基于参数和非参数贝叶斯的风险边际分位数函数

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英文标题：
《Risk Margin Quantile Function Via Parametric and Non-Parametric Bayesian
  Quantile Regression》
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作者：
Alice X.D. Dong, Jennifer S.K. Chan, Gareth W. Peters
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We develop quantile regression models in order to derive risk margin and to evaluate capital in non-life insurance applications. By utilizing the entire range of conditional quantile functions, especially higher quantile levels, we detail how quantile regression is capable of providing an accurate estimation of risk margin and an overview of implied capital based on the historical volatility of a general insurers loss portfolio. Two modelling frameworks are considered based around parametric and nonparametric quantile regression models which we develop specifically in this insurance setting.   In the parametric quantile regression framework, several models including the flexible generalized beta distribution family, asymmetric Laplace (AL) distribution and power Pareto distribution are considered under a Bayesian regression framework. The Bayesian posterior quantile regression models in each case are studied via Markov chain Monte Carlo (MCMC) sampling strategies.   In the nonparametric quantile regression framework, that we contrast to the parametric Bayesian models, we adopted an AL distribution as a proxy and together with the parametric AL model, we expressed the solution as a scale mixture of uniform distributions to facilitate implementation. The models are extended to adopt dynamic mean, variance and skewness and applied to analyze two real loss reserve data sets to perform inference and discuss interesting features of quantile regression for risk margin calculations.
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中文摘要：
我们开发分位数回归模型，以得出风险边际，并评估非寿险应用中的资本。通过利用整个条件分位数函数范围，尤其是更高的分位数水平，我们详细介绍了分位数回归如何能够根据一般保险公司损失投资组合的历史波动率提供准确的风险边际估计和隐含资本概述。我们考虑了两个基于参数和非参数分位数回归模型的建模框架，这两个模型是我们在本保险环境中专门开发的。在参数分位数回归框架下，在贝叶斯回归框架下考虑了柔性广义贝塔分布族、非对称拉普拉斯分布和幂帕累托分布等模型。通过马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）抽样策略研究了每种情况下的贝叶斯后分位数回归模型。与参数贝叶斯模型相比，在非参数分位数回归框架中，我们采用了一个AL分布作为代理，并与参数AL模型一起，将解表示为均匀分布的比例混合，以便于实现。将模型扩展为采用动态均值、方差和偏态，并应用于分析两个实际损失准备金数据集，以进行推理，并讨论分位数回归在风险边际计算中的有趣特征。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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关键词：风险边际 贝叶斯 非参数 分位数 distribution

通过参数和非参数贝叶斯分位数回归的风险边际分位数函数ICE X.D.Jennifer S.K.ChanGareth W.Peters工作论文，2014年2月12日版本悉尼大学数学与统计学院，新南威尔士州，2006年，澳大利亚邮件：xdon0433@uni.sydney.edu.au，（通讯作者）英国伦敦大学学院统计科学系；我们开发分位数回归模型，以得出风险边际，并评估资本在人寿保险中的应用。通过利用整个条件分位数函数范围，尤其是更高的分位数水平，我们详细介绍了分位数回归如何能够根据一般保险公司损失投资组合的历史可用性提供风险边际的准确估计和隐含资本的概述。围绕参数和非参数分位数回归模型，我们考虑了两个建模框架，我们在这个保险环境中具体开发了这两个模型。在参数分位数回归框架中，在贝叶斯回归框架下考虑了几种模型，包括flexib广义贝塔分布族、不对称拉普拉斯分布和幂帕累托分布。通过马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）抽样策略研究了每种情况下的贝叶斯后验分位数回归模型。在非参数分位数回归框架中，与参数贝叶斯模型相比，我们采用了一个AL分布作为代理，并与参数AL模型一起，将解决方案表示为均匀分布的比例混合，以便于实现。

将模型扩展为采用动态均值、方差和偏度，并应用于分析两个实际损失准备金数据集，以进行推断，并讨论分位数回归的有趣特征，从而计算风险边际。不对称拉普拉斯分布，贝叶斯推断，马尔可夫链蒙特卡罗方法，分位数回归，损失准备金，风险边际，中心估计。1风险保证金计算背景一般保险精算师工作的一个核心部分涉及对索赔过程中涉及的不确定性进行评估、分析和评估，以评估适当的风险，将其纳入保险责任。对一般保险人来说，包括风险保证金在内的保险责任的适当估值是最重要的问题之一。风险保证金是与固有不确定性相关的索赔责任价值的组成部分。精算师行业充分理解这项任务的重要性，从业人员和学术精算师都对此进行了辩论。许多规定涉及监管指南（如《偿付能力II指令》第77条和第101条）中讨论的风险保证金要求的非规定性。在澳大利亚，首席执行官的一项一般任务是制定一份关于风险保证金评估方法的报告，在第16届一般保险会议期间提交给澳大利亚精算师协会。本回购协议旨在强调经常被考虑的风险市场计算方法。

在简要讨论这些方面之前，我们首先注意以下与偿付能力资本要求（SCR）和风险边际有关的偿付能力II项目。《偿付能力II指令》第101条规定，“偿付能力资本要求（SCR）应与保险或再保险业务的基本自有资金的风险价值（VaR）相对应，在e年期间的置信水平为99.5%。”基本上，根据特定的估值规则，基本自有资金被定义为资产超过负债的部分。在这方面，一个核心挑战是保险负债的资本市场一致性价值，这需要一个最佳估计，通常定义为偿付能力I下未来现金流的预期现值加上使用资本成本法计算的风险保证金。此外根据20 09 Solvency II指令第77条规定，风险计算如下：“风险保证金应确保技术准备金的价值与保险公司为接管和履行保险义务而预计需要的金额相等……风险保证金的计算应通过确定提供符合条件的自有资金的成本，该金额等于支持被保险人所需的偿付能力资本要求。”对其寿命的义务……”从这些规范中可以看出，拟采用的建议不符合所需的模型方法。因此，正如风险保证金工作组1998年发表的白皮书中所讨论的，已经考虑了几种方法，从那些几乎不涉及对潜在索赔单进行分析的方法，到那些涉及使用广泛的信息和技术对不确定性进行显着分析的方法，包括stocha模型。

他们强调了风险边际评估中实际采用的方法，并指出百分位数或分位数方法在实践中最为普遍，这为我们考虑的方法提供了良好的基础。传统上，采用随机框架的精算师将使用中心估计来评估索赔责任，该估计通常被定义为整个结果范围内的预期值。然而，由于这种估计器可能会产生内在的不确定性，这种估计器在统计上不稳健，因此对异常索赔敏感，因此索赔责任度量通常与其中心估计值不同。在实践中，所采用的方法通常是设定一项保险条款，以便在特定的概率下，该条款最终将足以掩盖责任索赔。例如，为了满足澳大利亚审慎监管局（APRA）的要求，以75%的概率水平提供充足的准备金，应对风险保证金进行统计建模，以便其能够捕捉均值估计的固有不确定性。当将该保证金添加到中央估算中时，它应提供索赔责任的合理估值，从而增加提供充足准备金以满足GPS 320要求水平的可能性。在这方面，值得注意的是，波动性越大的投资组合或表现出重尾特征的投资组合可能需要更高的风险保证金，因为储量大幅波动的可能性大于更稳定的投资组合。为了适应这些想法，实践中提出了两种常用的风险边际估计方法。这些是资本成本和百分比法。

根据资本成本法，精算师通过测量保护未付索赔负债的不利发展所需的资本回报来确定风险边际。显然，资本成本法的应用需要对初始资本进行估计，以支持未支付的索赔负债，以及对该资本回报的估计。或者，根据我们在本文中考虑的百分位数或分位数方法（目前在澳大利亚使用），精算师认为保险人必须能够在一些关于负债分配的假设下，以一定的概率履行其负债。然后，通过从预先确定的临界百分位值中减去中心估计值来计算风险边际。在我们提出的方法中，基于百分位数和分位数的框架能够以严格的统计方式结合，回归因素可能与直接与保险索赔运行随机过程相关的外生特征以及与当前微观或宏观经济条件和监管环境相关的内生因素有关。这些将被纳入一个统计模型中，该模型允许我们以原则性的方式解释归因于这些特征的风险边际变化的比例，我们将证明这一点，以便进行准确的估计和预测。

我们认为，由于基于百分位数的方法涉及分位数的估计，因此考虑分位数回归有点自然，分位数回归是一种统计技术，用于估计条件分位数函数，可用于估计风险。正如基于残差平方和最小化的经典线性回归方法能够估计条件均值函数的模型一样，分位数回归方法也能为估计条件中值函数的模型提供机制，以及其他条件分位数函数的完整范围。该模型允许研究解释变量对响应变量的整个条件分布的影响，而不仅仅是对其中心的影响。因此，我们可以通过提出的分位数回归框架，开发出能够直接解释风险边际变化的因素和协变量。通过使用估计整个条件分位数函数族的技术来补充条件平均函数的估计，分位数回归能够对随机变量之间的随机关系提供更完整的统计分析。分位数回归在经济和金融领域有着广泛的应用，但尚未在风险边际估计的索赔保留背景下得到发展。我们将展示分位数回归在金融领域已经普及的特点，并解释如何将其应用于保险业的重要应用，如风险边际计算。在定量投资中，基于最小二乘回归的分析被广泛用于分析因素绩效、评估不同企业的相对吸引力，以及监控其投资组合中的风险。Engle和Manganelli（2004）考虑了风险价值（Va R）模型的分位数回归。

他们构造了一个条件自回归风险值模型（CAVaR），并采用分位数回归进行估计。风险度量VaR被定义为给定时间段内投资组合损失分布的一个量化指标和一个置信水平。准确的VaR估计有助于金融机构保持适当的资本水平，以覆盖相应的资本金风险。Taylor（2006）通过基于对数正态分布假设的参数模型估计基于百分位的风险边际。此外，还提出了其他复杂的分布，以捕获灵活的形状和行为，对聚合索赔数据的严重性分布进行建模。这些分布包括广义t（McDona ld和Newey，1988年）、Pareto（Embrechts等人，1997年）、Stable家族（Paulson和Faris，1985年；Peters，Byrnes和Shevchenko2011年；Peters，Shevchenko，Young和Yep，2011年）、Pearson家族（Aiuppa，1988年）、lo-ggamma和lognormal（Ramlau和Hansen，1988年）以及lognormal和Burr 12（康明斯等人，1999年），和II型广义β（GB2）分布（康明斯等人，19 901999，20 07）。虽然这些实际支持的分布对leptokurtic和Platykutic数据的模型b是灵活的，但它们需要对索赔数据进行对数转换，由此产生的对数线性模型可能对低值比大值更敏感（Chan et al.，2008）。在Peters、Wuethrich和Shevchenko（2009）中，他们采用了Poisson-Tweedie模型族，将正态、复合Poisson-Gamma、正稳定和极端稳定分布等族合并到一个模型族中。展示了如何在索赔准备金设置中使用这种广义回归结构来模拟索赔过程，同时从损失准备金结构中引入协变量结构。

在这种情况下，考虑了均值和方差函数的乘法结构，分位数是通过模拟整个分布而得出的，而不是专门针对条件分位数函数的模型。最近，在Do ng和Chan（2013）中，考虑了一类交替的柔性倾斜和重尾模型，涉及GB2分布，并采用动态均值函数和混合模型表示法对长尾损失准备金数据进行建模，结果表明GB2优于一些常规分布，如Gamma和广义Gamma。GB2分布族非常灵活，因为它包括重尾和轻尾严重分布，如伽马分布、威布尔分布、帕累托分布、伯尔分布、对数正态分布和皮尔逊分布，从而为模型索赔责任提供了方便的函数形式。从分位数特定回归模型的角度来看，最近Cai（2010）提出了一个幂帕累托模型，该模型允许灵活的分位数函数，可以为幂和帕累托分布提供分位数f函数的组合。这些组合可以对分布的主体和尾部进行建模。与我们目前的方法不同的是，我们没有开发一个统计模型来捕捉索赔随机结构的所有特征，而是结合了回归成分，在这项工作中，我们建议明确针对回归结构中的条件分位数函数。从统计学角度来看，这是一种与前面提到的储备模型方法在根本上不同的方法。然而，我们将说明，在开发风险边际分位数回归框架时，我们可以借鉴这些模型。

事实上，相关参数估计损失函数、参数估计器属性以及样本内和样本外预测的结果分位数，将显著不同于为整个过程开发模型时所取得的结果，而不是针对感兴趣的数量。在这种情况下，特定分位数水平。从高斯-马尔可夫理论的角度来看，只有在这种储量模型（对数规模）的阿加西分布假设下，标准最小二乘法才是最优的。在回报率严重扭曲的情况下，正如我们将要讨论的，替代模型将被证明更合适。分位数回归的传统方法，包括f-频数法和贝叶斯法，都涉及基于非对称拉普拉斯分布的参数模型。使用非对称拉普拉斯分布为分位数回归模型的贝叶斯推断提供了一种机制。Hu等人（2012年）开发了一种完全贝叶斯方法，用于在条件量化回归中拟合单指数模型。使用贝叶斯程序的好处在于采用可用的先验信息，并为所需储量提供完整的预测分布（de Alba，2002）。已针对不同类型的索赔提出了不同的贝叶斯损失准备金模型。da t a.Zhang等人（2012年）提出了一个带有增长曲线的贝叶斯非线性分层模型，以模拟损失的发展过程，使用来自各个公司形成各种索赔的数据。