相对套利的几何学

我们用T表示（n） 向量的切向量的向量空间（n） 。致谢。我们感谢沃尔特·沙切梅耶教授对手稿的透彻阅读，并提出了许多改进意见。我们也要感谢匿名评论者对这次演讲的详细评论。2.乘法周期单调性在本节中，我们使用多元函数的一个性质来刻画伪套利投资组合，我们称之为乘法周期单调性。主要论点是凸分析，我们首先回顾一些基本概念。凸分析的标准参考文献是Rockafellar的书[Roc97]。2.1. 单位单纯形上的凸分析。函数Φ：（n）→ 对于任何p，q，R是凹的∈ （n） 还有任何0≤ α ≤ 我们有Φ（αp+（1）- α） q）≥ αΦ（p）+（1）- α） Φ（q）。设Φ为上的凹函数（n） 。Φ的超微分是一个多值函数Φ来自（n） 去（n） ，的切线向量集（n） 。为了p∈ （n） ，切向量ξ属于Φ（p）if（12）Φ（p）+hξ，q- 圆周率≥ Φ（q）适用于所有q∈ （n） 。众所周知Φ（p）是一个非空紧凸集。元素Φ（p）被称为超梯度（p处的Φ）。直观地说，每个超梯度通过（12）的左侧定义Φat（p，Φ（p））的支撑超平面。我们还将考虑（n） 以及它们的衍生物。我们含蓄地认为（n） 作为一个- 1） -嵌入Rn中的三维流形。全球坐标系是投影图（p）=（p，…，pn-1). 例如，函数Φon（n） 如果推进Φoφ-1属于开放集的CK1类(（n） ）在Rn-1.如果凹函数在p处可微分，则超微分Φ（p）是一个包含通常梯度的单态。对于i=1，…，相对套利的几何结构，n、 设e（i）=（0，…，1。

，0）是（n） 在第i方向。如果Φ是一个实数或向量值函数（n） ，p∈ （n） ，和v∈ T（n） 当极限存在时，我们用DvΦ（p）表示p处Φ在v方向上的方向导数。它是明确定义的↓0Φ（p+hv）- Φ（p）h.众所周知（[Roc97，定理23.1]），如果Φ：N→ R是凹的，则DvΦ作为有限极限存在。如果F是向量值且可微分的，那么D·F（p）是微分映射（切向量的向前推）。乘法循环单调性。单位单纯形中的一个循环意味着一个有限序列{u（t）}m+1t=0 （n） μ（m+1）=μ（0）。定义2（乘法循环单调性（MCM））。设π是一个组合，或者更一般地说是一个多值映射（n） 到（n） 。我们说π满足多重循环单调性（MCM），如果在任何循环{u（t）}m+1t=0 （n） 我们有V（m+1）≥ 1，即（13）mYt=01 +π（u（t））u（t），u（t+1）- u（t）≥ 1.对于δ>0，如果不等式（13）适用于连续跳跃大小为ku（t+1）的所有循环，我们说π满足δ-MCM- u（t）k均小于δ。从定义1开始，每当u（t）取值于（n） 。由于我们被允许在K中选择任何路径，只有当市场权重经过一个周期并返回到较早的位置时，投资组合的表现不低于市场时，才会出现这种情况。以下是定义2的直接后果。引理3。假设π是一个不满足MCM性质的投资组合。然后存在一个市场权重序列{u（t）}∞t=0，使得u（t）取（n） 和V（t）→ 0作为t→ ∞.证据假设MCM属性在某个周期{eu（t）}m+1t=0in内崩溃（n） 。那么（14）η：=mYt=01 +π（eu（t+1））eu（t），eu（t+1）- eu（t）< 1，其中eu（m+1）=eu（0）。

考虑市场权重序列{u（t）}∞t=0定义为u（t）=eu（k），如果t=k（mod m+1）。换言之，市场在序列{eu（t）}mt=0中循环。显然，u（t）取有限的值。通过（14），我们得到了V（k（m+1））=ηk，当k趋于完整时，它趋于零。很容易看出V（t）→ 0。序列{u（t）}∞在引理3的证明中，t=0在所有标准下都是不同的，并且非常不稳定，然而投资组合π的相对值变为零。因此，MCM房地产是必要的，以使投资组合在所有多样且剧烈波动的市场中表现优于市场。在实践中，市场权重当然很可能会沿着一个周期移动。MCM属性是一种理想的理论属性，投资组合可能满足，也可能不满足。很明显，MCM8 S.PAL和T.-K.L.不会对任何δ>0的情况使用δ-MCM。上述定义是凸分析中经典循环单调性的乘法形式[Roc97，第24节]。我们的第一个结果给出了MCM属性和凹函数之间的联系。提议4。设π是一个投资组合，或者更一般地说是一个多值映射（n） 到（n） 。（i） π满足MCM当且仅当存在凹函数Φ：（n）→(0, ∞) 使（15）1+π（p）p，q- P≥Φ（q）Φ（p），对于所有p，q∈ （n） 。（ii）对于任何δ>0，如果π满足δ-MCM，则π满足MCM。证据（i） 该证明是[Roc97，定理24.8]证明的改编。为了简单起见，我们假设π是单值的。假设存在一个函数Φ：（n）→ (0, ∞) 使（15）成立。然后在任意离散循环{u（t）}m+1t=0，且u（m+1）=u（0）上，我们得到了myt=01 +π（u（t））u（t），u（t+1）- u（t）≥mYt=0Φ（u（t+1）Φ（u（t））=1。由于u（m+1）=u（0），最终相等。这表明π满足MCM。相反，假设π满足MCM。

确定一个点u（0）∈ （n） 并定义一个功能（n） 乘以（16）Φ（p）=infm≥0，{u（t）}m+1t=0，u（m+1）=p“mYt=01 +π（u（t））u（t），u（t+1）- u（t）#.在这里，妈妈接管了所有m≥ 0和点{u（t）}m+1t=0的所有选择 （n） μ（m+1）=p。我们认为（15）成立。显然，Φ是p中一系列函数的逐点形式，是p上的一个函数（n） 。显然Φ是非负的，MCM属性意味着Φ（u（0））=1。然后是凹度，Φ在任何地方都是正的（n） 。为了表示（15），让p，q∈ （n） 被给予。设α>Φ（p）。根据Φ的定义，存在一些m≥ 0和序列{u（t）}m+1t=0，其中u（m+1）=p使得myt=01 +π（u（t））u（t），u（t+1）- u（t）< α.设置u（m+2）=q，我们有Φ（q）≤1 +π（p）p，q- Pα.（15）的证明通过以下方式完成：↓ Φ（p）。（ii）想法是重复（i）的证明，并附加限制，即跳跃的大小小于δ。考虑由（16）定义的函数Φ，其中，在该函数中，所有m都被函数Φ所取代≥ 0和{u（t）}m+1t=0的所有选项，其中ku（t+1）-相对套利的几何结构9u（t）k<δ。和前面一样，Φ是一个正凹函数（n） ，以及（15）持有任何kp- qk<δ。因此（17）Φ（p）+π（p）pΦ（p），q- P≥ Φ（q），kp- qk<δ。这表明π（p）pΦ（p）的分量平行于（n） （切向量）是受限凹函数Φ| Vat p的超微分，其中V是p的凸邻域∈ （n） 。然而，根据[Roc97，定理23.2]，我们有Φ（p）={ξ∈ T（n） ：DvΦ（p）≤ hξ，vi，对于所有v∈ T（n） 哦。由于Φ的单边导数只取决于p邻域中Φ的值，我们观察到Φ（p）=（Φ| V）（p）对于任何凸邻域V of p。因此（17）适用于所有p，q∈ （n） 。因此，由（i）πsatis fies MCM。备注1。

如果K是（n） ，我们可以通过要求（13）对K中的所有循环{u（t）}mt=0都成立来定义K上的MCM性质。对定理4的证明的简单修改表明，在整个单纯形上定义了一个正凹函数Φ（n） 这样（15）对所有p，q都成立∈ K.这一观察结果将有助于定理8.2.3的证明。功能生成的投资组合。在命题4的设置中，我们说π由Φ生成，Φ是π的母函数。注意，如果Φ是上的正凹函数（n） 那么原木Φ也是凹的 对数Φ（p）=Φ（p）Φ（p）=Φ（p）ξ：ξ∈ Φ（p）.我们的下一个命题表明，MCM投资组合是在费恩霍尔茨意义下功能生成的（他的公式见[Fer02，定理3.1.5]）。提议5。设Φ为上的正凹函数（n） 。（i） 假设投资组合π由Φ生成。为了p∈ （n） ，切线向量v=（v，…，vn）由（18）vi=πi（p）pi定义-nnXj=1πj（p）pj，i=1，n、 属于 对数Φ（p）。（ii）相反，如果v∈  对数Φ（p），向量π=（π，…，πn）由（19）πipi=vi+1定义-nXj=1Pvj，i=1，n、 是一种（n） 。此外，运算π7→ v和v 7→ 由（18）和（19）定义的π彼此相反。备注2。特别是，任何选择 对数Φ（a图v：（n）→ T（n） 例如v（p）∈  所有p的对数Φ（p）∈ （n） ）通过（19）一个由公司生成的投资组合进行定义。对于某些应用，要求选择是可测量的。根据[RW98，定理14.56]，这样的选择总是存在的。10 S.PAL和T.-K.L.WONGProof。（i） 让p∈ （n） 。到（15），我们有1个+π（p）p，q- P≥Φ（q）Φ（p）适用于所有q∈ （n） 。注意π（p）pis不是（n） 。归一化（18）“投影”π（p）pto v，这是一个切向量。因为π（p）p- v垂直于T（n） 如果π（p）π被v取代，内积不变。

因此，到（12）我们有v∈  对数Φ（p）。（ii）很容易验证Pni=1πi=1。看到πi≥ 每i为0，letq- p=t（e（i）- p） 对于0<t<1 in（12），我们有-Φ（p）≤ Φ（p+t（e（i）- p） )- Φ（p）（因为Φ（q）>0）≤ hΦ（p）v，t（e（i）- p） i=tΦ（p）六、-nXj=1Pvj.让t↑ 将两边除以Φ（p），我们得到期望的不等式πi≥ 0.π7→ v和v 7→ π是彼此的倒数，可以通过直接计算来验证。提议6。设π为（n） 由凹函数Φ生成。（i） 生成函数Φ在正乘法常数下是唯一的。（ii）任何∈ （n） i=1，n、 哈维（we+1）-ulogΦ（u）≤πiui≤ 1.- Du-e（i）对数Φ（u）。特别是，如果Φ是可微分的，则组合由公式（20）πi=ui给出1+De（一）-ulogΦ（u）, i=1，n、 （iii）如果π是连续的，那么Φ是连续可微的。更一般地说，如果π属于Ck类，那么Φ属于Ck+1类。（iv）如果：（n）→ (0, ∞) 是凹的，可微的，我们用（20）定义π，然后用Φ生成π。特别是π（u）∈ （n） 无论如何。证据（i） 假设π由Φ生成，Φ生成π。让p，q∈ （n） 考虑从p到q的线段。考虑对数Φito的限制，用对数Φi | `表示。它们可以参数化为一维凹函数。特别是，它们在`上是可区分的，除了在`上最多可数个点。根据命题5，向量π（u）/u定义了对数母函数的支持超平面。因此，logΦ和logΦ在所有点上都有平行的支撑超平面（n） 。特别是，对数Φ|和对数Φ|的导数几乎在所有地方都一致。

根据凹函数计算的基本定理[Roc97，推论24.2.1]，我们得到了对数Φ（q）- 对数Φ（p）=对数Φ（q）- 对数Φ（p）。由于p和q是任意的，Φ/Φ是一个正常数。相对套利的几何11（ii）通过定义π，对于h∈ R\\{0}足够小以至于u+h（e（i）-u) ∈ （n） ，超微分不等式（15）给出（21）1+π（u）u，h（e（i）- u)≥Φ（u+h（e（i）- u))Φ(u).请注意，内积由π（u）u，h（e（i）- u)= Hπiui- 1..把（21）两边的圆木取下来，我们有圆木1+hπiui- 1.≥ 对数Φ（u+h）e（i）- u)) - 对数Φ（u）。除以h，取极限为h↓ 0和h↑ 0，我们得到了期望的不等式。公式（20）的证明是，如果Φ（因此对数Φ）是可微的，对于每个切向量v，我们有DvlogΦ=-D-vlogΦ。（iii）假设π是连续的。因此，P7→π（p）pis是对数Φ超微分的连续选择。根据[Rai88，命题4]对数Φ，因此Φ，在（n） 。根据[Roc97，推论25.5.1]，Φ实际上是连续可微的。如果π是ckk类的≥ 1，我们已经知道Φ是可微的。按照坐标系φ（u）=（u，…，un）-1） ，对于i=1，N- 我们有ui对数Φo φ-1.（u，…，un）-1） =De（i）-e（n）对数Φ（u）=De（i）-ulogΦ（u）- 德（n）-ulogΦ（u）=πiui-πnun，属于Ck类。因此，对数Φ和Φ属于Ck+1级。（iv）假设Φ可微分，并用（20）定义π。显示πi≥ 0，fixu∈ （n） 和1≤ 我≤ n、 并考虑Φ对段[u，e（i））的限制≥ 0相当于De（i）-uΦ(u) ≥ -Φ（u），由Φ的凹性和正性得出。为了验证π∈ （n） 我们只需要证明pni=1πi=1，orPni=1uiDe（i）-ulogΦ（u）=0。这取决于标识Pni=1ui（e（i）-u）=0和可微分函数方向导数的线性。最后，π由Φby（ii）生成。2.4.

L-散度。母函数的凹性具有财务意义，这将在下面的引理7中变得清楚。定义3（L-散度）。设π为凹函数Φ生成的投资组合。对（Φ，π）的L-散度由（22）T（q | p）：=log定义1 +π（p）p，q- P- （对数Φ（q）- 对数Φ（p）），p，q∈ （n） 。我们使用这个术语是因为表达式（22）可以被视为广泛使用的布雷格曼散度的对数版本（见[AC10]）。从（15）中可以清楚地看出，T（q | p）≥ 除非Φ是连接p和q的直线上的一个函数，否则为严格正。当Φ为严格凹形时，T（q | p）=0仅当q=p。一般来说，T是不对称的，不定义度量。12 S.PAL和T.-K.L.WONGAs举个例子，fixπ∈ （n） 考虑几何平均数Φ（p）=Qni=1pπii。这是一个凹函数，它生成常数加权投资组合π（[Fer02，示例3.1.6]）。我们有（23）T（q | p）=lognXi=1πiqipi！-nXi=1πilog七皮.我们称之为离散超额增长率γ*π、 参见[PW13，定义2.2]。备注3。L-散度是为一对（Φ，π）定义的，因为一般来说，给定凹函数生成的Portfolio不是唯一的。当Φ在u处不可微分时，任何选择的超梯度定义一个投资组合向量。由于A函数几乎在任何地方都是可微分的，因此投资组合在任何地方都是一致的（n） 。L-散度在以下分解公式中具有特征，这是[Fer02，定理3.1.5]的混凝土时间模拟。引理7。设π由正凹函数Φ生成。设T为该对（Φ，π）的散度泛函。然后，相对值过程V（t）满足分解（24）log V（t）=logΦ（u（t））Φ（u（0））+A（t），其中A（t）=Pt-1k=0T（u（k+1）|u（k））是非递减的。

此外，Φ是一个有效因子，且仅当a（t）≡ 0表示所有市场权重序列。在费恩霍尔茨之后，我们称A（t）为漂移过程。证据分解公式（24）直接来自定义。通过（3）和（22），我们得到了（u（t+1）|u（t））=log1 +π（u（t））u（t），u（t+1）- u（t）- 对数Φ（u（t+1））Φ（u（t））=logV（t+1）V（t）- 对数Φ（u（t+1））Φ（u（t））。因此（24）之后是对t求和并重新排列。自T（q | p）≥ 0，A是非递减的。很明显，A（t）≡ 如果Φ为1，则为0。相反，假设A（t）≡ 0表示所有市场权重序列。那么Φ是线段[p，q]上的一个函数，T（p | p）=0。Sincep和q是任意的，Φ是任意的（n） 。当Φ不在线段[u（t），u（t+1）]上时，L-偏差（u（t+1）|u（t））严格为正。漂移过程A（t）测量投资组合在时间间隔[0，t]内捕获的市场波动的累积量。我们说市场对于πif A（t）是充分的波动性↑ ∞ 作为t→ ∞.2.5. 伪套利的特征。如果π不是MCM，引理3表明存在一系列的市场权重，相对值沿该序列变为零。这是一个“全局”属性，从这个意义上说，故障路径可能需要大跳跃。我们的下一个结果表明，未能成为MCM也是一种“局部”属性，即跳跃可以像我们希望的那样小。事实上，它可以完全局限于一个点。相对套利的几何定理13第8条。设π是来自（n） 到（n） 这会破坏麦克默斯的财产。（i） 对于任何δ>0，都有一个序列{u（t）}∞t=0市场权重，即ku（t+1）-u（t）k<δ对于所有t和V（t）随着t变为零→ ∞. 因此π不能是包含路径的任何集合上的伪套利。（ii）对于任何δ>0，都存在p∈ （n） 使得（i）中的序列可以完全位于p.Proof周围半径δ的欧几里德球内。

第（一）部分已在引理3中得到证明。从命题4（ii）可以选择跳跃大小小于δ的序列。为了证明（ii），我们将证明，给定δ>0，有一个点p∈ （n） 因此，MCM性质在半径δ为p的欧几里德球中失效。然后我们可以在这个球中重复（i）的证明。这将通过使用以下声明的对比方法来实现。宣称假设存在δ>0，使得对于任何p∈ （n） ，MCM属性在p周围半径为δ的球内选择的任意点上都会保持不变（n） 。为了证明上述说法，让我们回顾一下线积分和保守向量场的概念。设γ是一条分段线性曲线以一个闭合区间为索引，比如[0,1]。如果γ（0）=γ（1），则该曲线称为回路。向量场w（u）：=π（u）/u在任何γ上的线积分将由iγ（w）：=Zγπ（u）udu=Z表示π（u（t））u（t），u（t）dt。线积分不依赖于参数化，除了方向。由于符号的轻微滥用，从任意a到任意b的行n、 不考虑参数化，将用[a，b]表示。让p∈ （n） 设Bδ（p）={q∈ （n） ：kq- pk<δ}。考虑任意环γ，其范围包含在Bδ（p）中。那么我们有（25）Iγ（w）=0。换句话说，向量场w是局部保守的，仅限于每个Bδ（p）。为了看到（25），我们使用π满足Bδ（p）上的MCM这一事实。因此，根据定理4，有一个正凹函数Φn生成πonBδ（p）。考虑Bδ（p）中包含的任何线`=[p，p]。根据[Roc97，Theorem24.2]，我们得到了I`（π/u）=logΦ（p）- 对数Φ（p）。因此（25）适用于Bδ（p）中的任何分段线性回路。现在，我们证明了任何局部有界且保守的向量场（n） 必须在全球范围内保持保守。