具有双边均值回复跳跃的时变CIR默认强度

我们从It^o的产品规则（1）开始-Dφt）f（t，Xφt）=（1）-d） f（0，x）+Zt（1）-Dφs-) df（s，Xφs）-Ztf（s，Xφs）-) dDφs-Xs≤TDφs（f（s，Xφs）-f（s，Xφs）-)).由于理论3。第二项是ZT（1-Dφs-) df（Xφs）=Zt（1-Dφs-)s+γσ（Xφs）x+b0，φ（xφt）十、f（s，Xφs）ds+ZtZR（1）-Dφs-)（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-) - Yxf（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} νXφ（ds，dy）+ZtZR（1）-Dφs-)（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-))1{y}>1}uXφ（ds，dy）+ZtZR（1-Dφs-)（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} （uXφ（ds，dy）-νXφ（ds，dy））+Zt（1-Dφs-)xf（s，Xφs）dXφ，cs。第三项是ztf（s，Xφs）-) dDφs=Zt（1-Dφs-)f（s，Xφs）-) dDφs=Zt（1-Dφs-)f（s，Xφs）-) dMφs+Zt（1-Dφs-)f（s，Xφs）-)kφ（Xφs）-) ds。因为φzt等于-f（Xφs）-) dDφs=Xs≤tDφs-f（Xφs）-)Dφs=0，因为Dφs-Dφs=0（如果Dφs=1，那么Dφs-= 0）。在第二个等式中，我们使用了Dφ.24 R.MENDOZA-ARRIAGA和V的Doob–Meyer分解。

Linetsky第四项是（在第一个等式中，我们再次使用Dφs）-Dφs=0）Xs≤TDφs（f（Xφs）-f（Xφs）-))=Xs≤t（1）-Dφs-)Dφs（f（Xφs）-f（Xφs）-))=ZtZR（1）-Dφs-)（f（Xφs）-+ y）-f（Xφs）-))×1{| y|≤1} （~u（ds，dy）- ν（ds，dy））+ZtZR（1）-Dφs-)（f（Xφs）-+ y）-f（Xφs）-))1{y}>1}u（ds，dy）+ZtZR（1-Dφs-)（f（Xφs）-+ y）-f（Xφs）-) -Yxf（s，Xφs）-))×1{| y|≤1} ν（ds，dy）+Zt（1）-Dφs-)xf（s，Xφs）-)ZRy1{|y|≤1} ν（ds，dy），其中我们引入了一个与Xφ的跳跃相关的随机测度，该跳跃与Dφ的跳跃同时发生，μ（ω；ds，dy）=Xu{Xφu（ω）6=0}{Dφu（ω）=1}δ（u，Xφu（ω））（ds，dy）及其补偿器测度ν（ω；ds，dy）=（1）- Dφs-)（π0，φ（Xφs）-, y）-π1，φ（Xφs）-, y） ）是的。为了证明这是|u的补偿器，我们注意到对于任何Borel setB∈R\\{0}如果Dφt，则过程|ut（B）（ω）：=u（ω）（0，t]×B）是一个单点过程，等于时间t的一个点- Dφ=1（即，在时间间隔（0，t）内发生Dφ（默认值）的跳变），且p过程xφ在默认值τ时发生跳变，大小为B，Xφτ∈ B.该过程的补偿器可通过与（Xφ，Dφ）~νt（B）=ν（（0，t]×B）=ZtZB×Ryzν（ds，dy dz）=ZtZB（1）的跳跃相关的度量u的补偿器ν（3.21）轻松计算得出-Dφs-)（π0，φ（Xφs）-, y）-π1，φ（Xφs）-, y） ）dy，时变CIR默认强度25，最后一个等式是将等式（3.17）代入等式（3.21）并进行积分。然后（μt（B）- ~nνt（B））+νt（B）是ut（B）的doob–Meyer d分解。现在，我们将这些部分放在一起，使用以下等式组合相似的术语，并得出最终结果（3.24）。

首先，我们观察到uXφ=^u+u。这一点很快就从徐开始了{Xφu（ω）6=0}δ（u，Xφu（ω））（ds，dy）=Xu{Xφu（ω）6=0}{Dφu（ω）=0}δ（u，Xφu（ω））（ds，dy）+Xu{Xφu（ω）6=0}{Dφu（ω）=1}δ（u，Xφu（ω））（ds，dy），相应地，对于补偿函数νXφ=^ν+аν。这些恒等式允许我们将积分与随机测度uXφ和的相同被积函数结合起来-u和νXφ和-^^u和^ν。最后，我们使用identityZRy1{| y|≤1} ν（ds，dy）=（1）-Dφs-)ZRy1{|y|≤1} （π0，φ（Xφs）-, y）-π1，φ（Xφs）-, y） ）dy=（1-Dφs-)Z（0，∞)ZRy1{|y|≤1} （p（u，Xφs）-, Xφs-+ y）-p（u，Xφs）-, Xφs-+ y） ）dyν（du）=（1-Dφs-)（b0，φ（Xφs）-) - b1，φ（Xφs）-)) 简化漂移。由于L’evy测度R（0，∞)(1 ∧u） ν（du）<∞. 当过程f（t，Xφt，Dφt）是一个特殊的半鞅时，它简化了^o公式。推论3.3[关于（Xφ，Dφ）的It^o公式-特殊半鞅版本]。假设（Xφ，Dφ）从Xφ=X>0和Dφ=D开始∈{0, 1}. 对于任何函数f（t，x，d）=f（t，x）+（1）- d） （f（t，x）+f（t，x））与fi（t，x）∈26 R.门多萨-阿里亚加和V。

LINETSKYC1,2（R+×（0，∞)) 如果零是扩散过程ss X或fi（t，X）无法达到的边界∈ C1,2（R+×[0，∞)) 如果f（t，Xφt，Dφt）是一个特殊的半鞅，则ifzero是X的一个可达到的边界|∧|y|）π0，φ（x，y）dy<∞ 每x∈ 根据Jacod和Shiryaev（2002）的命题2.29，第82页]或函数fi（t，x）是有界的，It^o的公式可以写成以下形式：f（t，xφt，Dφt）=f（0，x，D）-Zt（1）-Dφs-)（f）-f） （s，Xφs）-) dMφs+Zt(s+Aφ）f（s，Xφs，Dφt）ds+Ztxf（s，Xφs，Dφt）dXφ，cs+ZtZR（f（s，Xφs）-+ y）-f（s，Xφs）-))（uXφ（ds，dy）-νXφ（ds，dy））+ZtZR（（f）-f） （s，Xφs）-+ y）-（f）-f） （s，Xφs）-))(1 -Dφs-)×（^u（ds，dy）- ^ν（ds，dy）），其中uXφ是与Xφ跳跃相关联的随机测度，^u是与不与Dφ跳跃相关联的Xφ跳跃相关联的随机测度，而νXφ和^ν是它们各自的比较测度（3.22）和（3.25）。发电机Aφ由等式（3.6）给出。证据结果立即来自理论3。4和3.5，生成元（3.6）的表达式，以及特殊半鞅的正则分解f；参见Jacod和Shiryaev（2002）的2.29号提案，第82页。这一有用的形式给出了特殊半鞅f（t，Xφt，Dφt）的正则分解，分解成可预测的有限差分过程（在这里考虑的马尔可夫情形中，显式地用生成元aφ表示）、连续局部鞅部分和纯间断局部鞅部分。它的一般形式可以在雅科德（1979）的Orem 3.89中找到，第109页。接下来，我们展示了次级微分Xφ的“特殊性”的以下有用的充分条件。定理3.6（Xφ的特殊性条件）。

如果扩散X有一个稳定的密度极限→∞p（t，x，y）：=π（y）随时间变化的CIR默认强度27随第一时刻的变化π（y）dy<∞, 然后，从属微分xφ是一个特殊的半鞅。证据根据Jacod和Shiryaev（2002）p age 82的命题2.29，并给出我们之前的结果，可以证明R{y |>1}|y |π0，φ（x，y）dy<∞每x∈ I.根据McKean（1956）[另见Borodin和Salminen（2002），第13页]，在我们的假设下，跃迁密度p（t，x，y）可以写成形式p（t，x，y）=m（y）pm（t，x，y），其中m是由m（x）=σ（x）s（x），s（x）=exp-Zxx2b（y）σ（y）dy,（3.26）其中，在尺度密度s（x）的定义中，x>0是一个任意点[参见Borodin和Salminen（2002）关于e维扩散的尺度函数和速度度量的定义；在我们的假设下，x的尺度函数和速度度量对于Lebesgue度量是绝对连续的，密度由等式（3.26）给出]，而pm（t，x，y）=pm（t，y，x）在t，x，y中是对称的且联合连续的。当且仅当速度密度在I和d上是可积分的，在这种情况下，π（x）=m（x）/RIm（y）dy[cf.Borodin and Salminen（2002），p age 20]是一个稳定的密度。在这种情况下，我们可以把Xφ的L′evy密度写成π0，φ（X，y）=π（X+y）Z（0，∞)pm（s，x，x+y）ν（ds）（3.27）对于所有的y6=0，我们选择xin定义速度密度，使得rim（y）dy=1和π（x）=m（x）。由于函数（0，∞)pm（s，x，x+y）ν（ds）在集{y |>1}，R{y |>1}| y |π0，φ（x，y）dy<∞ 紧跟在假设π（y）dy之后∞.

我们注意到，在默认强度模型中使用的许多微分X，如CIR、3/2和第2节示例中给出的二次模型，都具有平稳密度，因此产生的时变过程Xφ变成了特殊的半鞅。特殊半鞅Xφ的正则d分解可以写成以下形式：Xφt=X+AXφt+Xφ，ct+ZtZRy（uXφ（ds，dy）-π0，φ（Xφt）-, y） dy ds）具有可预测的有限变化partAXφt=Ztγb（Xφt）+Z（0，∞)ZRyp（u，Xφt，Xφt+y）dyν（du）ds28 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky关于截断函数hXφ（x）=x[注意，它与（3.20）关于截断函数hXφ（x）=x1{|≤1} ]的连续局部鞅部分，可以表示为Xφ，ct=Rt√γσ（Xφs）db与带补偿器π0，φ（Xφt）跳跃的纯间断局部鞅-, y） 迪兹。例2。2.我们观察到CIR扩散满足理论3的条件。6对于所有κ、θ、σ>0，没有任何关于系数的进一步条件。4.信用敏感证券的定价。我们现在讨论信用敏感证券定价的应用。我们对无摩擦套利市场做了通常的假设，假设我们使用的概率测度是市场选择的一个等价鞅测度，在这个概率测度下，债务人的违约时间τ由过程Dφ的跳跃时间来建模，即τ=inf{t≥0:Dφt=1}（Dφ=1，因此τ=0的情况对应于债务人在时间零点已经违约的情况）。因此，EMM D下的双变量过程（Xφ，Dφ）描述了我们模型中与敏感证券风险中性定价相关的所有财务信息。

我们注意到，我们的模型属于Janson、M’Bayeand和Protter（2011）违约时间的一般框架，基本信息流影响马尔可夫It^o半鞅产生的违约，违约指标Dφ的补偿相对于LebesgueMeasures（1）绝对连续- Dφs）kφ（Xφt），在我们的例子中，它是通过应用菲利普斯定理3.1明确计算出来的。考虑一种证券，如果在时间T之前未发生违约，则在到期日T>0时支付承诺款项f（XφT），如果发生违约，则在到期日支付“恢复”款项f（XφT）。我们通常允许承诺的薪酬在到期时取决于国家变量。当信贷利差的定价选项是当时信贷状态变量的函数时，就会出现这种情况，即期权到期时的信贷利差。这也是在单一信贷权益模型中对权益期权进行定价时的情况，在这里，状态变量也会驱动到违约时可观察到的股票价格。根据模型的上下文，如果我们不假设投资者在违约后可以观察到状态变量xφ，则到期时的追偿款可以被视为常数f（x）=R，或者如果模型上下文允许投资者在违约后观察状态变量，则到期时的追偿款可以被视为状态变量的函数。在某些应用中，如果状态变量在违约前驱动信用利差，或者在信贷权益建模框架中，如果状态变量在违约前驱动股票价格，则到期时的回收率被视为常数。

另一方面，如果考虑到该框架，即该公司违约时间改变了其负债的CIR违约强度29次τ，但在重组过程（如第11章）中继续运行，以及根据重组结果对索赔进行的最终追偿结算，那么，在这种应用中，将恢复建模为付款时状态变量的函数可能是有意义的。我们的数学框架可以适应两种类型的应用程序。因此，我们所考虑的证券由带分解（2.4）的付息函数f（x，d）定义，其中f（x）被解释为在到期前没有违约的情况下的承诺付款，f（x）被解释为在到期时支付的回收，如果违约发生s。单位面值的可违约零息债券是最简单的此类证券，f=1，且持续回收f=R∈[0, 1].该模型中的安全性定价遵循上一节的一般结果。我们考虑的支付函数是f（XφT，DφT）=f（XφT）- (1 - DφT）（f（XφT）- f（XφT）），（4.1）在时间T。有这种支付的证券的价格过程是f（T，XφT，DφT）=e-r（T）-t） E[f（Xφt，Dφt）| Hφt]（4.2）=E-r（T）-t） P0，φt-tf（Xφt）+（1-Dφt）e-r（T）-t） P1，φt-t（f）-f） （Xφt），其中r≥ 0是假定不变的无风险利率（但请参见本节末尾的Remark4.1）。特别是，在违约情况下，单位面值f=1且零收益率f=0的可违约零息债券的价格过程为z（t，Xφt，Dφt；t）=e-r（T）-t） Q（t，Xφt，Dφt；t），其中Q（t，Xφt，Dφt；t）是生存到时间t的生存概率，给定时间t的状态，Q（t，Xφt，Dφt；t）=E[（1-DφT）| HφT]=（1-Dφt）P1，φt-t（Xφt，I），（4.3），其中P1，φt（X，I）=P1，φt1（X）。

考虑到状态Xφ和Dφt=0，isS（t，Xφt；t）=-（T）-t） lnp1，φt-t1（Xφt）。（4.4）在到期日回收率假定为常数的应用中，f=R，定价公式s适用于tof（t，Xφt，Dφt）=e-r（T）-t） （1）-Dφt）P1，φt-tf（Xφt）（4.5）+e-r（T）-t） R（1）-Q（t，Xφt，Dφt；t）），30 R.MENDOZA-ARRIAGA和V.Linetsky以及观察该市场交易证券价格过程的投资者可以确定是否发生违约，以及从交易证券价格中过滤出违约前状态变量Xφτ。在这种情况下，当不允许收回款项支付XφT（假设在此类应用中不可观察）时，投资者的过滤小于（XφT，DφT）产生的过滤，因为Xφ仅在违约时间τ之前由投资者观察到。事实上，在这种应用中，投资者的过滤可以通过（Yφt，Dφt）生成的过滤来识别，其中过程Yφt:=（1- Dφt）Xφt在默认情况下跳到零并保持不变。应用定理3.5形式的^o公式，该半鞅具有正则表示[Yφ=（1-Dφ）Xφ]Yφt=Yφ+Zt（1）-Dφs-)（b1，φ（Yφs）-) - kφ（Yφs）-)Yφs-) ds+ZtZRy1{| y |>1}（1）-Dφs-)^u（ds-dy）（4.6）+ZtZRy1{y|≤1}(1 -Dφs-)^u（ds-dy）-π1，φ（Yφs）-, y） dy-ds）+Zt（1）-Dφs-) dXφ，cs-ZtYφs-dMφs。这个正则表示将Yφ分解为默认值之前的“漂移”、“大跳跃”，这是默认值之前带有补偿度量（1）的“小跳跃”的纯间断局部鞅-Dφs-)π1，φ（Xφs）-, y） dy ds[从方程（3.25）中观察（1-Dφs-)^ν（ds，dy）=（1）-Dφs-)π1，φ（Xφs）-,y） dy ds]，一个连续的局部鞅分量，可以进一步表示为rt（1）-Dφs-)√γσ（Yφs）-) dBs表示布朗运动，最后跳到零（默认项）-RtYφsdMφs）。

在cr编辑权益上下文中，一个识别过程是可违约股票价格过程的两倍；例如，关于多企业案例，请参见门多萨·阿里亚加、卡尔和L·伊内茨基（2010年）以及门多萨·里亚加和莱内茨基（2013年）。我们进一步指出，Lorig、Lozano Carbass’e和Mendoza Arriaga（2013）将股价过程的规范表示法（4.6）应用于具有破产风险的个别股票的方差互换估值。到目前为止，我们已经考虑了到期追偿。违约时的恢复也可以在我们的框架内处理。如果违约发生在到期日T之前，则投资者在违约时间τ收到恢复，并等于违约时间R（Xφτ）的状态变量Xφτ的函数。根据creditrisk modeling中的标准计算[参见J eanblanc，Yor和Chesney（2009）中的Lemma 7.3.4.3（i），时间变化的CIR违约强度31页421]，到期前t时的此类恢复值由[e]给出-r（τ）-t） R（Xφτ）|Hφt]=（1）-Dφt）ZTte-r（u）-t） P1，φu-t（R·kφ）（Xφt）du+er（t-τ） R（Xφτ）Dφt，其中（R·kφ）（X）=R（X）kφ（X）。备注4.1（无风险利率）。我们注意到，随机无风险利率可以在我们的次级差异框架中处理，如下所示。从属半群（P1，φt）t≥0被视为定价半群。也就是说，假设驱动利率期限结构的状态变量Zφ是一个马尔可夫It^o半鞅，在等价的马尔可夫鞅测度下具有以下动力学：Zφt=Zφ+Ztb1，φ（Zφs-) ds+ZtZRy1{| y |>1}uZφ（ds，dy）+Zφ，ct+ZtZRy1{y|≤1} （uZφ（ds，dy）-π1，φ（Zφs）-, y） dy ds），其中Zφ，ct=Rt√γσ（Zφs）dbsb具有标准布朗运动B。与Zφ的跳跃相关联的R+×（R\\{0}）上的随机度量uZφ具有补偿器νZφ（ds，dy）=π1，φ（Zφs）-, y） dy ds，π1，φ（x，y）由方程（3.8）给出，β=1。