前向偏微分方程和前向偏微分方程的高阶分裂方法

2.向前进近。ddtiti+1Sj+1SjSj-1后向阶梯vvj-1¨VjFigure 1：网格转移，以向后的方式解释离散变量。ddti+1前进步骤J-1Sj+1SJD图2：在正向方法中，网格转移以解释离散的IVidends。下面将对该算法进行更详细的描述。假设我们解一个反向偏微分方程。在对应于除名日期的时间步ti，通过应用后向有限差分算法找到期权价格Vi的新值。因此，Vi（S）=RVi-1（S）。在那之后，因为我们往回看，期权价值在时间τ+i=τi+,   1，也就是股息支付之前，变成了Vi（S+d）。也就是说，相同的期权值现在属于被dividendamount d向上移动的网格节点。这取决于一个事实，即在支付股息时，期权值是连续的。由于使用移动的网格不方便，通常实践者会将新选项值重新插入前一个网格。因此，如果我们让Iu表示一个相应的插值算子，并向上移动，那么在τ+iare¨Vi=Ibvi时的最终选项值-1.对于正向方程，考虑到我们构建一致正向算法的方式，该表达式应为‘Vi=[IR]TVi-1=RTITVi-1.这意味着：i）在时间t中向前移动并给出选项值Vi-1时间tii=ti- , 我们首先需要将网格S向下移动d，以便Vi-1现在属于移位网格的节点，Vi-1（S）- d） )；ii）然后我们需要使用具有下移Id的相应插值运算符将它们重新插值回原始网格，从而获得“Vi”-1（S）；以及iii）我们最终需要应用运算符RTV来获得最终选项值Vi（S）。这里的主要问题是构造插值运算符，使Iu=ITd。为简单起见，首先假设股息金额d小于任何步骤hi，i=1。

，N，网格。由于上面讨论的有限差分格式是h的二阶近似，因此线性插值是有效的。因此，在值SVI=RVi之后的反向方法中-1在时间步长Tian处获得，并移动到网格S+d（见图1），插值“Vi（Sj）”为“Vi（Sj）=Vj-1dhj，j-1+Vjhj，j-1.- dhj，j-1，hj，j-1=Sj- Sj-1.（32）因此，算子IB的矩阵B在这个网格isB处离散化=B0 0。。。dhh-dh0。。。dhh-dh0。。。。。。0dhN-1，N-2hN-1，N-2.-dhN-1，N-2.0亿，N-10亿欧元.这是一个较低的双对角矩阵，其中元素位于第一行和BN，N-最后一行中的1，BN，Nin由Smi和Smax处Vi（S）上的边界条件确定。以与正向方法类似的方式进行（见图2），我们会发现相应的情况。如果除息日期位于时间网格的两个节点之间，一种常见的方法是将其向前（并将股息金额调整为该日期股息的正向值）或向后（并将股息金额贴现回该日期）移动到网格节点。算子If:F的矩阵F=FF0 0。。。H-dhdh0。。。。。。0 0hN-1，N-2.-dhN-1，N-2dhN-1，N-2.0 FN，N.这是一个上双对角矩阵，其中第一行的元素F，Fin和最后一行的元素FN，由Smiand Smax处Vi（S）上的边界条件确定。如上所述，我们需要F=BT。显然，情况并非如此，除非网格是均匀的，并且hi，i-1=hi+1，如果i=2，N- 1.但在许多情况下，这是不现实的。如果想要使用非均匀网格，消除这种困难的一种方法是消除重新插值，在支付红利后，继续使用移位网格。

然而，这也带来了一些设置边界条件的技术问题。前瞻性方法的另一个问题是- 当S变小时，d变为负值。Haug等人（2003年）对这种情况进行了详细讨论。主要的想法是，如果S<d，公司不能支付股息d，但最多支付金额。因此，在这种情况下，我们假设股息D现在是S的函数，即当S>D时，D（S）=D，当0时，D（S）=S≤ s≤ d、 6.5文献中研究了MCS和HV后向有限差分方案的有限差分方案参数。在Hout&Welfert（2007）和Hout&Foulon（2010）中，作者将这些方法应用于Heston模型的收敛性和稳定性。结果表明，参数θ=1/3、阻尼τ=0的MCS格式提供了一种快速、准确、鲁棒的任意相关ρ的数值解∈ [-1, 1]. θ=1/2的原始Craig-Sneyd方案（见Craig&Sneyd（1988））和θ=1/2的HV方案+√阻尼为τ=0的3/6也提供了一个很好的替代方案。所有三种分裂方案都证明了不可条件性和等于2的斯蒂夫收敛阶。这里我们想研究正演格式中θ的选择如何影响解的收敛性和稳定性。我们考虑看涨期权，并采用Heston模型参数，如表1所示。这里r是利率，q是股息率。AsT K r qξρκv∞1.0 100 0.05 0.0 0.3 0.8 1.5 0.1表1：试验计算中使用的初始参数。我们考虑了赫斯顿模型，将局部波动函数设置为φ（St，t）=1。在S维上构造了一个非均匀的空间网格，其中S维上有76个节点∈[0，Smax]，Smax=40max（S，K），并在v中用79个节点构建了一个统一的网格∈[0，vmax]，vmax=6v。这是罢工。

价格的进一步上涨不会对期权价格产生太大的影响，所以选择这个边界是基于一个实际的论证。我们还使用了100个时间步长。我们求解了正向和反向方程，并比较了作为参数θ函数得到的价格。高压方案的结果如表2所示。使用FFT获得基准（解析）解；seeCarr&Madan（1999年）。相对误差BK通过使用反向方法对该期权定价获得，以及通过使用正向方法获得的FW被确定为i=（CFFT）- Ci）/CFFT·100%适用于i∈ {bk，fw}。在这个测试中，我们使用了S=100，v=0.5，这使得CFFT=24.0047。向前和向后方法的期权价格θ0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk0。0718 0.0719 0.0720 0.0719 0.0717 0.0714 0.0709 0.0704fw0。0595 0.0597 0.0597 0.0597 0.0595 0.0592 0.0588 0.0583bk- fw0。0123 0.0122 0.0123 0.0122 0.0122 0.0122 0.0121 0.0121表2:HV后向和前向解的收敛作为θ的函数。最多同意1个bp。θ的值，其中CbK和CfW提供了所有θ试验中CfFTA的最佳近似值为1。然而，后者与in\'t Hout&Welfert（2007）和Hout&Foulon（2010）得出的结论相矛盾，其中θ=1/2+√建议使用6/3。表3给出了MCS方案的类似结果。

在这里，反向和正向方案再次证明了θ=1时FFT值的更好近似性，而inHout&Foulon（2010）报道，θ=1/3的值是最稳健的。θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk0。0718 0.0719 0.0720 0.0719 0.0717 0.0713 0.0709 0.0703fw0。0595 0.0596 0.0597 0.0596 0.0594 0.0590 0.0586 0.0581bk- fw0。0123 0.0123 0.0123 0.0123 0.0123 0.0123 0.0123 0.0122表3:MCS后向和前向解作为θ函数的收敛性。基于这个实验，我们可以得出结论，如果两种算法选择相同的参数θ值，则向后和向前格式的收敛性是相似的。如前所述，我们使用混合导数算子的特殊离散化，使相应的矩阵成为M-矩阵。当点（Si，vj）远离计算区域的边界时，这种离散化在S和v方向的网格步骤中是二阶近似。然而，在边界处，近似值下降到一阶。这很可能会引入一些不相关情况下不存在的额外错误，即当ρ=0时。因此，为了检查这一点以及这种情况下正向和反向方法的收敛性，我们现在用ρ=0进行相同的测试，其中CFFT=23.7015。HV和MCSschemes的结果分别见表4和表5。θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk-0.0882-0.0879-0.0878-0.0878-0.0879-0.0881-0.0884-0.0887fw-0.0861-0.0861-0.0862-0.0863-0.0865-0.0868-0.0871-0.0875bk- fw-0.0021-0.0018-0.0016-0.0015-0.0014-0.0013-0.0013-0.0012表4:HV后向和前向解作为θ函数的收敛性。

不相关病例。θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk-0.0888-0.0888-0.0889-0.0890-0.0893-0.0897-0.0902-0.0907fw-0.0861-0.0861-0.0862-0.0863-0.0865-0.0868-0.0872-0.0876bk- fw-0.0027-0.0027-0.0027-0.0027-0.0028-0.0029-0.0030-0.0031表5：MCS后向和前向解作为θ函数的收敛性。不相关病例。我们看到，对于θ的所有值，前向和后向方案产生类似的结果，与FFT值相比，误差几乎是correlatedcase的4倍（0.3 bp），这支持了我们上面的分析。然而，在这里，对于反向HV方案，θ的最稳健值为0.6（与in\'t Hout&Welfert（2007）中报告的值接近），而对于正向方案，θ的最稳健值为0.3。对于反向MCS方案，最稳健的值是θ=0.3（这也接近于in\'t Hout&Welfert（2007））中报道的值）。前向MCS方案的最大胸围值也是θ=0.3。我们还可以观察到，在这两种情况下（ρ=0和ρ>0），HV方案为向后和向前方案提供了略好的结果。FFT选项值isCF T=23.4077。最后，用ρ=-0.8. HVM模型的结果见表1。6，在标签上。

7对于MCS模型。θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk-0.0801-0.0799-0.0798-0.0798-0.0798-0.0799-0.0801-0.0803fw-0.0549-0.0545-0.0543-0.0541-0.0540-0.0541-0.0542-0.0544bk- fw-0.0252-0.0254-0.0255-0.0257-0.0258-0.0258-0.0259-0.0259表6:HV后向和前向解在ρ=-0.8.θ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0bk-0.0801-0.0799-0.0798-0.0798-0.0799-0.0800-0.0802-0.0804fw-0.0546-0.0542-0.0539-0.0538-0.0538-0.0540-0.0542-0.0546bk- fw-0.0255-0.0257-0.0259-0.0260-0.0261-0.0260-0.0260-0.0258表7：作为θ在ρ=-0.8.这里，正向和反向进近的HV和MCS方案在θ约为0.7时更精确。感谢彼得·卡尔、亚历克斯·利普顿和迈克尔·科尼科夫进行了富有成效的讨论。我感谢格雷戈里·惠滕、史蒂文·奥汉伦和本·梅文对这项工作的支持。参考安徒生，L.，安德烈森，J.2000。跳跃扩散过程：波动率微笑拟合和期权定价的数值方法。衍生品研究综述，4231-262。Andreasen，J.，和Gigger，B.2011。随机网格。风险，7月，66-71日。伯曼，A.，普莱蒙斯，R.1994。数学科学中的非负矩阵。暹罗。卡尔、彼得和玛丹、迪利普。1999.使用快速傅立叶变换的期权估值。计算金融杂志，2（4），61-73。Chiarella，C.，Kang，B.，Mayer，G.H.，和Ziogas，A.2008。利用线性方法对随机波动和跳跃扩散动力学下的美式期权价格进行评估。技术报告。研究论文219。悉尼科技大学定量金融研究中心。Cont，R.，和Tankov，第2004页。具有跳跃过程的金融建模。金融材料系列，查普曼和霍尔/CRCl。克雷格，I.J.D.，斯奈德，A.D.1988。

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金融，4，31-70。附录A反向时间演化算子的构造我们的目标如下。从公式（22）中给出的有限差分方案（以分步形式呈现）开始，我们希望找到公式（4）中该方案的替代表示形式。换句话说，给定等式（22），我们正在寻找等式（4）中运算符B的明确表示。回忆式（22）：Y=Vn-1+ τF（τn）-1，Vn-1） ，Yj=Yj-1+ θτ[Fj（τn，Yj）- Fj（τn）-1，Vn-1） ]，j=1，k~Y=Y+τ[F（τn，Yk）- F（τn）-1，Vn-1） ]，~Yj=~Yj-1+ θτhFj（τn，~Yj）- Fj（τn，Yk）i，j=1，kVn=~Yk，然后沿着每一行ofEq逐步构造整个转移算子R。(22). 对于LSV问题，k=2。继续，我们将对转置向量Vn，Yk，Yk使用相同的符号，因为它不应带来任何歧义。为了方便起见，我们还表示Fni=Fi（τn）。然后我们可以将第一个方程写在等式（22）asY=（I+τFn-1） 越南-1，（A.1）其中F（τ）被视为一个算子（或者，给定一个有限差分网格G，对应离散算子的矩阵）。我们还为单位运算符（矩阵）保留符号I。重要的是要注意，每个时间步的算子F并不明确依赖于向后时间τ，而只是通过模型参数的时间依赖性。以同样的方式进行，公式（22）中j=1的第二行现在是（I）- θτFn）Y=Y- θτFn-1Vn-1.因此，Y=M-1.Y- θτFn-1Vn-1.= M-1.I+τFn-1.- θFn-1.越南-1，（A.2）米≡ 我- θτFni。我们允许LSV模型的系数随时间变化。然而，假设它们在每个时间步都是常数。类似地，对于j=2，我们有y=M-1.Y- θτFn-1Vn-1.= RVn-1，（A.3）R≡ M-1.M-1.I+τFn-1.- θFn-1.- θτFn-1..等式（22）中的第三行现在是Y=Y+τFnY- Fn-1Vn-1.=我+τFn-1+FnR越南-1.