相对套利的几何学

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英文标题：
《The geometry of relative arbitrage》
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作者：
Soumik Pal, Ting-Kam Leonard Wong
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Consider an equity market with $n$ stocks. The vector of proportions of the total market capitalizations that belong to each stock is called the market weight. The market weight defines the market portfolio which is a buy-and-hold portfolio representing the performance of the entire stock market. Consider a function that assigns a portfolio vector to each possible value of the market weight, and we perform self-financing trading using this portfolio function. We study the problem of characterizing functions such that the resulting portfolio will outperform the market portfolio in the long run under the conditions of diversity and sufficient volatility. No other assumption on the future behavior of stock prices is made. We prove that the only solutions are functionally generated portfolios in the sense of Fernholz. A second characterization is given as the optimal maps of a remarkable optimal transport problem. Both characterizations follow from a novel property of portfolios called multiplicative cyclical monotonicity.
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中文摘要：
考虑一个股票价值n美元的股票市场。每个股票的总市值比例向量称为市场权重。市场权重定义了市场投资组合，即代表整个股票市场表现的买入和持有投资组合。考虑一个函数，该函数为市场权重的每个可能值分配一个投资组合向量，我们使用该投资组合函数进行自筹资金交易。我们研究了在多样性和足够的波动性条件下，刻画函数的问题，使得最终的投资组合在长期内优于市场投资组合。没有对股票价格的未来行为做出其他假设。我们证明了唯一的解决方案是Fernholz意义下的函数生成投资组合。第二个特征是一个显著的最优运输问题的最优映射。这两个特征都源自投资组合的一个新特性，称为乘法循环单调性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-5-5 18:52:25 上传

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关键词：几何学 Differential Optimization Quantitative Applications

相对套利的几何学。考虑一个有n只股票的股票市场。每个股票的总市值比例向量称为市场权重。市场权重定义了市场投资组合，即代表整个股票市场表现的持有组合。考虑一个函数，该函数为每个可能的市场权重值分配一个投资组合向量，我们使用该投资组合函数进行自我融资交易。我们研究了在多样性和充分的波动性条件下，刻画函数的问题，使得最终的投资组合在长期内优于市场投资组合。没有对股票价格的未来行为做出其他假设。我们证明了唯一的解是Fernholz意义下的函数生成投资组合。第二个特征是一个显著的最优运输问题的最优映射。这两个特征都来源于一个新的特性，即乘法循环单调性。1.介绍考虑投资股票市场。在每个时间点，投资者将当前的财富分配给股票，形成一个投资组合。我们将只考虑完全投资于股票市场、只做多、不允许在货币市场借贷的自我融资投资组合策略。在数学上，考虑由（1）定义的封闭单元单纯形（n） =（p=（p，…，pn）∈ 罗恩，皮≥ 0表示所有i，nxi=1pi=1）。任何时间点的投资组合都由以下向量表示：（n） 其中n是股票的数量。该向量的单个坐标表示投资于每只股票的财富比例，称为投资组合权重。

随着时间的推移，这会导致一个具有状态空间的过程（n） 。例如，买入并持有投资组合是指一个人最初购买每种股票的一定数量的股票，并在未来的所有时间内持有这些股票。特别重要的是市场组合定义如下。假设Xi（t）>0是时间t时股票i的市值。股票i的市场权重由（2）ui（t）=Xi（t）X（t）+···+Xn（t），i=1，n、 日期：2015年7月29日2000年数学科目分类。初级00A30；中学00A2203E20。关键词和短语。随机投资组合理论，再平衡，功能生成投资组合，最优运输，无模型金融。这项研究得到了NSF拨款DMS-1308340.2 S.PAL和T.-K.L.Won的部分支持，市场投资组合是权重为u（T）=（u（T），un（t））。市场权重取开放单位单纯形中的值（n） 。该投资组合的价值反映了整个股票市场的增长，被称为市场指数。例如，在美国股市，标准基准是标准普尔500指数，它近似于买入并持有投资组合的价值过程。根据一些资产定价模型（如asCAPM），由于市场投资组合作为投资基准和有效投资组合的特殊重要性，人们在制定超越它的策略（俗称“击败市场”）方面投入了大量精力。主流投资组合理论试图通过建立资产定价模型来实现这一点，该模型使用经济和技术变量来解释和预测股票回报（参见[CK06]中的从业者阐述）。

我们的方法与Fernholz（见[Fer02，FK09]）提出的随机投资组合理论（SPT）更为一致，后者表明，在对股票市场行为的最低和真实假设下，可以构建明显优于市场的投资组合。在连续时间It^o过程模型下，该理论确定了市场权重过程{（t）}的两个基本条件：多样性和有效性。在最简单的情况下，如果u（t），市场是多样的∈ K表示所有t，其中K={u∈ （n） ：max1≤我≤nui≤ 1.-δ} 对于一些δ>0（这意味着市场永远不会过于集中），并且如果{u（t）}的扩散矩阵的特征值适当地有界于以下，则市场是高度波动的。（这两个概念将在本书中进行概括和解释。）将组合函数称为映射π：（n）→ （n） 。这里，如果有的话∈ （n） 是当前的市场权重，选择组合π（u）∈ （n） 。在多样性和有效波动性的条件下，Fernholz在[Fer99]中指出，他称之为功能生成的某些投资组合函数，在有限（但较大）的时间后，其表现将优于市场投资组合，概率为1。这些投资组合被称为相对于市场的相对套利。一个值得注意的事实是，这些投资组合是当前市场权重的决定性函数，独立于过去或任何未来预测。然而，并非所有的投资组合函数都是函数生成的，从Fernholz的证明来看，在多样性和有效波动性的条件下，是否有任何其他非函数生成的投资组合函数也能击败市场还很不清楚。1.1. 主要结果的陈述。

我们论文的主要贡献之一是从本质上证明，除了那些功能性生成的投资组合函数外，没有任何其他投资组合函数能够在没有额外假设的情况下在长期内击败市场。与传统的SPT连续时间设置相比，本文将时间视为离散时间。我们强调离散时间，因为它允许完全没有概率假设。虽然传统上，市场权重被建模为连续时间半鞅，但这里它被视为任意确定性序列（n） 。SPT中的所有相关定义都根据这种离散时间、路径设置进行了修改。我们首先陈述了一些定义，这些定义将在本文和主要结果声明中使用。如上所述，市场由序列{u（t）}建模∞t=市场权重的0，其值为（n） 。投资组合函数isa-mapπ：（n）→ （n） 。每次市场权重为u（t）=p时，投资者选择组合向量π（u（t））=π（p）。给定一个投资组合函数π，相应的自融资投资组合的相对套利3的几何值将相对于市场投资组合的价值进行测量。考虑quantityV（t）=投资组合中1美元在t时的价值π投资市场组合u中1美元在t时的价值，并称之为相对价值。可以证明（例如[PW13，引理2.1]）（3）V（0）=1，V（t+1）=V（t）nXi=1πi（u（t））ui（t+1）ui（t）和V（t）对所有t都是严格正的。为了“击败市场”，我们想要选择π，使V（t）大（至少当t足够大时）。在此背景下，SPT中相对套利的概念被扩展到伪套利的概念。定义1（伪套利）。设K是（n） 。

如果以下性质成立，则组合函数π称为K上的伪套利。（i） 存在一个常数C=C（K，π）≥ 0，使得对于所有市场权重序列{u（t）}∞t=0取K中的值，我们有log V（t）≥ -C代表全部≥ 0.（ii）存在一些序列{u（t）}∞t=0 K沿着哪个极限→∞V（t）=∞.定义1正式规定了一些必要的要求，以确保给定的投资组合函数在多样性和高效可利用性下表现优于市场。首先，在（广义）分集条件下u（t）∈ K、 投资组合的损失不得超过固定金额（不动产（i））。也就是说，无论固定区域内的市场走势如何，下侧风险都是一致有界的。第二，存在无限收益的可能性（财产（ii））。虽然这些属性看起来很弱，但它们对Portfolio地图施加了强大的限制。给定K，我们给出了伪套利机会的两个特征。首先，我们将伪套利描述为Fernholz意义下功能生成的投资组合（定义稍微扩展）。定理1。投资组合函数π是开凸子空间上的伪套利 （n） 当且仅当存在凹函数Φ：（n）→ [0, ∞) 满足以下性质：（i）Φ对K的限制不是有效的，（ii）存在ε>0，使得infp∈KΦ（p）≥ ε、 以及（iii）对于任何p∈ K、 坐标比的向量π（p）/p定义了p处凹函数对数Φ的超梯度（精度定义见命题5）。如果π是连续的，那么在K上它必然由公式（4）πi（p）=pi给出1+De（一）-plogΦ（p）, i=1，2，n、 这里是德（一）-pis是e（i）方向上的单侧方向导数- p、 式中，e（i）是除第i个坐标处的一个外的所有零的向量。在上面的定理中，我们说π是由Φ生成的。

可以证明（见下文第5点），定理1（iii）和（4）与Fernholz在更严格的光滑性假设下对功能生成投资组合的定义一致。4 S.PAL和T.-K.L.WONGOur第二个特征通过描述Monge-Kantorovich最优运输问题的解的伪套利建立了几何联系。为了回忆一般公式（详见[Vil03，Vil09]），设X和Y为完备度量空间，设c:X×Y→ R是一个可测量的函数，称为成本函数。设P和Q分别是X上的（Borel）概率测度。（P，Q）的耦合是X×Y上的一个概率测度R，其符号分别为P和Q。设∏（P，Q）为所有这类偶的集合。Monge-Kantorovich最优运输问题是∈π（P，Q），（X，Y）~RER[c（X，Y）]。这里的符号表示随机元素（X，Y）具有联合分布R。解（5）称为最佳耦合。如果Y=F（X）是X的确定函数，我们说（5）的最优耦合（X，Y）解决了Monge问题。（5）中的数值称为问题的值。现在我们专门讨论X=（n） Y=[-∞, ∞)n使用COST函数（6）c（u，h）=lognXi=1ehiui！获取！。解释是u代表市场权重，h代表投资组合向量与市场权重的偏差。给定u∈ （n） 安德∈ [-∞, ∞)n\\{(-∞, . . . , -∞)}, 我们可以通过改变度量来定义与u相对应的投资组合向量π：（7）πiui=Eu[eh]ehi，i=1，n、 式中，Eu[eh]：=Pni=1ehiui。考虑概率测度P（n） 还有Qon Rn。假设Monge-Kantorovich问题（5）和代价（6）有一个解∈ 问题的∏（P，Q）和值是确定的。定理2。让K （n） 假设F:K→ [-∞, ∞)n\\{(-∞, . . .

, -∞)} isa映射使得（u，F（u））属于R对所有u的支持∈ K、 也就是说，（u，F（u））是R的支持选择。用h=F（u）定义K上的π组合。然后存在一个凹函数Φ：（n）→ [0, ∞) 第1条第（iii）款适用。因此，当K是一个开凸集且定理1中的条件（i）和（ii）成立时，π是K上的伪套利。相反，假设π是K的子集上的伪套利（n） 。假设{log（π（p）/p），p∈ K} 在下面有一个坐标系。通过hi=log（πi（u）/ui）将h=T（u）定义为u的函数，并考虑耦合（u，h）。对于K上的任意概率测度P，设Q为h（u）的分布，当u~ P.然后，耦合（u，h）以成本（6）解决了运输问题（5）。对于具有严格正权重的投资组合函数（这对应于上面的公式，其中h取Rn中的值），有一个关于单位单纯形指数坐标系的替代公式（n） )；参见[ANH07，示例2.4]。我们认为（n） 作为一个-1） n个原子上的一维指数概率分布族。对于u∈ （n） 我们让θ=（θ，…，θn-1） 是由θ=ι（u）给出的相对套利5指数坐标的几何：=对数n，对数un-1un.（8） 地图ι（n） 七,→ 注册护士-1由（8）定义的是手册的全球坐标系（n） 。我们现在可以代表一个任意的点（n） 通过（9）u=ι-1(θ) =eθ-ψ(θ), ..., eθn-1.-ψ（θ），e-ψ(θ), θ ∈ 注册护士-其中（10）ψ（θ）：=log1+n-1Xi=1eθi！。现在考虑Rn上的两个Borel概率测度-1.为了简单起见，假设EP在整个Rn上受支持-1.考虑运输问题inf E[ψ（θ）- φ） ]中的所有联轴器（θ，φ）（eP，eQ）的最大值。假设问题有解，并假设（θ，φ（θ））是最优耦合支持下的某种选择。

定义投资组合函数π：（n）→ （n） 根据配方（11）πι-1(θ)= ι-1(θ - φ(θ)) .我们将证明，这是（7）中给出的投资组合运输结构的等效公式。这个公式的优点是，现在的传输是在欧几里德空间上，具有严格的凸代价函数。函数φ（θ）表示指数坐标系下从u到π的负位移。上述结果允许我们将功能生成的投资组合视为最小化将投资组合权重分配给市场权重的“总成本”的映射。这提供了一种优雅的几何方法，并为功能生成的投资组合提出了一个自然的优化问题。也就是说，考虑到对未来可能的市场权重（用P-oreP表示）和要选择的投资组合权重集合（用Q-oreQ表示）的先验信念，投资者可以解决最优运输问题以获得功能生成的投资组合。运输问题本身显然是一个新问题，其解由定理1和定理2描述。对于两种股票（n=2），可以明确地解决运输问题，在第4节中，我们使用实际数据提供了几个例子。这两个特征都源自我们称之为乘法循环单调性的投资组合的一个新特性，将在第2节中进行阐述。直观地说，该属性要求如果市场权重超过单位单纯形中的任何离散周期，投资组合的表现不会低于市场。除上述参考文献外，以下文章与我们目前的工作密切相关。Fernholz和Karatzas[FK05]以及Fernholz、Karatzas和Kardaras[FK05]等作者研究了多样性和有效波动性在相对收入中的作用。

Banner和Fernholz[BF08]使用功能生成的投资组合来证明，最小股票的有效波动性意味着存在短期相对套利。Strong[Str12]研究了函数生成投资组合到随机生成函数的推广及其在统计套利中的应用。离散时间设置和信息几何流是Pal和Wong的延续【PW13】。[Won15]研究了6 S.PAL和T.-K.L.WONGcase，其中基准是功能生成的投资组合（如等权投资组合），而不是市场；本文还提出了一个函数生成投资组合的形状约束优化问题。数学金融的一个新趋势是研究模型不确定性或无模型假设下连续索赔的稳健定价和套期保值。例如，当交易矩阵不确定时，Fernholz和Karatzas[FK11]刻画了最优相对套利。最优运输理论也是在这种背景下产生的，例如，见贝格尔博克等人[BHLP13]和贝格尔博克与朱伊勒[BJ14]，尽管动机与本文大不相同。1.2. 符号。让n≥ 2是市场上的股票数量。向量u（t）=（u（t）。。。，（2）中定义的市场权重的un（t））以开放单位为单位（n） 在Rn。所有拓扑和测量理论方面都与单位单纯形（欧几里德拓扑）有关。下面，对于Rn中的任何向量a和b，我们让ha，bi为它们的欧几里得内积，ka- bk是欧几里得距离。如果b有非零分量，我们用a/b表示分量比值ai/bi的向量。我们也让a·b成为协调的智慧产品。向量的切向量（n） 是向量v∈ RnsatisfyingPni=1vi=0。