基于参数和非参数贝叶斯的风险边际分位数函数

Ntzoufras和Dellaportas（2002）通过马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）抽样策略，使用贝叶斯方法研究未决索赔问题的各种模型，并表明贝叶斯方法的计算灵活性促进了复杂模型的实现。1.1贡献本文的贡献有三个方面。首先，我们建议使用分位数回归进行lo-ssreserving。提出的方法将准备金与分位数回归联系起来，允许直接建模风险保证金，从而提供准备金，而不是估算平均值，然后应用arisk保证金。它为数据提供了更丰富的表征，尤其是当数据是重尾时，使我们能够考虑协变量对整个分布的影响，而不是梅勒伊的条件平均值。其次，我们在贝叶斯网络中建立了一系列参数分位数回归模型，每个模型都有各自的分布特征。特别是，我们通过一个用户友好的Bayeisan软件WinBugs对AL分布模型进行了推广，引入了动态均值、方差和形状参数，从而对风险边际进行建模，这对于没有太多Bayeisan背景或马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法学专门知识的俄罗斯人来说很容易。此外，通过事故年估计形状参数为估计风险边际提供了一个分析框架。这使我们能够捕捉到不同事故年的索赔队列可能是异质的这一特征，因此，将不同的风险边际应用于不同的事故年，为我们提供了明确的准备金规定。最后，我们比较了在保留损失的情况下参数分位数回归和非参数分位数回归的性能。论文的其余部分按如下顺序组织。第2节解释了提出的参数和非参数模型。

第3节介绍了贝叶斯框架下的后验分位数回归模型。第4节详细介绍了使用我们的模型计算风险度量和风险保证金的方法。然后，我们将该方法应用于第5节和第6节中的两个实际lo-ss储量数据集。第7节结束。2索赔准备金的分位数回归在本节中，我们介绍分位数回归模型，并解释其与损失准备金的相关性，这将在贝叶斯范式下的非参数和参数建模框架中进行。在这个过程中，我们提出了一种新的分析方法来估计不同分位数回归模型结构下的风险边际。本文特别关注的是基于非对称拉普拉斯分布族的一类模型。在铝分布的特殊情况下，我们证明，通过对铝分布的形状参数进行建模，自然可以实现风险估计，因此，对模型参数的影响直接影响到风险边际的推断。在为一般保险索赔发展三角制定分位数回归框架时，我们将假设存在一个包含索赔发展数据的运行三角，其中Yij将用指数i表示累积索赔∈ {0，…，I}和j∈ {0，…，J}，其中i表示事故年份，J表示发展年份（累计索赔可指付款、发生的索赔等）。此外，在不丧失一般性的情况下，我们做出了简化假设，即事故年数等于观测到的发展年数，即I=J，N=I（I+1）观测值。

在时间I时，上三角中的索引集isDo={（I，j）：I+j≤ I+1}（1）对于在时间I保留的索赔，在下三角中预测未来索赔的指数集为：Dl={（I，j）：I+j>I+1，I≤ 一、 j≤ 一} 。（2） 因此，观察到的上三角形的向量由Yo={Yij:（i，j）决定∈ Do}，相应的协变量向量用xo={xij:（i，j）表示∈ 做}。SimilarlyYl={Yij:（i，j）∈ Dl}和xl={xij:（i，j）∈ Dl}是下三角中索赔和协变量的向量。在分位数回归结构中，我们的目标是推断样本内数据的分位数函数，以及预测样本外分位数函数图1：基于Ylin下三角索赔单元的损失函数估计。分位数函数回归的估计有三个主要组成部分：o条件分布，在这种情况下，根据权利要求数据a给出的从属变量的条件分位数函数，给出了解释变量基于连接函数和强制模型结构的回归结构的结构组成，将回归结构与协变量连接到响应的条件分布和条件分位数函数的位置和规模自变量的实际选择，即。

对于回归模型中的协变量，在这种情况下，我们还将考虑所提出的一些模型中的一些基函数回归结构。在下面的小节中，我们将从我们考虑的分位数回归模型的分布方面开始，详细讨论这些分量。2.1非参数分位数回归模型在一种非参数分位数回归方法中，我们对回归系数进行估计，而无需对响应的分布或等效的残差做出任何假设。如果Yij>0是一组观察到的损失，而xij=（1，xij1，…，xijm）是描述Yij的协变量向量。对数变换医学数据Y的分位数函数*ij=ln-Yij∈ R isQY*（u | xij）=α0，u+mXk=1αk，uxijk（3），其中u∈ （0，1）是分位数水平，αu=（α0，u，…，αk，u）是分位数水平u的线性模型系数，通过求解minα0，u，。。。，αm，uXi，j≤Iρu（ij）=Xi，j≤Iij[u- I（ij<0）]（4）和ij=y*ij- α0，u-mPk=1αk，uxijk。那么原始数据的分位数函数是QY（u | xij）=exp（QY*（u|xij））。Koenker和Hallock（2001）说明了我们在图1中表示的分位数回归的损失函数ρuf。Koenker和Machado（1999）以及Yu和Moyeed（2001）表明，方程（4）中用于估计参数向量αuis的损失函数最小化的解等价于AL分布参数的最大似然估计。因此，参数向量αuca可以通过具有pdff（y）的AL分布来估计*ij |uij，σij，p）=p（1- p） σijexp-（y）*ij- u*ij）σij[p- I（y）*ij≤ uij）]（5） 其中，偏斜参数0<p<1给出分位数水平u，σij>0为标度参数，且-∞ < u*ij<∞ 是位置参数。

由于pdf（5）包含损失函数（4），因此可以清楚地看出，最大化（5）的参数估计将最小化（4）。在这个公式中，AL分布表示给定协变量的观测依赖变量（响应）的条件分布。更准确地说，铝分布的位置参数uij将线性回归模型中的系数向量αu和相关自变量协变量与铝分布的位置联系起来。还值得注意的是，在这种表示下，可以直接扩展分位数衰减模型，以允许响应中的异方差，异方差可能随分位数水平u的变化而变化。为了实现这一点，我们可以简单地添加一个与比例参数σij相连的回归结构，其方式与位置参数相同。等价地，我们假设Y*ij有条件地遵循由Y表示的AL分布*ij~ 铝（u）*ij，σij，u）。西尼*ij=u*ij+*ijσij（6）式中*ij~ AL（0,1,u），u*ij=α0，u+mPk=1αk，uxijkandσij=exp（β0，u+νPk=1βk，usijk）。关于连接函数的选择和回归项的结构的讨论将在后面的章节中进行。在以这种方式呈现模型时，我们已经开始转向无参数分位数回归结构的表示。2.2参数分位数回归模型我们可以采用参数方法研究分位数回归结构。两种类型的分布，基于实际支持R 还是积极支持R+可以考虑和webegin一起发布R. 在这种情况下，我们假设Y*ij~ F（y）*|θ） 其中F（y）*|θ） 是条件累积分布函数（cdf）和θ∈ Θ是模型参数的向量，包括所有未知系数参数和分布参数。

Y的条件分布的分位数函数*Ijjat a分位数级别u∈ （0，1）由以下公式得出：QY*（u|xij）≡ inf{y*: F（y）*|θ) ≥ u} 。（7） 根据这个公式，（7）中的条件分位数函数可以写成qy*（u | xij）=u*ij+Q*（u） σij（8），其中Q*（u） =F-1z*（u） 是标准化变量Z的逆cdf*ij=Y*ij-u*ijσijo和nemay可结合回归结构，位置和尺度函数如下所示：位置：u*ij=α+mXk=1αkxijk，（9）标度：σij=exp（β+νXk=1βksijk）。（10） 变换分位数函数QY*（u | xij）回到数据的原始刻度Yij=exp（Y*ij），我们建议QY（u | xij）=exp（QY*（u|xij））。我们注意到，没有唯一的方法来转换分位数函数QY*（u | xij）代表Y*i返回到Yijand，建议的转换QY（u | xij）=exp（QY*（u | xij））一般不等于对数分布的分位数函数。备注：我们观察到，非参数和参数量子位回归模式LS之间的区别在于，在参数s结构中，我们明确了用Q（u）表示的“残差”的分位数函数。关于分发R+, 我们假设Yij~ F（y |θ），平均exp（u*ij）在哪里*第（9）条给出了这一点。接下来，我们将明确几个可能的参数模型，人们可以在风险边际分位数回归中考虑。在给定协变量的情况下，每个模型对响应分位数函数施加的偏度、峰度和尾部重量之间的关系具有不同的相关特性。2.2.1非对称拉普拉斯分布如上所述，AL分布族是一种有用的模型结构，自然构成分位数回归框架。

如上所述，AL分布是一个三参数分布，已被证明与分位数回归框架中的分位数估计直接相关，详见Yu和Zhang（2005）。自认识到这一点以来，AL家族已被用于多个金融风险和计量经济学设置，如Guermat和Harris（2001），他们使用对称拉普拉斯分布和GARCH波动率来模拟短期资产回报。Lu等人（2010年）通过al分布将其扩展到允许性。Yu和Moyeed（2001）将AL分布应用于分位数回归，尽管到目前为止，在保险和特别是风险边际方面还没有这样的发展。在这里，我们提出了这样一个风险边际估计模型。如果我们用AL分布对残差ij建模，则观测数据的分位数函数Y*ijis由（8）给出，其中F-1z*（u） 是cdf（分位数函数）的逆函数-1AL（u |u，σ，p）=（u+σ1-扑通一声（向上），如果0≤ U≤ p、 u-σplog（1）-u1-p） 如果p<u≤ 1.（11）为了理解铝分布的三个位置、形状和比例参数如何影响分布的形状和尾部，还需要注意参数与铝分布的均值、方差、偏度S和峰度K之间的以下关系：E（Y）=u+σ（1）- 2p）p（1）- p） ，V ar（Y）=σ（1）- 2p+2p）（1- p） p，（12）S（Y）=2[（1）- p）- p] （（1）- p） +p）3/2，K（Y）=9p+6p（1）- p） +9（1）- p） （1）- 2p+2p）。（13） 注意，铝分布的形状参数p给出了倾斜的大小和方向。当p>0.5时，AL分布向左倾斜，当p<0.5时，AL分布向右倾斜，因此它可以通过此形状参数p直接模拟大多数对数变换损失数据的左偏。

此外，由于保险业采用的风险边际大多大于50%，因此AL分布允许计算分位数，而不是简单地进行平均估计。图2（a）和2（b）分别显示了铝分布及其偏度和峰度的各种pdf。图2：（a）不对称Lapl-ace分布的pdf-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4（a）ALD密度，p<0.5密度u=0，σ=1，p=0.1u=0，σ=1，p=0.2u=0，σ=1，p=0.3u=0，σ=1，p=0.45-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4（a）ALD密度，p>0.5密度u=0，σ=1，p=0.55u=0，σ=1，p=0.65u=0，σ=1，p=0.75u=0，σ=1，p=0.95-4.-2 0 2 40.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0（c）ALD密度，p=0.75ydensityu=0，σ=0.3，p=0.75u=0，σ=0.5，p=0.75u=0，σ=0.7，p=0.75u=0，σ=1，p=0.75图2：（b）不对称拉普拉斯分布的偏度和峰度0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.-1.0.1.2基尼斯基尼斯。0.2 0.4 0.6 0.8 1.06.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0荨麻疹峰度2。2.2幂次帕累托模型作为参数分位数回归模型的第二选择，我们考虑了Cai（2010）的框架。该方法建立了多项式幂帕累托分位数函数模型。该模型将功率分布与帕累托分布相结合，使我们能够对分布的主体和尾部进行建模。

在考虑PP模型时，响应的条件分位数函数（每个单元中的储备）由两个分量组成：o分量1：功率分布F（y）=yγ，其中y∈ [0,1]和γ>0，相应的分位数函数t由Q（u；γ）=uγ表示∈ [0, 1]; 和o成分2：帕累托分布函数F（y）=1- Y-γy在哪里≥ 1和γ>0，然后由Q（u；γ）=（1）给出相应的分位数函数- u）-γ.我们可以利用这样一个事实，即两个分位数函数的乘积仍然是一个严格有效的分位数函数，从而产生了多项式幂帕累托模型中常见的新分位数函数。由此产生的结构形式由帕累托分布的逆cdf和n个额外的多项式幂项给出：F-1P P（u |γ，γ）=uγ（1- u）-γ. （14） 因此分位数函数再次由（8）给出，其中Q*（u） =F-1P P（u）和QY（u）=exp（QY*（u） ）。根据该分位数函数的规定，可以推导出PPY模型的pdf*ij=ln yij，由fp P（y）给出*ij |γ，γ）=u1-γij（1）- uij）γ+1σij[γuij+γ（1- uij）]，其中Uiji是通过求解为每个观测值定义的方程组得到的*ij=u*ij+uγij（1）- （uij）-γσij。（15） 在这里我们再次讨论这个位置*ij=u*ij（α）在（9）中，标度σij=σij（β）在（10）中，作为回归系数和相关协变量的函数。我们注意到，在这种情况下，uijis是回归结构的隐函数，每个uijis都是（15）中方程组的解。为了完成多项式幂帕累托模型的说明，我们绘制了单位比例因子σ=1的幂和帕累托成分的一系列不同幂参数的密度形状。

图e 3中的这些图展示了通过改变参数γ和γ，可以从这样的模型中获得的灵活偏度、峰度和尾部特征。图3：幂帕累托分布的pdf 0.20.40.6 0.8 1.2 1.4 1.601234多项式幂帕累托密度图0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.600.511.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1 1.2 1.4 1.600.511.5γ2=0γ2=0.15γ2=0.5γ2=1.25γ1=0.75γ1=0.25γ1=0.92.2.3第二类家庭的广义β分布指出，YWE和PP家庭需要采用分位数回归模型建模前对数据进行日志转换，以确保数据具有真正的支持R 这些分配是定义的。在进行这种转换时，必须仔细分析转换对这些模型拟合能力的影响，并且必须就转换对模型的解释性进行解释。如果某些事故和发展年份的数据中存在零计数，则情况尤其如此。此外，在索赔服务中，损失数据往往表现出重尾行为，尤其是对于长尾业务类别。为了解释这些特征，并消除考虑数据预转换的需要，可以考虑第二类广义b eta（GB2）分布族。第二类广义贝塔分布（GB2）对损失准备金数据的建模具有吸引力，因为它具有积极的支持作用R+并嵌套了一些重要的分布作为其特殊情况。GB2分布有四个参数，可以用不同的流动密度表示。