相对套利的几何学

现在wetake X=Y=（n） 考虑成本函数ec（n） ×（n） 由负相对熵给出：（48）ec（p，q）=-H（q | p）=-nXi=1qilogqipi。这里p被解释为市场权重，q被解释为组合权重。请注意，当且仅当p=q时，c为非正，且为0。命题13。的任意ec循环单调子集（n） ×（n） 令人满意的MCM。反之亦然。证据设A是的ec循环单调子集（n） ×（n） 设{（p（t），q（t））}m+1t=0是a中的一个循环。那么ec循环单调性意味着mxt=0-H（q（t）| p（t））≤mXt=0-H（q（t）| p（t+1））。扩展，我们有mxt=0nXi=1qi（t）logqi（t）pi（t）≥mXt=0nXi=1qi（t）logqi（t）pi（t+1）。因此我们得到mxt=0“nXi=1qi（t）logpi（t+1）pi（t）#≥ 0.将Jensen不等式应用于每个t的方括号内的和，wehavemXt=0“lognXi=1qi（t）pi（t+1）pi（t）#≥ 0，MCM属性后面是求幂。为了证明相反的结果是错误的，让π成为（n） 。这是市场组合，即MCM。但是ec（p，π（p））≡ 0，因此市场组合最大化了运输成本。任何其他的重新安排都会增加相对性并降低运输成本。考虑运输成本问题（48）。由于任何最优耦合都有循环单调支撑（如定理2的证明中所述），支撑由命题13生成，因此由凹函数生成。我们给出了一种替代性的处理方法，将问题与二次成本问题联系起来。相对套利的几何定理23第14条。让你 （n） 和V （n） 。设P在U上受支撑，q在V上受支撑。假设（49）γ：=supπ∈五、 u∈UH（π|u）<∞.然后用成本函数ec确定问题（5）的值。

此外，（i）存在一个凹函数Φ：（n）→ (0, ∞) 这样，任何优化都集中在集合上（p，q）∈ U×（n） :七皮-nnXj=1qjpj1.≤我≤N∈  对数Φ（p）.（ii）对于任何p，q∈ 我们有Φ（q）/Φ（p）≤ exp（γ）。因此logΦ在U上有界。上述定理的证明依赖于以下引理。这里，如果p是具有正分量的向量，则logp意味着将log应用于每个坐标。引理15。设φ为（0）上的真凸函数，∞)n、 考虑一下-日志（n） 作为（0，∞)n、 假设，对于每一个p点∈ （n） ，有一个π∈ （n） 这样，以下次微分不等式保持（50）а(-日志（q）≥ φ (-对数p）+hπ，对数p- log qi，代表所有q∈ （n） 。也就是说，π是φat的次微分-对数p.然后Φ（p）=exp[-φ(-log p）]是否开启（n） 。此外，投资组合函数π由Φ生成。证据考虑任意两点p，q∈ （n） 。到（50）年，我们得到(-日志（p）- φ (-日志（q）≤ hπ，logq- 对数pi=nXi=1πi（p）对数七皮≤ lognXi=1πiqipi！，根据詹森不等式，=log1 +π（p）p，q- P.对上述不等式的两边进行求幂，我们得到1 +πp，q- P≥ exp[~n(-日志（p）- φ (-对数q）]=Φ（q）Φ（p）。将两边乘以Φ（p），我们可以看到Φ在p处有一个由向量Φ（p）给出的超梯度πi（p）π-nPnj=1πj（p）pj1.≤我≤n、 因此Φ是凹的[BSS13，定理3.2.6]。最后一句话出自命题4和命题5。定理14的证明。很明显，这个问题的价值是确定的。为了证明（i），我们将使用Knott-Smith最优性准则（[Vil03，Theorem2.12]），这是二次成本最优运输的基本结果。首先，我们将重新制定问题。LeteP是ζ的定律=-当u时记录u~ P.那么P和Q都是Rn上的概率测度，优化问题（5）变成了supR∈π（Q，eP）ER（hπ，ζi）- H（π）），其中H（π）是香农entropy24 S.PAL和T.-K.L.WONGofπ。

因为ER[H（π）]=EQ[H（π）]，这个项可以去掉。完成这些方格后，我们发现运输问题相当于（51）inf∈π（Q，eP）ERkπ- ζk,这是通常的二次成本最优运输问题。LeteR可能是（51）的最优解（由[Vil09，定理4.1]存在）。Knott-Smith最优性准则指出，Rn上存在一个较低的半连续凸函数，因此最优耦合的支撑包含在图中φ. 也就是说，在几乎所有的（π，ζ）中，我们都有π∈ φ(ζ). 考虑映射u=exp(-ζ) 7→ π和let（u）=-φ(-对数u=-φ(ζ). 根据引理15，Φ=exp（（u））是一个产生π的凹函数。对于（ii），让（q，π）在上述的支持下。通过φ的凸性和π在-log q，我们有(-日志（p）- φ (-日志（q）≥ hπ，-logp+logqi=H（π| p）- H（π| q）≥ -γ.将上述不等式乘以负号，然后指数化，证明了我们的说法。3.5. 例子。现在我们给出一些简单的例子，可以直接验证最优性；第4节将给出更现实的应用。设sn为（1，…，n）的置换集。对于σ=（σ，…，σn）∈ 斯南德x∈ Rn，设σ·xdenote为向量（xσ，…，xσn）。设Eσ为（52）Eσ＝{x所定义的集合∈ Rn:xσ>xσ>xσn}。换句话说，Eσ中一点的σith坐标的秩是i.Let Id∈ 这就是身份。注意，通过将动作扩展到集合，Eσ=σ·EId。例1。在本例中，成本函数为（40）。让U成为一个预紧子空间（n） 它仅由排名坐标定义，即U∩Eσ=σ·（U）∩ 对所有人来说。设P是U上的一个概率测度，它在坐标系下是不变的。也就是说，P完全由理论统计分布（u（1），u（n））我们说P是可交换的。

这意味着最终的投资组合函数是基于排名的。我们还假设PDOE不负责Eσ的边界≤ 我≤ n} （对数按分量应用）并让Q在该有限集上均匀分布。那么（P，Q）的最佳耦合可以描述如下。首先，对于每一个p∈ U∩我们把p和h=loge（n）耦合起来。接下来，我们通过对称性进行扩展：对于每一个p∈ U∩Eσ，耦合p和h=loge（σn）。可以检查得到的投资组合是否将所有投资都投资在最小的股票上。对于V={log（e（i）+e（j）），1，可以得出类似的例子≤ i<j≤ n} 。在这种情况下，最优投资组合将根据重新调整的市场权重在最低的两支股票中进行投资。如果V是k多个离散（i）s之和的对数集，则得到的投资组合根据最小k个股票的市场进行投资。这是按排名选择的投资组合示例，请参见[Fer02，示例4.3.2]。例2。现在我们考虑负相对熵成本（48）。让U和Pbe如例1所示。设V={e（i），1≤ 我≤ n} 设Q为V的均匀分布。很明显，以下耦合将成本降至最低：everyp∈ U∩E、 将p与E（n）耦合，并通过对称性扩展。现在，相对套利的几何结构的最佳耦合再次是将其全部持有量放在最小股票上的投资组合。然而，如果我们取V={（e（i）+e（j））/2，i<j}或k多个distincte（i）的平均值集，最优投资组合将在最小的k个股票中平均投资。4.在一般情况下，用数学方法解决运输问题是困难的；例如参见[BFO14]及其参考文献。设计实用算法来解决成本（40）或（47）的运输问题是一个有趣的开放问题。

在n=2的情况下，由于实线的特殊结构和代价函数的凸性（47），可以明确地描述解的特征。在本节中，我们给出了解决方案，并给出了几个经验示例。4.1. 单调重排。在本节中，我们假设n=2。非典型点（2） 表示为u=eθ1+eθ，1+eθ,θ在哪里∈ R是μ的指数坐标。具有与u对应的正权重的组合向量π（u）可以表示为π（u）=eθ-φ1+eθ-φ、 1+eθ-φ为了一些∈ 所以π（u）的指数坐标是θ- φ. 我们将选择φ作为θ的函数。随着φ的增加，相对于市场权重，投资组合减持的股票越来越多。关于单纯形上不同点的开孔φ的依赖性，见图3。例如，如果|φ|的范围为0.6，则生成的投资组合图将位于标记的曲线内-0.6和0.6。考虑一下运输成本问题（47）。LeteP和Eq是R上的概率测度。我们假设Ep对于Lebesgue测度是绝对连续的。成本isc（θ，φ）=ψ（θ）- φ） =原木1+eθ-φ, θ, φ ∈ 这里ψ（x）=log（1+ex）是R上的光滑严格凸函数。输运问题是（53）EeR∈π（eP，eQ）ψ（θ）- φ） 式中（θ，φ）~呃。设G和H分别为Ep和Eq的分布函数。定义8（单调重排）。来自EPTOEQ的单调传输映射是映射F:R→ 定义为（54）F（x）=inf{y:H（y）≥ G（x）}。换句话说，F是通过匹配H的分位数和G的分位数来定义的。从（54）可以清楚地看出，F是非递减的。此外，如果θ~eP，然后是F（θ）~因此（θ，F（θ））是（eP，eQ）的耦合。事实上，F是唯一的非递减函数（直到p的空集），它将sep映射到q。26 S.PAL和T-K.L。

WONG0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1.5-1.2-0.9-0.6-0.300.30.60.91.21.5图3。π（u）=eθ的绘图-φ1+eθ-φ是u=eθ1+eθ的函数，表示φ的不同值（已标记）。以下定理是一个众所周知的事实的特例（例如参见[JS12，定理3.1]）。的确，如果用任何严格凸函数代替ψ，单调输运映射仍然是最优的。定理16。耦合（θ，F（θ）），其中θ~eP和F是单调传输图，从eP到Q是传输问题的唯一解决方案（53）。一个明确的例子是EP和Q是正常的。在这种情况下，单调转移图是线性的，相应的投资组合本质上是一个多样性加权投资组合（见[Fer02，第3.4节]）。17号提案。LeteP=N（m，σ）和Q=N（m，σ）。然后，单调平移映射由f（θ）=m+σ（θ）给出- m） ，θ∈ R.此外，对应于传输图F的组合函数由（55）π（u）给出=cμαcμα+μα，μαcμα+μα,其中α=1-σσ和c=expσσm- M.证据让X~ N（m，σ）和Y~ N（m，σ）。第一种说法源自以下事实（X-m） /σ和（Y）-m） /σ具有相同的分布。为了表示（55），请注意θ=对数u，通过定义π（u），我们得到了对数π（u）π（u）=θ- F（θ）=1.-σσ对数μ+σσm- M= αlogu+log c.相对套利27的几何结构增长11995美元2000年2005年20155 10 15WalmartMicrosoftθ（t）1995年2000年2010年2015年时间序列-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0.0-1.5-1-0.50.00.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4θ（t）和PθP的密度-0.5 0.0 0.50 1 2 3 4 5奇诺马龙形Laplace的密度图4。数据的曲线图。左上：标准化股价的时间序列。右上：θ（t）的时间序列，指数坐标过程。左下：训练期间θ（t）的密度估计（实线曲线）和EP的密度估计（虚线曲线）。右下角：我们选择的ofeQ的密度。重新安排会产生结果。

很明显，只要运输图是线性的，投资组合的形式就是（55），所以不需要正态性假设。然而，了解投资组合如何依赖于EP和Q的均值和方差是很有启发性的。特别是，命题17中的指数α取决于比率σσ。如果σ=σ，那么α=0，π是一个常数加权投资组合。如果0<σ<σ，那么0<α<1和π本质上就是多样性加权投资组合。如果σ>σ>0，则α为负，最近的论文[VK15]研究了相应的投资组合。另一方面，平均mofeQ代表股票1的系统性增持/减持，并与其他参数相互作用，以确定常数c.4.2。经验例子。在本小节中，我们用一个简单的例子来说明我们的最佳运输方法在实践中的应用。考虑沃尔玛（股票1）和微软（股票2）1995年1月至2015年7月的月度股价。股票价格（1995年1月标准化为1美元）为28 S.PAL和T.-K.L.Wong，如图4所示（左上）。“市场”由两支股票组成，初始市场权重为（0.5,0.5）。我们计算了指数坐标过程θ（t）=logu（t）u（t）（右上角）。假设我们使用前10年（120个月）的数据作为培训数据。我们的目标是使用培训数据以及Qto的选择来构建投资组合，这些投资组合将使用未来10年的数据进行回溯测试。为了使用最优传输实现这一点，我们需要指定概率分布EPandeq on R.选择EP。这个测量反映了我们对未来θ（t）位置的信念。图4绘制了训练期间θ（t）的密度估计值（左下角）。分布呈双峰型（对应于1997-2000年和2002-2004年），且主要集中在区间[-1.2, 0].

假设我们相信，未来十年，该地区的市场权重很可能会保持不变。为简单起见，我们将其视为正态分布，其均值和标准差与密度估计值相匹配。明确地说，我们有ep=N(-0.626, 0.305).如果投资者不太确定，可以选择更具差异性的分布。选择ofeQ。回想一下，投资组合具有π（u）的表示形式=eθ-φ1+eθ-φ、 1+eθ-φ,其中，φ是θ的函数，q是φ的边缘分布，假设θ为aseP分布。为了说明不同分布的影响，我们考虑以下三种分布：eQ=N（0,0.08），eQ=Uniform(-0.2,0.6），等式=拉普拉斯（位置=-0.2，比例=0.1）。在这里，我们回忆起具有位置参数a和标度参数b的拉普拉斯分布的密度由f（x）=bexp给出-|十、-|b. 这些分布的密度如图4（右下角）所示。我们用π（1）、π（2）和π（3）来表示得到的端口组合。让我们给出一些关于这些分布的直觉。总的来说，我们选择的分布集中在区间[-0.6, 0.6]. 从图3可以看出，它们允许适度偏离市场权重，但不会偏离太多（大多数情况下）。请注意，Eq的平均值为0，标准偏差很小（关于Ep标准偏差的aquarter）。这意味着平均π（1）不会对股票1（沃尔玛）进行增持或减持，偏差在大多数时间内都是如此。通过命题17，我们知道π（1）是α=1的多样性加权投资组合-0.080.305≈ 0.74. （从（55）开始，如果α=0，则投资组合为常数加权，如果α=1，则为买入并持有。）因此，我们预计π（2）倾向于减持股票1（如果θ（t）的未来经验分布接近于p，则约75%的时间）。

由于eq具有有界支撑，π（2）的权重比一致有界于（n） 。然而，在某个地区，体重不足可能非常严重。相对套利的几何结构290.2 0.3 0.4 0.50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7优化的投资组合函数Walmart的市场权重Walmart NormalUniforMLAPLACEMarket的投资组合权重图5。当i=1,2,3时，π（i）（u）与u的曲线图。曲线使用分布Seqi进行标记。最后，方程组有一个拉普拉斯分布，其尾部比正态分布更厚。因此，我们期望π（3）比在单纯形边界附近具有匹配参数的多样性加权投资组合偏离更多（与市场投资组合）。也有人选择负均值。因此π（3）将倾向于增持股票1。在实践中，EQ的位置度量应该反映投资者对未来股票相对表现的信念。后果对于每个EQ的选择，我们使用单调重排法（定理16）来解决最优运输问题。由此产生的端口组合π（i）如图5所示。显示的u范围包含99个以上。9%的环氧乙烷质量。投资组合的特征与我们的直觉一致。如前所述，π（1）是一种多样性加权投资组合，通过构造非常接近市场投资组合。请注意，曲线与市场权重函数的交点约为u=0.35。这对应于ofeP的中值，是Eq对称于0的结果。因此，如果EP接近现实，π（1）将在一半时间内增持股票，在一半时间内减持股票。投资组合π（2）持续低估股票1，因为它们偏向右边，并且在所示范围内偏差最大。

然而，如果我们朝着边界点0和1绘制曲线，则Qf支撑的有界性迫使π（2）接近单纯形边界附近的市场权重（在权重比有界的意义上）。π（1）和π（3）的情况并非如此，它们的分布具有无界支撑。至于π（3），我们注意到大部分曲线高于市场，因为eqq具有负均值。由于拉普拉斯分布具有厚尾，投资组合越来越偏离边界。在这种情况下，最佳传输将|φ|的大值与u的边界值相耦合，其在EP下的概率很小。30 S.PAL和T.-K.L.WONGLog portfolios2006 2008 2012 2014的相对价值-0.02 0.00 0.02 0.04 0.06NormalUniforMLA平面图6。记录2005年测试期间投资组合π（i）的相对值- 2015.回溯测试。最后，我们计算了2005-2015年测试期间三个投资组合相对于市场投资组合的相对价值。结果如图6所示。在该时期结束时，所有三个投资组合的表现均优于市场（10年期间，对数规模分别为2.17%、7.49%和2.38%）。数量不是很大（除了π（2）），这主要是因为投资组合与市场投资组合的偏差很小。虽然对业绩的详细分析超出了本文的范围，但我们注意到，投资组合的相对风险（相对于市场投资组合，也称为跟踪误差）取决于与市场权重的偏差，以及Q的位置和离散度。分布qd从0开始变化最大，因此π（2）的风险更大；在这段时间结束时，它也获得了最大的回报。