第一类套利与中国的过滤放大

根据[Kar15，等式（1.1）]中K的定义，可以得出如下结论：{ζ<∞}, Aζ=0Kζ=0。此外，关于{ζ<∞, Zζ-> 0}, Kζ=0意味着Kζ=Kζ-< 1，这说明再次使用[Kar15，等式（1.1）]时，Aζ=0。集合等式（2.3）已经建立。最后，请注意0=Zζ=Lζ（1- Kζ）意味着Lζ=0必须保持{ζ<∞, Kζ-< 1，Lζ-> 0, Kζ=0}。2.2. 关于停止时间η的结果。回想一下η=ζI∧+∞我Ohm\\其中∧：={ζ<∞, Zζ-> 0, Aζ=0}。鉴于（2.3），λ={ζ<∞, Kζ-< 1，Lζ-> 0, Kζ=0}。为了证明下一个结果，除其他外，我们确定η在确定时是不可预测的。引理2.5。设D为I[[η]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P）。然后：半鞅模型中的第一类套利和过滤放大13（1）D<1，P-a.s。；特别是，E(-D） 是非递增且严格积极的；（2） 非负过程(-D）-1I[[0，η[[是上的局部鞅](Ohm, F、 P）。证据在任何可预测的时间(Ohm, F） ，它认为Dσ=P[η=σ| Fσ-] 关于{σ<∞}（参见[HWY92，定理5.27]）。在下一段中，我们将介绍Dσ<1对{σ<∞} 在任何可预测的时间(Ohm, F） 。然后，可预测截面定理应用于D<1 P-a.s。；特别是，这个过程(-D）-1I[[0，η[[将被很好地定义。这将建立第（1）部分。我们继续展示P[η=σ<∞ | Fσ-] < 1适用于任何固定的可预测时间σ(Ohm, F） 。假设∑：={P[η=σ<∞ | Fσ-] = 1} ∈ Fσ-使得P[∑]>0。upon将σ替换为可预测时间σ∑：=σI∑+∞我Ohm\\∑，我们推断出一个可预测时间σ的存在性(Ohm, F） 使得P[σ<∞] > 0和{σ<∞} = {P[η=σ<∞ | Fσ-] = 1} 等等。从上一组等式可以得出P[η=σ<∞ | Fσ-] = I{η=σ<∞}, 这尤其意味着{η=σ<∞} ∈ Fσ-.

因此，since E[（A+Z）σ| Fσ-] = 0对{σ<∞} （因为a+Z是一个鞅(Ohm, F、 P）和σ是可预测的(Ohm, F） ）E[Aσ| Fσ-] = -E[Zσ| Fσ-] = -E[ Zη| Fσ-] = E[Zη-| Fσ-] , 关于{η=σ<∞} ,在上一个等式中，我们使用了η的定义。另一方面，再次使用η的定义，我们得到E[Aσ| Fσ-] = E[Aη| Fσ-] = 0对{η=σ<∞}. 因此E[Zη-| Fσ-] = 在{η=σ<∞}. 自Zη-> 0对{η<∞}, 平等Zη-I{η=σ<∞}| Fσ-= 0表示P[η=σ<∞] = 0，这与p[σ<∞] > 0和{σ<∞} = {P[η=σ<∞ | Fσ-] = 1} 等等。因此，P[η=σ<∞ | Fσ-] <1适用于任何可预测的时间(Ohm, F） 。我们继续建立第（2）部分。设I=I[[η，∞[3]所以我- D是一个局部鞅(Ohm, F、 P）。部件集成(-D）-1I[[0，η[=1-Z·E(-D）-1dit+Z·（1）- 信息技术-) 德(-D）-1t=-Z·E(-D）-1编辑+E(-D）-1，其中第二个等式来自以下事实：- 我-= I[[0，η]]和E(- D）-1在[η]上是常数，∞[[.使用It^o的公式（实际上，有限变化过程的积分理论是有效的），这是检验(-D）-1=1+Z·E(-D）-滴滴涕。接下来就是(-D）-1I[[0，η[=1-Z·E(-D）-1td（I）- D） 鉴于我- D是一个局部鞅(Ohm, F、 P）。我们写Q~ 当Q是等于F上的P的概率时，请注意，我们定义并依赖于τ（特别是η）的所有量都依赖于下面的14 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS Kardaras概率测度。为了建立定理1.4，η保持不变和p概率的等价变化是很重要的。下一个结果确保了情况确实如此。引理2.6。让Q~ P、 让ηqs为上的停止时间(Ohm, F） 与η类似，在Q下定义≡ ηPde定义在P下的（1.3）中。

那么ηQ=η几乎肯定成立（在P和Q下）。证据表示为与τon相关的ZQthe Az′ema Supermaningale(Ohm , F、 Q）。我们声称{ZQ>0}={Z>0}具有模消失。事实上，在注意到{Zσ=0}={P[τ>σ| Fσ]=0}={Q[τ>σ| Fσ]=0}后，这是从可选截面定理得出的=ZQσ=0适用于所有有界停车时间σon(Ohm, F） ，其中第二组等式成立，因为~ P.特别是Zη=0和Zη-> 0表示ZQη=0和ZQη-> 0.现在表示为I[[τ]的双可选投影，∞[on](Ohm, F、 Q）。自从Q~ P和P[τ=η]=0，由此得出AQη=Q[τ=η| Fη]=0。与之前的观察结果一起，这意味着ηQ≤ η. 通过改变P和Q的角色，我们得到了逆不等式，完成了证明。2.3. 逐步扩大过滤中的超/局部鞅。n ext结果将是开发过程中的关键，也具有独立的意义。提议2.7。下面的陈述是正确的：（1）设X是一个非负的上鞅(Ohm, F、 P）。那么，过程Xτ/Lτ是上鞅(Ohm, G、 P）。（2） 设X是一个非负的局部鞅(Ohm, F、 P）使[[η，∞[[  {X=0}保持（模消失）。然后，过程Xτ/Lτ是上的局部鞅(Ohm, G、 P）。证据首先请注意，通过备注2.3，1/Lτ得到了很好的定义。如果X是一个非负的超鞅(Ohm, F、 P），Doob-Meyer分解得到X=N时的th- B、 其中N是一个（非负）局部鞅(Ohm, F、 P）和B是一个越来越可预测的过程(Ohm, F） B=0。设s<t和G∈ Gs。由（1.1）可知，存在一个集∈ FSG∩ {τ>s}=Gs∩ {τ>s}。然后定义非负可选过程Y:=IGsI]]s，∞[[（Xt/Lt）I{Lt>0}on(Ohm, F） 因此，在半鞅模型15IG中，第一类套利和过滤放大了∩{τ>s}Xτt/Lτt=Yτ。

根据定理2.1，得出（2.4）E[Yτ]=E“Z[0，∞)YuLudKu#=E“IGsZ（s，t）XuLuI{Lu>0}LudKu+XtLtIGs∩{Lt>0}Z（t，∞)LudKu#=E“IGsZ（s，t）XuI{Lu>0}dKu+XtLtIGs∩{Lt>0}Lt（1）- Kt）#=E“IGsZ（s，t]XudKu+XtI{Lt>0}（1- Kt）！#，其中（2.2）用于上述第三个等式。注意到{Lt>0} {Ls>0}，分部积分则意味着（2.5）E[Yτ]≤ E“IGs∩{Ls>0}Z（s，t]XudKu+Xt（1）- Kt）！#=E“IGs∩{Ls>0}Xs（1）- Ks）+Z（s，t）（1）- 库-)dXu！#。此外，由于≤ K≤ 过程B在增加，它认为（2.6）Z（s，t）（1- 库-)dXu=Z（s，t）（1- 库-)dNu-Z（s，t）（1）- 库-)dBu≤Z（s，t）（1）- 库-)德努昂(1 - K-) · N、 （1）- K-) · N≤ [N，N]。首先假设N∈ H、 也就是说[N，N]1/2∞< ∞,从which可以得出（2.7）呃(1 - K-) · N、 （1）- K-) · N1/2∞我≤ 呃[N，N]1/2∞我∞.与（2.6）一起，这意味着EhIGs∩{Ls>0}R（s，t]（1）- 库-)dXui≤ 因此，由于（2.5），EIGs∩{τ>s}XτtLτt= E[Yτ]≤ EIGs∩{Ls>0}Xs（1）- Ks）= EIGs∩{Ls>0}XsLsLs（1）- Ks）= EIGs∩{Ls>0}XsLsI{τ>s}= EIGs∩{τ>s}XsLs,其中Ls（1）- Ks）=Zs=P[τ>s |Fs]和[[0，τ]] 在最后一行中使用了{L>0}。从那时起IGXτtLτt= EIGs∩{τ>s}XτtLτt+ E搞笑∩{τ≤ s} XτsLτs≤ EIGs∩{τ>s}XτsLτs+ E搞笑∩{τ≤ s} XτsLτs= EIGXτsLτs,因此，我们证明了Xτ/Lτ是上鞅(Ohm, G、 P）。一般情况下是由局部化引起的。事实上，根据[Pro04，定理IV.51]，每个局部鞅N(Ohm, F、 P）非减量序列（σn）n∈Nof停车时间（在F和d、a和G下）P-a.s.16 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS Kardaras收敛到一致性，使得NσN∈ 所有n∈ N.前面的参数暗示了th atXσN∧τ/Lτ是上鞅(Ohm, G、 P）所有n∈ N和命题的陈述（1），然后是法图引理。为了证明第（2）条，定义非减损序列（σn）n∈通过σn的Nof停止时间：=inf{t∈ R+|[X，X]t>n}∧ ζn，对于所有n∈ N

为了将来参考，请注意σn≤ ζ ≤ η适用于所有n∈ N.直接检查limn→∞P[ζn<τ]=0；在此之前，为了证明这个结果，必须证明Xτ∧σn/Lτ∧σ是一个鞅吗(Ohm, G、 P）全部∈ N.根据第（1）部分，过程Xτ∧σn/Lτ∧他是一个超级艺术家(Ohm, G、 P）所有n∈ N.因此，必须证明E[Xτ∧σn/Lτ∧σn]=E[X]适用于所有n∈ N.与证明的第一部分类似，设置Y:=（X/L）I{L>0}，并注意Yσ是可选的(Ohm, F） andXτ∧σn/Lτ∧σn=Yσnτ适用于所有n∈ N.类似于（2.4）的计算表明（2.8）EXτ∧σnLτ∧σn= E[Yσnτ]=E“Z[0，σn]XtdKt+XσnI{Lσn>0}（1- Kσn）#。注意XσnI{Lσn=0}（1- Kσn=0表示所有n∈ N事实上，这来自引理2.4 sin ce{Lσn=0，Kσn<1}={σn=η}对所有n都成立∈ N.因此，与（2.5）中的情况类似，通过部分积分得到Xτ∧σnLτ∧σn= E“Z[0，σn]XtdKt+Xσn（1- Kσn）#=E“Z[0，σn]（1）- Kt-)dXt#=E[X]，其中最后一个等式使用不等式（2.7）（现在适用于鞅σn，约定为K0）-= 0），所有n∈ 这就结束了争论。命题2.7表明，在关于1/Lτ的正规化之前，超马尔可夫性质始终可以从原始过滤F转移到放大过滤G，并为将F-局部鞅转化为G-局部鞅提供了一个有效的标准。如第2.4节所示，该结果将在证明定理1.4中起关键作用。在本节的其余部分中，我们提供了两个有趣的附带结果，虽然在续集中没有使用，但它们与命题2.7密切相关。第一种方法给出了Xτ/Lτ的局部鞅性质的一个特征(Ohm, G、 P）f对于每个非负局部鞅Xon(Ohm, F、 P）。提议2.8。

下面的陈述是等价的：（1）对于每个非负局部鞅X(Ohm, F、 P），过程Xτ/Lτ是上的局部鞅(Ohm, G、 P）。（2） 过程1/Lτ是一个局部鞅(Ohm, G、 P）。（3） P[η<∞] = 0.证明。含义（1）=> （2） 是微不足道的，而（3）=> （1） 根据命题2.7的第（2）部分。为了证明（2）=> （3） ，注意序列{τn}n∈定义为τn:=inf{t∈ R+| 1/Lτt>n}，第一类套利和所有n的半鞅模型中的过滤放大∈ N、 是1/Lτon的定位序列(Ohm, G、 P）。确定序列{νn}n∈Nofstopping时间(Ohm, F） viaνn:=inf{t∈ R+| Lt<1/n}，对于所有n∈ N、 观察τN=νnI{νN≤τ}+ ∞I{νn>τ}。然后，通过计算A到（2.8），我们得到1=ELτ∧τn= ELτ∧νn= EKνn+I{Lνn>0}（1）- Kνn）= 1.- EI{Lνn=0}（1）- K∞),在最后一个等式中，我们得到了K在{L=0}上不增加的事实。反过来，这意味着{K∞< 1} ∩ {Lνn=0}= 保持（模消失）。由于引理2.4和之后{K>0} {L>0}保持模消失（见[Kar15]），这意味着P[η<∞] = 0命题2.7的第（1）部分给出了[JY78]关于Xτ的半鞅性质的经典结果的一个快速而简单的证明(Ohm, G、 P）对于任意半鞅X(Ohm, F、 P）。推论2.9。对于任意二次鞅X(Ohm, F、 P），过程Xτ是上的半鞅(Ohm, G、 P）。证据设X是上的半鞅(Ohm, F、 P），因此X=X+B+N，对于有限变分B和局部鞅N(Ohm, F、 P）。根据[JS03，命题I.4.17]，它认为N=N′+N′，其中N′和N′是两个局部鞅(Ohm, F、 P）这样|N′|≤ 对于某些a>0和N′的Pa.s.具有有限的变化。为了证明证明（n′）τ是一个半鞅，必须证明这一点(Ohm, G、 P）。

为此，设σn:=inf{t≥ 0:|N\'t |≥ n} ，代表n∈ N、 所以那不是∧σn≥ -（a+n）所有t的P-a.s≥ 因此，根据第2.7条第（1）部分，过程（a+n+n′）σn∧τ/Lσn∧τ是上的s超鞅(Ohm, G、 P）。反过来，这意味着（N′）σN的半鞅性质∧τon(Ohm, G、 P）。由于半鞅通过局部化是稳定的（参见[JS03，命题I.4.25]），这表明了（N′）τ的半鞅性质(Ohm, G、 P）。2.4. 逐步扩大过滤的条件。作为命题2.7的推论，NA（G，Sτ）成立的充分条件是立即成立的。以下结果的证明是向前的，因此省略了。符号Y（G，Sτ，P）是自解释的。提议2.10。假设S上存在一个局部鞅定义M(Ohm, F、 P）使得{M>0}=[[0，η[[]然后，Mτ/Lτ∈ Y（G，Sτ，P）。特别是，注意命题2.10提供了一个明确的程序，用于转换S上的局部鞅函数(Ohm, F、 P）转化为Sτon的局部鞅导数(Ohm, G、 P）。现在，我们准备好展示我们在渐进过滤放大条件下的鼻稳定性结果的证据。定理1.4的证明。根据引理2.6和定理1.2，我们可以在不丧失普遍性的情况下（必要时用Q代替P）假设严格正ebx的存在∈ X（F，S）使得y:=（1/bX）∈ Y（F，S，P）。S ince P[η<∞, Sη6=0]=0保持，我们得到P[η<∞, Yη6=0]=0；特别是，P[η<∞, （Y-S）η6=0]=0小时。用引理2.5表示，定义M:=18比阿特丽斯·阿克西奥、C劳迪奥·丰塔纳和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯E(-D）-注意，M=1和{M>0}=[[0，η[[]通过引理2.5，它遵循着msi-E(-D）-1I[[0，η[]，Y-Si是局部鞅吗(Ohm, F、 P）尽管我∈ {1，…，d}。

皮瑟莫尔，E(-D）-1I[[0，η[]，Y-Si=E(-D）-1，Y-Si-E(-D）-1I[[η，∞[Y]是的=E(-D）-1，Y-Si,哪里E(-D）-1I[[η，∞[Y]是的= 0源于E(-D）-1I[[η，∞[E](-D）-1ηI[[η，∞[[是一个单跳过程，从η开始跳(-D）-这是可以预测的，因此E(-D）-1I[[0，η[]，Y-Si=E(-D）-1，Y-Si=Z·E(-D）-1td是的这是一个局部鞅(Ohm, F、 P）F或所有i∈ {1，…，d}。因此，它是一个局部鞅(Ohm, F、 P）尽管我∈ {1，…，d}，定理1.4来自命题2.10。定理1.7的证明。陈述（1）直接来自定理1.4。对于语句（2），设D为引理2.5，定义S=E(-D）-1I[[0，η[]。然后S=1，这是一个直到τ的非递增过程，因此Sτ≥ 1.此外，根据引理2.5，S是一个局部鞅(Ohm, F、 因此NA（F，S）成立。从（2.1）和Z=L（1- K） ，使用分部积分和D的定义，我们得到了E[Dτ]=EZ∞DtLtdKt= -EZ∞DtdZt= EZ∞Zt-滴滴涕= EZ∞Zt-dI{η≤t}= E[Zη-I{η<∞}].因此，如果P[η<∞] > 然后P[Dτ>0]>0，因此P[Sτ>1]>0。这意味着na（G，Sτ）失败，从而得出结论。注意，根据命题2.8，定理1.7 imp证明，对于所有半鞅模型，当且仅当过程1/Lτ是一个局部鞅时，nai是稳定的(Ohm, G、 P）。备注2.11。命题2.8允许直接证明定理1.7的陈述（1）。实际上，根据[TS14，定理2.6]，NA（F，S）等价于过程Y的存在∈ Y（F，S，P）。根据命题2.8，如果P[η<∞] = 0，那么Yτ/Lτ和（Yτ/Lτ）Sτ是上的局部鞅(Ohm, G、 P），所以Yτ/Lτ∈ Y（G，Sτ，P）。因此，根据[TS14，定理2.6]，NA（G，Sτ）成立。然而，请注意，这条推理路线不能用于证明定理1.4。

事实上，为了从Y（F，S，P）的元素出发，根据命题2.7，在扩大的过滤G中构造严格正的局部鞅，需要证明NA（F，S）和P[η<∞, Sη6=0]=0一起意味着存在一个严格正的局部鞅，它不会在η处跳跃。为了保持这个性质，我们需要更精确地陈述[TS14]的主要结果，形式为定理1.2。第一类套利和半鞅模型中的过滤放大192.5。与命题2.10部分相反。虽然命题2.10有助于在定理1.4中逐步扩大的情况下建立可接受性，但我们在这里讨论的是逆问题。准确地说，一旦放大的过滤G中存在Sτ的偏差，我们就会寻求确保F中S的偏差存在的条件。此外，我们希望F中的偏差在[[η]上消失，∞[[，以便在命题2.10的设置中结束。下一个结果表明，当τ避免所有的停止时间(Ohm, F、 P），表示P[τ=σ<∞] = 0适用于所有停车时间σon(Ohm, F） 。定理2.12。假设τ避免了所有的停止时间(Ohm, F、 P）。如果Y（G，Sτ，P）6=, 然后，S上存在一个局部鞅(Ohm, F、 P），Y=0在[η]上，∞假设C是I[[τ]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, G） ，注意，对于每一个可预测的时间σ(Ohm, G） 它在Cσ=P[τ=σ| Gσ-] 关于{σ<∞}. 现在，假设τ避免了所有的浇头时间(Ohm, F、 P），因此特别是所有可预测的，这相当于说τ是一个完全不可访问的停止时间(Ohm, G、 P）；见[Jeu80，第65页]。从这个事实可以看出Cσ=0对{σ<∞} 每一个可预测的时间(Ohm, G） 。

可预测截面定理则暗示C是连续的，因此，尤其是过程(-C）-1I[[0，τ[[定义良好。现在，通过引理2.5证明中使用的相同参数，我认为(-C）-1I[[0，τ[[是地面上的局部m artin大风](Ohm, G、 P）。以M为例∈ Y（G，Sτ，P）。因为τ避免了所有的停止时间(Ohm, F、 那么Sτ=0，如定理1.4所示，我们可以假定（MS）τ也为0。这两个事实允许我们重复定理1.4证明中的相同步骤，以证明U:=ME(-C）-1I[[0，τ[[是Sτon的局部鞅定义(Ohm, G、 P）。现在，将Y定义为U的可选投影(Ohm, F，P）。注意，Y=1，Y=0，∞[，因为P[τ<η]=1（见（1.3）之后的讨论）。设（σ′n）n∈Nbe上的一个定位序列(Ohm, G） ，设（σn）n∈Nbe上的一系列停止时间(Ohm, F）求σ′n∧ τ=σn∧ n的τ∈ N.那么很容易证明Y是一个局部鞅(Ohm, F、 P），带（σn）n∈Nas定位序列。此外，对于任何s打顶时间σ(Ohm, F） 我们有[Siσ]∧σnYσ∧σn]=E[Siσ∧σnUσ∧σn]=E[（Si）τσ∧σnUσ∧σn]=E[（Si）τσ∧σ′nUσ∧σ′n]=Si，我∈ {1，…，d}。这表明siy是一个局部鞅(Ohm, F、 P）尽管我∈ {1，…，d}并得出结论。3.初始放大过滤中的第一类套利本节将给出定理1.11和定理1.12的证明，并讨论有趣的附带结果。雅科德标准（假设1.9）的有效性是默认的。我们首先证明J.20 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS KARDARASProof引理1.10的条件密度的go-od版本的存在性。用O（F）表示与过滤F=（Ft）t相关的可选σ场∈E上的R+Ohm 定义为：Ts>t（BE Fs），t∈ R+。