具有双边均值回复跳跃的时变CIR默认强度

如果零是一个瞬时反射边界，则Neumann型边界条件额外施加于零[Ethier and Kurtz（1986），第367页，等式（1.11），q=0]。我们还注意到，当零和完整都是自然边界时，半群离开空间C（（0，∞)) C（[0，∞]) 在（0，∞) 零极限极限→0f（x）=0和limx→0f（x）=0不变量，是其上的Feller半群。如果零不是一个自然边界，而单位是，那么半群是C上的Feller（[0，∞)).接下来，我们假设OUR概率空间支持一个单位平均指数随机变量E~ Exp（1）独立于布朗运动B（因此，X）。定义一个随机时间ζζ：=infT≥0:Ztk（徐）杜≥E,其中k（x）≥ 0是在（0，∞). 如果零是一个瞬时反射边界，我们假设有一个有限的limitlimx→0k（x）<∞. 如果零是不可能达到的，我们不会对k（x）的行为做任何假设→ 0.在这些假设下，Rtk（Xu）du<∞ a、 s.对于任何初始条件X=X>0[根据我们的假设，Xdoes不会将矿脉扩展到单位，并且k（X）在（0）上是连续的，∞) 如果零是X]的可达到边界，则在零处有一个有限极限。我们对信用风险应用感兴趣的函数k（x）的关键示例给出了无示例2。2–2.6在本节末尾。我们用（Pβt）t表示≥0与β>0，Pβtf（x）=Ex[e]的正连续双泛函tβk（Xu）du相关的Feyn-man–Kac半群-βRtk（Xu）duf（Xt）]。（2.3）在我们的假设下，它是C（[0，∞])生成函数为βf（x）=Af（x）-βk（x）f（x）与结构域D（Aβ）D（A）。

更准确地说，D（Aβ）={f∈C（[0，∞]) ∩C（（0，∞)) : Aβf∈ C（[0，∞])} 如果零是一个不可达到的边界，对于不同时间变化的CIR违约强度，以βk（x）的速率终止；参见Borodin和Salminen（2002年），第16-17页，了解Feller关于一维差异与杀戮的边界分类。如果零瞬时反映了f与以βk（x）速率杀灭的扩散，则在零处施加诺依曼型边界条件[Ethier and Kurtz（1986），第367页，等式（1.11），q=0]。接下来，我们将事件指示过程（单点过程）（Dt）t与随机时间ζ联系起来≥0定义的字节数：=1{ζ≤t} ，t≥ 0，用D=（Dt）t表示≥0其（已完成）自然过滤，并确定扩大过滤G=（Gt）t≥0GT=FBt时∨Dt。这种过滤是含有FBI的小磁石，因此随机时间ζ是停止时间；参见Jeanblanc、Yor和Chesney（2009）第7.3.3节。根据Jeanblanc，Yorand Chesney（2009），提案5.9.1.1和备注7.5.1.2，我们观察到过滤和FBG，FBG、 满足H假设。因此，anyFB-lo-cal鞅也是G-局部鞅。我们现在将研究双变量过程（Xt，Dt）t≥状态变量X和事件指示器D的0。给定我们的假设，对于任何初始条件X=X>0和D=D∈{0,1}，（X，D）是一个马尔可夫半鞅，取值于R+×{0,1} R（D=1对应于ζ=0，当D=1时，对于所有t>0，henceDt=1）。我们首先描述了它的马尔可夫性质。为此，观察任何函数f（x，d）∈ C（[0，∞] ×{0，1}）可以写成f（x，d）=f（x）+（1）的形式-d） （f（x）-其中f（x）：=f（x，0）∈C（[0，∞]) an df（x）：=f（x，1）∈C（[0，∞]).定理2.1[对（X，D）的马尔可夫刻画]。

（i） 双变量过程ss（X，D）是一个Feller过程，其Feller半群（Pt）t≥0Actions onf∈C（[0，∞] 根据toPtf（x，d）=Ptf（x）+（1-d） Pt（f）-f） （x），（2.5）式中f（x）=f（x，0）∈ C（[0，∞]), f（x）=f（x，1）∈ C（[0，∞]), （Pt）t≥0是C（[0，∞]) 和（Pt）t≥0是C（[0，∞]).（ii）Feller半群（Pt）t的极小生成元≥0is givenbyAf（x，d）=Af（x）+（1-d） A（f）-f） （x）=Af（x，d）+（1）-d） k（x）（f（x，1）-f（x，0）），其中a和a是（Pt）t的生成元≥0和（Pt）t≥分别为0。8 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKY（iii）如果f（x，d）∈ D（A）[即，f的形式为（2.4）和f，f∈ D（A）]和（X，D）从X=X>0和D=D开始∈{0,1}，那么进程mft:=f（Xt，Dt）-f（x，d）-ZtAf（Xs，Ds）是一个G-鞅。证据（i） 对于所有0≤s<t，我们有E[f（Xt，Dt）|Gs]=E[（1-Dt）（f）-f） （Xt）|Gs]+E[f（Xt）|Gs]=（1）- Ds）E[E]-Rtsk（徐）杜（f）-f） （Xt）| FBs]+E[f（Xt）|FBs]=（1）- Ds）Pt-s（f）-f） （Xs）+Pt-sf（Xs）=Pt-sf（Xs，Ds）。第二个等式是信用风险强度建模的标准结果[e.g.，Jeanblanc，Yorand Chesney（2009），推论7.3.4.2，或Bielecki an d Rutkowski（2004），推论5.1.1]，第三个等式来自于X的马尔可夫性质和时间同质性。自算子（Pt）t≥0和（Pt）t≥0在C（[0，∞]), 然后，操作员（Pt）立即≥0在C（[0，∞] × {0, 1}). 因此，双变量过程（X，D）是一个Feller过程，其半群作用于C（[0，∞] 方程（2.5）给出了×{0，1}）。（ii）根据方程式（2.5）的表达式A，给出了A和A。第（iii）部分根据Ethier和Kurtz（1986）的命题1.7，第162页。

由于X是一个连续半鞅，D是一个单点过程，双变量过程（X，D）是一个特殊的半鞅。我们可以将时间函数和双变量过程的iteIt^o公式写成有用的形式，将过程f（s，Xs，Ds）分为一个可预测的有限变量过程、一个连续的局部鞅，它是关于布朗运动的随机积分，以及一个不连续的马丁鞅，它是关于补偿单点过程的积分。定理2.2[关于（X，D）的公式]。（i） 单点过程d具有以下Doob–Meyer分解：Dt=At+Mt，At=Zt（1-Ds）k（Xs）Ds，Mt=Dt-At，其中A是D的可预测G-补偿器，因此λGt:=（1）-Dt）k（Xt）是它的G-强度，M是G-鞅。时变CIR默认强度9（ii）假设半鞅（X，D）从X=X>0和D=D开始∈ {0, 1}. 对于任意函数f（t，x，d）=f（t，x）+（1- d） （f（t，x）- f（t，x））与fi（t，x）∈C1,2（R+×（0，∞)) 如果零是过程ss X或fi（t，X）无法达到的边界∈C1,2（R+×[0，∞)) 如果X可达到零，则过程f（t，Xt，Dt）是一个特殊的G-半鞅，其正则分解为可预测的有限变分过程、连续局部鞅和纯间断鞅，f（t，Xt，Dt）=f（0，X，d）+Zt(s+A）f（s，Xs，Ds）Ds+Ztσ（Xs）xf（s、Xs、Ds）dBs+Zt（1）-Ds-)（f（s，Xs，1）- f（s，Xs，0））dMs。证据（i） 这是一个标准结果；参见Jeanblanc，Yor和Chesney（2009）中的引理7.3.4.3（ii），第421页。（ii）由于X是非负s-Martin gale，因此只需要为X定义函数fi（t，X）≥ 0

为了更好地定义It^o公式中的所有术语，当X严格为正时，仅用C1,2（R+×（0，∞)) , 当X可以达到零F，且其在X中的一阶导数和二阶导数以及在t中的一阶导数需要有细分数作为X→ 0，所以fi∈C1,2（R+×[0，∞)). 有了这些观察结果，这种形式的It^o公式立即继承了Jacod（1979）定理3.89第109页中关于特殊半鞅的It^o公式的形式。示例2.2（CIR强度模型，示例2.1续）。假设κ、θ、σ>0，则CIR扩散具有伽马稳定密度π（x）=abxb-1Γ（b）e-ax，b:=2κθσ，a:=2κσ。（2.6）也就是说，对于所有x∈ I和a，b>0，limt→∞Pt（x，dy）=π（y）dy.有参数选择时，limt→∞Ex[Xt]=RIyπ（y）dy=θ，θ被称为长RUN平均值，κ被称为CIR状态变量的平均回复率。在CIR强度模型中，设k（x）=x。然后，停止时间ζ的G强度为λGt=（1）- Dt）Xt，并且指示符p进程Dt有aG补偿At=Rt（1- Ds）Xsds。如果D被解释为违约指标，那么（在零恢复的假设下）即时信用利差等于G-强度λGt。相应的违约强度模型可以追溯到杜菲和辛格尔顿（1999年）。由于零要么是入口，要么是瞬时反射边界，且其本质是10 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYa自然边界，因此CIR Feynman–Kac半群（Pt）t≥0是C（[0，∞)) [C（0，∞)), 当Feller条件满足且零为自然边界时]。它与CIR利率模型中的半群相吻合。循环半群（Pt）t密度的显式表达式≥0和the CIRFeynman–Kac半群（Pβt）t≥第6节给出了β>0的0。例2.3（倒数CIR强度模型）。

让X按照示例2中的流程进行操作。1并假设伐木条件满足，但取k（x）=1/x，而不是k（x）=x。这种选择会导致倒数强度模型。Andreasen（2001）将其应用于信用建模。将It^o的公式应用于过程Yt=1/Xt（在满足条件时进行调整，因为在这种情况下，过程保持非常正），我们得到了Y的SDE，Yt=Y+Zt|κ（|θ）-Ys）Ysds-ZtσY3/2sdb，其中Y=Y=1/x和∧κ=κ/（κθ）- σ） θ=κθ- σ. SDE具有二次dr if t和所谓的3/2波动率。当|θ>0和|κ>0时，CIR过程X需要κθ>σ，这种SDE也出现在Cox、Ingersoll和Ross（1985）中作为瞬时通货膨胀率的模型，以及Lewis（1994）和Gaohn（1999）中作为瞬时名义利率的模型（所谓的3/2模型）。在这种情况下，过程有一个稳定的密度π（y）=αβΓ（β）y-β-1e-α/y在这里α：=2|κ|θσ，β：=2（σ+|κ）σ。该模型中的G-强度为λGt=（1）- Dt）Yt=（1）- Dt）/Xt，其中yi表示3/2扩散，或等效地X表示循环扩散。半群（P）t≥0在这种情况下可以明确获得，并且与3/2利率模型中的pricingsemigroup一致。示例2.4【二次或nstein–乌伦贝克（OU）模型】。考虑σ（x）=2σ的SDE（2.1）√x、 b（x）=2κ（a+θ）√十、-x） （2.7）σ>0，κ>0，θ≥ 0，a=σ/（2κ）。这个S DE类似于C IRSDE，但有一个额外的术语√在drif t中的x。让Yt成为求解SDE Yt=y+Rtκ（θ）的过程-Yu）du+σBt。将其^o公式应用于OU p过程的方，Xt=Yt，我们验证X满足SDE的系数（2.7）。

费曼-Kac半群（Pt）t≥在Beaglehole和Tenney（1992）和Jamshidian（1996）研究的二次O U利率模型中，二次O U模型的0与定价半群一致。随时间变化的CIR违约强度11例2.5[Carr and Linetsky（2006）JDCEV信贷权益模型]。Carr和Linetsky（2006）的违约扩展恒定方差弹性（JDCEV）差分模型将A公司违约前的股价建模为σ（x）=axβ+1，b（x）=（r）的差分-q+k（x））x，k（x）=b+cσ（x）=b+cax2β，其中a>0表示波动性尺度，假设方差β<0的恒定弹性为负，以反映杠杆效应（股价下跌时股价波动性增加），r≥ 0是无风险利率，q≥ 0是分割产量，k（x）是定义JDCEV模型中默认强度的函数，其中b≥0是常数部分，c是常数部分≥0是违约强度对股价瞬时方差的敏感性。k（x）xis加入漂移，以补偿违约率的跃升，以确保在风险中性措施下，已投资且违约的贴现股票价格为鞅。因此，在JDCEV模型中，存在违约风险的公司的股价为St=（1）-Dt）Xt，其中Dt是违约指标（当公司违约时，股价降至零）。G-强度为λGt=（1）-Dt）（b+caX2βt）。对于任何大于0的a，u：=r-q+b∈ R、 β<0和c∈[(1/2 + β)+, ∞), JDCEV SDE可以简化为CIR SDE，如下所示≥0是Y=Y>0且参数满足κθ>0和σ>0的C IR SDE的唯一强解。尽管如此，t≥ 0在初始条件X=X=y1/（2 |β|）大于0的情况下，定义一个新工艺Xt=（Yt）1/（2 |β|）。

根据It^o的公式（由于|β|>0，该应用程序得到了验证），该过程用a=σ2 |β|，u=-κ2 |β|，c=1/2+|β|（2κθσ）- 1). 由于我们对非负违约强度非常感兴趣，我们提出了条件1/2+|β|（2κθσ）-1) ≥ 0.当CIR过程Y满足Feller条件时，2κθ≥ σ、 JDCEV参数满足c∈[1/2, ∞). 在这种情况下，零处的边界是CIR和JDCEV差异的入口。当n2κθ∈ （0，σ），得出的JDCEV参数满足c∈((1/2 + β)+, 1/2).在这种情况下，零处的边界瞬时反映了CIR和JDCEV。在这两种情况下，在CIR变量y中，杀伤率k降低到k（x）=b+ca/y，因此JDCEV-FK半群（Pt）t≥0在例2的倒数CIR模型中简化为Feynman–Kac半群。3（加上常数b）。最后，我们指出，当-1/2<β<0和c∈[0，（1/2+β）+（在这种情况下，0是一个出口边界），对于这组参数，它不能被简化为CIR扩散。由于在本文中我们不考虑出口边界，所以在本文中我们不考虑这种情况。示例2.6[Lin etsky（2006）credit equity model]。同样在信贷权益模型的背景下，莱恩茨基（2006）研究了Black–12 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKYScholes–Merton（BSM）模型的一个扩展，其中bankrup tcy的致死率是状态变量的负幂。股票价格的违约前动态由σ（x）=σx，b（x）=（r）决定-q+k（x））x，k（x）=αx-p、 其中σ>是常数波动率，r≥ 0是无风险利率，q≥ 0是分割收益率，k（x）是指定为股价负幂的杀戮率，α>0，p>0。

如E x ample2。5.killingrate k（x）被加入漂移中，以补偿违约率的跃升，这使得股票价格在违约时一文不值。通过将k（x）指定为股票价格的负幂，该模型能够在股票期权价格中显示隐含的效用偏斜，杀戮率规格的参数α和p控制偏斜的斜率，因此，在隐含波动率与信用利差之间建立联系（随着股价下跌，隐含波动率和违约概率增加）。在这种情况下，股价为St=（1）-Dt）xt，该模型中的违约G强度为λGt=（1）-Dt）αXpt。3.次级差异默认强度模型。接下来我们假设我们的概率空间(Ohm, F、 P）还支持L’evy从属（Tt）t≥0独立于布朗运动B和指数随机变量E，因此独立于双变量过程（X，D）。再次指出，L’evy从属函数是一个非减损的L’evy过程，也就是说，一个L’evy过程具有e边的正跳变和非负漂移，并且没有差异成分。L′evy从属（Tt）t的拉普拉斯变换≥0由L’evy–Khintchine公式[e]给出-λTt]=Z[0，∞)E-λsπt（ds）=e-tφ（λ）与φ（λ）=γλ+Z（0，∞)(1 -E-λs）ν（ds）。这里πt（ds）是跃迁核，φ（λ）是L′evy指数，γ≥ 0是非负drif t，而ν（ds）是满足可积条件r（0，∞)（s）∧1） ν（ds）<∞ 【关于从属关系的标准参考文献是贝尔托（1996年、1999年）、佐藤（1999年）和席林、宋和冯德拉·切克（2010年）】。例3.1（稳定和相关从属关系）。金融应用中重要的一系列子排序器由以下三个参数族L’evy度量定义：ν（ds）=Cs-α-1e-ηsds（3.1），C>0，η>0，α<1。

对于α∈（0，1）这些是所谓的回火稳定从属[指数衰减的α-稳定时间变化的CIR默认强度的对应物，13具有ν（ds）=Cs的从属-α-1ds]。特例α=1/2是逆高斯过程[Barndorff-Nielsen（1998）]。极限情况α=0是伽马过程[Madan，Carr和Chang（1998）]。具有α的从属∈ [0,1）是有限的活动过程。α<0的从属过程是具有伽马分布跳跃大小的复合泊松过程。具有L′evy测度eν（ds）=ωηe的复合泊松过程-带有指数跳跃的ηsds是α=-1和C=ωη，这里ω是j ump到达率，1/η是指数跳跃大小分布的平均值。拉普拉斯指数由φ（λ）给出=γλ -CΓ(-α)[(λ + η)α-ηα]，α6=0，γλ+cln（1+λ/η），α=0，其中Γ（x）是伽马函数。现在我们用一个从属变量T来改变前一部分的双变量过程（X，D）。也就是说，我们定义了一个新的双变量过程（Xφt，Dφt）t≥0byXφt:=X（t（t）），Dφt:=D（t（t））（3.2）并假设（Dφt）t≥0是违约指标过程（即违约时间是第一次Dφ等于1），Xφ是模拟债务人信用状况的状态变量。我们还将时间变化过滤定义如下。将逆苏伯丁过程定义为右逆（Lt:=inf{s≥0:Ts>t}）t≥0.既然T是c\'adl\'ag，那么L也是。让L=（Lt）T≥0完成自然过滤。设H=（Ht）t≥0表示放大的过滤器，Ht=Gt∨Lt，其中Gt指过滤G=（Gt）t≥第2节第0节。然后（Tt）t≥0是H-停止时间的增加族，我们可以定义时间变化的过滤Hφ=（Hφt）t≥按φht0t计算≥ 0.时变双变量过程（Xφt，Dφt）t≥0显然是Hφ适应的和c\'adl\'ag。提议3.1。过程（Xφt，Dφt）t≥0是Hφ-半鞅。证据