内在风险价格

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英文标题：
《Intrinsic Prices Of Risk》
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作者：
Truc Le
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We review the nature of some well-known phenomena such as volatility smiles, convexity adjustments and parallel derivative markets. We propose that the market is incomplete and postulate the existence of intrinsic risks in every contingent claim as a basis for understanding these phenomena. In a continuous time framework, we bring together the notion of intrinsic risk and the theory of change of measures to derive a probability measure, namely risk-subjective measure, for evaluating contingent claims. This paper is a modest attempt to prove that measure of intrinsic risk is a crucial ingredient for explaining these phenomena, and in consequence proposes a new approach to pricing and hedging financial derivatives. By adapting theoretical knowledge to practical applications, we show that our approach is consistent and robust, compared with the standard risk-neutral approach.
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中文摘要：
我们回顾了一些众所周知的现象的性质，如波动率、凸度调整和平行衍生市场。我们认为，市场是不完整的，并假设每个或有权益中都存在内在风险，以此作为理解这些现象的基础。在一个连续时间框架内，我们将内在风险的概念和测度变化的理论结合起来，得出一个概率测度，即风险主观测度，用于评估未定权益。本文试图证明内在风险度量是解释这些现象的关键因素，并由此提出了一种新的金融衍生品定价和套期保值方法。通过将理论知识应用于实际应用，我们证明了与标准风险中性方法相比，我们的方法是一致的和稳健的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Intrinsic_Prices_Of_Risk.pdf (167.94 KB)

2022-5-5 22:13:58 上传

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关键词：风险价格 Applications Quantitative derivatives Application

工作文件系列内在价格风险的内在价格我们回顾了一些著名现象的本质，如波动性微笑、凸性调整和平行衍生市场。我们认为市场是不完全的，并假设每个或有权益中都存在内在风险，以此作为理解这些现象的基础。在一个连续时间框架中，我们将内在风险的概念和测度变化的理论结合起来，导出了一个概率测度，即风险主观测度，用于评估未定权益。本文试图证明内在风险的度量是解释这些现象的关键因素，因此提出了一种金融衍生品定价和套期保值的新方法。通过将我们的理论方法与ISC标准方法进行比较，证明了我们的方法是稳健的，并且与ISC标准方法进行了比较。关键词：隐含波动率、凸性调整、一级市场和平行市场、不完全市场、内在风险、风险中性度量、风险主观度量、公平估值、增量对冲。1.简介本部分有两种姿势。首先，我们回顾了一些众所周知的现象，以推动后续的发展。在那之后，我们用一些符号、术语和概念来提供现象a的背景。1.1非凡的微笑。简而言之，根据著名的Black&Scholes（1973）公式，具有不同到期日和罢工的香草期权具有不同的波动性。隐含波动性是指市场对标的资产在期权剩余期限内的平均未来波动率的预期。

因此，与历史波动率相比，这是一种前瞻性的方法。多年来，从业者和学者一直试图分析波动微笑现象，并理解其对衍生品定价和风险管理的影响。InCox&Ross（1976），他们将通过非交易风险源来完成基础资产的真实世界和风险中性过程之间的联系。Scott（1987）发现，当波动率是随机的时，风险溢价的动态性不是一种交易证券。文献中提出了Black-Scholes模型的许多模型和扩展，或替代模型：Dupire（1994）、Derman&Kani（1994）的局部波动模型；默顿的跳跃扩散模型（1976）；赫尔与怀特（1988）、赫斯顿（1993）等的随机波动模型；Bates（1996）等人的混合随机跳跃扩散模型；Dupire（1996）、JP Morgan（1999）、Britten Jones&Neuberger（2000）、Blacher（2001）等的通用波动率模型；制度转换模型等。从套期保值的角度来看，使用布莱克-斯科尔斯模型的交易者必须不断改变波动性假设，以匹配市场价格。他们的对冲利率以一种不受控制的方式发生了相应的变化：上面列出的模型给这种混乱带来了一些秩序。随着时间的推移，从业者和学者所倡导的普遍共识是，选择一种模型，为普通期权和异国期权的结果产生对冲策略 2014年ANZ BankDOI:2014年2月工作文件系列内在价格风险˙TrucLein利润和损失分布急剧达到零峰值。我们认为，这样一个模型，如果从期权价格中恢复（或隐含），绝不能几乎解释这一现象，而是一种描述波动率影响面的方法。凸度调整。

许多著名的调整之一是凸度调整——期货的隐含收益率和同等的远期利率协议合约是不同的。这一现象意味着市场参与者需要获得更多（或更少）的溢价。大多数从业者和学者所使用的常用方法是调整未来汇率，以便将其用作远期汇率。当然，这种方法取决于用于此目的的模型。对于扩展的Vasicek称为Hull&White（1990）和Cox等人（1985）模型，可以推导出显式公式。不同于模型，连续描述给出了短利率的对数正态分布，如Black等人（1990）和Black&Karasin ski（1991）模型：对于这些模型，在其连续演化的分析形式中，期货价格可以在Fite Heath等人（1992）和Sandmann&Sondermann（1994）中显示为正态。在随后的发展中，我们将对这一现象采取不同的方法。平行衍生品市场。在经济体系中，金融市场由阿里斯克自由货币账户、初级市场和平行市场组成。一级市场的例子是股票和债券，平行市场的例子是衍生工具，如远期、期货、普通期权、来自同一初级资产的信贷。做市商可以在平行市场中交易和定价衍生品，而不参考其他市场。1.2背景框架如下：完全概率空间(Ohm, F、 P）过滤F=F（t），满足正确连续性和完整性的通常条件。T∈ R表示已完成且有限的时间范围；此外，我们假设F（0）是平凡的，并且F（T）=F。

LetX=X（t）是一个连续半鞅，表示风险资产的价格过程。没有套利机会意味着存在一个与概率测度P（现实世界的概率）等价的概率测度qe，因此X是Qmartingale。用Q表示一组共存的等价度量Q。考虑金融市场时，Q 6=. 等价概率测度的唯一性使得市场是完全的。资产定价的基本理论建立了没有套利机会和等价鞅测度之间的关系，Harrison&Kr eps（1979）、Harrison&Pliska（1981；1983）在基本框架下证明了这一点。Delbaen&Schachermayer（2004）建立的这个定理的现代版本指出，没有套利机会“本质上”等同于存在一个等价鞅测度，在该测度下贴现（主要资产）价格过程是一个鞅。对于s im plicity，我们只考虑一个不确定性视界[0，T]。或有权益，或附带权益，H=H（ω）是时间T的一种支付，取决于情景ω∈ Ohm. 导数是某些函数H的特殊形式H=H（X（T））。在这里，X被称为主函数（或“基础函数”）。更一般地说，H取决于X到时间的整体演化，Tand是一个随机变量∈ L(Ohm, F、 P）。（1） 在财务方面，任何y或有权益都可以通过交易策略（或互换称为对冲策略或复制投资组合）进行复制，该策略是对主要资产X和无风险货币账户D=D（t）的组合投资。L etα=α（t）和β=β（t）分别是可预测的过程和适应的过程。α（t）和β（t）分别是在时间t持有的资产和货币账户的数量。

在本节中，为了便于处理纸系列的内在价格风险˙TrucLeexposition，我们假设D（t）=1表示所有0≤ T≤ T时间t时投资组合的价值由v（t）=α（t）X（t）+β（t）D（t）（2）给出，取0≤ T≤ T可以证明，交易策略（α，β）是可容许的，因此值过程V=V（t）是平方可积的，并且具有正确的连续路径，并且由V（t）定义：=V+Ztα（s）dX（s）（3）为0≤ T≤ T对于Q-几乎可以肯定的是，每个未定权益H都是可实现的，并允许以下表达式V（T）=H=V+ZTα（s）dX（s），（4），其中V=EQ[H]。此外，该策略是自我融资的，即投资组合（也称为衍生产品）的成本是一个常数VV（t）-Ztα（s）dX（s）=V.（5）常数V表示完美复制或完美对冲。到目前为止，我们已经介绍了一个完整市场中套期保值策略的著名数学构造，其中每个或有权益都是可实现的。在一个完整的市场中，衍生品价格是独一无二的——不存在套利机会。衍生工具不能在平行市场中以V以外的任何价格进行估值。从金融和经济角度来看，这种现象意味着市场不完整，存在套利机会，可能根本无法消除。衍生工具可以以不同的价格进行估值，并通过在平行市场中相互排他性地交易风险资产（orderivatives）进行估值，在平行市场中，做市商从事市场活动：投资、投机性交易、对冲、套利和风险管理。此外，做市商将自己暴露在流动性等市场条件下，例如见Back（1993）。

我们认为，市场活动的可变性、市场条件以及不确定的未来事件构成了套利机会的基础，我们称之为内在风险。一般来说，市场不完全性是一个原则，根据这个原则，每一个或有权益都要承担内部风险。让我们假设一个假设，作为后续推理和讨论的基础。假定市场是不完整的，每一个含蓄的说法都隐含着内在的风险。虽然这个假设是理论上的，但它实际上是一个以现象为证据的命题。在数学上下文中，设∏为所有内在r isk s的集合，即Ohm. 用G（π）表示对场景ω上的内在r iskπ=π（ω）的测量∈ Ohm. 作为内在风险的度量，G是从∏到R的映射。因此，作为我们研究的一个基本对象，G将是未来日期T的自然状态集上的随机变量。一般来说，G取决于主要资产的演变，也可能取决于未定权益：GH∈ L(Ohm, F、 P）。（6） 工作文件系列内在价格风险˙卡车上标表示特定或有索赔H的依赖性。这导致HH=V+ZTα（s）dX（s）+GH的新表示。（7） 现在我们引入渡边Kunita分解gh=G+ZTαH（s）dX（s）+N（T）（8），其中N=N（T）是一个与X正交的平方可积马丁盖尔*+ZTα*（s） dX（s）+N（T），（9）其中V*= V+Gandα*= α+αH。H的这种表示形式已被广泛处理，参见le Foller&Schweizer（1991）的例子。由于不完全性，导数V*代表一个完美的对冲，它体现了风险G的初始内在价值。

就套期保值策略（7）而言，内在风险的衡量应被视为所有可能的未来资本的价值，这些资本需要控制做市商（如套期保值者）产生的风险，并投资于主要资产，使或有权益不仅可接受，而且其估值公平。从数学的角度来看，市场不完全性意味着在集合Q中存在一个等价的度量，而不一定是一个鞅和/或唯一的度量，它被分配给一个平行市场。因此，内在风险可能取决于驱动因素，并不一定是唯一的，因为它的测量方法有多种形式，我们在应用中会考虑一些形式。在本文的剩余部分中，我们将不再进一步讨论抽象表示（7）和（9），而是在一个更具描述性的（实际的）框架——连续时间框架中呈现它们。2.市场、投资组合、无套利和内在风险价格在本节中，我们提出了一个连续时间的金融市场，由一个主要的价格过程X和一个无风险的货币账户D组成。我们将定义内在风险的度量，并表明可以构建完美的对冲策略。我们还表明，内部风险的存在为未定权益的定价和套期保值提供了内部一致性。设B=B（t）是完全概率空间上的布朗运动(Ohm, F、 P）。X的基本价格过程满足SDEdX（t）=u（t）X（t）dt+σ（t）X（t）dB（t），（10），其中u=u（t）和σ=σ（t）是Lipschitz连续函数，因此存在解。u和σ可以是X的函数。

D的价格过程由dd（t）=ν（t）D（t）dt，（11）给出，其中ν=ν（t）是一个L-ipschitz连续函数。工作文件系列内在价格风险˙Truclew将投资组合价值过程（2）扩展如下：dV（t）=α（t）dX（t）+ν（t）β（t）D（t）dt（12）=α（t）u（t）X（t）dt+α（t）σ（t）X（t）dB（t）+ν（t）（V（t）- α（t）X（t））dt=ν（t）V（t）dt+α（t）（u（t）- ν（t）X（t）dt+α（t）σ（t）X（t）dB（t）=ν（t）V（t）dt+α（t）σ（t）X（t）u（t）- ν（t）σ（t）dt+dB（t）= ν（t）V（t）dt+α（t）σ（t）X（t）dW（t），其中W=W（t）是Q-布朗运动，由dW（t）=λ（t）dt+dB（t）（13）和λ（tu）=（t）定义- ν（t）σ（t）。这里，Q是一些鞅测度。实际上，Girsanov测度变化理论，例如Karatzas&Shreve（1998），表明存在一个相当于P的martin gale测度，它排除了套利机会。更准确地说，存在一个可能性度量Q<< P这样的dqdp∈ L(Ohm, F、 P）（14）X是Q-martin gale。这样的鞅测度Q由右连续平方可积鞅∧（t）=EP确定dQdPF（t）为了0≤ T≤ T显式地∧（T）=exp-ZTλ（t）dB（t）-ZTλ（t）dt以及λs atis fies Novikov的条件经验ZTλ（t）dt< ∞.不难看出，Q下的价格过程X由dx（t）=ν（t）X（t）dt+σ（t）X（t）dW（t）给出。（15） 注意，鞅测度Q和λ，如果u ni que，在理论上和实践上分别被称为风险的非均衡测度和市场价格。风险中性估值公式由v（t）=D（t）等式给出D（T）HF（t）= D（t）EQD（T）h（X（T））F（t）. （16） 预期是在测度Q下进行的。值得注意的是，在风险中性的世界中，基本的理论假设是：（1）真实的价格过程（10）是正确规定的；（2）衍生产品H的价格是从这个价格过程中得出的，也就是说，衍生产品的价格是由公式（16）唯一确定的。

如果不违反这些假设，就会形成一个完整的市场，交易策略（12）和度量Q是唯一的。然而，在实践中，正如我们之前所说，这些假设被严重违反；因此，衍生产品价格的市场完整性和唯一性，以及纸质系列的内在价格，风险˙交易不再有效。也就是说，Q不再是风险中性的，而只是集合Q中的一个等价度量。我们现在考虑连续时间框架中的表示（7），可以根据未来时间间隔[t，t+dt]中的值来定义内在风险的度量，而不丧失一般性，如下所示。定义。时间间隔dt内的内在风险度量由dG（t，t）=ζ（t，t）X（t）dt定义，其中ζ=ζ（t，t）是表示内在风险率的连续适应过程。正如前面在（7）中所述，交易策略的演变应能够适应内在风险的衡量，内在风险可以被视为在一个时间间隔dt内所需的额外/更少的资本，即isdV（t）=α（t）（dX（t）+dG（t））+ν（t）β（t）D（t）dt（17）=α（t）（u（t）+ζ（t，t））X（t）dt+α（t）σ（t）X（t）dB（t）+（t）（V（t）- α（t）X（t））dt=ν（t）V（t）dt+α（t）（u（t）+ζ（t，t）- ν（t）X（t）dt+α（t）σ（t）X（t）dB（t）=ν（t）V（t）dt+α（t）σ（t）X（t）u（t）+ζ（t，t）- ν（t）σ（t）dt+dB（t）= ν（t）V（t）dt+α（t）σ（t）X（t）dZ（t），其中Z=Z（t）是S-Brow运动，d由dZ（t）=u（t）+ζ（t，t）给出- ν（t）σ（t）dt+dB（t）=ζ（t，t）σ（t）dt+dW（t）（18），S是与P等价的度量∈ Q.类似地，ζ/σ被定义为风险的内在价格。在S m测度下，X在S下的价格过程由dx（t）=（ν（t）给出- ζ（t，t））X（t）dt+σ（t）X（t）dZ（t）。（19） 因此，未定权益的公允价值由公式v（t）=D（t）ES给出D（T）HF（t）= D（t）ESD（T）h（X（T））F（t）.