基于轨迹的模型、套利和连续性

（Z，AZ）是无套利的，如果Φzi不是套利，对于所有ΦZ∈ 阿兹。给定如上所述的随机过程Z和轨迹空间e J，考虑地图Z：Ohm → R[0，T]由Z（w）（T）=Zt（w）定义，并介绍以下两个条件：基于轨迹的模型、套利和连续性13C:Z(Ohm)  ja.s.C:Z满足关于度量d和空间J的小球性质，即对于J中的所有>0和所有x:P（d（Z，x）<）>0。定义14：假设一个随机过程和一个随机过程被给定这样的条件。定义在J上的NP投资组合Φ和称为同构的随机组合Φzare如果：P（Φz（t，ω）=Φ（t，z（ω））为0≤ T≤ T） =1。下面的定理与文献[2]中的定理1和定理2得到了类似的证明，为了方便读者，我们提供了证明。定理2给出了轨迹空间J和随机过程Z的条件。假设Φ和Φzare同构，而且Φ是局部V-连续的，那么：i）如果Φzi不是套利，那么Φ不是NP套利组合。ii）如果Φi不是NP套利，那么Φzi不是套利组合。我们继续用矛盾来证明。假设Φ满足：VΦ（0，x）=0，VΦ（T，x）≥ 0代表所有x∈ 还有x*∈ J使得vΦ（T，x*) > 因此，假设Φzis同构于Φ，则存在Ohm Ohm和P(Ohm) = 1使得VΦz（0，z）=VΦ（0，x）=0，VΦz（T，w）=VΦ（T，z（w））对于所有w∈ Ohm. 定义Ohm= {w∈ Ohm : Z（·ω）∈ J} 。条件是(Ohm) = 1，因此P(Ohm∩ Ohm) = 1.以w为例∈ Ohm∩ Ohm; 接下来是vΦz（T，ω）≥ 0，前VΦz（T）≥ 0持有P-a.s.考虑f（x）≡ VΦ（T，x）和^x∈ Vx*, Vx在哪里*如提案8所示（见附录）。考虑到Vx*是一个非空开集，存在>0这样的B≡ {y:d（y，^x）<} Vx*和P（Z（w）∈ B）>0。

因此VΦz（T，ω）>0on{z（w）∈ B}∩Ohm∩Ohm最后一组的概率不是零；这就是证据。关于ii）的证明同样是通过矛盾来实现的。假设Φzis是n个套利投资组合，而Φ不是。注意VΦz（0，z）=VΦ（0，x）和d VΦz（t，w）=VΦ（t，z（w））a.s.现在假设VΦ（t，^x）对于某些^x小于0∈ J、 VΦ（T，·）的局部连续性，命题8的一个应用，以及在一组非零测度中所有w的小球性质为svΦ（T，Z（w））<0。由于Φzis同构于Φ，这就产生了一个矛盾，因此VΦ（T，x）≥ 0代表所有x∈ J.此外，再次使用对称关系，Φzi是套利，Z(Ohm)  青年成就组织。s、 因此，存在x*∈ J使得VΦ（T，x*) > 这是一个矛盾，我们的证明就到此为止。5非概率跳跃扩散类本节定义了一个现实的轨迹空间，表示为Jσ，CT（x），并证明了大量实际的NP-por-Tfolio集合，作用于Jσ，CT（x），是无套利投资组合。还讨论了非半鞅随机模型的含义。14 A.Alvarez和S.E.Ferrando给出了一个划分T的重新定义序列，用ZT（[0，T]）表示所有连续函数z（T）的集合，使得[z]Tt=T表示0≤ T≤ T和z（0）=0。注意ZT（[0，T]）包括布朗运动的a.s.路径（参见[23]）。对于这一步，我们假设（1）中使用的积分的noti on是Iteo-F¨ollmer积分（见[15]）。将σ>0和C固定为一个非空实数集，使inf（C）>-1.定义Jσ，CT（x）为[0，T]上的实值函数类x，从而存在z∈ ZT（[0，T]），n（T）∈ [ai]和[T]在上节课中被引入∈ C、 i=1，2。

验证：x（t）=xeσz（t）n（t）Yi=1（1+ai），（8）其中n（t）是在（4）中引入的。5.1关于Jσ，Cτ（x）的局部V-连续投资组合我们提请注意引理1的一个含义，其陈述和证明可在附录中找到，表明对于n个较大的enoug h，两个连续停车时间τi（xn）和τi+1（xn）之间的轨迹xn中的跳跃次数与轨迹x中的跳跃次数相同*在两个连续停止时间τi（x）之间*) 和τi+1（x*) （其中xnand x*如引理1）所示。这个结果将在下面的定理中得到证明。定理3设0=τ≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ 根据Skorohod的度量，在Jσ，CT（x）上定义的NP停止时间（根据第10页的D e fi ni ti）是一个联合强的局部连续序列。假设infc∈C | C |>0。设φ（·，·），φ（·，·）。。。函数在[0，T]×R上是连续的，在（0，T）×R上是可微分的。考虑ΦT=（ψT，φT）给出的投资组合策略，其中投资股票的金额φ为φ（T，x）=1[τ，τ]（T）φ（T，x（T）-)) +M（x）-1Xi=1（τi，τi+1）（t）φi（t，x（t-)),和ψ，如备注1所述。然后，投资组合Φ是NP可预测的，NPS自融资，且在Jσ上局部V-连续，与Skorohod的拓扑结构相关。使用与定理1中使用的参数类似的参数，可以证明投资组合Φ作为一个上界是NP可预测和NP自融资的。接下来我们将证明它也是局部V-连续的。对于i=0，1。。。

定义功能Ui:R→ ras:Uiφ（t，y）=Zyyφi（t，ξ）dξ。LetuΦ（x）=M（x）-1Xi=0uiΦ（x），基于轨迹的模型，套利和连续性15，其中f u nc国家的uiΦ：Jσ，CT→ R定义为：uiΦ（x）=uiΦ（τi+1（x），x（τi+1（x）））- UiΦ（τi（x），x（τi（x））（9）-Zτi+1（x）τi（x）UiΦt（s，x（s）-))ds-Zτi+1（x）τi（x）UiΦx（s，x（s）-))脱欧-Xτi（X）<s≤τi+1（x）Ui（Φs）- UiΦ（s，x（s）-)) -UiΦx（s，x（s）-))十(s).[15]中的It^o-F¨ollmer公式将我们推到：uiΦ（x）=Zτi+1（x）τi（x）UiΦx（s，x（s）-))dx（s）=Zτi+1（x）τi（x）φi（s，x（s）-))dx（s），thenuΦ（x）=M（x）-1Xi=0uiΦ（x）=ZTφ（s，x（s-))dx（s）。为了所有的x∈ Jσ，CT，dh xiTs=σx（s-)因此ds:uiΦ（x）=uiΦ（τi+1（x），x（τi+1（x）））- UiΦ（τi（x），x（τi（x）））- ⅡΦ（x）- SiΦ（x），其中iiΦ（x）=Zτi+1（x）τi（x）UiΦt（s，x（s）-))ds+Zτi+1（x）τi（x）UiΦx（s，x（s）-))σx（s）-)dsandSΦi（x）=xτi（x）<s≤τi+1（x）UiΦ（s，x（s））- UiΦ（s，x（s）-)) -UiΦx（s，x（s）-))十(s).修正x*∈ Jσ，CT（x）；as 0=τ≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ 作为NP停止时间的局部连续序列，存在一个开集Ux* Jσ，CT（x）使x*∈Ux*无论何时* xn→ 十、*, 然后，定义10中的属性i）、ii）和iii）保持不变。让{xn}n≥一个序列。我们有以下结果：1）利用UiΦ对所有i是连续的，并且{τn}n=0,1，。。。我们可以检查uiΦ（τi+1（xn），xn（τi+1（xn）））- UiΦ（τi（xn），xn（τi（xn））收敛于toUiΦ（τi+1（x）*), 十、*（τi+1（x）*))) - UiΦ（τi（x）*), 十、*（τi（x）*)))当n接近完整时。2） 还有，IiΦ（xn）→ ⅡΦ（x）*) 当n接近n时。这可以用与[2]中命题7的证明相同的技巧来证明。16 A.阿尔瓦雷斯和S.E.费兰多[3]沿着[2]中命题7的证明，我们也可以证明SΦi（xn）→ SΦi（x）*) 当n接近完整时。

证明中唯一的新元素是使用L emma 1，以建立x的j ump和x的j ump之间的对应关系*对于足够大的n。结合上面的1），2）和3）我们得到，对于所有i，uiΦ（xn）收敛到uiΦ（x）*),因此uΦ（xn）收敛到uΦ（x）*).这意味着VΦ（T，xn）=V+ZTφ（s，xn（s-))dxn（s）→ V+ZTφ（s，x）*（s）-))dx*（s） =VΦ（T，x）*)因此Φ在Jσ上是局部V-连续的，与Skorohod的拓扑有关。下面的命题提供了在Jσ，CT（x）上联合强局部连续的NP停止时间序列的例子。命题5设{Ki}i=1,2，。。。是一个带有Ki的实数递增序列→∞, 所有i.如果infc∈C | C |>0那么以下NP停止时间序列在Jσ，CT（x）上关于Skorhod\'s度量是联合强局部连续的：–1）τi（x）=min（i TN，T），对于i=0，1，和N≥ 1任意整数2） τi（x）=mininft:Xs≤tR\\{0}（x（s）- x（s）-)) ≥ 我, T, 对于i=1，2，…-3） τi（x）=min（inf{t:xt≥ Ki}，T），对于i=1，2。证据见附录。5.2跳跃扩散类Jσ，CT的无套利NP组合本节证明了一类NP组合是轨迹空间Jσ，CT的NP套利。

为此，我们将利用定理2，这反过来要求引入适当的随机市场模型。定义15对于任何x>0考虑，在专业能力空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），指数跳跃扩散过程，从x开始，由以下公式给出：Zt=xe（u-σ） t+σwtnTi=1（1+Xi），其中W={Wt}是标准布朗运动，N={Nt}是强度λ>0的hom-geneousPoisson过程，且夏尔独立随机变量也独立于W和N，具有共同的概率分布FX。让AZJD成为流程的可接受战略类别（定义12）。下面的定理使用了上面介绍的符号。基于轨迹的模型、套利和连续性定理4让Jσ，ctb成为（8）中引入的轨迹类，并赋予了Skorohod拓扑。假设随机变量Xito是不可捕获的，具有共同的概率分布：1）P（Xi C） =1.2）对于任何a∈ 对于所有>0的情况，FX（a+）- 外汇（a）- ) > 0.让Φ表示推论2或定理3中考虑的投资组合之一，通过命题5的NP停止时间定义。这些是NP投资组合，根据定义3，它们必须是NP可接受的。那么，这样的Φ不是NP套利投资组合。证明我们将定理2应用于Z和Jσ，CT。注意P（w∈ Ohm : Z（w）∈Jσ，CT）=1，这符合我们的假设1）。因此，定理2的假设已完全满足。我们的假设2）允许应用[2]中的命题6，因此，我们得出结论，p过程Z满足关于Skorohod度量和轨迹空间Jσ，CT的小球性质。因此，定理2的假设也得到了满足。设Φ为定理陈述中描述的投资组合之一，并定义Φz（t，w）=Φ（t，z（w）），（10）注意，（10）在一组完整度量中定义良好。

我们将在下面讨论Φz∈ 阿兹德；（10）表明Φ与φz同构。我们假设[9]中的过程z低到命题9.9，这个结果证明了概率Q的存在，使得-RTZ是一个鞅，因此概率市场（Z，AZJD）是无套利的。因此，Azjdaren的要素不是套利投资组合。根据定理2，陈述1），Φ不是NP套利portfo lio。为了完成这一论证，还需要证明Φz∈ AZJD，This等同于证明（10）中给出的Φz根据定义12是可接受的。注意Φzis是LCRL，因为Φ是LCRL。假设Φ是一个NP组合，假定为beNP可容许，那么证明Φzit的可容许性就足以证明ΦZt是一个可预测的过程。我们仅为库存组件φzt提供这一事实的pro；由于左连续性，φzte是可预测的，如果它适用于给定的F={Ft}，我们接下来证明这一点。设τ表示理论和定义中考虑的NP停止时间之一，τ（w）=τ（Z（w）），该映射定义在一组完整度量上，很容易看出它们是关于{Ft}的停止时间。特别是，simpleportfolios的形式为：φz（t，w）≡ φz（w）1[0，^τ（w）]（t）+Xk≥1^φk（Z^τk（w）（w））1（^τk（w），^τk+1（w）]（t），（11）式中^φ：R+→ R是连续的，因此^φk（Zt（w））是Ft可测量的。（11）是可测量的。一个类似的论点也适用于同构于定理3中的持续重新平衡的随机投资组合。一个更普遍的结果实际上也可以被证明。18 A.阿尔瓦雷斯和S.E。

费兰多推论3假设与定理4相同的假设，但现在考虑以下类别的投资组合：A≡ {Φ：Φ是一个NP组合，局部V-连续且 Φz∈ AZJD同构于Φ}。然后，NP市场（J，A）是NP无套利的。推论3的证明与定理4的证明完全相同；专门化定理4的目的是为本文所考虑的投资组合合法地建立A的成员资格。[2]中的定理7提供了属于A.5.3随机框架含义的por-tfolios的进一步示例。定理2，第ii项）与推论3一起，可用于证明某些s-tochastic模型是无套利的。需要强调的一点是，这些随机模型中的许多都不是半智能的，而且，通过本文考虑的NP停止时间定义的NP投资组合定义了此类模型中的非对称随机投资组合。下面，我们提供了在这些类型的结果中获得obta所需的主要步骤，更多细节请参考[2]。例1（跳跃扩散相关模型）考虑以下在过滤空间中定义的随机过程(Ohm, {Ft}，P），Yt=e（u-σ/2）t+σZGtNRtYi=1（1+Yi），其中zgit是一个满足hZGit=t的连续过程。假设zgit也满足ZT（[0，t]）上关于统一范数的小球性质。此类过程的示例包括[2]第5节中介绍的过程ZF、ZR和ZWINT。过程NR是一个更新过程，随机变量Yi是独立的，也独立于Zg和具有公共分布Fy的NR。以第3部分介绍的无套利NP市场（Jσ，CT，A）为例，定义以下一组投资组合（定义于(Ohm, {Ft}，P）），是的≡ {Φy:受理人b和 Φ ∈ A同构于Φy}。接下来，我们认为，在适当的条件下，随机市场（Y，AY）是无风险的。

假设推论3中的假设是满足的，因此（Jσ，CT，A）是NP-arbi-trage-free。此外，在以下假设下：1）P（Yi） C） =1,2）对于任何a∈ C和f或所有>0，FY（a+）- FY（a）- ）>0，可以使用与证明定理4相同的参数来证明hy-pothesis和Cin定理2成立；因此，使用后一个定理中的ii）可以得出结论（Y，AY）是无套利的。基于轨迹的模型、套利和连续性196可变波动率模型根据第5节的发展，本节定义了一类轨迹J∑T（x）。请注意，分区T的重新排列顺序已在5日的第I节中介绍。对于不同的轨迹，集合J∑T（x）表现出不同的波动率，也就是说，波动率曲线/函数依赖于轨迹。引入了一个新的指标，它可以证明一大类实际的NP投资组合是无成本的。此外，我们还得出了包含非半随机过程的修正随机Heston模型的一些无套利含义。正如前一节所述，本节将使用的积分概念是Foller积分。设∑ C[0，T]是一类表示可能波动轨迹的有限变量函数。同样，让NQV[0，T] C[0，T]是所有连续函数的类d:[0，T]→ 在[0，T]上有零二次变化且满足d=d（0）=0。定义∑T（x）=nx∈ C[0，T]：x（T）=xedt+Rtσ（s）dz（s），σ∈ ∑，z∈ ZT（[0，T]），d∈ NQV[0，T]上一表达式中出现的其他积分均以σ有微小变化的形式存在。

有关这些积分的存在性的更详细讨论，请参见[28]。考虑由dqv（x，y）=kx给出的J∑T（x）上的一个度量-yk+退欧-蒂伊特,其中k·k代表C[0，T]上的上确界范数。备注6使用伊托·福勒公式（见[15]），我们可以检查，如果xt=xedxt+Rtσx（s）dzx（s）和yt=xedyt+Rtσy（s）dzy（s）是J∑T（x）中的两条轨迹，那么dqv（x，y）=kx- yk+xσx- yσy.这意味着x和y在度量dQVif中是clo s e，如果它们在统一度量中接近，并且它们的挥发性在统一度量中也接近。下面的位置给出了一些充分条件，以建立J∑T（x）上一些随机波动率模型s关于度量dQV的小球性质。命题6设∑ C[0，T]是一组有限变量的严格正函数。设Z是一个随机波动率模型(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）由Zt=xeht+Rtσsdwsw给出，其中W，h和σ是随机过程。假设随机过程h为零二次变量且h=0。假设P（σ（ω）∈ ∑=1，且σ满足关于一致范数的∑上的小球性质。假设P（W（ω）∈ ZT（[0，T]）=1，存在0<α≤ 1使得w=αB+Y，其中B是独立于Y，σ和h的布朗运动。然后：i）PZ（·ω）∈ J∑T（x）= 1.ii）为了所有人∈ J∑T（x）且对于所有>0，PdQV（Z（ω），y）<> 0.20 A.阿尔瓦雷斯和S.E.费兰多证明，i）的证明直接来自于Z的构造。为了证明陈述ii），请注意，如果yt=xedyt+Rtσy（S）dzy（S），则ω：dQV（Z（·ω），y）< A.∩ B其中A和B定义为asA=nω：|Z（·ω）- y | |<oandB=ω :太赫兹（·ω）it-蒂伊特<=nω：kZ（·ω）σ（ω）- yσyk<或概率P（A）>0是[25]中定理3.1的结果（另见[25]中的注释4.3]）。这里我们使用了Y和B之间的独立性。