具有双边均值回复跳跃的时变CIR默认强度

drif t中的函数b1，φ（x）由方程（3.9）给出，β=1。与理论3类似。6.很容易展示以下内容。命题4.1（Zφ的特殊性条件）。Iflimt→∞π（y）π（y）π∞, 那么Zφ是一个特殊的半鞅。证据回想一下，对于Feynman–Kac半群Pwe的密度[cf.R evuz and Yor（1999），第358页]p（t，x，y）=Ex[e]-Rtk（Xu）du |Xt=y]p（t，x，y）≤ 每个x，y的p（t，x，y）∈I和t>0。在我们的假设下，这意味着|∧|y |）π1，φ（x，y）dy≤RR（| y）|∧|y|）π0，φ（x，y）dy<∞, 其中，第二个不等式来自于定理3的证明。6.因此Zφ在命题2中是特殊的。Jacod和Shiryaev（2002）第29页，第82页。32 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky在特殊Zφ的情况下，ZφreadsZφt=x+AZφt+Zφ，ct+ZtZRy（uZφ（ds，dy）的正则分解-π1，φ（Zφt）-, y） dy ds）具有可预测的有限变化partAZφt=Ztγb（Zφt）+Z（0，∞)ZRyp（u，Zφt，Zφt+y）dyν（du）关于截断函数hXφ（x）=x，连续局部鞅部分可以表示为Zφ，ct=Rt√γσ（Zφs）db与带补偿器π1φ（Zφt）跳跃的纯间断局部鞅-, y） 迪兹。大多数流行的短期利率差异，如CIR、3/2等，由于均值回归，具有静态密度。根据命题4。1.相应的次级短期利率模型由跳差或纯跳过程Zφ驱动，Zφ是特殊的半鞅。汇率过程取bert=kφ（Zφt），其中kφ（x）由方程（3.10）给出，货币市场账户为At=eRtrsds=eRtkφ（Zφs）ds。

定价半群就是半群（P1，φt）t≥0带生成器A1，φ，Feynman–Kac半群（Pt）t的从属半群≥0对于生成器A，特别是对于风险冻结息票债券，我们有p（Zφt，t；t）=P1，φt-t1（Zφt）=P1，φt-t（Zφt，I）。现在，只要假设利率模型和违约强度模型是独立的，就可以立即对组合模型进行扩展，该模型包括次级差异无风险利率模型和次级违约强度模型。以增加复杂性为代价，可以进一步引入依赖性，方法是从独立因素开始，每个独立因素都遵循从属差异，然后通过独立因素的线性组合将它们组合到多维模型中，或者如门多萨·阿里加和林茨基（2013）所述，通过多元从属关系。从属半群的本征函数展开。我们现在展示如何显式地计算半群（Pβ，φt）t≥用本征函数展开法。我们从观察f或任何f开始∈Cc（I）（Pβt）t的最小生成元Aβ≥0可以使用标度和速度密度（3.26）Aβf（x）=m（x）以形式自伴形式重新书写f′（x）s（x）′-βk（x）f（x）。时变CIR默认强度33实际上，Aβ可以扩展为I平方上函数的Hilbert sp aceL（I，m）中的自伴算子，可与速度测度m（dx）=m（x）dx积，并赋予内积（f，g）=ZIf（x）g（x）m（x）dx。此外，（Pβt）t的限制≥0到C（[0，∞]) ∩ 然后，L（I，m）可以推广到Hilbert空间L（I，m）中对称压缩的强连续半群。因此，Hilbert空间中自伴算子的谱定理可以用来写出Aβ和（Pβt）t的谱分解≥0

一维效应的光谱表示可以追溯到McKean（1956）的经典著作[另见It^o an Dmcken（1974），第4.11节]。更一般地说，一维差分是对称马尔可夫过程的例子，其转移半群对希尔伯特空间L（E，m）进行对称扩展，其中E是马尔可夫过程的状态空间，m是具有完全支持的正Radon测度。福岛、大岛和武田（2011）以及陈和福岛（2011）是该主题的标准参考文献。在一维差的情况下，E=I是实线上的间隔，而不是速度测量值。Schilling、Song和Vondraˇcek（2010）在第10章和第11章中对谱定理及其应用进行了详细阐述。关于谱展开法在函数扩散模型中的应用的调查可在Li和Linetsky（20042008）中找到，其中给出了大量参考文献。次级分化模型在金融领域的最新应用可在Boyarchenko和Levendorskii（2007）、Mendoza Arriaga、Carr和Linetsky（2010）、Li和Linetsky（2013a、2013b）、Mendoza Arriaga和Linetsky（2013）、Lim、Li和Linetsky（2012）中找到。这里我们仅就本论文的需要做一个简要的介绍。为了计算的简单性，我们将自己限制在特殊情况下，当扩散X和函数k是（Pβt）t≥L（I，m）中的0是β的迹类半群≥ 0，也就是说，对于所有t>0和β≥ 0.回想一下，对于可分离Hilbert空间H上的正半限定算子a，a的迹由tr a=P定义∞n，n=1∈ [0, ∞], 式中，η是H中的一些正交基。tr ace独立于所选的正交基；参见里德和西蒙（1980），第206页。

正半有限算子称为trace classif，且仅当其轨迹为有限时。半群算子Pβ是正定义的。在假设所有t的Pβ皮重迹类均大于0的情况下，每个Pβt以及半群（Pβt）t的生成元Aβ都是迹类≥L（I，m）中的0，与特征值（e）完全离散-λβnt）n≥1（t>0）和34 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKY(-λβn）n≥1分别为和Tr Pβt=∞Xn=1e-λβnt<∞（5.1）对于所有t>0；参见戴维斯的引理7.2.1（2007）。这里0≤ λβ≤ λβ≤ ··· 区域按递增顺序排列，并根据多样性重复。然后，函数Pβtf（x）具有形式Pβtf（x）的本征函数展开式=∞Xn=1fβne-λβntаβn（x），fβn=（f，аβn）（5.2）对于任何f∈ L（I，m）和所有t≥ 0，其中φβ是第n个本征函数pβtφβn=e-λβntаβ与Aβаn=-λβnаβn.（5.3）本征函数（аβn）n≥1在L（I，m）中形成一个完整的正交基，fβ是该基的n次展开系数。对于迹类半群，t>0的每个Pβtwi都允许一个对称的Pβm（t，x，y）∈ L（I×I，m×m）关于m的测量值，即pβm（t，x，y）=pβm（t，y，x），pβtf（x）=对于f的RIpβm（t，x，y）f（y）m（dy）∈ L（I，m），andRI×I（pβm（t，x，y））m（dx）m（dy）<∞], 具有以下双线性扩展：pβm（t，x，y）=∞Xn=1e-λβntаβn（x）аβn（y）。（5.4）（5.2）和（5.4）中的展开式通常分别在L（I，m）和L（I×I，m×m）范数下收敛。此外，由于对于每个t>0的一维效应，根据McKean（1956）的结果，关于速度度量的核pβm（t，x，y）在x和y（和t）上是连续的，因此每个特征函数|β是连续的，并且满足估计|βn（x）|≤所有n，x和t>0的eλβnt/2qpβm（t，x，x）。

此外，对于任何f∈ L（I，m），展开式（5.2）在x上对每个t>0的紧集均匀收敛到函数Pβtf（x）在x上连续，双线性展开式（5.4）在紧集上均匀收敛；参见戴维斯定理7.2.5（2007）。McKean（1956）获得了与速度测量有关的一维扩散密度的光谱表示；另见It^o和McKean（1974），第4.11节。一般来说，光谱包含一些连续时间变化的CIR默认强度，光谱表示是关于光谱测量的积分。尽管如此，金融应用中产生的许多差异都是纯离散谱，其特征函数和特征值明确已知，满足所有t>0的跟踪类条件（5.1），包括OU、CIR、CEV和JDCEV差异；参见surveysLinetsky（2004年、2008年）和其中的参考资料，了解融资申请。现在我们总结了关于次坐标半群（Pβ，φt）t的本征函数展开的主要结果≥0在第3节中定义。定理5.1。假设半群（Pβt）t≥0第2节定义了具有特征值和特征函数e的类-λβn和βn（x）。进一步假设本征函数有界|~nβn（x）|≤每个紧集K上的CβK（5.5）I与Cβ有点依赖于n，但可能依赖于K。

设T是拉普拉斯指数满足以下条件的所有T>0的从属函数：∞Xn=1e-φ（λβn）t<∞.（5.6）然后是从属半群（Pβ，φt）t≥0是L（I，m）上对称压缩的强连续半群，所有t>0且特征值为e的迹类-φ（λβn）和归一化本征函数φβn（x），并且在x，y密度中对速度度量m（dx）是连续的，由双线性展开式pβ，φm（t，x，y）给出=∞Xn=0e-φ（λβn）tаβn（x）аβn（y）（5.7）对于所有t>0，在I×I的紧集上一致收敛于x，y。每f∈L（I，m）和t>0函数Pβ，φtf（x）具有本征函数展开式Pβ，φtf（x）=∞Xn=1e-φ（λβn）tfβnаβn（x），fβn=（f，аβn）（5.8）在I中的紧集上在x中一致收敛。在本征函数аβn（x）上没有界（5.5）和在从属函数的拉普拉斯指数上的迹类条件（5.6），本征函数展开式（5.7）-（5.8）通常分别在L（I×I，m×m）和L（I，m）中收敛，但不一定一致。特征函数的界和从属函数的迹类条件足以保证36 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky一致收敛。对于许多金融应用中重要的扩散，如与这些扩散相关的OU、CIR、CEV、JDCEVand模型，本征函数的界是满足的。情况（5.6）也被证明是温和的，并在许多金融应用中得到满足。例如，它适用于示例3.1中带有α的回火稳定从属函数∈ （0，1）当特征值在特征值数中线性增长时，如OU、CIR、CEV和JDCEV微分的情况。

实际重要性的关键观察结果是，在本征函数展开法的上下文中，从属只是用新的本征值φ（λn）替换本征值λnw，而原始半群和从属半群共享相同的本征函数[与（5.3）相比]、Pβ、φtβn=e-φ（λβn）tаβ与Aβ，φаβn=-φ（λβn）νβn.（5.9）因此，如果原始se半群的本征函数展开已知，那么从属半群的本征函数展开也立即已知。这一事实在博希纳（1949）的原著中已经指出；见等式（11）。这使我们能够将金融领域的经典扩散模型（如OU、CIR、CEV等）的分析可处理性扩展到具有跳跃的时变（从属）模型。这一观察结果已被应用于李安·莱恩茨基（2013b）的次级JDCEV过程、门多萨·阿里加（2010）、卡尔和莱恩茨基（2010）、门多萨·里亚加（2013）和莱恩茨基（2013）的次级JDCEV过程，以及本论文第6节的次级CIR违约强度。应用半群（Pβ，φt）t的本征函数展开式≥0，β=0，1，以信用敏感证券的定价为准，假设支付fi（x）∈在方程（4.1）中，我们立即得到值函数（4.2）的本征函数展开式，f（t，Xφt，Dφt；t）=e-r（T）-（t）∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） fn~nn（Xφt）（5.10）+e-r（T）-（t）∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） f0-1n（1-Dφt）φn（Xφt），膨胀系数为f0-1n=（f）-f、 ~nn）和fn=（f，~nn）。（5.11）我们注意到，本征函数展开具有以下概率解释。

由于本征函数性质（5.9），每个过程{eφ（λn）t~nn（Xφt），t≥0}和{eφ（λn）t（1）-Dφt）φn（Xφt），t≥0}是Hφ-鞅。因此，本征函数展开可以看作是鞅展开。特别是当f（x）=1时，随时间变化的CIR默认强度∈ L（I，m）和f（x）=0，我们得到了生存概率q（t，xφt，Dφt；t）=（1）的本征函数展开式-Dφt）∞Xn=1e-φ（λn）（T）-t） fn k n（Xφt），（5.12）fn=（1，k n）。我们注意到，由于静态密度的存在，1∈ 亚红外模型中的L（I，m），以及许多其他默认强度模型中的L（I，m），生存概率有一个本征函数表达式。我们还注意到，在速度测量是对I的有限测量的情况下，常数不在L（I，m）中。然而，有时候，当/∈ L（I，m），P1，φt1∈ 如果半群的性质为p1，φtCb（I），则t>0的L（I，m） L（I，m）表示t>0。在本节结束时，我们观察到，可违约零息债券的信用sp read的长期渐近性与生成器A1，φ，S的负的主特征值简单相等∞:= 极限→ ∞S（t，Xφt；t）=φ（λ）。这直接源于信用利差（4.4）的定义和生存概率（5.13）的特征函数展开结构。具有双边均值回复跳跃的亚红外强度模型。现在我们回到例子2的CIR模型。1和2.2。我们从双变量过程（X，D）开始，其中X是一个循环微分，D是一个单点过程，补偿器在=Rt（1）处-Ds）Xsds和time使用从属项进行更改。我们将得到的过程（Xφ，Dφ）称为次级CIR（SubCIR）默认强度模型。

该模型中的默认时间τ是第一次默认指标Dφ等于1，其默认强度过程为λφt=（1）-Dφt）kφ（Xφt）。我们记得在I=（0，∞), 如果Feller条件满足，那么零是不可访问的，或者I=[0，∞), 如果伐木条件不满足，则零瞬时反射，具有固定密度（2.6）。我们选择xin定义速度密度（3.26），使m（x）=π（x）[即，边缘（x）dx=1]。那么无论如何≥ 0半群（Pβt）t≥对于由pβm（t，X，y）=ρ（b）给出的平稳分布π（y）dy，由（2.3）定义的微分方程X和k（X）=βX具有对称密度βm（t，X，y）√xyσsinh（tρ/2）eρt/2a√xy围兜-1.2ρ√xyσsinh（tρ/2）38 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.LINETSKY（6.1）×exp（x+y）κtanh（tρ/2）-ρσtanh（tρ/2）-λβt,其中Iν（x）是第一类修正贝塞尔函数，λβ：=b（ρ- κ） ρ：=ρ（β）=pκ+2βσ，a和b在方程（2.6）中定义。贝塞尔函数的这种显式解是因为，CIR过程可以通过平方贝塞尔过程的确定性时间变化以类似的方式获得，正如OU过程可以通过非确定性时间变化从布朗运动中获得一样[cf.Jeanblanc，Yor和Chesney（2009），第357-358页，命题6.3.1.1和6.3.2.1]结合绝对时间变化贝塞尔过程的连续性关系；更多详细信息，请参见J eanblanc，Yorand Chesney（2009）第340页第6.3节。对于β=1，这种密度出现在Cox、Ingersoll和Ross（1985年）关于利率模型的开创性工作中。密度pβm（t，x，y）的双线性本征函数展开式（5.4）f可以通过应用Hille–Hardy公式，在广义拉盖尔多项式Lνn（x）的双线性展开式中展开贝塞尔函数，从表达式（6.1）中获得[cf。

埃尔德利（1953），第189页；适用于所有|t |<1，ν>-1，a，b>0]（abt）-ν/21 -特克斯-（a+b）t1- T我√abt1- T(6.2)=∞Xk=0tkk！Γ（k+ν+1）Lνk（a）Lνk（b）。因此，应用Hille–Hardy公式可以得到半群（Pβt）t的本征函数和本征值≥0及其生成元Aβ在希尔伯特空间L（I，m）中，m（dx）=π（x）dx（C-IR-s静态分布）。由于拉盖尔多项式的存在，这类半群在分析中有时被称为拉盖尔半群；参见Nowak和Stempak（2010）。以下定理总结了特征值和特征函数的显式结果。定理6.1（CIR特征函数展开）。半群（Pβt）t≥0是L（I，m）中的对称迹类se mig群，其特征值和自伴小生成元aβ负的连续特征函数由λβn=（n）给出-1） ρ+b（ρ-κ） 时间（μ）n=β-3变化强度-ρ） x）/σLb-1n-1.2xρσ,（6.4）NβN=s（N-1)!（b） n-1.ρκb/2，n=1,2，式中（a）n=Γ（a+n）/Γ（a）=a（a+1）·（a+n）- 1） 是Pochhammersymbol。此外，在每个紧致区间K上 I存在一个恒定的n依赖性，使得| |βn（x）|≤CKn-1/4或全部n≥1.证据。方程（6.3）和（6.4）中形式（5.4）的密度的双线性展开式（5.4）通过将Hille–Hardy公式（6.2）应用于方程（6.1）的右侧直接获得。然后很容易从拉盖尔多项式的性质直接验证βn（x）是算子βf=σxf′（x）+κ（θ）的本征函数-x） f′（x）-特征值λβn满足零limx边界条件的βxf（x）↓0（β（x））′/s（x）=0，其中s（x）是方程式（3.26）中定义的标度密度。对于内积m（dx）=π（x）dx，（ηβn，ηβm）=δn，m，对IGENF函数进行归一化。