动性大幅上升的金融危机时期相互关联的行为。观察到的历史动态表明，在2002年美国股市低迷期间和2007年美国房地产泡沫之后，风险之间的依赖性几乎是线性的，直到2013年都保持在这个水平。此外，在高相关性期间，平均互相关函数相对于零滞后通常具有不对称形状。我们通过应用线性响应形式主义来研究潜在的因果关系。计算出的响应函数表明，当单个股票的波动性跟随市场波动性，反之亦然时，金融崩溃附近存在特征性机制。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Cross-correlation_asymmetries_and_causal_relationships_between_stock_and_market_risk.pdf (1.04 MB)

2022-5-5 12:25:38 上传

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关键词：因果关系 对称性 不对称 互相关 correlations

股票和市场风险之间的互相关不对称性和因果关系Stanislav S.Borysov1,2,3，*, Alexander V.Balatsky1,41 Nordita，KTH皇家理工学院和斯德哥尔摩大学，罗斯拉格斯图尔斯巴肯23，SE-106 91斯德哥尔摩，斯维登2纳米结构物理，KTH皇家理工学院，罗斯拉格斯图尔斯巴肯21，SE-106 91斯德哥尔摩，斯维登3理论部门，洛斯阿拉莫斯国家实验室，洛斯阿拉莫斯，NM 87545，美国4材料科学研究所，洛斯阿拉莫斯国家实验室，美国新墨西哥州洛斯阿拉莫斯87545* 电子邮件：borysov@kth.seAbstractWe研究美国股市中单个股票风险（日常股票收益的波动性）和市场风险（市场代表性投资组合的每日收益的波动性）之间的历史相关性和超前-滞后关系。我们考虑所有股票的平均互相关函数，使用标准普尔500指数1994-2013年的71个股票价格。我们关注的是在金融危机发生时，市场波动率大幅上升时的相互关联行为。观察到的历史动态表明，在2002年美国股市低迷期间和2007年美国房地产泡沫之后，风险之间的依赖性几乎是线性的，直到2013年都保持在这个水平。此外，在高相关期间，平均互相关函数相对于零滞后通常具有不对称形状。我们应用线性响应形式主义来研究潜在的因果关系。

计算出的响应函数表明，当单个股票的波动性跟随市场波动性，反之亦然时，金融崩溃附近存在特征性机制。导言金融市场是一个复杂的系统，展示了多种现象，吸引了从社会科学到自然科学等一系列学科的关注[1]。更好地理解金融市场的行为已经成为进一步可持续经济发展讨论的一个组成部分。在这种情况下，正确评估金融风险[2]起着至关重要的作用：低估风险会导致金融泡沫最终崩溃，而高估风险可能会导致金融资源配置效率低下和经济增长放缓，导致周期性停滞。这一多方面的问题是金融的核心，引起了物理和数学界的极大兴趣[3,4]。金融风险分析的一个关键组成部分是波动性评估，它量化了相关资产的金融稳定性。为此，人们提出了许多风险建模[5-8]和预测[9]的方法，以及对波动性的各种经验性质的大量研究，包括聚类[10-12]、超前滞后效应[13]、不对称[14,15]等程式化事实（综述见参考文献[16,17]）。

作为集体行为的结果，相关现象还涉及相关[18-20]和互相关[21-24]矩阵的估计、它们的动力学研究[25,26]、不对称相关性[27]、非线性相关性[28-30]和去趋势[31,32]、金融网络和聚类[33-42]、多变量随机模型[43,44]、临界现象[45,46]，在当前的论文中，我们关注美国股市中个体和集体波动行为之间的超前滞后效应，这可能会在系统性监管问题的背景下进一步讨论[47]。以前的研究报告称，随着市场对系统性崩溃的整体倾向[48]，最近金融市场之间的相关性增加[25]。因此，我们的调查旨在进一步揭示过去十年系统性风险的动态。为此，我们分析了标准普尔500指数[49]（以下简称标准普尔500指数）1994-2013年71只股票的历史价格（表1）。虽然我们采用了最简单的波动率估值器之一，即每日对数回报的简单移动平均值（SMA）标准偏差，但据推测，它可以正确描述长时间尺度上的资产风险动态，以月和年为单位[50]。我们利用了交叉相关分析，这是分析多个时间序列的基本工具。通过定义，归一化互相关函数的绝对值介于0和1之间，表明时间序列之间线性关系的强度，假设一个时间序列被特定的滞后值移动。

值得注意的是，我们的方法基于对股票收益率（标准差）衍生量之间的互相关的研究，而不是对收益率的互相关矩阵的分析，这隐含着计算相关性之间的互相关。这些更复杂的数量有望让我们捕捉到市场风险随时间的更系统的演变。事实上，之前的研究表明，在整个国际金融市场中，市场波动性和相关性是紧密相关的[51]。然而，我们的计算表明，所有股票的平均互相关函数（见下面的等式）不仅通常具有接近1的最大值，而且相对于零滞后也具有不对称形状（图1）。这些特征表明存在长期趋势，当市场在一个交易日内未达到均衡时，整体市场风险倾向于跟随单个股票风险[图1（a）]，反之亦然[图1（b）]。最近，有报道称股票收益率[52]和相关性[53]出现了日内趋势，而我们的调查对股票波动性也提出了类似的观点。一般来说，不可能从互相关函数的任意形状确定因果关系。然而，如果互相关函数相对于时间反转操作（时滞符号的变化）是不对称的，则可能暗示存在因果关系[54]。虽然确定真正的因果关系是一个哲学问题，但我们在预测意义上使用这个术语，即如果一个时间序列的过去值可以用来预测另一个时间序列的现在或未来值。

在这方面，最广泛使用的方法之一是格兰杰因果检验[55]。按照这种方法，我们为时间序列建立自回归模型，包括和排除问题中的因素，并检查模型之间的差异是否具有统计学意义。然而，在当前的研究中，我们建议使用另一种方法，利用线性响应理论[56]中研究的一类特定的非对称互相关函数，这为描述物理系统的输入输出特性提供了一个框架。在这种方法中，因果关系意味着行动前没有任何反应（只要没有长期记忆效应），这会导致特定滞后方向的互相关函数的零值正或负，具体取决于变量的输入输出作用。最简单的例子可以用作用在物体上的力来表示。质量在相互作用之前不能移动，因此在施加力之前，力和位移之间的相关性为零。虽然我们不希望在真实金融市场中观察到这种微不足道的行为，但经验函数（图1）中的不对称性可以解释为这种理想模型的近似，其中质量和力量由单个股票和集体市场波动率表示，反之亦然，这取决于观察到的制度。利用这种近似，我们将自己局限于定性分析，目的是揭示历史模式。由于投资组合回报是股票回报的总和，其方差是协方差矩阵C的所有元素之和，[公式（3）]。

另一方面，任何协方差矩阵都可以分解为相关矩阵R和标准偏差的绝热矩阵Cdiag与元素Cdiagii的乘积=√CDIaG=CdIaG=CdIa6=CdIaG:。估计股票和市场风险首先介绍本文中使用的符号。我们考虑N个离散时间序列的每日股价Si（t），i=1，N转换为log返回si（t）=ln[si（t）/si（t- 1） ]，假设连续复利。在SMA方法中，可以使用前几天t的等权值计算特定离散时间矩t的移动平均值，包括当前值hsi（t）i:=TtXt′=t-T+1si（T′）。（1） 在这种情况下，两个时间序列的互协方差可以定义为σ[si，sj]（t，τ）：=hsi（t+τ）sj（t）i- hsi（t+τ）ihsj（t）i，（2）其中τ是时滞。序列方差是τ=0时的自协方差，σ[si]（t）≡ σ[si，si]（t，0），其中σ表示金融中的标准差或波动性。这个数量可以用作最简单的风险度量：σ值越高的股票的稳定回报越低，因此，在其他条件相同的情况下，对投资的吸引力越小。股票市场包括所有可供交易的股票。虽然在目前的调查中，我们考虑了有限的股票子集，但它被选为代表市值最大的美国顶级公司。对于这样一个投资组合，由N支股票的相等股份组成，总回报率m（t）等于单独股票回报率m（t）=PNi=1si（t）之和。其方差，除了等式（2）之外，还可以表示为协方差矩阵C（t）的所有元素之和，这是一个N×N矩阵，元素Cij（t）=σ[si，sj]（t，0），σ[m]（t）=NXi=1NXj=1Cij（t）。

（3） 该值的平方根σm≡ σ[m]也可用作投资组合风险度量，它表征了大N情况下的总体市场风险（图2）。在本文的剩余部分中，我们将着重于发现个别股票风险σi之间的历史依赖关系和超前滞后关系≡ σ[si]和市场风险σm，使用下一节中介绍的形式主义。因果关系分析估计两个时间序列x（t）和y（t）之间相关性的一种可能方法是计算交叉相关函数ρ[x，y]（t，τ）=σ[x，y]（t，τ）σ[x]（t+τ）σ[y]（t），（4），该函数经过归一化，范围为-1比1。当第一个序列被时间滞后τ移动时，其峰值显示x和y之间线性关系的强度（零值对应于其缺失）。如果序列之间的相关性是非线性的，则应使用更复杂的统计概念，例如交叉熵[28]、copula[29]或Spearman秩相关[30]。然而，我们的目标是在本研究中采用线性皮尔逊系数[Eq.（4）]。鉴于两个系列是相关的，不可能通过这一事实本身建立变量之间的因果关系。然而，在线性响应理论中研究的互相关函数的特定形状可以提供对这个问题的洞察。在本节中，我们假设该峰值为正值，因为相反的情况可以通过x或y乘以-1.注意到∑[-x、 y]=σ[x，-y] =-σ[x，y]和σ[-x] =σ[x]，立即得到ρ[-x、 y]=ρ[x，-y]=-ρ[x，y]这一理论为研究非物理系统的相关动力学性质提供了一个方便的框架。在这种方法中，互相关函数定义了系统对外部作用的响应，遵守运动定律。

在这种情况下，因果关系意味着在行动之前没有任何确定性响应，即对于由x和y的输入输出角色定义的特定标签方向（τ>0或τ<0），互相关函数的预期值为零。例如，一阶普通微分方程a˙x+bx=y的响应函数，（5）其中a和b是一些常数，y是δ函数（冲击力），如图3（a）所示。这里，y可以唯一地识别为外部作用，因为ρ[x，y]仅在τ>0时为非零，时间方向对应于x的未来值和y的过去值[见等式（2）]。响应的这种不对称性也以图形的形式反映在其被称为敏感性χ（ω）的傅里叶变换中：=∞Z-∞ρ[x，y]（τ）e-iωτdτ，（6）是频率ω的复值函数。它的实（反应）部分Reχ是ω的偶数函数，由相关强度确定。而虚部（耗散）Imχ是ω的奇数函数，由ρ的不对称部分定义。关于等式5中x和y的作用-反应作用，对于ω>0[图3（a）]，Imχ有一个负峰值，如果变量互换[图3（b）]，则有一个正峰值。此外，Reχ和Imχ满足Kramers-Kronig关系，这是复函数解析的数学条件，因此基础物理系统是稳定的[57]。经验互相关函数（图1），其特征形状如图所示。3（c）-（e），与线性响应理论中研究的不同[图3（a）-（b）]。尽管如此，相应的敏感度显示出实部和虚部的相似特征（图。

4).因此，我们将其视为理论线性响应函数的粗略近似，并利用Imχ（ω>0）的峰值作为可能的因果关系的指标。如果互相关函数相对于时间反转操作完全对称[图3（c）]，τ→ -τ、 仅考虑互相关函数，在线性响应形式主义中无法建立x和y之间的因果关系：这一事实意味着潜在变量的输入-输出角色的交换产生了整个系统完全相同的可观察行为。然而，当ρ的最大值略微偏移[图3（d）]或函数在一个滞后方向上的衰减速度快于另一个滞后方向[图3（e）]时，人们可能认为y的变化倾向于引起x的反应，因为对x未来值的响应增强。这样做时，观察到的输入输出角色的反转对应于虚部符号的变化，而实部保持不变。最后，将特定的敏感性模型与经验数据进行拟合，可以确定控制系统观察行为的微分方程。然而，区域金融市场的行为通常是高度非线性的，具有长期记忆效应[58,59]和分形结构[60,61]，这显然超出了所讨论方法的范围。扩展所提出方法的一种可能方法可能是应用非线性响应理论[62]，尽管我们的论文没有考虑这种情况。