基于轨迹的模型、套利和连续性

我们不会在每一个例子中都证明这个事实，而是参考定理1作为一个典型的例子。定义2 NP-m市场模型m是一对m=（J，A），其中J代表风险资产的一组可能轨迹，而A是一类NP-por tfolios。对于我们的一些结果，我们需要以下更有力的证据来证明其可采性。定义3如果VΦ（t，x），则称NP组合Φ为NP容许≥ -A、 对于常数A=A（Φ）≥ 0，尽管如此∈ [0，T]和所有x∈ J（x）。以下定义在非亲婴儿的框架内提供了仲裁的概念。定义4在轨迹空间J上定义的NP投资组合Φ是NP套利F:–V=0和VΦ（T，x）≥ 0, 十、∈ J.–十、*∈ J满足VΦ（T，x*) > VΦ（0，x）*).我们会说，如果Φ不是NP轨道，对于每个Φ，NP市场M=（J，A）是无套利的∈ A.2.2基于轨迹的停车时间通常的停车时间取决于给定的过滤，但可以根据轨迹定义密切相关的概念。定义5假设J是一类t-aj，一个函数τ：J→ [0，T]是每一组轨迹x，y在J-if上的等待时间∈ J、 x（s）=y（s）表示所有s∈ [0，τ（x）]，由此得出τ（y）=τ（x）。注2除非另有说明，当证明某个函数为基于射程的停止时间时，其域J将被视为CLL函数的整个集合（D（[0，t]）这种方法提供了更一般的结果，因为一旦在D（[0，T]）上获得结果，它就适用于任何任意子集。基于轨迹的模型、套利和连续性7将需要一个单独的研究来系统地得出以下结果。从定义5中，我们满足于提供一些基本结果，其中一些将在本文的剩余部分使用。

我们还参考[7]和[19]了解密切相关的发展。众所周知，通常的停车时间（即基于过滤的公式）可以根据轨迹等效地重新计算。参见[29]中第1章定理7（这有时被称为Galmari n o的测试）。作为一个例子，我们在这里模拟了这种结果的一个特定版本。定义，针对每个∈ [0，T]，函数Xs:J→ R乘以Xs（x）=x（s）和给定轨迹空间J:FJt=σ（Xs:0）上的相关规范滤波≤ s≤ t） ，其中我们考虑了Borel-sigma代数中的R。然后我们得到以下结果（见[21]中的问题2.2）：命题1相对于过滤{FJt}的停止时间τ也是基于轨迹的停止时间。命题1表明，与过程X={Xs}0相关的标准过滤的停止时间≤s≤斜纹布也可以是基于轨迹的停止时间。命题2提供了几个停车时间的例子。下面的no tation使用了公约inft∈[0，T] ≡ T我们在论文中使用以下符号：f（t-) 表示函数f在t处的左极限。命题2以下是基于D（[0，T]）的轨迹停车时间：1。τ（x）=c如果c∈ [0，T].2。τ（x）=（τ（x）+τ（x））∧ 其中τ，τ是基于轨迹的停止时间onD（[0，T]）。让我们 R应该是一个封闭的集合。为了所有的x∈ J、 定义τ（x）=inf{t∈ [0，T]：xt∈ A} 。那么τ是一个基于轨迹的停止时间。4.τ（x）=inft{x（t）≥ a} .5。考虑δ>0，以下函数是基于轨迹的停止时间：τδ（x）=inft∈[0，T]{x（T）- x（t）-)| > δ}.6. 基于轨迹的停车时间的最小集合也是基于轨迹的停车时间。7.设τt为基于轨迹的停车时间的集合，以t为索引∈ 一、 其中Iis包含任意索引集。

然后τ（x）=supt∈Iτt（x）是一个基于轨迹的停止时间。证明项目1和2具有即时证明。为了证明3，考虑x，y∈ D（[0，T]）这样的T h在x（s）=y（s）处，对于所有s∈ [0，τ（x）]。在th为x（τ（x））的情况下∈ 我们有y（τ（x））∈ A及y（s）/∈ A为所有人准备∈ [0，τ（x））。因此τ（y）=τ（x）。案例x（τ（x））/∈ 正如我们接下来讨论的那样，A不可能；对于每一个n>0，都存在τ（x）≤ tn<τ（x）+带x（tn）的n∈ A.那么，通过右连续性和A是闭合的事实，这意味着limtnτ（x）x（tn）=x（τ（x））∈ A.8 A.阿尔瓦雷斯和S.E.费兰多结果4从3开始，取A=[A，∞).为了证明5，假设x，y是所有s满足x（s）=y（s）的RCLL函数∈[0，τδ（x）]。我们分析了两种情况：情况i）当|x（τδ（x））时-x（τδ（x）-)| > δ、 由此得出| y（τδ（x））-y（τδ（x）-)| > δ也是。此外，|y（t）-y（t）-)| > t的δ∈ [0，τ（x））是不可能的，因为它将与τδ（x）作为一个整数的定义相矛盾。接下来，在这种情况下，τδ（x）=τδ（y）。我们现在将在第二种情况下讨论，即| x（τδ（x））- x（τδ（x）-)| ≤ δ没有出现，这将得出结论。考虑n0，则存在τδ（x）<tn≤ τδ（x）+确保|（x（tn）- x（t）-n） |>δ。这些最后的陈述与limn→∞（十）- x（t）-n） ）=0，这是因为x∈ D（[0，T]），τδ（x）∈ [0，T）和tnτδ（x）。第6项和第7项有直接证明。推论1认为J是D（[0，T]）的固定子集，因此每个x∈ J的跳跃次数有限。那么，τ（x）=inft∈[0，T]{（x（T）- x（t）-)) 6=0}=infδ>0inft∈[0，T]{x（T）- x（t）-)| > δ} ，是一条基于J.证明的轨迹。显然，根据关于跳跃次数的假设∈[0，T]{（x（T）-x（t）-)) 6= 0} ≥ infδ>0inft∈[0，T]| x（T）- x（t）-)| > δ}. 相反的不平等随之而来的是注意到∈[0，T]{x（T）- x（t）-)| > 0} ≤ 输入∈[0，T]| x（T）- x（t）-)| > δ} 对于所有δ>0。

因此，τ（x）=infδ>0τδ（x），根据命题2第5项，每个τδ都是一个基于轨迹的停止时间。同样，根据跳数有限的假设，对于固定的x，存在β=δ（x），使得τ（x）=τβ（x），因此e，对于这种固定的x，考虑y，使得x（s）=y（s）对于所有的s∈ [0，τ（x）]。因此，τβ（x）=τβ（y），因此τ（x）=τ（y）。3局部连续端口组合[3]局部连续的概念如下所述。定义6设X和Y为度量空间。函数f:X→ Y是局部连续的，如果所有x∈ 存在一个开放的用户体验 所以∈Uxandf（xn）→ f（x）Ux xn→ x、 局部连续性的概念与文献中提出的准连续性（参见[22]）相当，至少在度量空间的设置中是如此。局部连续性是NP停止时间的一个自然拓扑性质，这与连续性的强性质相反。作为一个例子，我们提到命题2的第4项中给出的停止时间相对于均方度量是不连续的，但很容易看出相对于该度量是局部连续的。在我们的框架中，我们不仅需要局部连续的NP停止时间，还需要它们满足以下更强的连续性。定义7假设J是一类具有度量d的轨道。如果对于所有x，则J上的停止时间τ称为强局部连续∈ J存在一个开放集Ux J使得x∈Ux和Ux xn→ x：基于轨迹的模型、套利和连续性91。τ（xn）→ τ（x）（局部连续性）。xn（τ（xn））→ x（τ（x））。下一个命题表明，在定义7中，2的条件来自于统一度量的局部连续性。

证据是直接的，而且是绝对的。命题3设J为一类连续轨迹，其拓扑由一致范数导出。如果τ是J上的局部连续停止时间，那么τ在J上是强局部连续的。定义8设（J，a）为NP市场。NP端口对开本∈ 如果f u n cΦ（T，·）：J→ 相对于距离d在J上诱导的拓扑，R是局部连续的。与[2]中使用V-连续性不同，我们将考虑局部V-连续性。原因是，一般来说，典型的NP停止时间将生成仅局部V连续的NP portfoli os。以下位置提供了一个简单端口的示例，该端口由一个恒定的NP停止时间定义，即局部V连续但非V连续。[2]中的命题4和命题5考虑了这个例子。我们很容易回忆起[2]中对所需轨迹等级Ja，u（x）的定义。用N（[0，T]）表示所有函数N（T）的集合，从而存在非负整数m和正数0<s<…<sm<T使得n（T）=Pi≥1[0，t]（si）。当m=0时，函数n（t）在[0，t]上被认为是相同的零给定常数μ，a∈ R、 ua<0且x>0，设Ja，u（x）为存在n（t）的所有函数x的类∈ N（[0，T]）：x（T）=xeuT（1+a）N（T）。（4） 函数n（t）计算路径xu中存在的跳跃次数，包括时间t。我们将考虑轨迹类Ja，u（x）被赋予了科罗霍德距离dS。D[0，T]中函数之间的Skorohod距离定义如下。

设∧表示[0，T]到自身的严格递增连续映射的clas，然后dS（x，y）=infλ∈∧max{kλ- Ik，kx- Yo λk}其中i:[0，T]→ [0，T]是标识函数。更多关于Skorohod度量的信息可以在[6]中找到。我们得到以下结果：命题4考虑t=1和初始值xd为：–φ（t，x）=1，ψ（t，x）=0的NP投资组合，对于所有x∈ Ja，u（x）如果0≤ T≤ 1/2.– φ（t，x）=0，ψ（t，x）=x1∈ Ja，u（x）（如果1/2<t）≤ 1.那么，Φ=（ψ，φ）是一个NP可容许的投资组合，相对于Ja，u（x）上的Skorohod度量，它是局部V-连续但非连续的。证明很容易看出Φ是NP可容许的，它不是V-连续的事实在[2]的提案4中得到了证实。让x∈ Ja，u（x）。如果x（1/2）-x（1/2）-) = 0（意味着x在t=1/2时不跳变），那么VΦ（t，·）在x处是连续的，因此局部10 A.阿尔瓦雷斯和S.E.费兰多在x处是连续的。如果x（1/2）- x（1/2）-) 6=0考虑一下，Ux={y∈ Ja，u（x）：0<dS（y，x）<，y（1/2）=x（1/2），y（1/2-) 6=x（1/2-)}.然后：（i）x∈Uxand（ii）VΦ（t，xn）→ VΦ（t，x）如果xn→ x在Ux中。通过NP停止时间序列定义投资组合的基本类别；以下定义中介绍了这些顺序，定义11中介绍了相关的投资组合。定义9（（无界）停止时间的有限序列）让J是一类轨迹，并考虑非递减序列τ={τn}的NPstopping时间0=τ≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ 这样的话，每x∈ J、 有一个满足τM（x）（x）=T的最小整数M（x）。这种序列被称为停车时间的有限序列。停止次数有界的情况0=τ≤ τ≤ . . . ≤ τN=T由上述定义得出，取M（x）=N表示所有x定义10（联合强局部连续性），设J是一类具有度量d的轨迹。

根据定义9，考虑NP停止ping时间τ={τn}的现场序列。这样一个序列称为J上的局部强连续序列，与d有关，如果对于所有x∈ J存在一个开集Ux J就是这样∈ Ux和Ux xn→ x:–i）林→∞τi（xn）=所有i.-ii）limn的τi（x）→∞xn（τi（xn））=x（τi（x））对于所有i.-iii）limn→∞M（xn）=M（x）。定义10表明，所有停止时间τ都是强局部连续的，不仅是单独的，而且是联合的，从这个意义上说，开放子系统 J是所有停车时间的通例。备注3：在所有x的存储时间M（x）=n的情况下，定义10中的第iii）项适用于任何J和d。此外，当n=2表示单个NP停止时间的情况下，定义10与定义7一致，因此，联合强局部连续性的要求降低为强局部连续性。定义11（简单投资组合）假设如下：τ={τn}根据定义9，函数φ（·），φ（·）。。。定义在满足φi（x）=φi（^x）的任意x，^x的J上∈ J满足x（s）=^x（s），0≤ s≤ τi（x）和实数V.Fix∈ J、 t∈ [0，T]和定义：φ（T，x）≡ φ（x）1[0，τ（x）]（t）+Xk≥1φk（x）1（τk，τk+1）（t）。（5） 对于固定的x和t∈ （τj（x），τj+1（x）]，定义：V（t，x）=V+j-1Xk=0φk（x）[x（τk+1（x））- x（τk（x））]+φj（x）[x（t）- x（τj（x））]（6）基于轨迹的模型，套利和连续性11和V（0，x）=V。最后，定义：ψ（t，x）=V（t）-, 十）-φ（t，x）x（t）-) NP-portfoliostrategyΦ=（ψ，φ）。Φ将有助于成为与序列τ={τn}相关的NP模拟组合。定理1假设τ={τn}与定义10中的定义相同，并考虑定义11中相关的单纯形组合Φ，进一步假设（5）中出现的函数φk是连续函数。

那么，Φ是一个NP可预测、NP自融资和局部V-连续的NP投资组合。请注意，证明φ（0，x）=φ（0，x），且φ（0，x）对x的依赖性仅约为x（0），因此对于任何x，x′，Φ（0，x）=Φ（0，x′）∈ J.证明NPT的可预测性∈ （0，T]和x（s）=y（s），0≤ s<t，x，y∈ J.设nbe为最大整数，使得τn（x）<t，这样的整数存在，因为τ（x）=0，τM（x）（x）=t和τi≤ τi+1。因此，τn（x）=τn（y），φ（t，x）=φn（x）和τn+1（x）≥ t、 也就是τn+1（y）≥ t否则τn+1（y）=τn+1（x）<t，这与n的选择相矛盾。那么φ（t，y）=φn（y）=φn（x）=φt，x。这个推理还显示了所有0的τk（x）=τk（y）和so x（τk（x））=y（τk（y））≤ K≤ N因此：V（t，x）- V（t，y）=φ（t，x）（x（t）-y（t））。（7） 从定义可以得出φ（t-, x） =φ（t，x），注意V（t-, x） 因为x（t）而存在-) 存在。检查V（t，x）也很简单- V（t）-, x） =φ（t，x）（x（t）- x（t）-)) 哪个gψ（t-, x） =ψ（t，x）。利用（7）我们得到ψ（t，x）=ψ（t，y）。也可以直接证明右lim也是φ和ψ的exist。综上所述，我们认为Φ=（ψ，φ）是NP可预测的。从ψ的定义可以得出，对于所有t，VΦ（t，x）=V（t，x）∈ [0，T]和allx∈ 因此，通过（2），我们得到了所有x的VΦ（t，x）=V（t，x）=VΦ（0，x）+Ztφ（s，x）dxsf∈ J、 其中VΦ（0，x）=V，因此Φ是NP自融资。需要检查局部V-连续性。

对于每一个可能的轨迹x∈ J、 成熟期T的NP投资组合Φ的值可以表示为：VΦ（T，x）=VΦ（0，x）+M（x）-1Xi=0φi（x）[x（τi+1（x））- x（τi（x））]。考虑一个固定但随意的x*∈ J、 as 0=τ≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ 它是NP停止时间的联合强局部连续序列，存在一个集Ux*和x*∈Ux*如果xn→ 十、*, 与xn∈ Ux*, thenxn（τi+1（xn））- xn（τi（xn））→ 十、*（τi+1（x）*)) - 十、*（τi（x）*)) 对于所有0≤ i、 此外，asM（·）是整数值，M（xn）=M（x）*) 在定义10之前，进行大批量生产。考虑到函数φ，φM（x）*)有WIX的社区吗*如果xn→ 十、*, 与xn∈ Wi，然后φi（xn）→ φi（x）*) 对于所有0≤ 我≤ x（M）*).考虑W=∩M（x）*)i=0wi和Vx*≡ W∩ Ux*. 因此x*∈Vx*因此Vx*6= , 而且如果xn→ 十、*, 与xn∈ Vx*, 那么VΦ（T，xn）→ VΦ（T，x）*).因此，por tfolioΦ是局部V-连续的。同样的证据也可以用来建立以下推论。12 A.阿尔瓦雷斯和S.E.费兰多推论2考虑定理1的设置，并假设φi（x）=φ（x（τi（x）），其中φ：+→ R是连续的。然后，定理1的结论成立。注4定理1的证明也可以用来覆盖φ（x）=φ（x，τi（x））的情况，其中φ：J×[0，T]→ R在乘积拓扑下是连续的。4套利本节提供了一个高级定理，允许将无套利结果从标准（即概率设置）转移到NP设置，反之亦然。大多数技术细节都隐含在假设中，在特定情况下需要仔细考虑。

一般方法将概率投资组合和NP投资组合联系起来，因此，在这一点上，我们需要对属于我们结果范围内的概率模型的假设引入一些精度。本文中使用的概率市场概念与[3]中的概念类似。假设一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）给出。设Z是一个在这个空间上定义的、适用于随机过程建模的资产价格。投资组合策略Φzi是一对随机过程Φz=（ψz，φz）。投资组合Φzat时间t的值是一个随机变量，由VΦz（t）=ψzt+φzt给出。如果积分Rtψzs（ω）ds和Rtφzs（ω）dZs（ω）以F¨ollmer积分形式存在P-A.s，且VΦz（t）=VΦz（0）+ZtφzsdZs，P- a、 从现在起，如果没有进一步的补充，所有（随机）投资组合都将被假设为自我定价和可预测的。定义12如果Φzi是自我融资的、可预测的，且投资组合z=Az（Φz），则Φzi是可接受的≥ 0使得VΦz（t）≥ - AzP-a.s。 T∈ [0，T]。定义13在过滤概率空间中定义的随机市场(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是一对（Z，AZ），其中Z是一个适应的随机过程建模资产价格，azi是一类可接受的投资组合策略。注5：我们假设F是平凡的西格玛代数，此外，如果没有一般性，我们将假设常数z=z（0，w）是固定的，即我们假设所有路径的初始值相同。恒量VΦz（0，w）也将表示为dVΦz（0，z）。概率ic市场上的套利概念是标准的（在本文中简称为套利）。给定上述过程Z，如果VΦZ（0）=0和VΦZ（T），则投资组合Φzis为无风险机会≥ 0，P- a、 P（VΦz（T）>0）>0。