基于轨迹的模型、套利和连续性

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英文标题：
《Trajectory Based Models, Arbitrage and Continuity》
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作者：
Alexander Alvarez and Sebastian Ferrando
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The paper develops no arbitrage results for trajectory based models by imposing general constraints on the trading portfolios. The main condition imposed, in order to avoid arbitrage opportunities, is a local continuity requirement on the final portfolio value considered as a functional on the trajectory space. The paper shows this to be a natural requirement by proving that a large class of practical trading strategies, defined by means of trajectory based stopping times, give rise to locally continuous functionals. The theory is illustrated, with some detail, for two specific trajectory models of practical interest. The implications for stochastic models which are not semimartingales are described. The present paper extends some of the results in [1] by incorporating in the formalism a larger set of trading portfolios.
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中文摘要：
本文通过对交易组合施加一般约束，得到了基于轨迹模型的无套利结果。为了避免套利机会，所施加的主要条件是对被视为轨迹空间上的函数的最终投资组合价值的局部连续性要求。本文通过证明一大类由基于轨迹的停止时间定义的实际交易策略产生局部连续泛函，证明了这是一个自然要求。对于两个具有实际意义的特定轨道模型，该理论进行了详细说明。描述了非半鞅随机模型的含义。本文通过在形式主义中加入一组更大的交易组合，扩展了[1]中的一些结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Trajectory_Based_Models,_Arbitrage_and_Continuity.pdf (374.54 KB)

2022-5-6 01:18:41 上传

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关键词：连续性 Applications Quantitative Differential Implications

Noname手稿号（将由编辑插入）基于轨迹的模型、套利和连续性a。Alvarez和S.E.FerrandoReceived:date/Accepted:date摘要本文将基于轨迹的模型的无套利结果与随机模型中的套利概念联系起来，得出了无套利结果。为了避免滥用机会，主要条件是对最终投资组合价值的局部连续性要求，该价值被视为轨迹空间上的函数。本文通过提供大量的实际交易策略（通过基于轨迹的停止时间的平均值定义）来产生局部连续泛函，表明这是一个自然要求。该理论被详细地应用于两个具有实际意义的特定轨迹模型。利用基于轨迹的模型与随机模型之间的联系，证明了非半鞅随机模型的无阿尔比悲剧结果。关键词：基于轨迹的套利，基于轨迹的止损时间，局部连续性，非sem imartingale模型。1引言有几次尝试提出金融市场模型的非概率方法。例如，我们提到[5]和[27]等。如果可能的话，完美复制显然是一个明智的想法，套利的一个简单观点是，存在一个投资组合，它不会对所有可能的路径产生任何损失，并且至少存在一条路径可以提供一个收益。这一非正式推理表明，金融数学中存在一些不需要使用概率来获得一些有意义的结果的方法。事实上，如[2]和[12]所示，可以在不依赖概率的情况下处理自然数学的某些方面。

最后一个参考文献证明了，在离散时间鞅设置下，a ttainab le option的ri-sk中立价格等于Min-ma x基于轨迹的价格。反过来，[2]建立基于轨迹的完美套期保值结果和相关的定价结果，在连续时间内为附加的不可行期权。瑞尔森大学数学系邮件：亚历山大。alvarez@ryerson.caE-邮件：ferrando@ryerson.ca2A.Alvarez和S.E.Ferrando为了更好地理解这一问题，我们参考[16]讨论了金融中概率假设的应用，特别是奈特不确定性部分。在不依赖任何概率假设的情况下获得的结果更具普遍适用性，因此，认真的实践者在使用金融数学的特定结果时，会试图检查所需无数假设的真实性。通过这种方式，我们的结果是可靠的，因为它们独立于股票可能下跌的局部概率模型。在这方面，我们的工作在概念上接近于稳健建模方面的一些最新文献，我们提到了[24]和[30]这些文献的代表。在圣奥奇幻的环境中，造型的某些方面可能会自然而然地陷入奈特式的不确定性之中。投资组合选择中的崩溃概念提供了一个例子（[14]），其中，向下突变（崩溃）的数量、时间和大小在没有概率假设的情况下处理。在本文中，不是从概率空间开始(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），并将股票建模为一个随机过程X，我们建议将重点放在无向spa ce J上 D[0，T]，其中后者是函数x的集合：[0，T]→ R与左边缘（RCLL）是右连续的。

类范式是寻找一个概率P来模拟正在展开的市场，所提出的方法集中在集合J上，该集合J被方便地视为度量空间（J，d）。本文提出的一个主要问题是：我们能否获得与实际相关的一般条件，并保证市场轨迹是随机的？我们的一般技术和框架是在[2]中介绍的，其中获得了几个非概率（NP）无风险投资和套期保值结果。本文定理2中的m-main技术表明，人们可以在随机套利之间来回切换(Ohm, F、 （Ft）t≥定理2中的0，P）和NP套利是一个简单的结果，因为所处理问题的复杂性隐藏在应用定理所需的以下两个假设下：1。小球性质：{X（ω）：ω中的路径集∈ Ohm} 这是任意循环（在度量d中）到ar位元素x∈ J在P.2下是不可忽略的。局部V——投资组合的连续性：最终投资组合价值是一个局部连续函数（见第8条），作为J上的函数，与metricd相对应。这两个条件与m略有不同，已在[3]中使用，以证明在与Black-Scholes模型相关但不一定是半鞅的模型中没有ar b itrage结果。在这篇论文中，作者专门研究由统一范数引入的度量。我们意识到，这两个条件加在一起，但现在在J中的一般度量结构提供的框架内，可以用于研究更现实的模型（见第5节和第6节）。从纯粹的财务角度来看，从某种意义上讲，指标d不是必需的，大多数概念是独立于d定义的（例如，NP套利的概念）。

这意味着可以在Jso上方便地选择度量d，从而满足上述两个条件，并且可以应用定理2。选择合适的度量d的灵活性使我们的方法适用于基于轨迹的模型、套利和连续性3，因此对处理某些模型非常有效。这方面的一个例子是第6节中使用的novelmetric Dqvus。基于轨迹的模型的显著特征包括：–图表轨迹可以直接观察到。–它用随机过程对建模进行了一般化，其中轨迹s et is mpli cit（过程的支持）。-该框架的通用性允许获得非半鞅emodel的结果。Delbaen和Schachermayer在非半M-artingale模型上的最新结果表明，在一类简单投资组合中，存在风险为零的fr-ee午餐（例如，参见[13]）。因此，在财务建模中，非半鞅过程的调整和使用是一个棘手的问题；许多研究人员在处理非半鞅模型时所做的是限制允许的投资组合类别（参见[8]、[3]、[20]和[4]）。我们的定理2，第二项）提供了一个工具来建立非半鞅模型中的无套利结果。更准确地说，通过限制局部V-连续投资组合，我们得出结论，在投资组合中不存在套利(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）只要对应的向量空间J不允许NP套利。对于这个结论，Xis是否是半鞅这一事实无关紧要。我们在第5.3节和第6.3节中提供了此类应用的示例。

我们的结果涵盖的投资组合类别包括简单的投资组合（见定理1）和在停止时间之间持续重新平衡的投资组合（见定理3和定理5）；因此，在许多非半鞅模型中，某些度量下的局部V-连续性是对p Portfolios的自然限制，以避免套利。换句话说，我们的结果的一个结果是，对于一些非半鞅模型，并且存在套利策略，那么它必须是非局部V-连续的。提供上述投资组合类别的本地V-连续性代表了我们大部分的技术工作。正如al ready所提到的，我们建立在参考文献[2]的框架之上，我们将参考该框架，以避免任何不必要的重复应用。本文的一个主要贡献是将停止时间纳入了[2]的形式主义中。为了实现这一目标，我们依赖于基于轨迹的停车时间的概念，这一概念隐含在通常的停车时间（即基于过滤的计算时间）中，并且这两个时间是相关的（[29]）；[7]和[19]中强调了这两个概念之间的差异。止损时间的引入使得我们可以证明没有套利结果的投资组合类别大大扩大。处理最短的停车时间是一个技术上具有挑战性的问题，因为必须证明停车时间的有限序列在局部是连续的（根据定义10）。这些结果与[2]中的结果没有太大区别，也更难获得，因为该论文中处理的主要示例满足了V-连续性而不是局部V-连续性。将我们与[2]区分开来的另一个主要贡献是对第6节中详细讨论的可变波动率轨迹类别和相关随机波动率模型的首次分析。

[2]或我们所知的任何其他参考文献中均未涉及此类非半鞅随机波动率模型。基于轨迹的方法面临的一个关键问题是，如果投资组合的价值由此类积分表示，则能够对无界变化的函数s进行积分。在本文中，我们介绍了通用NP框架4 A.Alvarez和S.E.Ferrandoin第2节，没有提及任何特定类型的集成。主要原因是，一些结果（例如定理1）可以在不提及特定积分的情况下得到证明，因为它只涉及简单的投资组合。稍后，特别是在第5节和第6节中，我们具体使用福勒积分，见[15]。鉴于最近研究路径积分和一些相关性质的工作激增（参见[10]、[17]和[26]），我们可以看到我们的一般框架的应用潜力，使用不同的积分取决于区域空间。在本文的背景下，提出的观点的一个主要优点是能够获得非半马尔蒂-恩格尔模型的无套利结果。这是通过使用上面提到的小球特性和局部V-连续性的清晰方法来实现的。所提出的方法灵活且通用，可以使用不同的度量以及不同的积分进行部署。

在这一点上，另一个问题自然而然地出现了：例如，在非半鞅模型中，没有明确使用NP框架，沿着[3]中的方法，是否有可能获得这些无仲裁结果？我们没有明确的答案，但我们相信，尽管没有NP形式主义，引入一个方便的度量结构并使其成为分析“小球”特性和局部连续性的中心元素将不是很直观。作为一般度量下的这种类型的发展不是经典框架内的自然发展的证据，我们应该提到，在许多利用1“完全支持”属性的论文中，例如[18]和[25]，统一范数诱导的度量结构被隐式使用，我们从未发现任何暗示使用不同度量的暗示。通过引入基于轨迹的框架，可以选择一个度量，随后的分析更加直观和自然。论文的结构如下。第2节介绍了我们的主要定义，特别是我们提供了NP市场和基于轨迹的停止时间的定义，并从最后一个概念中得出一些基本结论。第三节介绍了一般度量空间的局部连续性概念；在一般假设下，通过一系列基于项目理论的停止时间定义的简单投资组合可以定义具有相关的低成本连续价值函数的投资组合。[2]之后的第4节提供了一个结果，将套利的通常（概率）概念与NP套利联系起来。这种联系是通过假设局部连续性和小球来实现的，小球允许在NP市场模型和随机市场模型之间来回传递结果。

第5节构造了aNP跳跃扩散无套利市场，并展示了如何使用结果来证明几个非半鞅市场模型是无套利的。第六节构造了一个轨迹依赖的波动率套利自由市场，并对相关的非半鞅市场模型进行了简化。最后，第7节对基于轨迹的方法进行了总体展望，并得出结论。附录包含论文中使用的技术成果的陈述和证明。基于轨迹的模型、套利和连续性52非概率框架2。1非专业能力市场[2]中已经介绍了这一简要部分中的大多数定义和想法，我们将它们包括在这里，以使本文尽可能独立。设x是[0，T]上的一个实值函数，它是右连续且有左极限（简称RCLL），这类函数的空间将用D[0，T]表示。我们假设存在一个非风险资产，该资产以恒定利率r演化，为简单起见，该利率r将设置为r=0。风险资产的模型是由函数x b的轨迹延伸到某个类别J（x），我们将其简单地写为J，其中x（0）=x表示所有x∈ J.我们还假设，对于每个轨迹x∈ J（x） D[0，T]，完整性（s，x）dxs（1）对所有T都有很好的定义∈ [0，T]在被积函数y的适当条件下。这些积分存在的意义尚未明确，但此时将假定一个一般性质。在y（·，x）是分段常数的情况下，对于任何t∈ [0，T]：y（T，x）=1[0，T]（T）c（0，x）+n（x）-1Xi=1（ti，ti+1）（t）ci（ti，x），其中0=t<t（x）<。。。

<tn（x）（x）=T是一个有限的、依赖于x的划分，我们将要求所有l T∈ [0，T]Zty（s，x）dxs=k（x）-2Xi=0ci（ti，x）[xti+1- xti]+ck-1（tk-1，x）xt- xtk-1., （2） 其中k（x）是最小的整数，使得t≤ tk（x）。有几种积分概念适用于（[15]，[17]）上的路径积分。原则上，不同的轨迹类别J可能需要每个特定的积分概念，我们将在适当时指出每个此类积分的us e。NP por tfolioΦ是Φ：[0，T]×J（x）的函数→ R、 Φ=（ψ，φ），满足Φ（0，x）=Φ（0，x′）对所有x，x′的要求∈ J（x）。该公共值将表示为Φ（0，x）。我们还将考虑相关的投影Φx:[0，T]→ 兰德Φt:J（x）→ R、 分别适用于固定的x和t。NP投资组合Φ的值是函数VΦ：[0，T]×J（x）→ R由VΦ（t，x）给出≡ ψ（t，x）+φ（t，x）x（t）。定义1：考虑从x开始的J（x）类行业，并考虑aNP投资组合Φ：i）如果Φt（x）=Φt（x′）对于所有x，x′，Φ被称为NP可预测∈ J（x）使得x（s）=x′（s）对于所有0≤ s<t和Φx（·）是左连续的，对所有x都有右极限（简称LCRL）∈ J（x）.6 A.Alvarez和S.E.Ferrandoii）Φ被认为是NP自融资的，如果i-integralsrtψ（S，x）ds A n dRtφ（S，x）dx是所有x的性别歧视者∈ J（x）在Stieltjes和表达式（1）的意义上分别为VΦ（t，x）=V+Ztψ（s，x）rds+Ztφ（s，x）dxs，十、∈ J（x），（3）式中，任意x的V=VΦ（0，x）=ψ（0，x）+φ（0，x）x（0）∈ J（x）。注1：考虑r=0和给定的函数φ（·，·）；定义Φ=（ψ，φ），其中ψ（t，x）≡ VΦ（t）-, 十）- x（t）-)φ（t，x）和VΦ（t-, x） i由（3）给出，r=0。对于本文考虑的所有函数族φ，在工作假设r=0的情况下，这些函数族Φ将满足定义1中列出的所有性质。