股票和股票之间的互相关不对称性和因果关系

我们将自己局限于线性定性分析，而线性定性分析仅暗示了相关变量之间的影响方向。因为我们使用离散时间序列，所以我们使用它的离散类似物，其酉范数χω=1/√τmaxPτmaxτ=-τmaxρe-i2φωτ/τmax.任何函数ρ（τ）都可以写成偶数函数ρ偶数的和(-τ） =ρ偶数（τ）和一个奇数函数ρodd(-τ) =-ρ奇（τ）。在这种情况下，Reχ是ρ偶数的傅里叶变换，而Imχ是ρ奇数的傅里叶变换。结果我们现在可以应用上一节的形式主义来确定单个股票和总市场风险之间的因果关系。基于这一目标，我们分析了N=71的美国最大公司的历史股价[63]，即标准普尔500指数成份股（表1）。所考虑的历史时期为1994年至2013年，大致相当于4600个交易日。出于对平均市场动态的兴趣，我们考虑ρ[σi，σm]的平均值。然而，存在平均相关系数的问题，因为当ρ的值接近1[图5（a）中的顶部面板]时，它们的分布高度倾斜，这使得它们不是可加量。在这方面，已经提出了许多方法来解决这个问题[64,65]。最简单的是菲舍尔变换[66]z{ρ}=lnh1+ρ1-ρi:=tanh-1（ρ），z-1{ρ}=tanh（ρ），（7），这使得相关系数的分布近似正常[图5（a）中的底部面板]。在这种情况下，平均相关性可以估计为ρ[{σi}，σm]（t，τ）=z-1（NNXi=1z{ρ[σi，σm]（t，τ）}）（8）具有置信区间（CI）z-1.z{ρ}±ztable√N- 3., （9） 其中，进一步使用对应于95%置信水平的ztable=1.96。当ρ很小时，分布不会扭曲，Fisher变换也不会影响它（z{ρ}≈ ρ表示小ρ）[图。

5（b）、（c）]。随后，对该平均函数进行傅里叶变换，以获得间隔τ的平均磁化率χ，使用等式6的离散模拟∈ [-τmax，τmax]。还值得注意的是，使用SMA计算波动率（σi和σm）会对相应的时间序列进行平滑处理。因此，在公式（4）中计算ρ时，应使用尺寸为M>T的较大窗口，以避免纯粹的相关性[图6（c）、（f）]。此外，图5（c）表明，对大量股票进行平均可以有效地减少相关的不良影响。手头的任务要求相关的序列。为此，我们计算了滞后±τmax考虑范围内的市场风险和个人股票风险之间相关性的最大值ρmax。该最大值的历史动态（图7中的第二个面板）表明，在重大金融崩溃附近，其显著大于0.5，而在其他时间，该系列似乎相关性较弱。在这方面，我们可以强调2002年美国市场的低迷，以及从2007年美国房地产泡沫到2013年的大约5年时间，当时几乎观察到了线性关系。对于这种高度相关的风险，在线性响应近似下进行因果分析是可行的。如前所述，ρ和χ的典型形状分别如图1和图4所示。例如，对欧洲主权债务危机附近这两个日期的因果关系分析表明，对于2011年6月15日[图1（a）]，互相关函数的最大值相对于零滞后向左移动，这反映为正频率敏感性虚部的负峰值[图4（a）]。

根据上一节的讨论，该特征对应于单个股票风险对总市场风险的领先影响。而2011年第9步观察到了相反的情况[图1（b）和图4（a）]。对ρmax高值时期的平均磁化率动力学（图7中的两个底部面板）的历史分析揭示了两个特点。第一个问题与这样一个事实有关：在大崩盘后，单个股票风险跟随市场风险。这一特征可以被视为羊群行为的结果，当股票风险试图达到新的均衡时，以整体市场风险为基准。这一事实也与关于不对称现象的研究[14,15,27]一致，这些研究表明，在熊市中，波动性和相关性增强。例如，在2008年雷曼兄弟（Lehman Brothers）破产和2012年欧洲主权债务危机之前，我们可以观察到第二个特点，在崩盘前不久，个人股票风险平均开始影响市场风险，而在崩盘时，影响的方向是相反的。最后，图8显示了在不同的窗口尺寸T和M下观察到的这种行为，然而，使用更大的MSmooth值描述了影响。讨论我们使用互相关分析研究了美国股市中单个股票和集体市场风险之间的平均超前滞后关系。我们的计算表明，在金融不稳定时期，股票和市场波动性密切相关。此外，相关函数通常在零滞后方面具有不对称性，这是线性响应近似内风险之间因果依赖的潜在迹象。在分析了1994年至2013年的历史数据后，我们发现在上一次重大事故附近也有类似的模式。

首先，金融崩溃后，个人股票风险倾向于跟随集体市场行为。其次，当股票风险平均开始影响特定崩溃前的市场风险时，就会观察到相反的影响，例如2008年雷曼兄弟倒闭或2012年欧洲主权债务危机。碰撞后的最终市场调整导致平均互相关函数恢复对称形状，并降低其最大值。这也反映在被称为磁化率的互相关的傅里叶变换中。对于这个复函数，因果依赖关系的反转对应于其虚部符号的变化，而实部保持不变，而不存在依赖关系则导致虚部为零。我们认为，观察到的模式可能被解释为羊群行为的一种表现，当分离公司的经济表现系统性地不符合投资者的预期时，会在整个市场造成恐慌。其中，崩盘后，独立公司的财务风险适应了新的现实，将整体市场表现作为心理基准。感谢L.Pietronero、Y.Roudi、J.Suorsa、J.Edge和匿名推荐人提供了有用的评论和讨论。这项工作得到了Nordita和VR VCB 621-2012-2983的支持。参考文献1。Farmer JD，Shubik M，Smith E（2005）是经济学的下一门物理科学。《今日物理》58:37.2。Bisias D，Flood MD，Lo AW，Valavanis S（2012）系统风险分析调查。美国财政部金融研究办公室第0001.3号。1999年斯坦利·埃格西安简介。剑桥大学出版社，剑桥。4.Bouchaud JP，Potters M（2004）金融风险和衍生工具定价理论：从统计物理学到风险管理。

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股票和市场波动率使用窗口T=30天的SMA计算。它们之间的相互关系使用窗口为M=250天的SMA计算。在图4所示的敏感性计算中，进一步使用背景为零滞后（±30天）左右的突出显示范围。当基础股票收益率是随机的时，灰色实线对应于ρ（τ）。平均相关性对应的95%置信区间用点线表示。1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 201254 6图2。他对美国股票市场波动率σm的历史动态。它由71只美国股票（表1）组成的投资组合回报的SMA标准差表示，计算窗口为T=30（绿线）、90（蓝线）和180（红线）。两个标记日期之间的距离为500个交易日。市场崩盘对应于波动性的突然跳跃。使用较大的T值可以平滑小碰撞，而最大的碰撞仍然清晰可见。主要金融危机以浅绿色背景突出显示：（1）1997年至1998年的亚洲和俄罗斯危机，（2）网络泡沫，（3）2002年美国股市低迷，（4）美国房地产泡沫，（5）雷曼兄弟破产，随后是全球金融危机，（6）欧洲主权债务危机。图3。两个时间序列x和y（左列）之间的互相关函数ρ示例；他们的傅里叶变换χ（右列）。（a） 对应于式（5）基本解的脉冲响应函数；（b） 变量x和y互换的同一方程的脉冲响应函数。