前向偏微分方程和前向偏微分方程的高阶分裂方法

（18） 该方案的分步表示为isC（1）（x，v，t）=etDTC（x，v，t），（19）C（2）（x，v，t）=etJTC（1）（x，v，t），C（x，v，t+t） =etDTC（2）（x，v，t）。4差分部分向后格式的向后和向前有限差分格式。我们遵循In\'t Hout&Welfert（2007），他们考虑了用于数值求解包含混合空间导数的多维扩散问题的二阶有限差分格式的无条件稳定性。他们调查了Craig和Sneyd提出的ADI方案（见本文参考文献）、Craig和Sneyd的ADI方案的修改版本，以及Hundsdorfer和Verwer提出的ADI方案。在存在混合导数项的情况下，对每个模式的参数导出了无条件稳定的必要条件和充分条件。InThout&Welfert（2007）的主要结果是，在对格式参数θ的温和条件下，二阶Hundsdorfer and Verwer（HV）格式在任意空间维数k>2的混合导数项的半离散化扩散问题中是无条件稳定的。继In\'t Hout&Welfert（2007）之后，考虑二维微分方程的初边值问题，在空间离散化后，会导致普通微分方程SV（τ）=F（τ，V（τ））τ的大型系统的初值问题≥ 0，V（0）=V，（20）具有给定的向量值函数F和初始向量V。In\'t Hout&Welfert（2007）考虑了方程（20）数值解的分裂格式。他们假设F被分解成sumF（τ，V）=F（τ，V）+F（τ，V）+··+Fk（τ，V），（21），其中k+1项{Fj}比F本身更容易处理。

项F包含来自扩散方程中的混合导数对F的所有贡献，并且该项始终在数值时间积分中明确处理。接下来，对于每个j≥ 1，fjr表示空间方向上的二阶导数对F的贡献，并且该项总是隐式处理。此外，In\'t Hout&Welfert（2007）分析了两种分裂方案，其中一种是HV方案。该方案定义了一个近似值Vn≈ V（τn），n=1，2，3，通过执行一系列（分数）步骤：Y=Vn-1+ τF（τn）-1，Vn-1） ，（22）Yj=Yj-1+ θτ[Fj（τn，Yj）- Fj（τn）-1，Vn-1） ]，j=1，2，k、 ~Y=Y+τ[F（τn，Yk）- F（τn）-1，Vn-1） ]，~Yj=~Yj-1+ θτhFj（τn，~Yj）- Fj（τn，Yk）i，j=1，2，k、 Vn=~Yk。对于θ的任何值，该方案在时间上都是二阶的，因此可以选择该参数来满足额外的要求。In\'t Hout&Welfert（2007）也使用von Neumann分析研究了该方案的稳定性。因此，在形式中始终考虑稳定性，为了使分析可行，等式（22）中的所有系数均假定为常数，边界条件为周期性。在这些假设下，矩阵A，A，Ak是通过算子的有限差分离散化得到的，Fk是常数，是循环矩阵的Kronecker积。因此，{Ak}是正常的，彼此通勤。这意味着，可以通过考虑线性标量正交微分方程V（τ）=（λ+λ+…+λk）V（τ），（23）来分析稳定性，其中λjdenotes是矩阵的特征值Aj，0≤ J≤ K

然后，通过分析公式（23），In\'t Hout&Welfert（2007）证明了一些重要定理，以证明当θ≥ 1/3.该方案的一个重要特性是，显式处理等式（22）第一个方程中的混合导数项，而所有进一步的隐式步骤仅包含时间导数和一个空间坐标。换句话说，整个二维非定常问题简化为一组四个一维非定常方程和两个显式方程。对于公式（22）的半离散化，作者考虑了有限的差异。所有空间导数都是在网格宽度恒定的矩形网格上使用二阶中心差来近似的xi方向上的xi>0（1≤ 我≤ k） 。Hout&Foulon（2010）讨论了该方案实施的细节。他们的实验表明，对于赫斯顿模型，θ=1/3的频率是好的。他们还证明了该方案在时间上的收敛阶等于2。可以很容易地观察到，式（12）中的第一和第三个方程属于相同的（类赫斯顿）类型。因此，在求解这些方程时，我们将使用上述方案。在我们的例子中，FK的显式离散化如下所述。换言之，收敛顺序不会随时间步长的变化而显著变化，始终非常接近2。远期方案。如第1节所述，通过在等式（4）中找到转置离散算子a=Bt的显式表示，可以为正向方程构建一致的有限差分格式。在我们的例子中，B的显式形式是通过公式（22）间接确定的，因为后者允许表示v（x，v，τ＋τ） =R（τ）V（x，V，τ），（24），其中R是相应的转移矩阵。

为了连接这两种形式，让我们对等式（4）进行形式积分，以获得通过矩阵指数表示的解：V（x，V，τ＋τ） =eτBV（x，v，τ）=RV（x，v，τ）。因此，R=eτB.另一方面，作为exp(τBT）=（eτB）T，前向格式可以表示为dV（x，v，T+t） =RT（t）V（x，V，t）。（25）因此，我们需要建立一个一致的前向方案，给定后向方案eq。（22）是构建RT的显式形式。如附录所示，结果为isRT=M-1.我+TFn-1+FnR- θtFnR- θtFnRT（MT）-1(26)=我+T（Fn-1） T+RT（Fn）T- θtRT（Fn）T（百万吨）-1.- θtRT（Fn）T（百万吨）-1，RT=I+T（Fn-1） T- θ（Fn）-1） T（百万吨）-1.- θt（Fn-1） T（百万吨）-1.我们出发的地方τ = t、 米≡ 我- θtFni，Fni=Fi（τn）。如果想要推导出与后向方案一致的前向方案，并使其达到必要的近似顺序，则可以简化等式（26）右侧的表达式τ. 然而，我们在本文中不遵循这种方法，因为正如我们在引言中所述，我们在这里的目标略有不同，即推导出一个与后向方案完全匹配的前向方案。基于RT的这种表示，正向方案现在可以转换为一组分段步骤，如式（22）所示。算法是：MTY=Vn-1，（27）MTY=Y，~Y=（Fn）T- θ（Fn）TY- θ（Fn）TY，MT~Y=~Y，MT~Y=~Y，Vn=Y+T（Fn-1） TY+~Y+th（Fn-1） T- θ（Fn）-1） T~Y- θ（Fn）-1） 易建联.然而，这个方案有两个问题。首先，当使用分裂（或分步）时，人们通常希望所有内部向量Yj，j=0，1和Yk，k=0，1，2形成对Vn的一致近似。等式（27）中的方案在第3步失去该属性。

第二，由于步骤3右侧矩阵的范数很小，所以解对周围误差很敏感。为了解决这些问题，我们可以做一个技巧，即用vn=Y+cn的形式表示等式（26）-1.tY+tRT[cnY]- 人民币]（28）元人民币=（Fn）T，元人民币=（Fn）T- θ（Fn）T，cn=θ（Fn）T。现在加上和减去RTVn-1到等式（28）的右侧，并考虑RTVn-1=Y+Tcn-1Y- cn-1Y, cn=（Fn）T- θ（Fn）T。因此，式（27）现在可以写成形式mty=Vn-1，（29）MTY=Y，~Y=Vn-1+ t（人民币元）- 人民币元），人民币元整，人民币元整，人民币元整，人民币元整thcn-1.~Y- cn-1.■Y+cn-1Yi，在哪里~Yi=~Yi- 易-1，i=1，2。以类似的方式进行，我们可以推导出另一种流行的后向有限差分方案的正向模拟，即改进的Craig Sneyd（MCS）方案，见Hout&Foulon（2010）。反向和正向方案为：反向方案：Y=Vn-1+ τF（τn）-1，Vn-1） ，（30）Yj=Yj-1+ θτ[Fj（τn，Yj）- Fj（τn）-1，Vn-1） ]，j=1，2。。。，k~Y=Y+τ[F（τn，Yk）- F（τn）-1，Vn-1)]- θτ[F（τn，Yk）- F（τn）-1，Vn-1） +F（τn，Yk）- F（τn）-1，Vn-1） ]，~Yj=~Yj-1+ θτhFj（τn，~Yj）- Fj（τn，Vn）-1） i，j=1，2。。。，kVn=~Yk。转发方案：MTY=Vn-1，（31）MTY=Y，~Y=Vn-1+ tcn-Y、 MT-Y=~Y，MT-Y=~Y，Vn=~Y+tncn-1.~Y- cn-1.~Y+cn-1+- θ（Fn）TY- cnYo，其中cn+=（Fn）T+θ（Fn）T+（Fn）T, cn-=（Fn）T- θ（Fn）T+（Fn）T.正向格式的边界条件应与反向格式的边界条件一致。然而，这两组条件将不完全相同。实际上，在远期方程中，因变量是密度，而在远期方程中，因变量是未贴现的期权价格。对于后者，边界条件设置为Payoff函数，而对于前者，边界条件设置为Density函数。因此，这些边界条件可能非常不同。

例如，对于S=0的看跌期权，我们可以设置V=K，而对于密度函数，这是V=0。此外，在v域中设置边界条件时应谨慎。关于这个问题的讨论，请参见Lucic（2008）。5跳跃的正向方案Itkin（2013）为一些流行的跳跃模型（如Merton、Kou和CGMY）提供了在给定网格上离散等式（17）（用于反向方程）中的算子J所需的高效有限差分方案。所提出的方法几乎是通用的（即，它允许以统一的形式计算各种跳跃扩散模型的PIDE），而该方法的实现相对简单。结果表明，对于Merton和Kou模型，可以使用P’ade近似和Picard定点迭代计算空间网格步长h中的矩阵指数，总复杂度为O（N），其中N是空间节点数。还证明了这些方案（i）是无条件稳定的，（ii）在h中提供二阶，以及（iii）保持解的正性。结果以命题的形式呈现，并基于现代矩阵分析给出了相应的证明，包括M-矩阵理论、Metzlermatrices以及最终的指数正矩阵。对该方法稍加修改，即可将其应用于参数α>0的CGMY模型。这对α来说尤为重要≥ 1因为为了简单起见，这里只考虑Dirichlet边界条件。本文还考虑了α的一阶格式≤ 0，这类方案在Itkin&Carr（2012）中提出。范围内，已知的类似算法（例如，Wang等人（2007））遇到问题。Itkin（2013）的分析表明，尽管O（h）在理论上是收敛的，但在数值上接近O（h1.8）。

产生这种差异的一个可能原因可能是，在这种情况下，转移矩阵的最大特征值接近1，因此周界误差可能很重要。在性能方面，以矩阵形式指数计算矩阵，然后将该矩阵与解向量直接相乘，似乎比Wang等人（2007）中基于FFT的算法更有效，因为这种情况下的Picardiation收敛速度非常慢。使用这种新方法，计算JT没有问题。实际上，如果J是M-矩阵的负，则转置矩阵保持相同的性质。此外，如果J具有所有负的igenv值，那么JT也是如此。然后，格式的无条件稳定性及其保持解的正性的性质遵循Itkin（2013）中的命题4.1。6实施细节和数值实验在本节中，我们讨论了在实施上述方法时可能很重要的一些要点。6.1阻尼已知第一时间步的时间误差可能相对较大，尤其是对于中等时间步；参见Hout&Foulon（2010年）、Rannacher（1984年）和其中的参考文献。这是因为，对于S=K的反向方案，支付函数（例如，对于欧式看涨期权或看跌期权）不是S的光滑函数，而且许多有限差分方案不能有效地抑制局部高频误差。为了解决这个问题，Inranacher（1984）提出用全隐式Euler格式（时间上是一阶近似）进行最初的几个时间步骤，然后切换到您选择的方案。对于相应的正演方程，这种情况更加明显，因为att=0，初始密度是狄拉克δ函数δ（S-S） δ（v）-v） 。

因此，最好对正向感应的前几步施加阻尼。因此，为了保持一致性，应在时间网格的两端使用阻尼算法，例如前两步t、后两步tM-1、前两步τ、τ和后两步τM-1，τMof反向归纳法。因此，正向格式的整个隐式Euler算子（矩阵）应该是反向格式的转置算子（矩阵）。6.2非均匀网格非均匀网格用于提高定价的计算精度。标准选择是在溶液梯度较高的区域制作网格过滤器。例如，在为欧式期权定价时，有一个接近“末日之锤”的细网格是有意义的。因此，这个参数可以用于反向算法，这相当于topricing。对于主要用于校准的正向方法，直觉告诉我们使用接近初始点（S，v）的网格。因此，选择网格应该浓缩的区域本质上是向后和向前方程的不同之处。此外，在通过求解正向方程找到过渡度后，它可以用于同时获得所有具有相同到期日T和不同走向K的期权的价格。然而，这些期权的定价需要多次运行反向算法。因此，为了使所有这些论点相互一致，一种可能的解决方案是生成一个网格，该网格在所有需要的罢工和初始点附近都很清晰。

换言之，该网格将有多个具有有限空间步长的区域与具有粗略空间步长的区域交替。从技术上讲，这可以通过使用inTavella&Randall（2000）提出的网格构造算法来实现。同样对于正向网格，我们需要初始点（S，v）在网格上，以便更好地表示初始条件。然而，对于反向方程，这是不必要的。此外，建议在相应网格单元的中间，而不是在网格节点处，设置一个罢工，以提高准确性。在我们的例子中，这可能会导致在构建一个在多个打击下浓缩的网格时出现问题。然而，根据Tavella&Randall（2000）的想法，这个问题可以消除；另见海恩斯（2013）。给定一次打击，我们将网格点Sinearest处的Payoff函数的值替换为打击K的平均值，该平均值位于Si:Payoff（Si，K）=hZSi+1/2Si-1/2Payo ff（s，K）ds，其中Si-1/2=（Si）-1+Si），Si+1/2=（Si+Si+1），h=Si+1/2- 硅-1/2. 这可以有效地减少接近罢工的离散化误差，同时消除构建网格时不必要的复杂性。6.3解的正性因为解在分裂方案的每一步都是Vn的有效近似值，所以所有向量Yj，j=0,1和Yk，k=0,1,2都应该是非负的。这意味着在方案的每一个分步，相应的算子必须保持解的正性。对于等式（27）中的步骤1、2和4，如果MTA和MTA都是M矩阵，则可以保证这一点；见Berman&Plemmons（1994）。

为了实现这一点，必须选择漂移（对流）项的适当（向上）近似值，这在文献中经常讨论；见Hout&Foulon（2010）及其参考文献。假设我们提前知道所有必要的打击。对于步骤3和5，这是一个更微妙的问题。Chiarella等人（2008年）、Toivanen（2010年）和Ikonen&Toivanen（2007年、2008年）分别提出了一个七点模板，用于离散混合导数算子，以保持解的正性。然而，在他们的方案中，混合导数项被隐式地处理（这就是为什么他们需要一个离散化的矩阵作为Mmatrix）。在我们的例子中，步骤3,5右侧的整个矩阵应该是一个正矩阵，或者是一个梅茨勒矩阵（在这种情况下是一个M矩阵的负矩阵）。当以相反的顺序使用Chiarella等人（2008）、Toivanen（2010）和Konen&Toivanen（2007、2008）的近似值时，可以实现后者，即当ρ<0时，使用建议的ρ>0近似值，反之亦然。然而，这种方法对网格步骤hi，i=1，N.因此，这种离散化应与建立非均匀网格的算法一起考虑。通常，在v空间中使用均匀网格更好，然后在S空间中更容易遵守阶跃的正性约束。此外，我们的实验表明，前向格式比后向格式对混合导数的离散化选择更加敏感。6.4离散分割使用树或晶格方法计算离散股息的标准方法是在除息日计算网格（空间状态）；例如，见赫尔出版社（1997年）。这种方法如图1所示，用于反向方案，如图1所示。