第一类套利与中国的过滤放大

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英文标题：
《Arbitrage of the first kind and filtration enlargements in
  semimartingale financial models》
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作者：
Beatrice Acciaio, Claudio Fontana, Constantinos Kardaras
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In a general semimartingale financial model, we study the stability of the No Arbitrage of the First Kind (NA1) (or, equivalently, No Unbounded Profit with Bounded Risk) condition under initial and under progressive filtration enlargements. In both cases, we provide a simple and general condition which is sufficient to ensure this stability for any fixed semimartingale model. Furthermore, we give a characterisation of the NA1 stability for all semimartingale models.
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中文摘要：
在一般的半鞅金融模型中，我们研究了第一类无套利（NA1）（或者，等价地，无无界利润和有界风险）在初始和渐进过滤放大条件下的稳定性。在这两种情况下，我们都提供了一个简单而一般的条件，足以保证任何固定半鞅模型的稳定性。此外，我们给出了所有半鞅模型的NA1稳定性的一个特征。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Arbitrage_of_the_first_kind_and_filtration_enlargements_in_semimartingale_financ.pdf (352.86 KB)

2022-5-5 18:21:15 上传

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关键词：Applications Differential Optimization Quantitative Probability

半鞅金融模型中的第一类套利和过滤放大Baatrice ACCIAIO、CLAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS KARDARASAbstract。在一般半鞅金融模型中，我们研究了在初始和渐进过滤放大条件下第一类无套利（NA）（或者，等价地，无无界利润和有界风险）的稳定性。在这两种情况下，我们都提供了一个简单而一般的条件，足以确保任何固定半鞅模型的稳定性。此外，我们给出了所有半鞅模型的可解性的一个特征。简介在金融数学中，人们广泛研究了具有不同信息集的市场模型，尤其是与内幕交易和信用风险建模有关的模型（参见[JYC09]及其参考文献）。通常情况下，我们首先假设一个关于给定信息集的模型，然后用市场上最初不存在的一些附加信息来扩大该信息集。从数学角度来看，这相当于考虑在给定的过滤概率空间上扩大原始过滤。由于该模型旨在代表金融市场，一个基本问题是附加信息是否允许套利。本文旨在在一般半鞅驱动的模型背景下回答上述问题，无论是在附加信息随着时间的推移逐渐增加的情况下，以及在初始时间完全添加附加信息的情况下。参考过滤扩大理论的术语（参见[Jeu80]了解该理论的完整说明，[JYC09，§5.9]和[Pro04，Ch。

六] 对于主要结果的陈述），这对应于将获得的过滤分别视为原始过滤的渐进式或初始放大。我们的分析侧重于第一类无套利（NA）条件（见[Kar10]），即等价于有界风险无无界利润（NUPBR）条件（见[Kar10，命题1]）。从数学上讲，条件Nai等价于严格正局部鞅函数的存在，并且可以被证明是确保日期适定性的最小条件：2015年5月20日。2010年数学学科分类。60G44，91G10。关键词和短语。逐步扩大过滤；初步扩大过滤；第一类套利；鞅消去器。第二作者的研究得到了玛丽·居里欧洲内部研究金的支持，该研究金属于欧洲共同体框架计划的第七部分，根据PIEF-GA-2012-332345.2号拨款协议，比阿特丽斯·阿克西奥、C·劳迪奥·丰塔纳和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯提出的效用最大化问题（见[KK07，提案4.19]）。在关于随机时间τ的渐进放大的情况下，我们研究了NaO在随机时间范围[0，τ]上的稳定性，表明扩大后的过滤中第一类套利的存在与资产价格过程在原始过滤中的特定非负局部鞅为零的同时出现跳跃的可能性有着至关重要的联系。反过来，我们证明后一种情况的可能性与原始过滤的局部鞅在放大过滤中的行为密切相关，直至适当的归一化。

在原始过滤初始扩大的情况下，在[Jac85]的经典密度假设下，我们建立了一组类似的结果，表明扩大过滤的有效性与资产价格过程跳跃的可能性有关，同时原始过滤中的非负martin gales家族跳跃到零。反过来，与渐进放大的情况一样，后一种可能性也充分体现了原始滤波的局部鞅在放大滤波中的行为，直至适当的归一化。在渐进扩张和初始扩张的两种情况下，这些结果使我们能够提供一个简单有效的条件，确保固定的s-Martin gale模型的稳定性，并明确描述所有半鞅模型的稳定性。尽管我们没有对主要结果进行陈述，但对其证明的检查揭示了一种解决问题的实际方法：在原始过滤中使用局部鞅函数，我们在放大过滤中明确构造局部鞅函数，以显示条件NA的有效性。在这个过程中，我们获得了一些关于渐进和初始过滤放大的有趣的新结果，展示了如何通过适当地描述过程，将过程的超/局部鞅性质从原始过滤转移到放大的过滤。对于与诚实时间τ有关的渐进式过滤放大（见[Pro04，第六章]），套利收益的示例见[Imk02]、[Zwi07]和[FJS14]。在连续半马丁-盖尔模型的背景下，如[FJS14，定理4.1]所示（另见[Kre13，Lemm a6.7]），条件NAI在随机时间范围[0，τ]上的放大过滤中始终有效。

在一般半鞅模型的情况下，这不再成立，见§1.5.1中的示例。在这种背景下，最近的论文[ACDJ14]探讨了逐步扩大过滤的可闻性问题，并代表了目前工作的灵感来源之一。特别是，与定理1.4和备注1.5中给出的条件等效的关键作用已在[ACDJ14]（见备注1.6）中首次指出并证明，我们在定理1.7中获得的特征化结果与[ACDJ14]中已经建立的特征化结果等效（见R emark 1.8）。然而，与后一篇论文相比，我们在这里采用了完全不同的方法，并为这些结果提供了原始且相当简单的证明，避免了使用补偿随机积分（参见[HWY92，定义9.7]），并且，有些令人惊讶的是，不依赖经典的JeulinYor分解公式（参见[Jeu80，命题4.16]）。相比之下，我们利用了半鞅模型3[Kar15]中最近在第一类比特率和过滤放大中建立的与τ相关的Az’ema超鞅的可选分解的性质。我们还想提及的是，在经典的无免费午餐消失风险（NFLVR）情况下（见[DS94，DS98]），已经对其稳定性以及在逐渐扩大的过滤中保留m artin gale财产的关系进行了研究[CJN12]。在最初的过滤扩大案例中，[GP98]、[GP01]和[IPW01]等研究了在扩大过滤中实现arb硝化的可能性。关于经典的NFLVR条件，众所周知，如果J的条件定律对所有时间都等价于条件定律（参见[GP98]），则它在初始放大时相对于随机变量J是稳定的。

然而，据我们所知，到目前为止，还没有研究过初始放大的不稳定性问题。有趣的是，我们表明，无论是进展还是初始病例，都可以依靠相同的方法进行治疗。本文的组织结构如下。第1节包含我们的主要结果的框架和陈述。在第2节中，我们考虑逐步扩大过滤。我们研究了临界停止时间，然后用它来确定局部鞅，并证明扩大过滤条件的稳定性。在第3节中，我们对最初扩大的过滤进行了相同的分析，并获得了类似的结果。1.主要结果1。1.概率设置。在接下来的所有内容中，我们研究了一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 F，P），其中F=（Ft）t∈R+是一种过滤，通过P-空集满足右连续性和饱和的通常假设。一般来说，F∞ F保持不变，最后一组包含可能是严格的。我们将使用随机过程一般理论中的标准符号。对于任何无法解释的符号和结果，读者可以参考[HWY92]或[JS03]。1.2。市场模式。修正d∈ N={1，2，…}，让我们≡ （是）我∈{1，…，d}是上的非负半鞅的集合(Ohm , F、 P）。每个Si，我∈ {1，…，d}对资产的价格过程进行建模，并根据市场中的基准证券进行贴现。从初始资本x开始∈ [0, ∞)根据一个d维、F-可预测和S-可积的策略H，投资者的贴现财富过程由Xx，H:=x+R·（Ht，dSt）给出。应该注意的是，我们通过ou t使用向量随机积分。定义X（F，S）为所有非负过程的类Xx，在前面的符号中。

（在X类（F，S）的定义中，初始资本X∈ [0, ∞) d维、F-可预测和S-可积策略H是任意的，只要Xx，H≥ 0.）定义1.1。对于T∈ (0, ∞), 在[0，T]上有信息F和资产的第一类套利是χT∈ L+（FT），其中P[χT>0]>0，并且对于所有x∈ (0, ∞)我们想指出的是，非负性假设对以下结果的保持并不重要，前提是局部鞅的概念被西格玛鞅的概念适当地取代（见[DS98]和[TS14]）。4 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS KARDARASthere存在X∈ X（F，S），其中X=X（其中财富过程X可能发生在X上），因此p[XT≥ χT]=1。如果在T的任何区间[0，T]上不存在信息为F和资产S的第一类套利∈ (0, ∞), 我们认为条件NA（F，s）成立。每当Q~ P、 我们用Y（F，S，Q）来表示Y=1的所有严格正F适应c`adl`agy过程的类，使得Y和ys是上的局部鞅(Ohm, F、 Q）。inY（F，S，Q）中的元素称为严格正局部鞅函数（对于S）(Ohm, F、 Q））。当严格正性被非负性所取代时，我们只需要讨论局部鞅定义。如果yqdenotest Q相对于P的密度过程，注意Y（F，S，Q）=Y（YQ/YQ）|Y∈ Y（F，S，P）持有。根据[TS14，定理2.6]的推论，条件NA（F，S）是等价的（F，S，Q）6= （其中，当然是Q~ P是任意的）。对于我们的pur姿势（见下面的备注1.3），我们需要一个更精确的陈述。定理1.2。条件NA（F，S）成立的充要条件是存在Q~ P和严格正ebx∈ X（F，S）使得（1/bX）∈ Y（F，S，Q）。请注意，即使定理1.2的陈述比[TS14，定理2.6]更严格，它实际上也遵循后者的证明。

事实上，[TS14]证明了NA（F，S）意味着Q的存在~ P和严格正ebx∈ X（F，S）使得YQ/（bXYQ）∈ Y（F，S，P），其中yq表示Q相对于P的密度过程。本文的主要目的是研究以渐进或初始方式扩大过滤F时条件的稳定性。当然，首先要解决的问题是过程的半鞅性质的保持，这在文献中通常被称为H′-假设。在通过随机时间τ进行渐进过滤放大的情况下，这是Jeulin-Yor定理的结果，该定理始终适用于时间τ（对于诚实的时间，它适用于所有[0，∞)); 参见[JY78]。对于初始过滤展开的情况，当满足Jacod的密度假设时，半鞅性质保持不变的一个众所周知的情况是；参见[Jac85]。我们想指出的是，这些事实也将与我们在第2节中对渐进式扩张案例（见推论2.9）和第3节中对初始扩张案例（见备注3.5）的分析相一致。备注1.3。定理1.2将在证明我们的主要定理中发挥关键作用。事实上，它表明NA（F，S）等价于Y的存在∈ Y（F，S，Q）这样{s6=0}={y6=0}，对于某些Q~ P.如下所示（见第2.4节和第3.3节），为了从原始过滤的局部鞅过滤器开始构建放大过滤的局部鞅过滤器，该属性变得至关重要（与R标记2.11和3.8也进行比较）。渐进式过滤放大的主要结果。我们首先研究了过滤F相对于可测量随机时间τ的渐进放大条件下的稳定性：Ohm 7.→ [0, ∞] 使得P[τ=∞] = 0

（我们请读者参考[Pro04，第一类套利和半鞅模型中的过滤放大第六章]，了解过滤放大理论的文本说明。）逐渐扩大的过滤G=（Gt）t∈R+通过（1.1）Gt={B定义∈ F | B∩ {τ>t}=Bt∩ s-ome-Bt的{τ>t}∈ Ft}，T∈ R+。特别是，G是一个包含F并使τ成为停止时间的右连续过滤，但请注意，G不是包含F并使τ成为停止时间的最小右连续过滤，比较[GZ08]中的讨论。它来自于Jeulin-Yor定理，即Sτ：=（Sτ∧t） t∈R+是一个半鞅(Ohm, G、 P）（例如，参见[JY78]；实际上，我们都在推论2.9中提供了这个基本事实的另一种简单证明）。然后，X类（G，Sτ）的定义方式与§1.2中相应的X类（F，S）的定义方式完全相同。后半部分中使用的符号NA（G，Sτ）指的是不存在第一类信息G和资产Sτ的套利。与τ相关的Az’ema超马尔可夫在过滤的渐进放大研究中起着关键作用（由I[[0，τ[[on]的可选投影给出）(Ohm, F、 P），参见[Jeu80]和其中的参考），我们用Z表示。这意味着P[τ>σ| Fσ]=Zσ，适用于所有有限的停止时间σ(Ohm, F） ，注意Z∞:= 极限→∞鉴于P[τ=∞] = 0（注意限制Z∞由于上鞅收敛定理，它总是存在的。此外，如果是I[[τ]的双重可选投影，∞[]，因此u：=A+Z是一个非负一致可积的马丁盖尔(Ohm, F、 P）ut=E[A∞|无论如何≥ 0（参见[Nik06，第8.2节]）。此外，通过对偶可选投影的一般性质（参见。

[HWY92，T heorem5.27]），对于任何停止时间σ(Ohm, F） ，它认为在{σ<∞}.为了所有人∈ N、 设ζN:=inf{t∈ R+|Zt<1/n}。此外，设置（1.2）ζ：=limn→∞ζn=inf{t∈ R+| Zt-= 0或Zt=0}=inf{t∈ R+|Zt=0}，其中最后一个等式成立，因为Z是上的非负超鞅(Ohm, F、 P）。现在我们引入一个在续集中非常重要的停站时间。C开-关ζ-可测量事件∧：={ζ<∞, Zζ-> 0, Aζ=0}，定义（1.3）η：=ζ∧=ζI∧+∞我Ohm\\Λ.很明显，η是(Ohm, F） 满足P[η>τ]=1。实际上，P[τ>η| Fη]=Zη=0和P[τ=η<∞|Fη]=AηI{η<∞}= AζI∧=0（记住P[τ=∞] = 假设为0）。在§1.5中，η可能完全不可访问或可访问。然而，引理2.5表明P[η=σ<∞ | Fσ-] < 适用于所有可预测时间的1小时(Ohm, F） 。下面的结果确定了在当前渐进过滤扩大的情况下条件的稳定性。与最初扩大过滤的对应物（定理1.11和1.12）一起，它们是本文的主要结果。First结果与固定半鞅模型的条件的稳定性有关。6比阿特丽斯·阿克西奥、C·劳迪奥·丰塔纳和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯泰奥雷姆1.4。如果NA（F，S）成立，P[η<∞, Sη6=0]=0，则NA（G，Sτ）成立。备注1.5。上述定理的信息是，为了确保渐进式过滤放大的保存，只需检查在η时的过滤过程是否持续。很明显，如果NA（F，eS）满足上述条件：=Sη-= Sη- SηI[[η，∞[]，那么NA（G，Sτ）也成立，因为P[η>τ]=1。实际上，为了得到NA（G，Sτ），NA（F，eSζn）对所有n都有效∈ N