具有双边均值回复跳跃的时变CIR默认强度

由于特征值的线性增长，验证了迹类条件（5.1）。本征函数的界可从Nikiforov和Uvarov（1988）方程（27a）中的估计值中获得，第54页。这种CIR本征函数展开已在Davydovand Linetsky（2003）和Gorovoi and Linetsky（2004）的金融中应用。[我们注意到，本征函数表达式中的归一化因子NNI与Davydov和Linetsky（2003）不同，命题9，由于速度测量的不同标准化；在这里，我们将速度测量标准化，使其与toone积分，从而与平稳分布一致]。对于任何f∈ L（I，m）Pβtf（x）的计算简化为计算膨胀系数。特别是，考虑以闭合形式已知的贴现CIR特征函数，因为CIR扩散是aCBI/a ffine过程；参考Cox、Ingersoll和Ross（1985）、Duffee和Garleanu（2001），附录A。对于任何复杂的zRZ≥0，ψt（x，β，z）：=Ex[e-β-RtXudue-zXt]（6.5）=A（t，β，z）exp{-B（t，β，z）x}，40 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetskywhere（t，β，z）：=2ρe（κ+ρ）t/22ρ+（ρ+κ+zσ）（eρt）-1)b、 b（t，β，z）：=2β（eρt-1） +z（ρ）-κ） eρt+z（ρ+κ）2ρ+（ρ+κ+zσ）（eρt-1).我们有以下特征函数的特征函数展开式。提议6.1。特征函数具有eige nf函数展开式（5.8），其系数由fβ（z）=1，fβn（z）=nβn给出κ -ρ+σzκ+ρ+σzN-1.2ρκ+ρ+σzb、 （6.6）n=2。证据直接从广义拉盖尔多项式生成函数的恒等式（对所有复| y |<1和a>-1),∞Xk=0ykLak（x）=（1）-y）-1.-aexp（（yx）/（y）-1)).或者，fβn（z）=（e）中的积分-可根据方程式（2.19.3.3）中拉盖尔多项式的积分恒等式显式计算z·，βn），Prudnikov，Brychkov and d Marichev（1986），第462页。

我们注意到，如果一个人只对CIR特征函数感兴趣，那么a fiff闭式表达式（6.5）肯定比IGenFunction展开式简单。然而，虽然α函数表达式（6.5）没有推广到SubC-IR模型，但本征函数展开立即推广，产生ψφt（x，β，z）：=（Pβ，φte-z·（x）=∞Xn=1e-φ（λβn）tfβn（z）φβn（x）具有相同的本征函数和展开系数（6.6），但具有新的本征值φ（λβn），其中φ是从属项的拉普拉斯指数。特别是，然后立即得到亚临界违约强度模型中生存概率（4.3）的本征函数表达式dq（t，Xφt，Dφt；t）=（1-Dφt）P1，φt-t（Xφt，I）=（1）- Dφt）ψφt-t（Xφt，1，0）时变CIR默认强度41=（1- Dφt）∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） 通过在展开式f或特征函数中设置z=0，得到fn（0）~nn（Xφt）。零息债券的收益率（4.5）是即时的。然后，SubCIR违约强度模型中其他信用敏感证券的定价简化为计算方程（5.10）-（5.11）中相应的扩展系数。特别是，Mendoza Arriaga（2012）中考虑了信用违约互换期权的定价和校准。我们还指出，在Mark4的次利率模型中，相同的特征函数展开会产生无违约零息票债券的定价。1，P（Zφt，t；t）=P1，φt-t（Zφt，I）=ψφt-t（Xφt，1，0）=∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） fn（0）~nn（Zφt）。现在，我们给出了亚红外默认强度模型定性特性的数值说明。我们从一个CIR过程X开始，κ=1，θ=0.1，σ=0.25。Su-bCIR过程Xφ是通过将X与逆高斯从属函数（Tt）t进行排序而构造的≥0使用参数α=0.5、η=1和C=0.5、零点漂移γ=0的THL'evy测量（3.1）。

因为子对象是无漂移的，所以在我们的例子中，Xφ是一个纯跳跃过程。图1（a）显示了具有这些参数的CIR过程X和亚红外过程Xφ的典型样本路径的模拟。而CIR过程在其长期水平θw与波动率σ之间存在差异，同时以（a）样本路径（b）L’evy密度的速率被均值回复漂移拉回。1.（a）CIR过程的样本路径（Xt）t≥0和亚红外过程（Xφt）t≥0.水平线（虚线）对应于长期平均水平θ=0.1。图（b）包含三个跳跃密度π0，φ（x，y）- x） 与垂直线（虚线）所示的初始状态x=0.01、x=θ=0.1和x=0.2相对应。42 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYκ，亚红外过程是一个纯跳跃过程，具有依赖于状态的均值回复L'evy测度。跳跃的均值回复性质在样本路径图（a）以及L’evy d密度π0，φ（x，y）的图（b）中很明显- x） =m（y）R（0，∞)pm（s，x，y）ν（ds）被绘制为三个固定值x的y的函数。该图显示了从三个初始状态x=0.01、x=θ=0.1和dx=0.2跳变s的三个L′evy密度。这里x是前突状态，y是后突状态，因此突变大小为y- x、 当nx=θ=0.1，也就是说，从长期平均值来看，L’evy密度几乎是对称的。相反，从状态x=0.01<0.1显著低于长期平均值开始的跳跃的L’evy密度高度向右倾斜，因为该过程倾向于从该低值0.01跳回到其长期平均值0.1。另一方面，从状态x=0.2>0.1显著高于长期平均值开始的跳跃的L’evy密度高度向左倾斜，因为p过程倾向于从0.2的这个高值向0.1的长期平均值向下移动。

不管怎样，这个过程都是非负的。这与行为跳跃扩散/CBI过程形成鲜明对比，后者只能向上跳跃，不能向下跳跃，以确保过程保持非负性。在次坐标差分的框架下，次坐标过程的非负性是直接的，因为次坐标过程和原始过程共享相同的状态空间。根据定理3中的kφ（x）表达式。2，kφ（x）=γβx+Z（0，∞)(1 -A（s，β，0）exp{-B（s，β，0）x}）ν（ds），我们用封闭形式的表达式代替CIR过程的生存概率，很明显，默认强度在亚IR模型中不再有效。图e2显示了defaultintensity过程λφt=（1）的样本路径-Dφt）kφ（Xφt），以及purejump过程Xφ的样本路径。图2：。默认强度λφt=（1）- Dφt）kφ（Xφt）。该图显示了默认强度过程（λφt）t的样本≥0由亚热过程（Xφt）t诱导≥0，这也是我所描绘的。水平线（虚线）对应于长期平均水平θ=0.1。时变CIR违约强度43（a）生存概率（b）信用利差（c）生存概率（d）信用利差。3.生存概率和信用利差样本路径。最后，图3显示了在该次利率违约强度规范下模拟的五年期间零息债券（4.4）的生存概率（4.3）和可违约信用利差（4.4）的样本路径。图3（a）和3（b）显示了一年、三年和五年生存概率的样本路径，即Q（t，t+TXφt，Dφt）带t=1年、3年、5年和1-3年的信用利差，S（t，Xφt，Dφt，t+t） 分别为。（b）中的虚线水平线对应于渐近信用利差S∞= 0.084等于半群P1的主特征值φ（λ），φ。

图3（c）和3（d）显示了生存概率Q（t，Xφt，dφt；t+t） 和信用利差（t，Xφt，Dφt；t+t） 分别为。由于次临界状态变量Xφ是ajump过程，因此在该模型中，信用敏感证券（如债券价格）以及信用利差的价格也是跳跃过程。7.结论。本文通过Bochner意义上的隶属关系，对经典的扩散违约强度模型进行了一个推广。我们从差异强度框架中的差异44 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYstate变量和默认指示符号（X，D）的双变量过程开始，并用L’evy从属变量T对其进行时间变换。我们将结果时变过程（Xφt，Dφt）=（X（Tt，D（Tt））描述为马尔可夫半鞅，特别是从Dφ的Doob–Meyer分解中可以看出，时变模型中的默认时间具有跳跃扩散或纯跳跃强度。当X是一个具有均值回复漂移的循环时，次级模型（SubCIR）的默认强度是一个非负跳跃扩散或纯跳跃过程，具有保持非负的双侧均值回复跳跃。通过显式计算相关半群的本征函数展开，亚理想强度模型完全可以分析。这是ields对信用敏感证券的明确封闭式定价。参考文献：D.沙恩-H.安德高，B.（1999）。期限结构动力学的参数非线性模型。金融研究回顾12 721–762。Andreasen，J.（2001）。信用炸药。美国银行固定收益研究工作论文。巴洛，M.T.（2002）。电价的差异模型。数学财务12 287–298。巴恩多夫·尼尔森，O.E.（1998）。正态逆高斯型过程。FinanceStoch。

2 41–68.MR1804664Beaglehole，D.和Tenney，M.（1992年）。对“利率期限结构的非线性随机模型”的修正和补充数学财务32345–353。Bertoin，J.（1996）。列维进程。剑桥数学教程121。剑桥大学。剑桥出版社。MR1406564Bertoin，J.（1999年）。概率论和统计学讲座。数学课堂讲稿。1717.柏林斯普林格。MR1746299Bielecki，T.R.，Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.（2011年）。CIR违约强度模型中信用违约期权的套期保值。金融斯托奇。15 541–572.MR2833099Bielecki，T.R.和Rutkowski，M.（2004）。信用风险：建模、估值和对冲。柏林斯普林格。T.R.比莱基、S.克雷佩、M.珍布兰克和M.鲁特科夫斯基（2008年）。信用风险的马尔可夫强度模型中的可违约选择。数学财务18 493–518。MR2454669Bielecki，T.R.，Cousi n，A.，Cr\'epey，S.和Herbertsson，A.（2013）。具有常见冲击的投资组合信用风险的动态建模。J.Optim。理论应用。出现。比莱基，T.R.，克雷佩，S.，詹布兰科，M.和扎尔加里，B.（2012年）。在马尔可夫copula模型中对CDS交易对手风险敞口进行估值和对冲。Int.J.Theor。阿普尔。财务部151250004，39。MR2902965Bochner，S.（1949年）。微分方程和随机过程。过程。纳特尔。阿卡德。Sci。美国35368-370。MR0030151Borodin，A.N.和Salminen，P.（2002年）。《布朗运动事实与公式手册》，第二版，巴塞尔伯赫奥瑟。MR1912205Boyarchenko，N.和Levendorskii，S.（2007）。多因子二次项结构模型的特征函数展开法。数学财务17503–539。MR2352904Brigo，D.和Alfonsi，A.（2005年）。使用S SRD随机强度模型进行信用违约互换校准和衍生品定价。金融斯托奇。9 29–42.MR2210926时变CIR违约强度45Brigo，D.和El Bachir，N.（2006）。

带微笑扩展跳跃随机强度模型的信用衍生产品定价。工作文件。Brigo，D.和El Bachir，N.（2010）。SSRJD随机强度模型中违约互换期权定价的精确公式。数学财务20 365–382。MR2667895Carr，P.和Linetsky，V。(2006). 跳转到默认扩展CEV模型：贝塞尔过程的应用。金融斯托奇。10 303–330.MR2244347C,inlar，E.和Jacod，J.（1981a）。半鞅马尔可夫过程在维纳过程和泊松随机测度项下的表示。1981年随机过程研讨会（伊利诺伊州埃文斯顿，1981年）（E.Cinlar，K.L.Chung和R.K.Getoor编辑）。程序。问题。统计学家。1 159–242. 伯克豪泽，波士顿，马萨诸塞州。MR0647786C,inlar，E.和Jacod，J.（1981b）。定义在马尔可夫过程上的半鞅。在随机微分系统中（Visegr\'ad，1980）（M.Arat\'o，D.Vermes and A.V.Balakrishnan编辑）。《控制与信息科学》课堂讲稿。36 13–24. 斯普林格，柏林。MR0653642C,inlar，E.，Jacod，J.，Protter，P.和Sharpe，M.J.（1980）。半鞅和马尔可夫过程。华尔希。没错。格比特54 161–219。MR0597337Chen，Z-Q.和福岛，M.（2011）。对称马尔可夫过程、时间变化和边界理论。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿。MR2849840考克斯，J.C.，英格索尔，J.E.Jr.和罗斯，S.A.（1985）。利率期限结构理论。计量经济学53 385–407。MR0785475Cuchiero，C.，Filipovi\'C，D.，Mayerhofer，E.和Teichman，J.（2011a）。正半限定矩阵的一个有效过程。安。阿普尔。Probab。21 397–463.MR2807963Cuchiero，C.，Keller Ressel，M.，Maye r hofer，E.和Teichman，J.（2011b）。对称锥上的一个有效过程。未出版的手稿。戴维斯，E.B.（2007）。线性算子及其谱。剑桥高等数学专业106。剑桥大学出版社，剑桥。MR2359869Davydov，D.和Linetsky，V.（2003年）。

基于标量差异的期权定价：特征函数展开法。奥普。第51 185–209号决议。MR1964993Duffie，D.，Filipovi\'c，D.和Schachermayer，W.（2003）。一套财务流程和应用。安。阿普尔。Probab。13 984–1053.MR1994043Duffie，D.和Garleanu，N.（2001）。抵押债务的风险和估值。金融分析师杂志57 41–59。Duffie，D.和Kan，R.（1996年）。利率的收益率模型。数学财务6379-406。杜菲，D.，潘，J.和辛格尔顿，K.（2000）。针对跳跃式差异的转换分析和资产定价。计量经济学68 1343–1376。MR1793362Duffie，D.和Singleton，K.J.（1999）。可违约债券的期限结构建模。金融研究回顾12 687–720。杜菲，D.和辛格尔顿，K.J.（2003）。信用风险：定价、计量和管理。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿。R.埃尔卡米、K.雅各布斯、H.朗格洛伊斯和C.奥尔坦阿莱（2012）。发布会计信息和差价。工作文件。Erdelyi，A.（1953年）。高等超越函数2。麦克劳希尔，纽约。Ethier，S.N.和Kurtz，T.G.（1986）。马尔科夫过程：特征和收敛。威利，纽约。MR0838085Feller，W.（1951年）。两个奇异的扩散问题。安。数学系。(2) 54 173–182.MR0054814Filipovi\'c，D.（2001年）。单因素有效期限结构模型的一般特征。金融斯托奇。5 389–412.MR185078946 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYFukushima，M.，大岛，Y.和武田，M.（2011）。Dirichlet形式和对称性马尔科夫过程，数学19中的扩展版德格鲁伊特研究。德格鲁伊特，柏林。MR2778606Geman，H.和Roncoroni，A.（2006年）。了解电价的详细结构。商业杂志79 1225–1261。G–oing Jaeschke，A.和Yor，M.（2003）。贝塞尔过程的综述和一些推广。伯努利9313–349。MR1997032Gorovoi，V.和Linetsky，V。

(2004). 布莱克的利率期权模型、特征函数展开和日本利率。数学财务14 49-78。MR2030835It^o，K.和McKean，H.P.（1974）。差异过程及其样本路径，第二版，柏林斯普林格更正。MR0345224Jacod，J.（1979年）。计算随机性和鞅问题。数学课堂讲稿。714.柏林斯普林格。MR0542115Jacod，J.和Protter，P.（2011）。过程的离散化。柏林斯普林格。Jacod，J.和Shiryaev，A.N.（2002）。随机过程的极限定理，第二。ed.数学综合研究288。柏林斯普林格。Jamshidian，F.（1996年）。二次利率模型中的债券、期货和期权评估。阿普尔。数学财务393-115。Janson，S.，M\'Baye，S.和Protter，P.（2011）。绝对连续补偿器。Int.J.Theor。阿普尔。财务14335–351。MR2804101Jarrow，R.A.，Lando，D.和Turnbull，S.M.（1997）。信用风险利差期限结构的马尔可夫模型。金融研究回顾10 481–523。Jeanblanc，M.，Yor，M.和Chesney，M.（2009）。金融市场的数学方法。伦敦斯普林格。MR2568861Kawazu，K.和Watana be，S.（1971年）。具有移民和相关限制的分支过程。Probab理论。阿普尔。16 36–54.Keller Ressel，M.，Schachermayer，W.and Teichm ann，J.（2011）。一个完整的流程是常规的。Probab。理论相关领域151 591–611。MR2851694Kita，A.（2012年）。CDS sp reads解释了信用利差波动性和个别企业的跳跃风险。工作纸。刘易斯，A.L.（1994）。利率期限结构模型的三种扩展机制。分析投资管理。可获得的athttp://optioncity.net/.Li，L.和莱恩茨基，V.（2013a）。最佳停止和早期锻炼：特征函数展开法。奥普。第61 625–644号决议。李，L.和林埃茨基，V.（2013b）。

时变Ornstein–Uhlenbeck过程及其在一般导数模型中的应用。数学资金出现。Lim，D.，Li，L.和Linetsky，V.（2012）。评估可赎回和可计算债券：特征函数展开法。J.经济。迪纳姆。控制36 1888–1908。MR2982959Linetsky，V.（2004年）。期权价值的光谱分解。Int.J.Theor。阿普尔。财务7337-384。MR2064020Linetsky，V.（2006年）。为可能破产的股票衍生品定价。数学财务16255–282。MR2212266Linetsky，V.（2008年）。衍生产品定价中的谱方法。运营研究与管理科学手册：金融工程15223–300。爱思唯尔/北荷兰，阿姆斯特丹。Lorig，M.，Lozano Carbass\'e，O.和M endoza Arriaga，R.（2013年）。方差swapson可违约资产和市场隐含的时间变化。你出版了手稿。Madan，D.B.，Carr，P.和Chang，E.C.（1998）。方差伽马过程和期权定价。《欧洲金融评论》2 79–105。时变CIR违约强度47McKean，H.P.Jr.（1956）。某些抛物型偏微分方程的初等解。跨。艾默尔。数学Soc。82 519–548.MR0087012Mendoza Arriaga，R.（2012年）。次级差异框架下的信用违约掉期期权。工作文件。门多萨·阿里亚加，R.，卡尔，P.和莱恩茨基，V.（2010年）。单一信贷权益模型中的时变马尔可夫过程。数学财务20527–569。MR2731407Mendoza Arriaga，R.和Linetsky，V.（2013年）。马尔科夫过程的多变量从属关系及其金融应用。数学资金出现。Meyer Brandis，T.和Tankov，P.（2008）。电价的多因素跳变扩散模型。Int.J.Theor。阿普尔。财务11503–528。尼基福罗夫，A.F.和乌瓦罗夫，V.B.（1988）。数学物理的特殊功能。伯克豪泽，巴塞尔。MR0922041Nowak，A.和Stempak，K.（2010）。