基于参数和非参数贝叶斯的风险边际分位数函数

这是因为Metropolis Hastings接受概率中的拒绝阶段，在PP模型下，后验约束区域将更容易满足，模型复杂度更低。在方差函数方面，当使用GB2模型时，我们将考虑M2·在其中，我们没有指定方差函数，因为在分布模型中没有方差参数，因此我们直接使用方差。模型的方差由（19）给出。然后，在AL模型的情况下，我们考虑Mas以及对于PP模型的Mand，我们考虑Mand M。表3报告了根据具有常数、未指定和动态变化函数的模型划分的结果。在恒定或未指定方差的情况下，表现最好的模型是AL模型，其次是GG模型。在GB2家族中具有积极支持的分布中，GG根据DIC提供了最佳模型，具有模型复杂性，而GB2模型根据MSE提供了最佳模型预测。比较没有模型复杂度惩罚的情况下，GG和GB2提供了非常相似的模型。此外，可以清楚地看到，PP模型仅具有平均值的基函数回归结构，由二次多项式f或发展年协变量的趋势给出，且常数方差不足以捕获所有所需的特征。我们认为，这在很大程度上是因为这种模型更适合于索赔开发中的厚尾运行，而以色列的数据显然没有显示这种特征。因此，预计这种重尾分位数回归模型对该数据的效果不会很好。当方差也被建模时，AL模型显然比考虑的所有其他模型要好得多，而且与所有选择相比，AL模型是最优的。

由于PP模型不适用于该数据，我们将考虑仅使用GB2和ALM模型进行分析。表3：不同分布模型的参数估计和模型拟合度量模型DIC^D MSE a p qσ分位数回归：未指定方差函数M2·Gamma 3064.50 3028.93 2993.36 537.82 1.87∞ M2·GG 2707.42 2932.97 3158.52 582.78 33.22 0.08∞ M2·GB2 3002.82 2964.60 2926.37 526.65-7.94 1.78 0.17分位数回归：常方差函数MPP 3272.14 1021.71 1230.01 11 32.12----14.15摩尔50.94 120.17 189.40 1015.71-0.80-0.02分位数回归：非常方差函数MPP 1502.19 1906.49 2310.98 923.00----9.10摩尔-20.81 24.91 70.63.10-0.75-0.17接下来，我们比较GB2的标准化残差，结构下的伽马和GG模型以M2为单位，与最佳拟合模型相比，即Mwith^p=0.75。我们首先评估这些模型在样本中的表现，对比图8所示的标准化残差的历史图，观察以下拟合模型密度。该图显示，具有GB2分布的M2·和具有AL分布且^p=0.75的MW为标准化残差提供了良好的fit，其中伽马分布提供了最差的fit。图8：标准化残差图GB2Claim支付数据密度0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Gammaclaim支付数据密度0 1 2 3 40.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 AldClaim支付数据密度-10-8.-6.-4.-2 0 20.05 0.15 0.25ALD恒定差异索赔支付数据密度-50-40-30-20-10 00.00 0.05 0.10 0.15然后，对于样本外分析，我们在图9中显示了GB2和AL（p=0.5）模型下的预测总索赔准备金中值。

为了比较样本外预测的这些模型，我们通过绘制（p）和百分位p来比较四个模型的拟合损失，其中（p）是指上三角形ar中allbYij=uij的p-th百分位，以升序排列。我们可以看到，使用AL模型的固定损失与观察到的损失最为接近，GG和GB2模型提供了非常相似的固定损失，而gamma模型提供了最差的固定损失。图9：使用GB2族和AL分布的上三角中固定损失的百分位数0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5000 10000 15000QuanitleClaim PaymentDataALD0。5GB2GGATable 4：使用GB2和AL模型在上三角中选定的固定损失百分位数模型0.30 0.50 0.75 0.90 0.95观察到的1985年3871 6990 9327 10200m2·伽马2760 4496 8036 9600 10700m2·GG 2378 4498 6451 7486 8040m2·GB2 2480 4463 6526 7737 8247Mal（p=0.5）2255 3734 6422 8696 9715表4报告了p=0.3、0.5、0.5、0.5、0.75、0，0.9和0.95使用四种模型。由于模型评估显示有足够的模型，我们应用模型预测不同分位数水平的损失。图10显示了给定分位数水平u和模型的上三角每个单元中的分位数QY（u | xij）损失的箱线图。比较不同的模型，AL模型的箱线图具有最重的右尾，箱线图的范围在更高的分位数水平上差异更大。

特别是，与GG和GB2模型相比，gamma和AL模型的量程增加得更快。图10：使用GB2族和铝分布的上三角预测质量箱线图GA GG GB2 AL0 2000 6000 100000.3 QuantileGa GG GB2 AL0 2000 6000 100000.5 QuantileGa GG GB2 AL0 10000 300000.75 QuantileGa GG GB2 AL0 10000 300000.9 QuantileGa GG GB2 AL0 10000 300000.95 QuantileGa GG GB2 AL0 200000 60000.995 QuantileGa GG GB2 AL0还可以在图11以升序在每个方框图中绘制分位数QY（u | xij）。这与图9类似，但分位数QY（u|xij）（p）的百分位数（而不是（p）ij）与百分位数p对应。图11中的每一行对应于一个分位数水平u=0.3、0.5、0.75、0.9和0.95。这些所谓的经验分位数线对于GG模型来说是密集的，对于伽马模型来说是稀疏的，对于GB2模型来说是中等的，这表明当分位数水平u逐渐增加时，GB2分布提供了分位数估计，可以合理地覆盖在百分位P上观察到的损失。我们还注意到对数尺度上的经验分位数是凸的，而不是凹的，并且由于对数变换而更密集。图11：使用GB2和AL模型0在上三角中预测质量的百分位数。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5000 15000GB2%的支付数据0。950.90.750.50.30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.6 10低成本支付数据0。950.90.750.50.30.0 0.20.40.6 0.8 1.00 5000 15000GG百分位数工资数据0。950.90.750.50.30.0 0.20.40.6 0.8 1.00 5000 15000Ga百分位数工资数据0。950.90.750.50.3然后，图12绘制了分位数水平u上的量化函数QY（u | xo）∈ （0,1）使用（22）表示G B2分布族中的gamma、GG和GB2，以及exp（QY*（u|xo）在（8）中*（u） =F-1z*（u） 对于AL分布，由（11）给出。

请注意，QY（u | xo）或u中的平均u*exp（QY）*（u | xo））由exp（u）的平均值给出*ij）或u*在上三角中的风险单元。同样，由于对数变换，AL分布的右尾最重。图12：使用GB2族和AL分布的分位数函数0。2 0.4 0.6 0.8 1.00 5000 10000 15000QuanitleClaim Payment GB2GGGAALDL我们进一步使用这些模型，使用（47）中的条件预测后验法计算表5中报告的未偿储量（OR），其中，对于索赔过程中的轻尾运行效应，采用了条件总储量后验分位数函数，因为索赔分布显示为：在之前的分析中，我们要保持轻描淡写。在Solvency II框架下，保险公司必须制定技术条款，以涵盖投保人提出的未来索赔。保险公司还必须拥有足够的财务资源，以满足最低资本要求和SCR。SCR基于在一年时间范围内被校准为99.5%置信水平的Va R测量。表5中的结果显示，OR投影逐渐增加至95%分位数水平，但在99.5%分位数水平时急剧增加。表5：使用GB2族和AL分布模型的不同分位数水平的未动用储量0.30 0.50 0.75 0.90 0.95 0.995M2·伽马127816 198907 324515 474073 581302 920142m2·GG 203207 248409 291457 314,4 82 323346 337658m2·GB2 152315 22517 311625 377154 413525 512731MAL 145031 176926 314454 435,4 02 462980 5606风险边际：澳大利亚案例研究监管机构计算风险边际的指导意见使从业人员采用的实际建模方法具有灵活性。在实践中有几种流行的方法，其中一些涉及一定程度的专家意见。

在本节中，我们只考虑基于统计模型的方法，尤其是基于百分位数和分位数的方法。在这种情况下，标准做法是考虑储量估算，然后尝试量化与储量估算相关的不确定性。这种不确定性通常通过标准误差来测量，标准误差用于调整储备。传统上，如果损失分布产生了一个估计量f或一个允许正态分布的储量（大约低于中心极限结果），那么将风险边际设置为等于样本估计量f或储量加上样本估计量标准偏差的0.675倍，将导致风险边际调整到大约第75个百分位。请注意，虽然如果存在重尾径流，总损失分布可能没有单位二阶矩，但储量分布的样本估计值的方差将始终很好地确定。应该注意的是，这种方法克服了缺点，因为在确定适当的倍数时，有一个有效的判断，尤其是当由于样本估计量分布被扭曲而不存在正态性假设时。或者，可以利用总损失分布的分位数回归模型。有两种基本的方法可以实现这一点，例如，一种方法可以代替平均储备，一种基于分位数的储备。这可以通过风险度量，如VaR，代表99.95%的总损失分布，在这种情况下，人们可以判断从这种尾部度量中获得了保守的准备金度量，因此不需要额外的风险边际。

这是巴塞尔协议II/III等银行监管的标准，保险监管也考虑到了这一点。或者，他可以将OSS的总利润作为SDR的中间值，也可以将其作为SDR的总利润进行调整。第三，如果考虑了基于损失分布平均值的传统准备金估计，那么如果使用基于总损失分布的尾部分位数（比如75%）的风险边际调整，则可能会出现两种情况。在这种情况下，估计的平均准备金可能低于总损失分布的预期风险保证金数量水平，在这种情况下，如果风险保证金已经达到75%的尾部，则不进行进一步调整是合理的。或者，如果估计的平均准备金低于总损失分布的预期风险边际量化水平，则差异将是产生的风险边际。在本节中，我们将在前面几节中扩展最佳模型，即AL分布的M模型，以对风险边际进行统计建模。为了实现这一点，我们通过以下回归pi=φ+φi来推广ALdistribution，以建模形状参数p，其中φ是截距，φidenotes是意外年份效应。之所以选择意外年份效应，是因为风险资本配置是按意外年份进行的。值得注意的是，该方法的一个重要假设是：假设实际未偿索赔金额在事故年份之间不存在相关性。因此，估计的形状参数p呈现分位数分布，并通过百分位数法推断风险边际，是未决索赔付款的适用风险边际估计值。

图13还显示了我们提出的方法与传统方法之间的差异。图13：传统方法（上）与推荐方法（下）我们用来证明我们的模型的数据是截至2008年6月昆士兰州（昆士兰州）所有强制第三方（CTP）保单的支付金额。CTP保险保单承保的风险在美国称为汽车人身伤害，在美国称为汽车人身伤害。K数据以百万为单位，按事故和发展季度汇总，从2002年12月到2008年6月。它包含23个季度的276次观察。为了消除外汇储备的影响，我们利用澳大利亚统计局（ABS）的averageweekly ear ning指数将所有价值汇至20 08美元。因此，本分析中使用的数据代表附录I图19中报告的QLD CTP投资组合的累积费用。为了审查数据的特征，图14绘制了事故年份和对数标度的观察到的差异。它表明，在最初的规模上，方差在整个事故年中影响很大，但在对数规模上则显示出急剧下降。图15显示，在原始刻度和对数刻度上，偏度大多为负值。数据的总体偏斜度为0.61，对数标度为-1.08。偏度的趋势显示，在开始时，偏度会急剧下降，然后在原始量表上的数据会出现意外年份，但在对数量表上的数据会增加单调性。这些变化证实了在数据建模中采用动态方差和偏度的必要性。在分布的选择中，AL分布允许通过直接模拟比例和形状参数σ和p来模拟方差和偏度。

此外，在使用AL作为模型实施的代理分布的非参数回归中，p表示模型的分位数水平，该分位数水平与损失准备金的风险损失有关。在QLD CTP数据分析中，我们采用方差分析型模型（M）进行均值和方差分析，因为它已被证明提供了最佳的模型性能。我们进一步建议将风险边际p建模为事故年份的线性函数。一个原因是，随着意外年份的增加，估算储量时会涉及更多的不确定性；因此，它是风险边际估计的一个重要因素。该模型在附录中称为M′。图14：事故年份QLD CTP支付数据的观察差异51055.0e+061.0e+071.5e+072.0e+072.5e+073.0e+073.0e观察差异事故年份差异51050 2 4 6 8 10对数规模的观察差异事故年份差异图15：事故年份QLD CTP支付数据的观察偏差5100-0.4-0.20.0 0.2 0.4 0.6QLD数据事故年份偏差5 10 15 20-4.-3.-2.-1Log QLD数据偏态然后将具有动态方差和偏态的M′与两个模型进行比较，M具有恒定方差和偏态，M仅具有动态方差，如表6所示。尽管MoutPerform“根据DIC，M”提供了最佳的模型，根据D，M单独衡量模型，不考虑模型的复杂性。由于我们的目标是提供最准确的风险边际估计，我们在随后的风险边际分析中采用了M′。

从建模的角度来看，它与我们的风险边际估计方法相一致。表6：使用QLD CTP支付数据模型DIC’D^DE（Y）V ar（Y）S（Y）MConstant方差和偏斜度-322.55-215.65-108.75 4.33 0.008-0.28m动态方差-311.36-197.71-84.06 7.67 0.22-0.57M动态方差和偏斜度-255.03-229.46-203.90 4.77 0.10-0.18的方差分析模型参数估计和模型度量图16展示了估计的风险边际^经过几年的意外，再加上可信的间隔。图17分别使用（12）和（13）中的方差和偏度方程显示了估计方差和偏度的相应变化。风险边际^p从事故第1年的0.8 95开始，此时方差相当高。之后，在事故第8年，当方差小得多时，它逐渐降低到0.439。从第17年开始，当差异较大且未来还有更多发展年时，风险边际再次增加。在精算实践中，风险保证金的计算通常不是基于可靠的模型，而是使用各种简化的方法。这种方法使我们能够以数学上一致的方式计算非寿险经营负债的风险边际，并提供合理的风险边际估计。图16：使用M′进行风险边际分析时，事故年份p的变化5 10 15 200.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2形状参数估计事故年份图17：风险边际分析时，M′的估计方差和偏度5 10 15 200.2 0.4 0.6 0.8估计方差事故年份方差5 10 15 20-2.-1估计偏差事故年份偏差7结论我们应用分位数回归模型来估计损失准备金和风险边际。