前向偏微分方程和前向偏微分方程的高阶分裂方法

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英文标题：
《High-Order Splitting Methods for Forward PDEs and PIDEs》
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作者：
Andrey Itkin
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper is dedicated to the construction of high-order (in both space and time) finite-difference schemes for both forward and backward PDEs and PIDEs, such that option prices obtained by solving both the forward and backward equations are consistent. This approach is partly inspired by Andreasen & Huge, 2011 who reported a pair of consistent finite-difference schemes of first-order approximation in time for an uncorrelated local stochastic volatility model. We extend their approach by constructing schemes that are second-order in both space and time and that apply to models with jumps and discrete dividends. Taking correlation into account in our approach is also not an issue.
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中文摘要：
本文致力于为前向和后向偏微分方程和PIDE构造高阶（空间和时间）有限差分格式，以便通过求解前向和后向方程得到的期权价格是一致的。这种方法的部分灵感来自Andreasen&Gig，2011，他报告了一对不相关局部随机波动率模型的一阶时间近似一致有限差分格式。我们通过构造在空间和时间上都是二阶的、适用于具有跳跃和离散红利的模型的方案来扩展他们的方法。在我们的方法中考虑相关性也不是问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> High-Order_Splitting_Methods_for_Forward_PDEs_and_PIDEs.pdf (447.58 KB)

2022-5-5 23:16:18 上传

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关键词：偏微分方程 微分方程 偏微分 Quantitative Constructing

正向偏微分方程和脉冲微分方程的高阶分裂方法。*Andrey ItkinNumerix LLC，纽约州纽约市公园大道125号21楼，纽约大学美国和理工学院工程学院，纽约州布鲁克林市517E地铁技术中心6号，邮编：11201，美国提交给《国际理论与应用金融杂志》摘要本文致力于为正向和反向偏微分方程和PIDE构建高阶（空间和时间）有限差分方案，从而使通过求解正向和反向方程获得的期权价格一致。这种方法的部分灵感来源于Andreasen&Gigh（2011年），他报告了一系列针对不相关局部随机波动率模型的一阶近似一致有限差分方案。我们通过构造在空间和时间上都是二阶的并且适用于具有跳跃和离散红利的模型的方案来扩展他们的方法。在我们的方法中考虑相关性也不是问题。1导言为给定模型构造一致的数值方法（例如，使用各种数值方案计算价格的期权定价，所有方法的容差相同）是aknown问题。近年来，局部随机波动率（LSV）模型一直关注这一问题。例如，Andreasen&Gigh（2011）提出了一个数值解决方案，该解决方案实现了校准、使用有限差分解决方案的期权定价和蒙特卡罗模拟之间的完全一致性。该方法基于完全隐式有限差分方案*本文中表达的观点是作者的观点，不一定反映了Numerix或NYU的观点。一阶时间，其动机是蒙特卡罗模拟，即使使用米尔斯坦方案，也是一阶时间，见Glasserman（2003）和其中的参考文献。

然而，在许多实际应用中，我们只需要前后向Kolmogorov方程解的一致性。我们在这里指出，正向方程对校准有用，因为它允许在一次扫描中计算期权微笑，而反向方程对定价有用，因为它允许在一次扫描中计算具有给定行使的各种初始现货价值的期权价格。在这种情况下，需要在空间和时间上采用一致的高阶近似方案。将这种方法扩展到跳跃扩散模型也很有趣，从而将跳跃扩展到LSV框架。如Andreasen&Gigh（2011）所述，如果不采取特别措施，则不同的数值方案通常仅在FFT的傅里叶步数、微分网格中的时间和空间步数，Monte Carlo中的时间步数都趋于一致，数值格式收敛于连续的时间和空间解。此外，设置适当的边界条件以保证这种一致性可能是一项非常重要的任务。然而，如果从一开始就考虑离散化的Kolmogorovequation，这些问题就可以消除。换句话说，这相当于在空间状态下定义的离散马尔可夫链，对应于某些有限差分网格G。首先，只考虑没有跳跃的随机过程。

已知（例如，见古德曼（2004））潜在过程X（t）密度的正向科尔莫戈罗夫方程可以写成PT=pa，（1）其中P（s，T）是离散密度函数（即，X（T）在时间T处处于对应状态s的概率向量），T是到期时间，并且生成器A在G上具有作为状态之间转移概率矩阵的离散表示。对于给定的间隔[t，t+t] 当发生器A不依赖于时间时，正演方程isP（s，t+t） =P（s，t）e助教。（2） 因此，为了计算未贴现期权价格C=EQ[V（X（T）），其中V（X（T））是时间T的支付，EQ是风险中性度量Q下的预期，我们从给定的P（0）开始，通过求解式（1）来评估P（T），最后评估P（s，T）V（s，T）。另一方面，我们可以从一个反向科尔莫戈罗夫方程开始计算未贴现期权价格五、t+AV=0，（3）换句话说，只要解一个远期方程，就可以计算出给定现货价格的多次行权的期权价格。如果A=A（t），我们在时间上分多步求解例如，使用a的分段线性近似和式（2）中的解。通过变量τ=T的变化- t可以转化为五、τ=BV。（4） 众所周知，B=AT；例如，见古德曼（2004年）。据我们所知，Alex Lipton是第一个提出使用这种对偶构造前后向方程的一致格式的人。这一想法在1997年至1999年间的一份银行家信托文件中被描述，当时被称为“利普顿的把戏”。利普顿（Lipton，2001年和2002年）也提到了这种方法。后来，同样的想法在Andreasen&Hugh（2011）中被重新发现，并被用于构建一个一致的隐式有限差分方案，该方案在时间上是一阶的。

有关正向和反向方程，请参见Andersen&Andreasen（2000）。基于上述工作，在网格Gis上构造转置离散算子相当简单。然而，将这一想法推广到更高阶近似的现代有限差分方案（例如，参见In\'t Hout&Welfert（2007）及其参考文献）是一个更大的障碍。这一障碍尤其具有挑战性，因为这些方案本质上是通过多个分步来完成最终解的，而且通过应用所有步骤获得的生成器A的显式形式并不明显。最后，考虑跳跃会使这个问题更加困难。因此，在本论文中，我们着重于为正向和反向方程构造一致的有限差分格式。对于后向方程，werely介绍了in\'t Hout&Welfert（2007）中描述的方案。我们的目标是构建一个一致的前锋。我们在这篇论文中的主要结果是：i）覆盖正向方程的显式拆分方案，以及与in\'t Hout&Welfert（2007）中考虑的反向方案的对应方案；ii）在标的股票支付离散股息的情况下，这些方案的扩展；以及iii）作为方案参数θ的函数分析这些方案的鲁棒性。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了一个带跳跃的LSV模型，并将定价PIDE表示为一个微分算子和一个跳跃算子的和。在第3节中，我们描述了一种求解PIDE的分裂方法，其中我们将扩散算子和跳跃算子分离为单独的分步。在第4节中，我们回顾了分歧部分，考虑Hout&Foulon（2010）中讨论的一些落后方案，并开发出一致的前沿方案。

在第5节中，我们将讨论如何将这种方法扩展到跳转组件。在第6节中，我们描述了在实现前向和后向方案一致的方法时必须解决的各种问题。我们还介绍并讨论了一些数值实验的结果。值得一提的是，Craig-Sneyd方案的一致转发方案是由Michael Konikov在2009年作为Numerix库的一部分实施的。2带跳跃的LSV模型为了避免不确定性，让我们来看看单只股票上的股票期权定价问题。该规范不会导致任何通用性损失，但它使该描述更加实用。我们假设标的资产（股票）价格是由一个L’evy过程的指数驱动的：St=Sexp（Lt），0≤ T≤ T、 T=1240，其中T=1240是≤T≤这是具有非零布朗（扩散）部分的L’evy过程。根据定价标准，LTI由t=γt+σWt+Yt，γ给出∈ R、 σ>0，（6）具有L′evy三重态（γ，σ，ν），其中WT是0上的标准布朗运动≤ T≤ T和Ytisa纯跳跃过程。我们在定价措施下考虑这一过程，因此-（r）-q） 这是一个鞅，其中r是利率，q是连续红利。这允许我们将γ表示为（Eberlein（2009））γ=r- Q-σ-锆前任- 1.- x1 | x |<1ν（dx），其中ν（dx）是一个满足|x |>1exν（dx）<∞.现在让我们不具体说明ν（dx），因为我们愿意考虑所有类型的跳跃，包括具有有限和有限变化以及有限和有限活动的跳跃。接下来，我们通过假设σ是局部波动率φ（St，t）和随机波动率的组合来扩展这个设置√也就是说，我们取σ=σt≡ φ（St，t）√vt，其中vt是随机方差。

后者是dvt=κ（v∞- vt）dt+ξvβtdZt，（7）hdWt，dZti=ρdt。这里是κ，v∞, 和ξ分别是平均回归速度、长期运行（平均回归水平）和波动的波动性，Zt是与WT相关的布朗运动，ρ是相关系数。参数β确定VT的均值回复CEV过程，并假定为模型的校准参数，因此β≥ 0.我们记得，标准布朗运动已经有了有限变化的路径。因此，式（6）中的L’evy过程具有有限的变化，因为它包含一个连续的鞅分量。然而，这里我们指的是跳跃产生的有限变化。由于瞬时方差不应该是鞅，因此β的上边界可以扩展到单位。众所周知，β<1会产生所谓的杠杆效应，通常在股票市场中观察到，股票的波动性会随着价格下跌而增加。相反，在商品市场中，可以观察到所谓的反向杠杆效应，即商品价格的波动性往往会随着价格的上涨而增加。为了简单起见，我们进一步假设κ，v∞, ξ、 ρ是常数。然而，这一假设可以很容易地放宽，以考虑时间相关系数。为了对标的过程St上的期权进行定价，我们想要导出一个描述欧式期权价格C（x，v，t）的时间演化的PIDE，其中x≡ 对数（St/S）和v=vt。

使用标准鞅方法，或创建一个自我融资的投资组合，可以得出相应的反向PIDE（Cont&Tankov（2004），Lewis（2000））rC（x，v，t）=C（x，v，t）t+R-五、C（x，v，t）x+vC（x，v，t）x+κ（v）∞- 五）C（x，v，t）v+ξv2βC（x，v，t）v+ρξvβ+1φ（x，t）C（x，v，t）十、v+ZRC（x+y，v，t）- C（x，v，t）- （哎- 1)C（x，v，t）十、ν（dy）（8）表示所有（x，v，t）∈ R×R+×（0，T），根据终端和初始条件c（x，v，T）=h（x），v（0）=v，（9）其中相对于瞬时方差的初始水平，h（x）是期权支付，并且应用了一些取决于期权类型的边界条件。这种PIDE的溶液通常属于粘性溶液（Cont&Tankov（2004））。在接下来的章节中，我们将需要inItkin&Carr（2012）提出的跳跃术语的另一种表示。结果表明，积分项可以用下面的想法重写。正如量子力学（de Lange&Raab（1992））所知，Lspace中的平移（shift）算符可以表示为asTb=expB十、, （10） 当b=const时，soTbf（x）=f（x+b）。因此，式（8）中的积分可以正式改写为Zr[C（x+y，v，t）-C（x，v，t）- （哎- 1)C（x，v，t）十、ν（dy）=JC（x，v，t），（11）J≡锆经验Y十、- 1.- （哎- 1)十、ν（dy）。在定义算子J（实际上是跳跃过程的一个极小生成元）时，如果处理该项，可以在关于存在性和收敛性的一些温和假设下正式计算积分/x作为常数。因此，算子j可以看作微分算子的某种广义函数十、

我们也将J视为伪微分算子。考虑到这种表示，等式（8）中的整个PIDE可以在操作器形式中重写为τC（x，v，τ）=[D+J]C（x，v，τ），（12），其中τ=T- t和D表示微分（抛物线）运算符≡ -r+R-五、x+vx+κ（v）∞- 五）v+ξv2βv+ρξvβ+1φ（x，t）十、v、 （13）这是一个微小的扩散发生器。3 PIDETo的拆分方法为了求解等式（12），我们以类似于Itkin（2013）的方式使用拆分方法（关于求解偏微分方程的拆分方法的一般说明，请参见其中的参考文献）。认为f（x，t）是自变量x=x的函数。。。x和t，L是x-空间中的线性标记维数算子。基于Lanser&Verwer（1999）的观点，考虑以下等式f（x，t）t=Lf（x，t），（14）对感兴趣的问题的总（复合）算子L进行分解似乎是很自然的，比如说，L可以表示为k个非对偶线性算子L=Pki=1Li的和。在这种情况下，可以通过算子指数，即f（x，t）=etLf（x，0）=etPki=1Lif（0），对等式（14）的算子方程进行形式积分。后一个表达式可以分解为运算符的乘积：f（x，t）=etLk。etLf（x，0）。然后，这个方程可以通过以下步骤按N步顺序求解：f（1）（x，t）=etLf（x，0），f（2）（x，t）=etLf（1）（x，t），。。。f（k）（x，t）=etLkf（k-1） （x，t），f（x，t）=f（k）（x，t）。如果所有操作员（Li）通勤，该算法是精确的（无偏差）。然而，如果它们不能相互转换，则上述因式分解不成立，且该算法仅提供精确解的一阶时间近似值（即O（t））。为了得到非交换算子的二阶分裂，斯特朗提出了另一种方案，在最简单的情况下（k=2）是（斯特朗（1968））f（x，t）=etLf（x，0）=et（L+L）f（x，0）=etLf（x，0）+O（t）。

（15） 对于具有常数系数的抛物型方程，只要在每个分裂步骤求解相应方程的数值过程至少是二阶精度的，这种复合算法在t中是二阶精度的。然而，上述分析不能直接应用于我们的问题，因为在等式（10）中的转换完成后，跳积分转换为等式（11）中的非线性算子。对于非线性算子，情况更为微妙。如Koch&Thalhammer（2011）所示，非线性初值问题的理论分析为u（t）=F（u（t）），0≤ T≤ T对于Banach空间值函数u:[0，T]→ 给定一个初始条件u（0），可以使用李导数演算。精确解isu（t）=EF（t，u（0））=etDFu（0），0的形式线性表示≤ T≤ T、 其中演化算子和李导数由etdfv=EF（T，v），etDFGv=G（EF（T，v））给出，0≤ T≤ T、 对于无界非线性算子G:D（G），DFv=F（v），DFGv=G（v）F（v） 十、→ 利用这种形式主义，Koch&Thalhammer（2011）表明，在非线性算子的情况下，Strang的二阶分裂方法保持不变。将此结果用于等式（12）可得出以下反序方程的数值格式：C（x，v，τ＋τ） =eτDeτJeτDC（x，v，τ），（16）可作为分步法重新编写：C（1）（x，v，τ）=eτDC（x，v，τ），（17）C（2）（x，v，τ）=eτJC（1）（x，v，τ），C（x，v，τ+τ） =eτDC（2）（x，v，τ）。因此，我们得到了一个没有漂移和扩散的PIDE（式（17）中的第二个方程）和两个不稳定的PDE（式（17）中的第一个和第三个方程），而不是一个不稳定的PIDE。为了产生一个一致的离散正演方程，我们使用了转置进化算子，这导致了模式（x，v，t+t） =eτDTeτJTeτDTC（x，v，t）。