第一类套利与中国的过滤放大

实际上，NA（F，eSζn）的n表示NA（G，Sτ）∧ζn），并且区间[[0，τ∧ ζn]]排气[[0，τ]]，因为P[ζ≥ τ ] = 1. 现在，由于条件可以在当地给出，因此索赔如下。备注1.6。定义为I[[0，τ]]在(Ohm, F、 （另见[Jeu80，第四节1]）；换句话说，对于任何停止时间σ(Ohm, F） ，eZσ=P[τ≥ σ| Fσ]对{σ<∞},所以EZ=Z+A.很容易看出条件P[η<∞, Sη6=0]=0相当于S et{Z的消失-> 0，eZ=0，s6=0}。因此，定理1.4与[ACDJ14，推论2.20，第（b）部分]中通过不同技术证明的结果相对应。此外，当S是一个左连续S emimatin gale时（见[JS 03，定义I.2.25]），[ACDJ14，定理2.8]表明NA（F，eSζn）对于所有n∈ N、 实际上，对于保护G中的不动产是必要且有效的（另见[ACDJ14，备注2.9]）。定理1.4恢复了已知的事实，即对于所有连续s-Martin大风，条件在渐进放大下是稳定的；参见[FJS14]和[Kre13]。此外，这意味着条件P[η<∞] = 0足以保证任何资产定价过程集合的稳定性。在下一个结果中，我们证明了这个条件也是必要的，以获得这种一般稳定性。事实上，对于P[η<∞] > 0，我们提供了第一类套利的一个明确示例，进一步说明了条件P[η<∞, 定理1.4中的Sη6=0]=0不能被削弱；另见§1.5.1。下列定理的陈述（1）是第1.4项的直接结果，而陈述（2）的证明在第2.4节中给出。定理1.7。下列陈述成立：（1）如果P[η<∞] = 0，那么对于NA（F，S）成立的任何S，NA（G，Sτ）也成立。（2） 假设P[η<∞] > 0

然后，D是I[[η]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P），非负过程S:=E(-D）-1I[[0，η[[是上的局部鞅](Ohm, F、 这里我们通过矛盾的方式提供一个pro。假设没有∈ (0, ∞) 和χT∈ L+（GT）使得p[χT>0]>0，满足条件，对于所有x∈ (0, ∞), 存在Xx=x+（Hx·Sτ）∈ X（G，Sτ）与p[XxT≥ χT]=1。考虑集合A:={χT>0}，并将n取得足够大，使得B:={ζn∧ T≥ τ ∧ T}∩ A.∈ GTS满意度P[B]>0。注意ψT:=χTIB∈ L+（GT）使得P[ψT>0]>0。现在，每x∈ (0, ∞), 定义过程Yx:=x+（Hx·Sτ）∧ζn）∈ X（G，Sτ）∧ζn）。根据可采性定义，P[YxT≥ 0] = 1. 此外，在Bwe上有YxT=x+（Hx·Sτ∧ζn）T=x+（Hx·Sτ）T≥ χT=ψT。总的来说，这就是P[YxT≥ ψT]=1，与NA（G，Sτ）不矛盾∧ζn）。半鞅模型和Sτ中的第一类套利和过滤放大在P[Sτ>1]>0时是非减损的。特别是，条件NA（F，S）成立，但条件NA（G，Sτ）失效。备注1.8。与备注1.6中的讨论类似，条件P[η<∞] = 0相当于集合{Z]的消失-> 0，eZ=0}={Z-> 0，Z=0，A=0}。因此，通过不同的技术，我们在定理1.7中得到的特征等同于[ACDJ14，定理2.22]中证明的特征。第二节是定理1.4和定理1.7的证明；还有几个有趣的副作用。在下文的§1.5中，给出了几个示例。1.4. 初始过滤放大的主要结果。现在，我们研究了过滤系数F初始增大时条件的稳定性，即F-可测量的随机变量J在Lusin空间（E，BE）中取值，而E的Borelσ-场为E。

由于符号的滥用，我们用G=（Gt）t表示∈R+过滤G=（Gt）t的右连续增强∈Gt定义的R+：英尺∨ σ（J），对于所有t∈ R+。让γ：BE7→ [0，1]是J的定律（因此γ[B]=P[J∈ B] 对所有人都适用∈ 是的）。此外，对于所有的t∈ R+，设γt：Ohm ×BE7→ [0，1]是J的Ft条件定律的常规版本，它存在于（E，be）是Lusin时。假设1.9。在§1.4中，我们在以下条件下工作：（J）对于所有t∈ R+，γt<< γ在P-a.s.意义上成立。假设1.9是[Jac85]中引入的经典密度假设。事实上，如[Jac85，命题1.5]（另见[Pro04，定理VI.11]）所示，条件（J）成立的当且仅当∈ R+存在一个σ-有限度量单位νton（E，BE），使得γt<< 从P-a.s.的意义上来说，是νtholds。Jaco d的密度假设在金融数学中起着重要作用，尤其是与其他信息的建模有关（参见[AIS98、GP98、GP01、Bau03、GVV06、KH07、KHL11]）。下一个辅助结果（其证明推迟到第3节）意味着条件密度的存在。它基本上对应于[Jac85，引理1.8]（另见[Ame00，附录A.1]）。请注意，O（F）表示上的F可选σ字段Ohm ×R+。引理1.10。存在一个（BE） O（F））-可测量的函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ pxt（ω）∈[0, ∞), c\'adl\'ag in t∈ 例如：（i）对于EVERY t∈ R+，γt（dx）=pxtγ（dx）保持P-a.s；（ii）每x∈ E、 过程px=（pxt）t∈R+是上的鞅(Ohm, F、 P）。每x∈ E和n∈ N、 定义车辆上的停车时间系列(Ohm, F）通过（1.4）ζxn:=inf{t∈ R+|pxt<1/n}和ζx:=inf{t∈ R+| pxt=0}.8比阿特丽斯·阿克西奥、C·劳迪奥·丰塔纳和康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯∈ E、 它认为（ζxn）n∈这是一个非减量序列，P[limn→∞ζxn=ζx]=1，px=0，∞[（另见[Jac85，引理1.8]）。

还要注意的是，由于[Jac85，推论1.11]，我认为PζJ<∞= 0，其中ζJ（ω）：=ζJ（ω）（ω）表示所有ω∈ Ohm. 每x∈ E、 我们考虑了Fζx-可测事件∧x:={ζx<∞, pxζx-> 0}. 定义（1.5）ηx：=ζx∧x=ζxI∧x+∞我Ohm\\λx，十、∈ E、 这是一个暂停时间(Ohm, F） 表示px跳到零的时间。在假设1.9下，我们现在讨论关于初始放大过滤有效性的定理1.4和1.7的对应部分。请注意，假设1.9保证S是上的半鞅(Ohm, G、 P），通过[Jac85，定理1.1]，这是通过依赖半鞅的Bichteler-Dellacheriec特征来证明的。（在这方面，另见本文件备注3.5。）这使我们能够按照§1.2中关于过滤F的规定定义X类（G，S）和条件NA（G，S）。第一个结果与已执行半鞅模型的条件NA的稳定性有关。定理1.11。在假设1.9下，进一步假设空间L(Ohm, F、 P）是可分离的，P[ηx<∞, Sηx6=0]=0对γ-a.e.x保持不变∈ E.如果NA（F，S）成立，那么NA（G，S）成立。注意，可分性是一个温和的技术假设，只允许我们使用[SY78，命题4]的结果；正如后一篇文章的作者所提到的，它在所有具有实际意义的情况下都是令人满意的。在§1.5.3中，我们将提供一个示例，说明条件P[ηx<∞, Sηx6=0]=0，对于γ-a.e.x∈ E、 不能放弃。与逐步扩大过滤的情况一样，定理1.11具有以下结果：如果P[ηx<∞] = γ-a.e.x为0∈ E、 条件NA（F，S）意味着任何资产价格过程S的条件NA（G，S），以形成定理1的表（2）的对应项。7（关于所有半鞅模型的条件稳定性）在初始放大滤波的情况下，我们必须稍微偏离原始设置。

更准确地说，当P[ηx<∞] > 0将包含一个潜在的半鞅的有限集合。（但是，请参见备注1.13。）也就是说，dx表示I[[ηx]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P）对于所有x∈ E、 确定系列（Sx）x∈Evia（1.6）Sx:=E(-Dx）-1I[[0，ηx[,，十、∈ E、 在第3节中，在空间L的可分性假设下(Ohm, F、 P），可以确定一个人可以获得一个版本的功能E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ Sxt（ω）是什么 O（F）-可测量。通过SJ（ω，t）定义的过程SJ:=SJ（ω）t（ω）表示所有（ω，t）∈ Ohm ×R+是一个s-Martin gale(Ohm, G、 P），并具有以下财务解释：了解J和第一类unitARBITRAGE以及半鞅模型中的过滤放大的内幕人士9初始资本在时间上对指数为J的单个股票单位的头寸为零，并保持不变。尽管该策略可能涉及有限数量的资产，但它具有最简单的买入和持有性质。下列定理的陈述（1）是定理1.11的中间结果，而陈述（2）的证明在第3.3节中给出。定理1.12。在假设1.9下，以下陈述成立：（1）如果P[ηx<∞] = γ-a.e x为0∈ E、 那么对于NA（F，S）成立的任何S，NA（G，S）也成立。（2） 假设空间L(Ohm, F、 P）是可分离的，且thatREP[ηx<∞] γ[dx]>0。然后，家庭（Sx）x∈Ein（1.6）由上的局部鞅组成(Ohm, F、 P），而Sj与P无关SJt=SJ，T∈ R+< 1.特别地，NA（F，Sx）对每x都成立∈ E、 布特纳（G，SJ）失败了。粗略地说，在定理1.12的第（2）部分中，内幕人士从家族（Sx）x中的单一资产开始识别∈它不会违约，因此可以套利。备注1.13。

IfPk∈NP[J=xk]=1对{xk | k族成立∈ N} E、 人们可以找到一种单一资产，这种资产将导致对第一个k股的套利∞] γ[dx]>0意味着存在κ∈ N使得P[ηxκ<∞] > 0.自从PζJ<∞= 0，P[J=xκ，ηxκ<∞] = 0以简单的方式进行跟踪；因此，买入并持有策略I{J=xκ}导致套利{J=xκ}·Sxκ。当定律γ有一个不同的分量时，前一个参数可能不起作用；然而，在比Rep更强（更准确地说，至少不弱）的假设下，仍然可以使用单一资产获得第一类套利∞] γ[dx]>0，如定理1.12第（2）部分所述。也就是说，B∈ beithγ[B]>0，用明显的方式定义ηBin，作为鞅（γt[B]）t∈R+跳到零。注意，对于所有t，γt[B]=RBpxtγ[dx]相等∈ R+；尤其是PηB<∞> 0表示rep[ηx<∞] γ[dx]>0。（对于某些集合B，ConverseApplication是否也成立，这是一个悬而未决的问题。）∈ 是的。）假设PηB<∞> 0换someB∈ 定义S:=E时，比沃斯γ[B]>0(-（分贝）-1I[[0，ηB[[其中，Db表示I[[ηB]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P），可以证明S是一个局部鞅(Ohm, F、 P），andI{J∈B} ·S与P[St=S]不减，T∈ R+]<1，即NA（F，S）保持，而NA（G，S）失败。备注1.14。有趣的是，定理1.7和定理1.12中给出的过滤条件下保持不动产的必要条件和充分条件与[Fon14]中获得的绝对连续（但不一定等同）测量变化下保持不动产的必要条件和充分条件非常相似。

考虑到[Yoe85]中所示的过滤放大和非等效测量变化之间存在的深刻联系，这种相似性并非巧合。10 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS Kardarash引理1.10以及定理1.11和1.12的证明见§3。下文§1.5给出了初始放大框架中涉及泊松过程的一个例子。1.5. 例子。前两个例子是渐进式过滤扩大框架。在第一种情况下，停止时间η完全不可访问，定理1.7的断言（2）通过显式计算得到证明；第二个示例包含一个可以访问η的设置。最后一个例子显示了条件P[ηx<∞, Sηx6=0]=0，对于γ-a.e.x∈ E、 在定理1.11.1.5.1中不能被忽略。一个渐进过滤放大的例子，其中η完全不可访问。让(Ohm, F、 P）是支持F-可测随机变量ζ的完全概率s步：Ohm 7.→ R+使得P[ζ>t]=exp(-t） 坚持到底∈ R+。设置F=（英尺）t∈R+是满足通常假设并使ζ为停止时间的最小过滤。定义τ：=ζ/2，并将获得的过滤G视为F相对于τ的逐渐增大。设Z和A如§1.3所示。注意，Zt=0对{ζ≤ t} ，而Zt=exp(-t） 保持{t<ζ}，τ=ζ/2之后的最后一个事实，以及指数定律的无记忆性。因此，Zt=exp(-t） I{t<ζ}对所有t都是真的∈ R+。同样地，Aσ=P[τ=σ| Fσ]=P[ζ=2σ| Fσ]=0对于所有有界停车时间σon均为真(Ohm, F） ，这意味着A=0。注意ζ=inf{t∈ R+| Zt-= 0或Zt=0}和Zζ-= 经验(-ζ) > 0. 自从A=0，对于定义为asin（1.3）的η，我们得到η=ζ。

I[[η]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P）等于toD:=（η）∧ t） t∈R+；在p中，ζ=η在(Ohm, F、 P）。这里我们有P[η<∞] = 因此我们可以构造一个局部鞅，如图1.7-（2）。对于w it，S:=E(-D）-1I[[0，η[=exp（D）I[[0，η[[，th at is，St=exp（t）I{t<ζ}表示t∈ R+。注意，S是一个拟左连续非负鞅(Ohm, F、 P），使NA（F，S）微不足道地成立。然而，由于s严格增加到τ，NA（G，sτ）失效。1.5.2。一个渐进式过滤放大的例子，其中ηi是可访问的。让(Ohm, F、 P）支持F-可测r和dom变量ζ的bea完全概率空间：Ohm 7.→ N例如pk:=P[ζ=k]∈ （0,1）适用于所有k∈ N、 哪里∞k=1pk=1。设置F=（英尺）t∈R+是满足通常假设并使ζ为停止时间的最小过滤。由于ζ没有价值，因此它是一个可访问的时间(Ohm, F、 P）。定义τ：=ζ- 1，并考虑逐步扩大的过滤G。让Z和A定义为§1.3。同样，可以显式地计算Z。实际上，Zt=0对{ζ≤ t} )；此外，uponde fining qk=P∞n=k+1对于所有k∈ {0, 1, . . .}, 指的是· 整数部分，我们有zt=P[τ>t|Ft]=P[ζ>t+1|Ft]=P[ζ>t+1 | Ft]=qt+1QT, 关于{t<ζ}。半鞅模型中的第一类套利和过滤放大注意ζ=inf{t∈ R+| Zt-= 0或Zt=0}和Zζ-= Qζ/Qζ-1.> 0.5百万，Aζ=P[τ=ζ| Fζ]=0成立。因此，对于（1.3）中定义的η，η=ζ；特别是，η在(Ohm, F、 P）1.5.3。初始过滤放大下的一个示例。让我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）支持强度λ>0的泊松过程N在时间T停止∈ (0, ∞). L设F为N生成的正确连续过滤，并考虑随机变量J:=NT。

如[GVV06，§4.2]中所述（与[GP01，§4.3]进行比较），可以检查PxT=e-λtλ（T）- （t）十、-Nt（λT）xx！（十）- （新界）！I{Nt≤x} ，尽管如此∈ [0，T），pxT=e-λTx/（λT）xI{NT=x}，因此满足Jacod的标准（假设1.9）。然后考虑由St:=exp定义的过程新界- λt（e）- 1), 尽管如此，t∈ [0，T]。过程S是一个严格正的F-鞅（参见[JYC09，命题8.2.2.1]），因此na（F，S）成立。然而，NA（G，S）不成立。为此，定义G停止时间σ：=inf{t∈ [0，T]|Nt=Nt}并考虑策略-一] ]σ，T]]。那么，尽管如此∈ [0，T]，我们得到(-一] ]σ，T]]·S）T=I{T>σ}expNσ- λσ（e）- 1)1.- 经验-λ（t）- σ） （e）- 1).特别是这个过程-一] ]σ，T]]·S是不减损的d P[σ<T]=1，因此意味着na（G，S）不能保持。实际上，在本示例的上下文中，过程px具有跳到零的正概率，并且该事件正好与泊松过程N的跳时对应，因此表明条件P[ηx<∞, 对于γ-a.e.x，Sηx6=0]=0∈ 我没能坚持住。2.逐步扩大筛选中的第一类套利在本节中，将给出定理1.4和定理1.7的证明。在这个过程中，我们还将得到一些有趣的结果，这些结果与非负su per/局部鞅在随机时间τ之前的行为有关(Ohm, F、 P）在放大过滤G中（见第2.3节）。特别是，这些结果并不符合过滤放大理论的经典结果。2.1. 与τ相关的表示对。下一个结果是[Kar15，定理1.1]。定理2.1。

对于任意随机时间τon(Ohm, F） 满足P[τ=∞] = 存在一对具有以下性质的过程（K，L）：（1）K是f-适应的，连续的，不减损的，0≤ K≤ 1.（2）L是一个非负局部鞅(Ohm, F、 P），L=1。（3） 对于任何非负可选进程，V(Ohm, F） ，我们有（2.1）E[Vτ]=EZR+VtLtdKt.12 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS KARDARAS（4）RR+I{Kt-=1} dLt=0和rr+I{Lt=0}dKt=0保持P-a.s.这也是[Kar15，§1.1]中结果的一部分，即Z=L（1- K） ，给出了Z的一个特殊的乘法可选分解。一般来说，有许多可能的乘法可选分解；定理2.1中描述的性质以独特的方式指定了对（K，L）。还要注意的是，在特殊情况下，P[τ=σ]=0表示每个停止时间σ(Ohm, F、 P），分解Z=L（1- K） 与超马氏体Z的乘法Doob-Meyer分解一致（见[Kar15，备注1.6]）。备注2.2。让它成为一个停车时间(Ohm, F） 。对于任何B∈ Fσ，（2.1）应用于过程v=IBI]]σ，∞[]，与Z=L（1）结合- K） Z的定义意味着e[Lσ（1- Kσ）IB]=E[ZσIB]=E[Vτ]=E“IBZ（σ，∞)LtdKt#。因为上述等式适用于所有B∈ Fσ，由此得出（2.2）Lσ（1- Kσ）=E“Z（σ，∞)LtdKtFσ#。备注2.3。（2.1）givesP[Lτ=0]=E的另一个用法ZR+I{Lt=0}LtdKt= 因为L是一个非负的局部鞅(Ohm, F、 P），因此[[0，τ]] {L>0}。引理2.4。对于（1.2）中定义的ζ，以及表示I[[τ]的双重可选投影的A，∞[]，下列等式成立：（2.3）{ζ<∞, Zζ-> 0, Aζ=0}={ζ<∞, Kζ-< 1，Lζ-> 0, Kζ=0}。此外，Lζ=0适用于上述事件。证据因为Z=L（1- K） ，{ζ<∞, Zζ-> 0} = {ζ < ∞, Kζ-< 1，Lζ-> 0}是立即的。