相对套利的几何学

虽然这种说法在光滑向量场中广为人知，但我们只假设π/u是可测量的且局部有界的，由此产生的势对数Φ不一定是可微分的。由于我们无法找到这个结果的参考文献，我们将给出一个证明的草图，并请读者参考[PW14，定理8的证明]以了解更多细节。设w（u）=π（u）/u在（25）意义下是局部保守的。修正p，q∈ （n） 考虑从p到q的两条分段线性曲线γ和γ。我们将展示（26）Zγw（u）du=Zγw（u）du。14 S.PAL和T.-K.L.WONGr%%jjjjjjjjjjjjjj ooγ（u）OOγ（u）OOTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTγ（u）ooγ（u）ooγ（u）ooγ（u）OOQOf图1。将循环分解为局部循环的并集。这里r=γ（u）。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设γ（t）=（1- t） p+tq。事实上，我们可以假设γ正好有三个角p，r，q，并且是[p，r]和[r，q]的串联（我们称这种曲线为三角形）。这是因为，一旦我们为这种三角形曲线建立了（26），我们就可以归纳地消除任何其他γ中的角点，并建立（26）。对于其余的论证，我们假设γ是三角形的，γ是[p，q]。假设γ和γ都由[0,1]索引。我们首先假设sup0≤T≤1kγ（t）- γ（t）k<δ/2。在这种情况下，选择pointsu=0<u<u。在[0,1]中，它们在γ上的图像是一系列连续距离小于δ/2的等距点。现在在γ（ui）和γ（ui）之间添加行。现在考虑由4条定向线[γ（ui+1）、γ（ui）]、[γ（ui）、γ（ui）]、[γ（ui）、γ（ui+1）]和[γ（ui+1）、γ（ui+1）]形成的每个环。参见图1。通过欧氏距离的三角形不等式，可以得出循环位于Bδ（γ（ui））内。因此，根据我们对局部守恒的假设，w在这些回路上的积分为零。

然而，所有这些回路上的积分之和正是w在γ线和γ线串联上的积分-γ.因此，这个积分为零，证明（26）。通过一个简单的几何论证可以证明，任何其他情况都可以简化为上述情况1（详见[PW14]）。既然我们已经证明w是全局保守的，我们就可以明确地定义Φ上的函数（n） 通过使用一些p∈ （n） 定义（27）对数Φ（p）=Zγπudu，p∈ （n） ，其中积分在从pto p开始的任何分段线性曲线上。在任何Bδ（p）上，函数Φ必须与向量场w的局部MCM性质产生的凹函数重合（直到一个常数）。因此，Φ在（n） 因此它是凹的（参见[H¨or07，第58页]），并产生π。这表明π已经结束（n） 这就完成了定理的证明。定理1的证明。效率由分解公式（24）得出。根据条件（ii），右边的第一项在所有序列{u（t）}上一致有界∞t=0 K（注意，一个正凹函数（n） （上有界）。由于K是开的，当且仅当函数Φ是一个函数时，K×K上的L-散度为零。如果Φ是非有效的，我们可以很清楚地选择一个序列，例如相对套利的几何结构，累积的L-散度，以及V（t）→ ∞ 沿着这个顺序。等式（4）取自命题6（ii）。为了证明必要性，我们首先注意到，如果在K中存在一个市场周期，MCM属性在该周期内失效，那么π不可能是伪套利。注1，存在一个正凹函数Φ（n） 这样定理1（iii）成立。由于π是函数生成的，我们可以应用引理7。如果Φ是K上的α，那么过程a为零，V（t）在Ifu（t）上有界∈ K代表所有t。

这防止π成为伪套利。最后，假设零是集合Φ（K）的一个极限点。作为一个正凹函数（n） ，Φ可以连续扩展到（n） 。因此，我们可以在闭包中找到一个点q，使得Φ（q）=0。确定一个点p∈ K和let{λ（t）}∞t=0be收敛到1的[0,1]中的严格递增序列。Let{u（t）}t≥0是由u（t）=（1）定义的市场权重序列- λ（t））p+λ（t）q。我们选择λ（t），使得对数Φ在u（t）处对所有t是可微的。由于对数Φ是可微的，我们有π（p）p，q- pE=Dq-plogΦ（p）。因此π（u（t））u（t），u（t+1）- u（t）= Dq-plogΦ（u（t））（λ（t+1）- λ（t））。使用初等不等式对数（1+x）≤ x代表x>-1，我们得到（28）∞Xt=0log1 +π（u（t））u（t），u（t+1）- u（t）≤∞Xt=0Dq-plogΦ（u（t））（λ（t+1）- λ（t））。将（28）的右侧与线积分z[p，q]πudu=对数Φ（q）进行比较- 对数Φ（p）=-∞,不难看出，通过选择点{λ（t）}∞t=0正确地说，右边是-∞. 因此，沿着这个序列，相对值过程V（t）趋于零→ ∞. 这表明，如果零是Φ（K）的极限点，π不可能是伪套利。这就完成了定理1的证明。2.6. 不同的情况。在本小节中，我们推导出CMCM投资组合满足的不同不等式。设π为满足mcm性质的Cportfolio。根据命题6，其母函数Φ为C。回想一下，T（q | p）是由（22）定义的L-散度函数。定义4（漂移二次型）。设π由正凹函数Φ生成（n） 。（π，Φ）的漂移二次型是HsatisfyingH（p）（v，v）的二次型：=-12Φ（p）赫斯Φ（p）（v，v），其中p∈ （n） 和v∈ T（n） 。这里的HessΦ是Φ的Hessian，被认为是水生形式。定义为（29）HessΦ（p）（v，v）=ddtΦ（p+tv）t=0.16 S.PAL和t.-K.L。

WONGDirect微分表明H是T的泰勒级数近似。要塞∈ R小，我们有（30）T（p+tv | p）=H（p）（tv，tv）+oT.特别重要的是π∈ （n） 是一个恒定加权的投资组合。相应的漂移二次型被称为超额增长二次型。定义5（过度增长）。让π∈ （n） 。π的超额增长二次型Γπ由（31）Γπ（p）（v，v）=nXi，j=1πi（δij）定义- πj）pipjvivj，其中p∈ （n） 和v∈ T（n） 。最后，我们需要信息几何中的费希尔信息度量概念（[ANH07，第2.5节]）。定义6（费希尔信息度量）。Fisher信息度量（n） 定义每个p的内积hh·、·iipof切向量∈ （n） 。如果u=（u，…，un）和v=（v，…，vn）是（n） ，和p∈ （n） ，内部产品由HHU定义，viip=nXi=1PIIVI。注意，如果π=p，那么Γp（p）（·，·）=hh·，·iip，所以市场投资组合的超额增长二次型是Fisher信息度量。定理9。设π是一个由上的C正凹函数生成的投资组合（n） 。然后：（i）重量比w（u）=πu满足（32）hv，Dvw（p）i≤ -hw（p），vi，对于任何u∈ （n） 和v∈ T（n） 。（ii）对于任何p∈ （n） 和v∈ T（n） ，我们有（33）Γπ（p）（v，v）- hhDvπ（p），viip≥ 0.回想一下，Dvw和Dvπ是切线向量的向前推（微分图的图像）。直观地说，内积hhDvπ（u），viiu衡量投资组合权重在市场权重增量方向上的移动程度。根据（33），为了π是伪套利，内积不能大于投资组合的超额增长率。这在Portfolio贴图级别给出了凹度的含义。证据（i） 让p∈ （n） ，v∈ T（n） ε>0。

通过m=1的MCM性质，我们得到1 +π（p）p，εv1.-π（p+εv）p+εv，εv- 1.≥ 0.展开上面的表达式，我们得到-εhw（p+εv）- w（p），vi- εhw（p），vihw（p+ε，vi≥ 0.除以ε，当ε趋于零时取极限，我们得到所需的不等式。相对套利的几何学17● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ●● ●●0.2 0.4 0.6 0.80.2 0.4 0.6 0.8市场组合u1u2●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●● ●●●●●● ●●0.20.30.40.50.60.20.30.40.40.50.6多样性-加权投资组合π1π2图2。多样性加权投资组合的投资组合图（投影到前两个坐标），其中πi=√uiPnj=1√ujandΦ（u）=Pnj=1√uj, 对于n=3。右边的每个点都是左边一个点的图像。（ii）在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Φ在（n） 在Rn。使用积v1hv=wenxi，使用积v1hv=wenxiujπiui=nXi，j=1vivjuiπiuj- πiδijuj！=hhv，Dvπiiu-nXi=1πiuivi。因此，hv，Dvwi+hw，vi=hhv，Dvπiiu-nXi，j=1πi（δij- πj）uiujvivj=hhv，Dvπiiu- π（v，v）。备注4。在[PW13，第4节]中，我们证明了当n=2时，函数生成的投资组合π=（q（Y），1）- q（Y）），其中Y=logu和q:R→ （0，1），hasa非递减漂移过程当且仅当（34）q（y）≤ q（y）（1）- q（y）），y∈ R.利用恒等式dhY i=（uu）dhui，它遵循^o的公式，我们可以证明Γπ（du，du）=q（1）-

我们得到dΘ=Γπ（du，du）-  - q）- q） 因此定理9推广了（34）并提供了几何解释。18 S.PAL和T.-K.L.WONGRemark 5。根据命题5和定理9，对于连续可微投资组合π，MCM性质意味着向量场w=π/u是保守的（在（25）的意义上），其中γ是（n） ）并满足了不平等性（32）。反过来也是正确的，这里是一个证明的草图。如果π/u是保守的，则线积分γπudu通过（27）函数Φon定义（n） π由（4）给出。此外，（32）意味着Φ是凹的。因此π是由一个凹函数生成的，是MCM。当n=2时，所有连续可微分向量场均为开（2） 是保守的（也见[PW13，引理4.6]），因此（32）暗示了MCM属性。一般来说，一个投资组合可以满足（32），而不是由凹函数生成。以下示例的灵感来自[Roc97，第24节，第240页]。该结构适用于任何n≥ 3，但为了具体，我们让n=3。以matricesA为例=-1.-1.-10-1.-10 0 -1., B=（A+A），其中Ais是A的转置。设λ>0为待选择参数，定义λ：=λA，Bλ：=λB。注意，A是非对称的，B是（严格地）负有限的。在这里，只要方便，我们就使用矩阵表示法。矩阵Aλ通过权重比定义投资组合π，给定byw（u）=πu=Aλu+αλ（u）1=λ-1.-(u+ u)-u+ αλ(u),（35）式中αλ（·）：（n）→ R是一个光滑函数。使用identityPiπi=Piuiwi=1，我们得到（36）αλ（u）=1+λu+ u(u+ u) + u> 1.组合由π（u）=u·Aλu+α（u）u给出。当λ<1时，λu的条目大于-1.从（36）可知W>0，因此投资组合具有正权重。如果这个投资组合是由凹函数生成的，命题6暗示生成函数是光滑的。

根据[Fer02，命题3.1.11]，在（n） 因此π（wi+F）du是一个完全不同的1-形式。因此uj（wi+F）=ui（wj+F）对于任何i和j。LettingeF=α+F，我们通过微分（35）看到πu（w+F）=ueF=u（w+F）=ueF，u（w+F）=ueF=u（w+F）=ueF，u（w+F）=λ+ueF=u（w+F）=ueF。相对套利的几何学ueF=ueF=ueF，而λ+ueF=ueF，这显然是一个矛盾。因此，投资组合不是由凹函数生成的。还有待检查（32）是否成立。从（35）中，我们可以看到hv，Dvwi+hv，wi=vBλv+（vAλu）=λvBv+λ（vAu）.（37）对于每个u，V7→ （vAu）是v中的非负有限二次型。通过连续性，存在常数C，使得（vAu）≤ CKVK适用于所有u∈ （n） 。由于ceb是负定义，通过选择λ>0足够小，我们可以使sumnon为正定义。因此（32）保持不变（n） .3。最佳运输在本节中，我们从最佳运输的角度研究功能生成的投资组合。介绍了一般的最优运输问题。我们首先回顾c-循环单调性的概念，它在刻画最优解方面起着至关重要的作用。3.1. c-循环单调性。考虑具有状态空间X和Y的Monge-Kantorovich最优运输问题，成本函数定义为7（c-循环单调性）。设A是X×Y的子集，我们说A是c-循环单调的，如果对于任何m≥ 1和任意序列{（x（k），y（k））}mk=1在A中，我们有（38）mXk=1c（x（k），y（k））≤mXk=1c（x（k），y（k+1）），约定x（m+1）=x（1）和y（m+1）=y（1）。可以证明c-循环单调性等价于（39）mXk=1c（x（k），y（k））的断言≤mXk=1c（x（k），y（σ（k）），其中σ是[m]={1，…，m}的任何置换。

下面是最佳输运理论的一个基本结果。定理10。[Vil09，定理5.10，第（二部分）]假设成本函数c:X×Y→ R是连续的，在下面有界。设P和Q分别是X和Y上的（Borel）概率测度。假设运输问题（5）的价值是确定的。然后R∈ π（P，Q）解最优输运问题（5）当且仅当R的支撑是c-循环单调的。3.2. MCM和c-循环单调性。我们考虑成本函数c（n） ×[-∞, ∞)由（40）c（p，h）定义：=lognXi=1ehipi！。成本函数显然是连续的。让h：（n）→ [-∞, ∞)n\\{(-∞, . . . , -∞)}是一种功能（被认为是交通地图）。该地图定义了一个组合函数20 S.PAL和T.-K.L.WONGπ：（n）→ （n） 通过（7）：（41）πi（u）ui=ehi（u）Eu（exp（h（u）），i=1,2，n、 下面的命题给出了成本函数（40）和CMM属性之间的联系。提议11。让h：（n）→ [-∞, ∞)n\\{(-∞, . . . , -∞)}. 他的c-循环单调图当且仅当（41）定义的投资组合π具有MCM性质。证据设{u（t）}m+1t=0为市场周期。通过（41），我们有V（t+1）V（t）=nXi=1πi（u（t））ui（t+1）ui（t）=Pnj=1uj（t）ehj（u（t））nXi=1ui（t+1）ehj（u（t））=hu（t）），eh（u（t））ihu（t）），eh（u（t））i.沿着市场周期乘以上述各项，并在两侧记录，我们有（42）log V（m+1）=mXt=0c（t+1），h（ut））-mXt=0c（u（t），h（u（t）））。假设π是MCM。在（42）中，我们得到了logv（m+1）≥ 0.SomXt=0c（u（t），h（t））≤mXt=0c（u（t+1），h（u（t）））。由于市场周期是任意的，这意味着h的曲线是c-周期单调的。同样的推理表明，如果图是c-环素，那么π就是MCM。定理2的证明。为了展示第一种说法，假设我们可以证明任何最优耦合的支持是c-循环单调的。那么，由（7）定义的投资组合π是由命题11定义的MCM。

因此，π由命题4的凹函数生成，其余由定理1得出。还有待证明，这种支持是c-循环单调的。由于下面的代价函数（40）是无界的，我们将使用一个小技巧，这样就可以应用定理10。设R是具有有限成本的最优耦合。以setsZm为例=（u，h）：最大值1≤我≤nhi≥ -m、 min1≤我≤nui≥M, M≥ 质量为1的限制也为。自从ZM增加到n×[-∞, ∞) \\ {(-∞, . . . , -∞)}, 通过测量的连续性，RMI被定义为足够大的m。让Pmand qm成为Rm的边缘。考虑下面的最优运输问题（43）∈π（Pm，Qm）E[c（p，h）]，其中（p，h）~ R.根据已知的最优运输的约束性质（见[Vil09，定理4.6]，其证明不依赖于任何拓扑假设），Rmis对（43）是最优的。现在，当限制为Zm时，成本函数在相对套利21的几何上是连续的，并且在下面有界。根据定理10，我们可以看到supp（R）∩ ZM是c-环己酮。由于m是任意的，supp（R）是c-循环单调的。现在我们来讨论相反的问题。假设投资组合π是一个伪套利onK （n） 。设P是K上的任何概率测度，Q是h=F（u）的分布，其中u∈ P.我们声称耦合（u，h）对于最优传输问题inf E[c（u，h）]是最优的。因为hi=log（πi（p）/pi）在下面有界，所以在Lm=[-M∞)在片场上（n） x Lm，成本函数c是连续的，并且在下面有界。因此，根据定理10，耦合（u，F（u））是等时的。3.3. 指数坐标系下的MCM。现在我们将其限制为具有严格正权重的投资组合函数，并给出了使用指数坐标的运输问题的另一种形式。回想一下ι（n）→ 注册护士-1由（8）定义的是全局坐标系，它给出了指数坐标。

给定任意函数φ：Rn-1.→ 注册护士-1.我们可以定义一个投资组合函数π：（n）→ （n） 到（11）。相反，给定一张单行本地图π：（n）→ （n） ，可以通过设置ι（π（u））=θ来定义φ- φ（θ）当ι（u）=θ时。重新排列得到（44）φi（θ）=loguiun- 日志πi（u）πn（u）, i=1，2，N- 1.修正一个投资组合函数π。现在我们用指数坐标来表示V（t）的演化。给定市场权重序列{u（t）}∞t=0，我们通过θ（t）=ι（u（t））来定义指数坐标过程。使用（9），我们得到V（t+1）V（t）=nXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）=e-ψ（θ（t）-φ（θ（t）））e-ψ（θ（t+1））e-ψ（θ（t））1+n-1Xi=1eθi（t）-φi（θ（t））eθi（t+1）eθi（t）！=E-ψ（θ（t）-φ（θ（t））+ψ（θ（t））-ψ（θ（t+1））eψ（θ（t+1）-φ（θ（t）））。从两边取对数，我们得到logv（t+1）V（t）=[ψ（θ（t））- ψ（θ（t+1））]+[ψ（θ（t+1）- φ（t））- ψ（θ（t）- φ（θ（t））]随着时间的推移求和，我们得到（45）logv（t）=ψ（θ（0））- ψ（θ（t））+t-1Xs=0[ψ（θ（s+1）- φ（s））- ψ（θ（s）- φ（θ（s））]。现在考虑一个离散循环{u（t）}m+1t=0，其中u（m+1）=u（0）。把t=m+1放在（45）中，我们得到log V（m+1）=mXt=0[ψ（θ）（t+1）- φ（t））- ψ（θ（t）- φ（θ（s））]。因此，如果π是MCM，那么（46）mXt=0ψ（θ（t）- φ（θ（t）））≤mXt=0ψ（θ（t+1）- φ（θ（s）））22 s.PAL和T.-K.L.WONGwhich是c-循环单调性的定义。我们用以下命题来总结上述讨论。它允许我们在指数坐标系中提出运输问题。提议12。设c为Rn上的代价函数-1×Rn-1定义为（47）c（θ，φ）=ψ（θ）- φ).设π为投资组合，设φ：Rn-1.→ 注册护士-1为（11）或（44）定义的相应负位移非单位坐标。当且仅当φ的图是c-循环单调图时，π满足MCM。3.4. 作为成本函数的相对熵。在这一小节中，我们给出了另一个最优运输问题，该问题产生了功能生成的投资组合。