具有双边均值回复跳跃的时变CIR默认强度

因为（Xφt，Dφt）t≥0是半鞅（X，D）的时间变化，它是Jacod（1979）第315页中推论10.12的半鞅。现在我们将研究它的性质。特别地，我们在（Xφt，Dφt）t处显示th≥0是C上Feller半群的Feller过程（[0，∞] ×{0，1}），显式地计算它的极小生成元，得到它的可预测半鞅特征，并给出它的^o公式。我们首先回顾了Banach空间中算子半群Bochner意义下的子排序的一些重要结果。14 R.门多萨-阿里亚加和V.莱恩茨基从属关系的程序可以追溯到博什纳（1949年）。发电机的表达式构成了菲利普斯定理[Phillips（1952）]。下面的公式源自Sato（1999），定理32.1。定理3.1（波希纳意义上的从属关系；菲利普斯定理）。让（Tt）t≥0be是一个具有L′evy测度ν、漂移γ、拉普拉斯指数φ（λ）和转移函数πt（ds）的从属函数。让（Pt）t≥0是具有极小生成元a的Banach空间B上线性算子的强连续收缩半群。（i）definepφtf（x）=Z[0，∞)Psf（x）πt（ds），t≥0，f∈ B.（3.3）然后（Pφt）t≥0是B上线性算子的强连续收缩半群，称为（Pt）t的从属半群≥0关于子协调员（Tt）t≥0.（ii）表示（Pφt）t的最小生成元≥0乘以φ。那么A的域是Aφ和Aφf=γA f+Z（0，∞)（Psf）-f）ν（ds），f∈ 多姆（A）。（3.4）我们需要以下推论。推论3.1。如果（Pt）t≥0是C（[0，∞]), 然后是次坐标半群（Pφt）t≥0也是C（[0，∞]).证据空间C（[0，∞]) 由[0]上的连续函数组成，∞]或者，等价地，在（0，∞) 有限限值为0和∞. C（[0，∞]) 是Feller，如果它是保正的。

假设（Pt）t≥0是C上的Feller（[0，∞]). 然后（Pφt）t≥0isa是C（[0，∞]) 根据理论3。1（i）B=C（[0，∞]). 因为方程（3.3）中的Bochner积分是正的，所以对于所有u∈ C（[0，∞]) 以至于0≤ U≤ 1，我们有0≤ Pφtu≤ 1.因此（Pφt）t≥0是保持正性的，因此，C上的Feller（[0，∞]). 回想一下I=（0，∞) 如果0是不可及的，而I=[0，∞) 如果0是反射。在我们的假设下，半群（Pβt）t的转移核≥0具有与勒贝格测度有关的密度，Pβt（x，dy）=Pβ（t，x，y）dy，其中Pβ（t，x，y）在t，x，y中共同连续。这从任何一维扩散的事实中，都有一个密度随时间变化的CIR默认强度15，到在t，x，y中共同连续的速度测度；参见McKean（1956）或Borodin和Salminen（2002），第13页。在我们的假设下，速度测度相对于勒贝格测度是绝对连续的[cf.Borodin and Salminen（2002），第17页]，因此s群相对于勒贝格测度具有密度。对于β=0，密度是I上的适当概率密度，Pt（x，I）=RIp（t，x，y）dy=1∈ I.对于β>0，密度通常是有缺陷的，Pβt（x，I）=RIpβ（t，x，y）dy≤ 1.为了便于注释，我们通过设置pβ（t，x，y）将密度从I扩展到R≡ y为0，x为0∈ I和t>0。我们现在准备根据菲利普斯定理3.1和推论3.1，给出（3.2）定义的时变过程（Xφ，Dφ）的马尔可夫特征。定理3.2[对（Xφ，Dφ）的马尔可夫刻画]。

（i） 二元过程（Xφ，Dφ）是具有Feller半群（Pφt）t的Feller过程≥0作用于f∈ C（[0，∞] ×{0,1}）byPφtf（x，d）=P0，φtf（x）+（1-d） P1，φt（f）-f） （x），（3.5）式中f（x）=f（x，0）∈C（[0，∞]), f（x）=f（x，1）∈C（[0，∞]) 和（P0，φt）t≥0和（P1，φt）t≥0是由Feller半群（Pt）t在Bochner的se-NSE中通过从属得到的Feller半群吗≥0和（Pt）t≥0.（ii）Feller半群（Pφt）t的极小生成元Aφ≥0具有以下表示：Aφf（x，d）=A0，φf（x）+（1-d） A1，φ（f）-f） （x），（3.6）f，f∈Dom（A），其中Aβ，φ，β∈{0，1}，是（Pβ，φt）t的生成元≥0.（iii）生成器Aβ，φ具有以下L’evy–Khintchine类型表示，具有依赖于状态的系数Aβ，φf（x）=γσ（x）f′（x）+bβ，φ（x）f′（x）- kφ（x）f（x）（3.7）+ZR（f（x+y）-f（x）- 1{|y|≤1} yf′（x））πβ，φ（x，y）dyf∈D（Aβ），其中状态相关的L′evy密度πβ，φ（x，y）由πβ，φ（x，y）=Z（0，∞)pβ（s，x，x+y）ν（ds），（3.8）并满足可积条件rr（|y）|∧1） πβ，φ（x，y）dy<∞ 每个人∈我[记得我们通过设置p（t，x，y）=0（y<0）将p（t，x，y）扩展到R]，16 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky关于截断函数x1{x的漂移|≤1} 由bβ，φ（x）=γb（x）+Z（0）给出，∞)Z{|y|≤1} ypβ（s，x，x+y）dyν（ds），（3.9），杀伤率由kφ（x）=γβk（x）+Z（0，∞)(1 -其中Pβs（x，I）=RIp（s，x，y）dy.（iv）如果f（x，d）∈ D（A）[即，f的形式为（2.4）和f，f∈ D（A）]和（Xφ，Dφ）从Xφ=X>0和Dφ=D开始∈{0,1}，那么进程mft:=f（Xφt，Dφt）-f（x，d）-ZtAφf（Xφs，Dφs）ds（3.11）是Hφ-鞅。证据

（i） 半群（Pφt）t≥0of（Xφ，Dφ）是Feller的推论。1.由定理3.1的方程（2.5）和（3.3）组合而成的半群的显式表示（3.5）。（ii）用次坐标半群（Pβ，φt）t的生成元表示（3.6）≥0来自（3.4）。（iii）发电机Aβ的简化表示法（3.7），φ表示如下。首先，我们通过McKean（1956）的定理4.5来观察每个∈I密度pβ（t，x，y）满足以下估计：Z{y-x |>1}pβ（t，x，y）dy≤Ct，（3.12）Z{y-x|≤1} （y）-x） pβ（t，x，y）dy≤Ct，（3.13）Z{|y-x|≤1} （y）-x） pβ（t，x，y）dy≤Ct，（3.14）1-ZIpβ（t，x，y）dy≤计算机断层扫描。（3.15）每x∈ 我写βsf（x）-f（x）=ZR（f（x+y）-f（x）- 1{|y|≤1} yf′（x））pβ（s，x，x+y）dy+Z{|y|≤1} ypβ（s，x，x+y）dyf′（x）- (1 -Pβs（x，I））f（x）。随时间变化的CIR默认强度17将结果替换为从属半群生成器的Phillips表示（3.4），逐项对从属子的L’evy度量ν（ds）进行积分，并在第一个积分中交换y和s的积分。结果得到表示法（3.7）-（3.10）。由于估计（3.12）-（3.15）和隶属度R（0，∞)(1 ∧s） ν（ds）<∞. 具体而言，估算（3.12）和（3.13）确保了Fubini理论在s和y积分交换中的应用是正确的，并且（3.7）中得到的积分对于每个f都是明确的∈ D（Aβ），因为它们确保密度为（3.8）的测量πβ，φ（x，y）dy是每个x的L′evy测量∈ I[与佐藤（1999）相似，第200-201页，证明（30.8）是次级列维过程的列维测量]。

估计值（3.14）确保了（3.9）中的积分得到了很好的定义[这与Sato（1999）类似，证明了次级L’evy过程的提取（30.9）得到了很好的定义]。最后，估算值（3.15）确保（3.10）中的积分得到了很好的定义，因为积分以s为s的速率趋于零→0.第（四）部分摘自Ethier和Kurtz（1986年）第162页第1.7号提案。为了从Feller生成器Aφ的显式形式中获得半鞅（Xφ，Dφ）的可预测特征，可以方便地首先将生成器改写为以下等价形式。推论3.2（生成器Aφ的替代表示）。生成器Aφ允许以下替代表示：Aφf（x，d）=γσ（x）xf（x，d）+b0，φ（x）xf（x，d）+（1）-d） kφ（x）df（x，d）（3.16）+ZR（f（x+y，d+z）-f（x，d）- y1{|y|≤1}xf（x，d）-Zdf（x，d））×∏φ（x，d；dy-dz），其中∏φ（x，d；dy-dz）=（1-d） γk（x）δ（dy）δ（dz）（3.17）+[π0，φ（x，y）-(1 -d） （π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））]dyδ（dz）+（1-d） （π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dyδ（dz），其中πβ，φ（x，y）是方程式（3.8）中定义的L′evy密度，β=0，1，δ是Dirac测度，充电a.18 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYProof。用^Aφ表示等式（3.6）-（3.10）定义的运算符。我们需要证明，对于所有x，^Aφf（x，d）=Aφf（x，d）∈ 我和d∈ {0，1}，其中Aφ是等式（3.16）中的算子。d=1的情况是直接的，^Aφf（x，1）=Aφf（x，1）=A0，φf（x，1）。

接下来考虑d=0的情况。从（3.6）我们得到了^Aφf（x，0）=γσ（x）xf（x，0）+b1，φ（x）xf（x，0）+（b0，φ（x）- b1，φ（x））xf（x，1）+kφ（x）（f（x，1）-f（x，0））（3.18）+ZR（f（x+y，0）-f（x，0）-1{|y|≤1} yxf（x，0））π1，φ（x，y）dy+ZR（f（x+y，1）-f（x，1）-1{|y|≤1} yxf（x，1））×（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy。最后一个积分可以写成zr（f（x+y，1）-f（x，1）-1{|y|≤1} yxf（x，1））（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy=ZR（f（x+y，1）-f（x，0）+f（x，0）-f（x，1）-1{|y|≤1} y(xf（x，1）-xf（x，0）+xf（x，0））×（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy（3.19）=ZR（f（x+y，1）-f（x，0）-1{|y|≤1} yxf（x，0）- φ×0，πy）-π1，φ（x，y））dy-(xf（x，1）- xf（x，0））ZR{y|≤1} y（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy.来自方程式（3.9）的|≤1} y（π0，φ（x，y）-π1，φ（x，y））dy=b0，φ（x）-b1，φ（x）。将该结果代入（3.19）并代入（3.18）并与（3.16）-（3.17）进行比较，我们确定^Aφf（x，0）=Aφf（x，0）。下一步，我们准备给出（Xφ，Dφ）的半鞅特征。关于半鞅可预测特征的定义，见Jacod和Shiryaev（2002），第76页。定理3.3[半鞅刻画（Xφ，Dφ）]。（i） 双变量Hφ-半鞅（Xφ，Dφ）具有以下可预测的特征。连续局部鞅分量Xφ，ctisCXφXφt=Ztγσ（Xφs）ds的可预测二次变化（CDφDφt=0，CXφDφt=0，因为Dφ是完全不连续的）。与截断函数（hXφ（x，d）=x1{x）相关的有限变化的可预测过程|≤1} ，hDφ（x，d）=d）isBXφt=Ztb0，φ（xφs）ds，BDφt=Zt（1-Dφs）kφ（Xφs）ds，（3.20），其中函数b0，φ（X）在方程（3.9）中定义，kφ（Xφs）在方程（3.10）中定义。

与（Xφ，Dφ）i的跳跃相关联的随机测度u（ω；dt，dy dz）的补偿器是R+×（R\\{（0,0）}），ν（ω；dt，dy dz）=∏φ（Xφt）上的可预测随机测度-, Dφt-; dy dz）dt（3.21），其测量值∏φ（x，d；dy dz）由等式（3.17）给出。（ii）关于截断函数x1{X，Xφ的L′e vy–It^o正则表示|≤1} isXφt=x+BXφt+xφ，ct+ZtZRy1{y|≤1} （uXφ（ds，dy）-νXφ（ds，dy））+ZtZRy1{y |>1}uXφ（ds，dy），其中与Xφ的跳跃相关联的随机测度uXφ（ω；dt，dy）的补偿器是R+×（R\\{0}），νXφ（ω；dt，dy）=0，φ（Xφt）上的可预测随机测度-, y） dy dt，（3.22），其中π0，φ（x，y）在等式（3.8）中定义。（iii）DφtisDφt=ADφt+Mφt20 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky的Doob–Meyer分解与鞅Mφt=Dφt-ADφ和方程（3.20）中的可预测补偿器ADφt=BDφt，因此Hφ-强度为λHφt=（1）-Dφt）kφ（Xφt）。证据（i） Hirod[2002]和Hirod[2]的两个等价于Jacionz（Hirod[2]和Hirod[2]的两个函数，使用Jacionz[2002]和Hirod[2]的两个等价于Jacionz（Hirod[2]和Hirod[2]的两个函数，Jacionz]的特征表示-f（Z）-xi≤N如果（Z）-) o毕-Xi，j≤N我jf（Z）-) oCij（3.23）-f（Z）-+ z）-f（Z）-) -xi≤nhi（z）如果（Z）-) ν是一个局部鞅。

在我们的例子中，Z=（Xφ，Dφ）是一个二维半鞅，对于任何f∈ D（A）过程（3.23）是一个鞅。将表达式（3.16）替换为（3.11），我们立即确定（Xφ，Dφ）的特征，因为这些特征是唯一的（直到一个空集）。（ii）通过观察Xφ本身是一维马尔科夫函数，其生成器为A0，φ由β=0的（3.7）给出，并通过生成器为A0，φ的（3.22）给出的νXφ来识别其可预测特性（BXφ，CXφXφ，νXφ），正如我们在（i）中针对双变量过程所做的那样。然后，根据Jacodand Sh iryaev（2002）第84页的定理2.34，Xφ的标准表示立即成立。（iii）根据Jacod和Shiryaev（2002）的定理3.15（单点过程Dφ是一类D子鞅）和Dφ=BDφ+Mφ是特殊半鞅Dφ的正则分解这一事实[Jacod和Shiryaev（2002）的命题2.29（a）]。从理论3。3，我们看到（Xφ，Dφ）是一个马尔可夫It^o半鞅或It^o过程，用C,inlar等人（1980）的术语，第165页。特别是，当γ>0时，Xφ是一个It^o跳差，具有二次变化γRtσ（Xs）ds的连续局部鞅分量和具有可预测补偿器（3.22）的跳差。当γ=0时，Xφ是纯跳跃过程。回想一下，每个It^o半鞅都可以表示为由标准布朗运动、勒贝格测度和泊松随机测度驱动的随机微分方程的解，通常定义在扩展概率空间[C,inlar和Jacod（1981a，1981b），Jaco d和Protter（2011），第2.1.4节]。如果γ>0，我们就可以把连续的局部鞅分量表示为Xφ，ct=Rt√γσ（Xφs）dBs，其中时变CIR默认强度21B是标准布朗运动（可能定义在扩展概率空间上）。

j ump测度可以用泊松随机测度表示。这种显式表示在It^o半鞅作为SDEs解的Monte Carlo模拟应用中非常有用[Jacodand Protter（2011）]。由于我们的模型是随着时间的变化而产生的，因此模拟它的另一种方法是模拟“背景”过程（X，D）和独立的从属变量T。现在，我们以便于应用的形式，为双变量过程的函数建立I t^o公式。我们首先对Xφ的函数建立It^o公式。定理3.4（Xφ的It^o公式）。假设Xφ从Xφ=X>0开始。对于任意函数f（t，x）∈ C1,2（R+×（0，∞)) 如果零是过程X或f（t，X）无法达到的边界∈ C1,2（R+×[0，∞)) 如果零是X的可达边界，那么它的公式可以写成如下形式：f（t，Xφt）=f（0，X）+Zts+γσ（Xφs）x+b0，φ（xφt）十、f（s，Xφs）ds+ZtZR（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-) -Yxf（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} νXφ（ds，dy）+ZtZR（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-))1{y}>1}uXφ（ds，dy）+ZtZR（f（s，Xφs-+ y）-f（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} （uXφ（ds，dy）-νXφ（ds，dy））+Ztxf（s，Xφs）dXφ，cs，其中uXφ是与Xφ的跳跃相关联的随机度量，而νXφ是补偿器度量（3.22）。证据这种基于特征的It^o公式可以在Jacod和Protter（2011）方程（2.1.20）第32页中找到。It^o公式的这种有用形式给出了半鞅f（t，Xφt）的标准表示，即有限变化的可预测过程（“漂移”）、有限变化的可选过程（“大跳跃”）、连续的R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky局部鞅分量，即关于toXφ，c的随机积分，以及纯粹不连续的局部m artin gale，它是关于鞅随机测度uXφ的随机积分-v XφXφ的补偿跳跃（“补偿小跳跃”）。

我们现在准备好展示双变量过程的It^o公式。由于分解f（t，Xφt，Dφt）=f（t，Xφt）+（1- Dφt）（f（t，Xφt）-f（t，Xφt））和定理3。4.给出产品的^o公式（1）是足够的-Dφt）f（t，Xφt）。定理3.5[关于（Xφ，Dφ）的It^o公式]。假设（Xφ，Dφ）从Xφ=X>0开始，Dφ=D∈{0, 1}. 对于任意函数f（t，x）∈C1,2（R+×（0，∞)) 如果零是扩散过程X orf（t，X）无法达到的边界∈C1,2（R+×[0，∞)) 如果零是X的一个可达到的边界，我们有（1）-Dφt）f（t，Xφt）=（1）-d） f（0，x）+Zt（1）-Dφs-)s+γσ（Xφs）x+b1，φ（xφt）十、-kφ（Xφs）f（s，Xφs）ds+ZtZR（1）-Dφs-)（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-) -Yxf（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} ^ν（ds，dy）（3.24）+ZtZR（1）-Dφs-)（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-))1{y}>1}u（ds，dy）+Zt（1-Dφs-)xf（s，Xφs）dXφ，cs-Zt（1）-Dφs-)f（s，Xφs）-) dMφs+ZtZR（1-Dφs-)（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} ^u（ds，dy）- ^ν（ds，dy）），其中我们引入了一个随机测度，与那些与Dφ的跳跃不一致的Xφ的跳跃相关，^u（ω；ds，dy）=Xu{Xφu（ω）6=0}{Dφu（ω）=0}δ（u，Xφu（ω））（ds，dy），及其压缩测度^ν（ω；ds，dy）（3.25）=[π0，φ（Xφs-, y）-(1 -Dφs-)（π0，φ（Xφs）-, y）-π1，φ（Xφs）-, y） ）]dy ds。随时间变化的CIR默认强度。