基于参数和非参数贝叶斯的风险边际分位数函数

有关GB2发行版（包括pdf和发行版）的更详细描述，请参见Dong和Chan（2013）。如果Yij∈ R+有条件地遵循GB2分布，然后可以用fgb2（yij | a，bij，p，q）=abij（yijbij）ap给出的密度来表征-1B（p，q）[1+（yijbij）a]p+q，代表yij≥ 0（16），其中a、p和q为形状参数，bijis为刻度参数。在特定情况下，bij可以与分布的平均值uij联系如下：bij=uijB（p，q）B（p+1/a，q- 1/a）（17）其中uij是与协变量u的线性函数相关联的对数*根据关系式：E（Yij）=uij=expα+mXk=1αkxijk！。（18） 然后变量由：V ar（Yij）=uij给出B（p，q）B（p+2/a，q）- [B（p+1/a，q- 1/a）]- 1.. （19） GB2分布是beta分布的推广，pdf:fB（zij | p，q）=B（p，q）zp-1ij（1）- zij）p+q（20）通过变换zij=（yijbij）a1+（yijbij）a。因此GB2分布的cdf由以下公式给出：FGB2（yij | a，bij，p，q）=Zzijtp-1(1 - t） （q）-1） B（p，q）dt=B（zij | p，q）B（p，q）=FB（zij | p，q）（21），其中B（zij | p，q）是不完全贝塔函数。GB2与分位数回归模型直接相关，因为人们也可以根据以下表达式以闭合形式找到其分位数函数：QY（u）=expα+mPk=1αkxijkB（p，q）B（p+1/a，q）- 1/a）F-1B（u | p，q）1- F-1B（u | p，q）a、 （22）GB2家族中有许多广为人知并被广泛使用的子家族，我们给出了两个与我们将探讨的风险边际估计相关的示例，对应于广义伽马和伽马分布子家族。2.2.4 GB2的两种特殊情况为了理解GB2系列模型的灵活性，我们考虑q=∞, 由此产生的GB2分布子族成为广义伽马（GG）分布，参见McDonald等人（1984）的讨论。

GG系列模型由Tacy（1962）独立介绍，作为三参数分布，pdf由以下公式给出：fGG（yij | a，bij，p）=limq→∞abij（yijbij）美联社-1B（p，q）[1+（yijbij）a]p+q=a（yijbij）apexp[-（yijbij）a]yijΓ（p），f或yij>0（23），其中a和p是形状参数，bijis尺度参数与分布的平均值相关：bij=uijΓ（p）Γ（p+1/a）（24），平均值与（18）中的协变量线性函数相关。cdf是fgg（yij | a，bij，p）=Zzijtp-1e-tΓ（p）dt=γ（zij | p）Γ（p）=FG（zij | 1，p），其中γ（zij | p）是较低的不完全伽马函数，zij=（yijbij）a。因此，量化函数由以下公式给出：QY（u）=expα+mPk=1αkxijkΓ（p）Γ（p+1/a）F-1G（u | 1，p）a（25）第二种情况嵌套在GG族中，对应于通过进一步限制a=1获得的两个参数Gammadistribution。

它的pdf和分位数函数是众所周知的，可以用方程（23）和（25）表示，用1代替a。在明确定义了将在参数分位数回归框架中考虑的三个不同分位数回归分布族之后，我们现在介绍了我们在每个分布假设下的分位数回归中考虑的不同回归结构。2.3分位数回归框架的结构组成在我们将采用的模型结构中，正如回归建模中的标准实践一样，一旦我们相信我们对感兴趣的因变量量有合适的解释变量，在这种情况下，条件分位数函数，我们将假设观察值是独立的。在下面的小节中，我们将解释在条件分位数回归结构的每个不同分布假设下，如何引入一个链接函数，将使用独立协变量的回归模型与响应分位数关联起来，以便在分位数函数的位置和规模中建模趋势行为。为了简化所有可能的不同模型考虑，我们只考虑所有回归中的对数链接函数。我们考虑的可能回归结构将被分类为：基于位置的解释因素，即事故和发展年份的趋势；以及基于量表（异方差/方差）的事故和发展年份预测因素。我们注意到，当涉及到不同的分布选择时，因为我们可能会转换观察值，我们实际上在回归中考虑了二次项和乘法项（混合交互作用），因此我们在分位数回归设置中探索了方差分析和ANCOVA回归结构。

附录1的表8提供了我们考虑的每个模型的位置和比例组件的模型结构概述。我们注意到，一般来说，人们可能会认为一个版本的ANCOVA模型适用于PP和AL模型，而一个版本的ANOVA模型有效地适用于AL和GB2家族。此外，我们将允许变量的影响在不同程度上影响不同的分位数水平，从而对模型结构对分位数水平的影响进行有趣的分析。我们注意到，由于本手稿的重点不同于彼得斯、舍甫琴科和乌伊特里希（2009）在泊松-吐温回归背景下所做的重点，因此回归模型比较的重点将主要涉及条件分位数函数分布形式的模型选择，与所有可能的协变量模型子空间结构和嵌套模型相关的模型结构不确定性不太多，因此我们将分析限于下文给出的ANOVA和ANCOVA结构。如果有人对探索和比较每个分布模型中所有可能模型子空间的专门技术感兴趣，我们建议采用彼得斯、舍甫琴科和乌伊特里希（2009年）或最近在Verrall，R.J.和Wuthrich，M.（2013年）中采用的方法。图4：ALmodel（M1·）中位置参数的发展年基函数回归结构。分解水平基函数、斜率基函数和曲率基函数在与示例系数的回归中所起的作用：α=1，αS=0.5，αC=2，λ=0.5，j∈ {1, 2 . . .

，J}年。02 4 6 8 10 12 16 18 2000.20.40.60.811.21.41.61.82α0升- α1S（1）级-E-λj）/（λj）- 斜率α2C[（1-E-λj）/（λj）- E-λj]- 曲率发展年份位置趋势2。3.1位置：发展和事故年趋势模型结构我们考虑的主要协变量集对应于索赔保留结构中的事故年和发展年，以及这些变量通过基函数的转换。从表8可以看出，我们分别根据均值和方差函数使用两个下标来标记模型。模型0o（表示为M0·）和1o（表示为M1·）是（9）中m=2的一般模型的精简位置结构规范，也就是说，相加结构由以下公式给出：模型0o：u*ij=α+α×i+α×j，（26）模型1o：u*ij=α+αSF（j）+αCF（j）。（27）在M0·1条件下，事故和发展年份呈线性趋势。如果考虑跨开发年份的非线性趋势，并假设在事故年份出现共同行为，则可以考虑M1·这是一种在长期结构模型中流行的基础回归模型，称为Nelson-Seigel模型（Nelson and Siegel，1987）。下面的图4给出了我们在该位置选择下考虑的典型基函数示例，其中我们展示了该模型位置趋势的“水平”、“坡度”和“曲率”结构。在位置的方差分析模型规范中，可以采用以下形式：模型2o：u*ij=α+α1i+α2j。（28）该位置（趋势）函数对应于（9）中的一般模型，m=2，αxij1=α1i，αxij2=α2j。参数α1和α2j分别影响事故年份和发展年份，它们满足以下约束条件：α=α=0。

（29）该参数化是在损失准备金的背景下建立的，因此所有参数都与第一个事故年有关，该事故年的信息最多。这些位置函数（26）到（28）通常适用于AL和PP分布。对于正支持的Gamma、GG和GB2分布R+, 考虑日志链接函数，位置函数变为uij=exp（u*ij）。当应用形状参数p=u的铝分布时，模型3o（M3·）对应于非参数分位数函数模型3o：u*ij，u=α0，u+α1i，u+α2j，u（30），其中αo，分位数级别u.2.3.2标度的uare参数：发展和事故年方差模型结构AL和PP分布的方差函数结构有不同的选择，但伽马、GG和GB2分布没有直接建模σ的成分。模型o0（M·0）假设方差σij=σ。模型o0（M·0）至o3（M·3）具体如下：模型o0：σij=σ，（31）模型o1：σij=exp（β+β1i），（32）模型o2：σij=exp（β+β2j），（33）模型o3：σij=exp（β+β1i+β2j），（34）其中表示事故年份和发展年份的参数β1i和β2j分别满足以下约束条件：β=β=0。（35）同样，模型o1至o2对应于（10），其中βsij1=β1i，βsij2=β2j。此外，对于模型23\'，铝分布中的形状参数由事故年份效应进一步建模，具体如下：模型23\'：pi=φ+φ1i。（36）其中参数φ1表示事故年份影响，并满足以下约束条件：φ=0。（37）3贝叶斯框架：后分位数回归在贝叶斯公式下，分位数回归模型的估计很容易采用。

在实际模型中使用贝叶斯方法的一个关键优势在于，我们采用了可用的先验信息，并为所需储量提供了完整的预测分布（de Alba，2002）。为了完成每个模型中的后验分布规范，必须考虑两个组成部分的代表性：回归结构数据的可能性（即密度而非分位数函数）；以及模型参数的先前规格。在上述章节中，给出了可能性的分位数函数，以及以参数和协变量为条件的观测值的关联密度，即每个模型的可能性。因此，为了建立贝叶斯结构，我们只需要给出我们在每个模型中考虑的参数的先验结构。对于由AL分布结构和GB2结构形成的模型，这将是相对直接的，但对于PP模型的情况，这并不简单。在我们下面考虑的实际数据示例中，我们采用了客观的贝叶斯观点，在这种观点中，我们考虑了相对不确定的先验知识。这反映了我们缺乏关于模型参数可能范围或量级的先验知识。例如，均值、方差和偏度分位数回归函数中的参数（系数）的先验值都选择为高斯：α、α、αS、α1i、α、αC、α2j、β1i、β2j、φ、φ1i~ N（0，100）（38）和GB2分布的形状参数为：~ N（01100），p~ Ga（0.001,0.001），q~ Ga（0.001,0.01）。（39）正态分布和伽马分布分别是具有实支持和正支持的参数的标准先验选择，参见Denison等人（2002）中关于可能选择的讨论。

在AL和GB2模型的情况下，这些先验与产生的可能性相结合，产生了每种情况下的标准和明确的后验分布。在PP模型的情况下，必须确定后部支撑，以确保结果分布不标准化，从而确保适当的后部密度。为了确保这一点，必须对后支撑施加约束，后支撑可以由三组参数空间约束唯一表征Ohm, Ohm和Ohm, 对于系数向量α、β和（γ、γ），分别由下式给出：Ohm=（（α0，u，…，αm，u）：α0，u+mXk=1αk，uxijk<yij，i、 j∈ {1,2，…，I}），Ohm=（（β0，u，…，βν，u）：β0，u+νXk=1βk，usijk>>0，i、 j∈ {1,2，…，I}），Ohm= （0，M]×（0，∞), M∈ R+.（40）在这些参数空间限制下，PP模型的后验概率可以很好地定义为适当的密度，参见Cai（2010）定理1中的推导和证明。在Cai（2010）中，他们考虑了一种基于标准Metropolis-Hastings步骤的MCMC方案，当提出的参数值不能满足后支撑约束时，会被拒绝。一般来说，这会导致MCMC链的混合非常缓慢，其性能非常差。我们将这种想法替换为Gibbsupdates内的简单块Metropolis，它允许在受约束后支架的每个组件中进行较小的移动，从而使其更有可能满足约束条件，也更容易设计和调整MCMC方案的提案。与Cai（2010）中提出的方法相比，这是一个显著的改进。我们在R中实现了这个采样器。

对于AL和GB2模型中的其他贝叶斯模型，难以处理的后验分布中的采样涉及Gibbs采样算法（Smith和Roberts，1993；Gilks等人，1996）和Metropolis-Ha stings算法（Hastings，1970；Metropolis等人，1953）是最流行的MCMC技术。对于不太熟悉贝叶斯计算技术的读者，我们建议使用WinBUGS（使用Gibbs采样的贝叶斯分析）软件包，参见Spiegelhalter等人（2004）。WinBugs和R中为每个模型实现的MCMC算法可根据要求提供。在Gibbs抽样方案中，单个马尔可夫链运行60000到110000个it时间段，放弃最初的10000次迭代作为磨合期，以确保参数估计的收敛。收敛性也通过历史和自相关函数（ACF）图仔细检查。在磨合期后，对吉布斯采样器的每10次模拟值进行采样，以模拟来自联合后验分布的5000到10000个随机样本，进行后验推断。参数估计采用后验平均法。4风险度量的分位数预测，风险边际在引言中讨论，预测的储备通常通过预测下三角Dl中每个单元的平均储备在索赔服务设置中执行。其他储备方法可能涉及基于预测储量分布的风险度量的量化，而不是平均预测储量，如VaR、预期短缺（ES）或光谱风险度量（SRM），参见Peters等人的教程综述中的讨论。

(2013).此外，为了量化预测储量的中心测度f中的不确定性，可以交替采用储量的中心测度，并根据预测储量的分布以分位数函数的形式进行风险边际调整。在计算所产生的总未动用储量所需的任何措施时，首先需要获得预测密度，在贝叶斯设置下，可以通过以下两种方法之一获得每个Yij的预测密度∈ Dl:o完全预测后验分布：FYij（yij | D）=ZyijfYij（y | D）dy=ZyijfYij（y |θ）π（θ| D）Dθdy。在这里，所有后验参数的不确定性都被整合到预测分布之外条件预测后验分布：FYijyij | bθ（D）=ZyijfYijy | bθ（D）其中，点估计器bθ（D）包含来自上三角的信息。常见估计量的例子包括后验均值bθ（D）=bθ（MM-SE）或模式bθ（D）=bθ（MAP）。使用这些预测分布，人们可能还对一些数量感兴趣，例如根据随机变量YT:=P（i，j），下三角中损失之和给出的未偿索赔总额的分布∈根据FYT给出的卷积，在完全可预测的后验分布下给出分布yt | bθ（D）:= *（i，j）∈德尔菲伊y | bθ（D）=仅供参考，2* 供参考-1,3* 供参考-2,4* · · · * 仅供参考，我y | bθ（D）.（41）式中，将下三角中损失元素的分布与* t卷积算子。然后，一个人可以陈述关于总损耗分布的尾部行为的几个特征，也可以陈述高分位数的尾部行为，如y→ ∞, 取决于总和中单个损失随机变量的属性。