基于参数和非参数贝叶斯的风险边际分位数函数

例如，如果一个人有损失分布R+那么，一个人就可以得到byFYT给出的下界yt | bθ（D）:=仅供参考，2* 供参考-1,3* 供参考-2,4* · · · * 仅供参考，我y | bθ（D）~ cX（i，j）∈德尔菲伊y | bθ（D）, 就像我一样→ ∞,（42）对于一些c≥ 1.注意，如果至少有一个较低的三角形损失Yijis按照重尾损失分布分布，如次指数、规则变化或长尾损失分布，则可以找到c的精确值。例如，如果总损失为最大等效，则c=1，请参阅规则变化、次指数、指数的定义，Bingham et al.（1989）中的长尾和最大和等价，以及此处讨论的保险和分位数函数近似，请参阅Peters et al.（2013）最近的教程和其中的参考文献。通过使用从后验π（θ| D）获得的马尔可夫链蒙特卡罗样本来求解积分，可以近似地得到任何模型的这些条件预测分布。然后，给定预测分布，可以根据以下方法找到分位数函数：o完全预测后分位数函数：由QYij | D（u）：=F给出-1Yij（yij | D）是二阶常微分方程的解：ddQYij | DfYijQYij|D（u）|DdQYij | Ddu+ fYijQYij|D（u）|DdQYij | Ddu=0，通过两次区分以下身份获得：FYijQYij|D（u）|D=ZQYij | D（u）fYij（y | D）dy=u。

（43）这个二阶常微分方程的解通常可以以幂级数的形式找到，见Gyorgy和Shaw（2008）中的讨论条件预测后分位数函数：QYij | bθ（D）（u）：=F-1Yiju | bθ（D）（44）这是我们建议的最方便的选择，因为在这种情况下，预测分布的反比采用了第2.2节详述的特定模型的封闭形式表达式条件总储备后分位数函数：在许多情况下，还需要找到与总储备对应的分布的分位数函数，在条件独立的情况下，由F给出-1YTyt | bθ（D）式中，这由等式41中分布的分位数函数给出。一般来说，必须通过数值计算来确定卷积分布的卷积和逆。关于这些量，有许多已知的基本结果，例如独立或相依的轻尾和重尾随机变量的不同性质的渐近结果和界限，见Kaas等人（2000）中的讨论。索赔过程的轻尾运行效应：如果索赔三角形中没有损失单元是重尾的，则通常需要近似所有损失的部分和的尾分位数。在Kaas等人（2000）中，他们研究了随机变量的部分和，没有独立性假设或相同的边际分布假设。唯一的假设是，每个月的疾病都不那么严重，因此每个月都有一个明确的平均值。回忆一下两个随机变量X，andY，X，Y在凸序X下的情况会很有用≤CXY对所有凸实函数g（·）具有有限期望的一个相位[g（X）]≤ E[g（Y）]。

（45）因此，如果两个均值相等的随机变量X和Y的CDF交叉一次，则它们是凸序的。然后我们可以证明，在这种情况下，对于任何损失分布序列FYij（i，j）∈以下凸序关系保持sx（i，j）∈德莱杰≤CXX（i，j）∈DlF-1 Yij（U）（46）代表U~ U[0,1]，见Goovaerts等人（2000）中的推导。这一结果意味着，在凸阶意义下，由给定边缘的损失的最危险联合向量组成的总损失Y具有共单调联合分布。由于所有分量都是公共随机变量U的非递减函数，因此其分量具有最大依赖性。因此，我们考虑以下基于最保守估计的总损失分位数函数近似值，使用上述边界，给出byF-1YT（u）=X（i，j）∈DlF-1Yij（u）。（47）注意，在严重故障损失的情况下，可以对大分位数进行如下定义。索赔过程的重尾运行效应：或者，如果已知下三角中损失分布的其他特征，例如这些损失模型包含t leastone重尾损失分布，则可以将总分位数函数结果绑定。这可以保守地通过考虑分布的T倍卷积来实现，比如F(*T）易*J*对应于所有下三角元素之间的损失分布，具有规则变化的主导指数（即最重的尾部）。在这种情况下，当分位数变大时，通常会对SUM的分位数函数使用一个渐近结果→ 1.例如，可以使用一阶或二阶渐近结果，见Peters等人（2013）和Cruz等人（2014）的讨论。

例如，如果分位数回归的结构使得部分和的分布YT=P（i，j）∈德莱杰~ FYTis r规则随指数ρ变化≥ 0，条件i.i.d.Yij，每个Yij都有正支撑，那么我们可以写出Firstorder尾近似值，它渐近等价于以下Fyt（y）~ 仅供参考*J*（y） ，y→ ∞, （48）参见Peters等人（2013）中的详细教程。这将导致通过表达式qyt | bθ（D）（u）：=inf渐近逼近所需的分位数Y∈ R+：FYT（y）>u≈ infY∈ R+：TFYi*J*（y） <1- U≈ QYi*J*|bθ（D）1.-1.- 美国犹他州:= F-1Yi*J*1.-1.- uT | bθ（D）（49）5以色列数据的模型结构分析在本节中，我们进行了两项核心研究：第一项涉及分离分位数回归的结构成分，以便对最适合代表性索赔保留数据集示例的平均函数和方差函数进行研究。因此，这是使用AL模型的非参数和贝叶斯公式进行的，并对均值和方差函数进行了不同的假设。第二种方法是分离分位数回归的分布选择，我们采用最佳拟合参数模型均值和方差函数结构，并利用这些来研究不同分位数函数选择下的分布特性。本节中使用的数据集对于此类基准测试非常有趣，因为之前已经对其进行了研究，并且其特征相当众所周知，有关以色列数据集的更多详细信息，请参见Chan et al.（2008）。数据见附录I中的图e 18，代表以色列一家保险公司的赔付金额Yijj，涵盖1978年至1995年期间，包含171项观察结果。为了便于数学计算，两个零索赔金额被替换为0.01。

在这些数据中观察到了一些总体趋势。考虑到一个事故年，在最初的4到6个发展年中，平原发展量通常会增加，然后增加，之后总体呈下降趋势。该数据的平均值、中值、方差和峰度分别为4459.7、3871、12059、232.6和-0.4。总体偏斜度为0。58，对数刻度为-2.67。Chan等人（20 08）使用广义t（GT）分布对该数据进行了研究，该分布表示为均匀分布的尺度混合，这是贝叶斯实现的基础。他们采用ANOVA和ANCOVA均值结构来研究事故年份和发展年份对条件均值函数的影响，而不是对任何分位数水平的影响。此外，他们还指出，对数变换后的数据会出现负偏斜，对称分布无法适应这种情况。因此，他们建议采用一些偏差分布来改善模型性能。我们之前对该数据的研究的主要出发点是推测，使用平均效应的度量可能不适合理解更高分位数的损失储备。更高的分位数项目在损失准备金、再保险保费计算以及风险评估中至关重要。

在本节中，我们使用了第2节中关于分位数项目的所有模型，目的是对模型性能进行更全面的研究，在事故和发展年份，分位数趋势和异方差的分布具有不同的尾部行为和模型结构。5.1分位数回归模型分析：位置和尺度为了研究位置（均值）和尺度（方差）函数的模型结构，我们考虑了两种设置：第一类模型涉及使用固定（用fix表示）或待估计（用est表示）的AL分布的参数模型，由（26）至（28）得出的平均函数和不变的方差（模型00-20）或由（34）给出的方差（模型03-23）；第二类模型涉及一组非参数模型，这些模型也采用均值函数（28）和方差为常数或由（34）给出（模型30和33），使用在不同分位数水平固定的AL asa代理分布进行研究。对于模型比较，采用偏差信息准则（DIC），详情见附录III。由于DIC较小的模型优于DIC较大的模型，因此表1中提供的模型比较结果表明，在参数模型中，根据DIC，将事故年和发展年的方差分析模型与均值和方差函数相结合的模型是最适合的模型。这表明，事故年份和发展年份效应在描述均值和方差动态方面都很重要。因此，这些ANOVA类型的均值和方差函数尽可能应用于大多数后续分析。

对于非参数模型，方差为方差的Mw比方差为常数的Mw提供更好的效果。表1：所有参数和非参数模型DIC+D^Dp模型DIC+D^DpVariance常数方差函数1995的p和模型fit度量估计。41255.21315.020.85（东部标准）M272。82334.74396.660.93（东部）M223。30 284.10 344.91 0.88（est）M199。14247.49295.850.95（东部标准）M50。94120.17189.400.81（东部标准）M-20.8124.9170.630.75（东部标准）M55。94 125.61 195.28 0.30（fix）M-37.06 38.34 113.74 0.30（fix）M73。10152.26231.430.50（fix）M-38.8035.51109.820.50（fix）M55。26132.56209.870.75（fix）M-17.3353.40124.12075（fix）M44。86 116.38 187.91 0.95（fix）M-64.26 3.68 71.62 0.95（fix）+D是后验平均偏差Eθ[-2对数f（y |θ）；^D=-2 log f（y |θ），其中θ是参数模型和非参数模型M之间θ的后验平均值，非参数模型根据DIC提供更好的模型性能。这些模型对应于具有均值和方差函数的AL模型，我们研究了它们在一系列固定分位数水平下的性能∈ {0.3,0.5,0.75,0.95}如图5所示。该图显示了不同分位数级别的已安装模型的分位数-分位数图，表明了一系列不同分位数级别的特定模型结构中的适当分位数。图5：不同分位数水平下非参数模型的QQ图0.5000-10000 150000-4000-8000实际与拟合QQplot ALD-0.3实际数量安装数量0 5000 10000 150000 4000 100000实际与安装的QQ批次ALD-0.5实际数量安装数量0 5000 10000 150000 4000 100000实际与安装的QQP批次ALD-0.75实际数量固定数量0.5000 10000 150000实际与。

安装QQplot ALD-0.95实际数量定量此外，我们调查了图6所示的开发年份效应趋势，图6报告了固定损失SBY1j=exp（u*1j）在哪里*1JI由（28）给出，并使用（44）中第一个事故年（i=1）的条件预测后分位数函数计算。分位数levelsu对应于AL分布中分别设置为0.3、0.5、0.75和0.95的形状参数p。该图表明，在所有分位数水平上，发展年的共变异性t e有一个明显的非线性趋势，该趋势在j=4之前均匀增加，随后在所有分位数水平上降低。此外，所有量化水平的固定损失趋势与观察到的趋势一致。图6：第一个事故年各分位数的拟合损失5 10 150 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 ALD模型事故年一个分位数预测发展年索赔分位数0.3分位数0.5分位数0.75分位数0.9分位数0.95为了总结模型结构的基准分析，我们还提出了具有均值和方差函数的最佳模型M所有事故年份的估计模型趋势，如图7所示，五个三角形热图。热图分别描述了上三角在所有五个分位数水平上的事故损失和发展年份，其中第一行对应于图6中的研究结果。所有热图显示，在所有事故年份和分位数水平的发展年份中，具有一致的趋势，损失水平较高，如第四个发展年份左右的浅色所示，尤其是在事故较低的年份。

随着分位数水平的增加，每个事故年的浅色宽度增加，表明峰值附近的固定损失水平更高。图7：使用M的分位数上三角形的拟合损失5 10 155 10 15 30%分位数项目发展年的热图事故年2000 4000 6000 8000比率10 155 10 15 50%分位数项目发展年的热图事故年0 2000 6000 10000比率10 155 10 15 75%分位数项目发展年的热图事故年2000 6000 10000 14000比率10 15510 15 95%分位数项目开发年事故年5000 10000 15000比率的热图尽管非参数模型的DIC值较低，但表1显示，参数模型在应用模型复杂性惩罚之前，实际上根据“Ds”提供了可比模型。这是因为具有附加形状参数的参数化模型会受到更大的模型复杂度惩罚。然而，应该注意的是，参数模型在一系列模型和分位数水平上提供了更好的通用模型。此外，参数模型还有一个显著的优势，即在计算风险边际和基于分位数的风险度量时，只要分位数函数是封闭形式，它们将更容易解释和直接使用，如第4节所述。

对于参数模型下与模型选择M2·相对应的均值结构，我们还研究了不同的方差结构，以探索AL分布下方差函数的不同选择。表2：具有方差分析平均值和各种方差函数模型DIC^D MSE pσM50的所有模型的参数估计和模型度量。94120.71189.401015.710.800.02M-4.3256.66117.64849.910.740.04M6。63 54.29 101.9 5 755.66 0.68 0.19M-20.81 24.91 70.63 850.10 0.75 0.17再次，我们确认，在所有具有AL分布的模型中，考虑了事件和发展年份的影响，根据DIC，均值和方差显示出最佳模型。另一方面，MSE倾向于仅采用发展年效应的M。一个可能的原因可能是，与跨开发年份的付款相比，不同意外年份的付款相对稳定，因此开发年份的影响在方差估计中占主导地位。5.2分位数回归模型分析：分位数分布在本节中，我们从分布的角度分析不同的模型选择。这并不是简单的事情，因为每个模型都有不同的特点，在比较中必须考虑到这些特点。从之前的研究中可以清楚地看出，对于事故和发展年份效应（M2·），我们应该始终使用anANOVA型平均函数，或者对于发展年份效应（如M1·），使用最小t型二次函数或基函数形式。因此，在GB2和AL模型的情况下，我们将考虑M2·中的平均结构。然而，在PP模型的情况下，我们将考虑M1·，因为纯粹从计算角度来看，与M2·相比，M1·更容易实现高效的MCMC采样器。