基于轨迹的模型、套利和连续性

条件概率P（B | A）也是正的，这是∑上关于一致范数的σ的小球性质的结果。然后，从P（A）∩ B） =P（B | A）P（A），我们得出结论P（A）∩ B） >0，因此Pω：dQV（Z（·ω），y）<> 0，为ally∈ J∑T（x）且对于所有>0。注7：通过假设σ和W之间的独立性，可以使用一般积分器W获得类似结果，有关一些相关结果，请参见[2 5]。然而，从建模的角度来看，不希望σ和W是独立的。6.1 J∑T（x）上的局部V-连续投资组合下面的定理证明了作用于J∑T（x）上的一大类投资组合是局部V-连续的。定理5设0=τ≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ T是J∑T（x）中关于度量dQV的NP停止时间的联合强局部连续序列。设φ（·，·），φ（·，·）。。。函数在[0，T]×R上是连续的，在（0，T）×R上是可微分的。考虑ΦT=（ψT，φT）给出的投资组合策略，其中投资于股票φ的金额为φ（T，x）=1[τ，τ]（T）φ（T，x（T）-)) +M（x）-1Xi=1（τi，τi+1）（t）φi（t，x（t-)),和ψ，如备注1所述。然后，投资组合Φ是NP可预测的、NP自融资的，且在J∑T（x）上相对于度量dQV局部V连续。使用与定理1中使用的参数类似的参数，可以证明投资组合Φ作为一个上界是NP可预测和NP自融资的。接下来我们将证明它也是局部V-连续的。对于i=0，1。。。

定义函数Ui:R→ R as:Uiφ（t，y）=Zyyφi（t，ξ）dξ基于轨迹的模型，套利和连续性21LetuΦ（x）=M（x）-1Xi=0uiΦ（x），其中f u nc=uiΦ：J∑T（x）→ R定义为：uiΦ（x）=uiΦ（τi+1（x），x（τi+1（x）））- UiΦ（τi（x），x（τi（x））（12）-Zτi+1（x）τi（x）UiΦt（s，x（s）-))ds-Zτi+1（x）τi（x）UiΦx（s，x（s）-))脱欧。由其^o-F¨ollmer公式Φ（x）=Zτi+1（x）τi（x）UiΦx（s，x（s）-))dx（s）=Zτi+1（x）τi（x）φi（s，x（s）-))dx（s）。ThenuΦ（x）=M（x）-1Xi=0uiΦ（x）=ZTφ（s，x（s-))dx（s）。（13） 现在Fix*∈ J∑T（x）。As 0=τ≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ T是NP停止时间的联合强局部连续序列，存在n个开放Ux* J∑T（x）使得*∈uxandxn→ 十、*在Ux中*, i） ，ii）和iii）对10号保留文件的定义。使用U（·，·）∈ C1,2（[0，T]×R），x与x的连续性*, 还有τi（xn）→ τi（x）*) 对于所有i，我们得出结论：UiΦ（τi+1（xn），xn（τi+1（xn）））- UiΦ（τi（xn），xn（τi（xn）））→ （14） UiΦ（τi+1（x*), 十、*（τi+1（x）*))) - UiΦ（τi（x）*), 十、*（τi（x）*)))andZτi+1（xn）τi（xn）UiΦt（s，xn（s）-))ds→Zτi+1（x*)τi（x）*)UiΦt（s，x）*（s）-))ds。（15） 另一方面，我们有dhxniTs=dhxnitsds和dhx*iTs=dhx*它的DSDS。x~x的收敛性*在公制dQVimpli中为DHXNITSD→dhx*[0，T]上的itsdso。这一点，再加上U（·，·）∈ C1,2（[0，T]×R）和τi（xn）到τi（x）的收敛性*) 对于所有i，意味着zτi+1（xn）τi（xn）UiΦx（s，xn（s）-))DHXNITSDSD→Zτi+1（x*)τi（x）*)UiΦx（s，x）*（s）-))dhx*它的DSOR等价于τi+1（xn）τi（xn）UiΦx（s，xn（s）-))dhxniTs→i（τx+Z）*)τi（x）*)UiΦx（s，x）*（s）-))dhx*它的（16） 将表达式（14）、（15）和（16）与（12）和（13）结合起来，我们得到22个A.Alvarez和S.E。

费兰杜Φ（xn）→ uΦ（x）*).这意味着VΦ（T，xn）=V+ZTφ（s，xn（s））dxn（s）→ V+ZTφ（s，x）*（s） ）dx*（s） =VΦ（T，x）*),因此Φ在J∑T（x）上相对于度量dQV是局部V-连续的以下命题提供了在J∑T（x）上联合强局部连续的NP停止时间序列的示例，因此，满足T heorem 5中要求的次命题的NPstopping时间的示例。命题7设{Ki}i=1,2，。。。是一个带有Ki的实数递增序列→∞. 以下NP停止时间序列在J∑Twith关于度量dQV的联合强局部连续：–1）τi（x）=min（i Tn，T），对于i=0，1，…-2） τi（x）=min（inf{t:xt≥ 对于i=1，2。证明fix*∈ J∑Tand定义：U1，x*=纽约∈ J∑T:0<dQV（y，x）*) < o，U2，x*=纽约∈ J∑T:y（T）>x*（t） 对于t≥ o.U3，x*=纽约∈ J∑T:y（T）<x*（t） 对于t≥ o.对于上面介绍的两个NP停止ping时间序列中的每一个，considerUx*分别为：1）Ux*= U1，x*.2） Ux*=U1，x*∩ U2，x*在案例2a（见下面的证据）中，U1，x*∩ U3，x*在情况2b（见下面的证明）中，在情况1）和2）中，序列{x（n）}收敛到x*在公制中，应考虑DQV。1） 如果序列x（n）∈ U1，x*收敛到x*在公制dQVthen x（n）中→ 十、*在[0，T]上一致。停止时间序列τi（x）=min（iT/n，T），对于i=0，1。强局部连续是{x（n）}to x一致收敛的一个明显结果*以及t-rajectory x的连续性*.2） 考虑M（x）*) = L*. 有两种可能的情况，其中M（x*) = L*.案例2a）吉隆坡*-1.≤ 监督∈[0，T]x*t<KL*案例2b）xT=KL*和xt<KL*尽管如此，t∈ [0，T）假设我们在情况2a）中。考虑序列x（n）∈ U1，x*∩ U2，x*收敛到x*. 让我们首先从定义10证明iii）。

As x（n）∈ U2，x*, 很明显，它就是这样∈[0，T]x（n）T≥ 监督∈[0，T]x*T≥ 吉隆坡*.另一方面，当x（n）一致收敛到x时，基于轨迹的模型，套利和连续性*, 足够大的支持∈[0，T]x（n）T<KL*+1吨。我们包括那个*≤ 监督∈[0，T]x（n）T<KL*+1.因此f或n足够大，M（x（n））=L*因此iii）已经被证明。让我们从定义10证明我）。As x（n）∈ U2，x*n（τ）≤ τi（x）*) 对于所有i.现在fix>0，t h en x*（t） <Kiif t≤ τi（x）*) - . 当x（n）一致收敛于lyx时*我们还有x（n）（t）<Kiif t≤ τi（x）*) - 对于n足够大的情况，我们假设τi（x（n））>τi（x）*) - n足够大。然后τi（x*) - <τi（x（n））≤ τi（x）*).As可以根据需要被选为s mall，然后limn→∞τi（x（n））=τi（x）*) 对于所有我，因此我）被证明。为了从定义10而非ice证明：x（n）（τi（x（n）））- 十、*（τi（x）*))≤十、*（τi（x（n）））-十、*（τi（x）*))+x（n）（τi（x（n）））- 十、*（τi（x（n）））.前一个和中的第一项收敛为0，因为x*是连续的，τi（x（n））→ τi（x）*). 由于x（n）到x的一致收敛，第二项也收敛到0*. 我们可以得出这样的结论：x（n）（τi（x（n）））→十、*（τi（x）*)) 作为n→ ∞, 因此ii）是被证明的。案例2b）也类似。6.2 Heston型轨迹空间J∑T（x）的无套利NP-Portfol ios本节介绍了一个特定的波动率类别∑导致关联的轨迹空间J∑T；它还描述了一类NP投资组合，这些投资组合在这条轨迹上是NP任意的。这是通过使用Theo rem 2实现的，inturns要求引入适当的随机市场模型。

该模型由Heston型随机波动过程给出，该过程也用于确定波动函数∑的类别。Zt=zexpZt（u）- σs/2）ds+ZtασsdB（1）s+Ztp1- ασsdB（2）s（17） σs=\'Vs\'Vs=hZss-hVtdt，h>0dVs=k（θ-Vs）+ξ√VsdB（2）s，V=V，其中B（1）和B（2）是独立的布朗运动，0<α<1，k，θ，ξ是正实数。为了确定s<h时的“Vs”，我们将假设t的Vt=Vf∈ [-h、 0]。为了保证Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程是精确正的，我们还将假设2kθ≥ ξ（见[11]）。24 A.阿尔瓦雷斯和S.E.费兰多（17）中描述的模型与cl assical Heston模型非常相似。主要的修正是波动过程σ的正则化，通常定义为σs=Vs。如果h很小，则v和v将接近，这意味着如果Heston模型满足经验收益率数据，则正则化模型也会如此。类似的论据曾被用于建立模型的实际有效性，例如[8]。设Sσ是过程σ的拓扑支撑，即C[0，T]（配备有一致范数拓扑）的最小闭子集，使得P（σ（ω）∈ A） =1。现在考虑集合∑=x∈ Sσ：x ha S fin ite variation}。可以很容易地检查到，几乎可以肯定的是，波动过程σ的轨迹在有限的变化之前是不同的，这意味着P（σ（ω）∈ Σ) = 1. 特别是，∑是非空的，但也可以肯定的是，价格过程Z的所有轨道都属于J∑T（Z），因此，定理2中的条件C是满足的。过程σ满足∑关于统一形式的一个小球性质，这是因为∑是sσ的子集，p过程σ的拓扑支撑。

然后，直接应用命题6意味着条件Cis也满足。通过方便地改变漂移，可以检查上述Heston型模型是否无任意年龄。现在我们将无套利性从这个模型转移到NP模型J∑T（z）。设Φb e是一个NP可容许的投资组合策略，定义在J∑T（z）上，如定理1或5所述。定义Φ的停车时间顺序如命题7所示。这保证了在度量dQV下Φ在j∑T（z）上是局部V-连续的。由于Heston模型Z（ω）的轨迹属于J∑t（Z），因此我们可以考虑同构的portfo lioΦZon Z，由ΦZ（t，ω）=Φ（t，Z（ω））（18）投资组合ΦZis在Z上容许，因此ΦZis不是该Heston模型的套利。直接应用定理2，我们得出结论，Φ不是J∑T（z）上的NP套利投资组合。6.3修改后的随机Heston波动性模型的含义让我们考虑一个类似于（17）的修改后的Heston随机波动性模型，唯一的区别是添加了一个新的随机项YT，如下所示。Zmt=zexpZt（u）- σs/2）ds+ZtασsdB（1）s+Ztp1- ασsdB（2）s+Yt（19） 假设随机过程Y是连续的，具有零二次变化，与B（1）和B（2）无关。与基于项目内的H eston模型、套利和连续性25（17）类似，可以证明（19）中的修改过程满足定理2中关于轨迹集J∑t（z）和度量Qv的条件C。我们已经论证了一个事实，即理论1或5中描述的NP port foliosΦ不构成NP仲裁机会。现在，无套利财产将转移到（19）中修改的海丝顿模型。为此，现在考虑一下（18）几乎可以确定的同构投资组合Φzd。

由于Φ不是J∑T（z）上的套利，可以应用定理2得出结论，对于修改后的Heston模型，ΦZis不是套利。值得注意的是，对Y施加的条件不是很强，因此该模型非常灵活。例如，如果Y=bH是1/2<H的分数布朗运动≤ 3/4，价格过程Z将不是半鞅。7概述该出版物[2]提出了一种基于轨迹的金融市场建模方法。提出的建立无套利结果的主要策略是将提出的基于轨迹的模型与经典的随机参考市场模型连接起来。这种联系是通过施加连续性假设和小球形式的密度条件来实现的。最近的论文继续并加强了这一研究方向，纳入了通过NP停止时间定义的更丰富的实践投资组合。事实证明，现实主义的ic轨迹集和一大类相关的实际投资组合可以通过NP套利模型来定义。这表明追求基于轨迹的市场模型的合理性。我们很自然地希望，pa PERC中的许多结果可以扩展，例如，可以证明停止时间序列的几个更常见的例子是联合强局部连续的，鉴于证明的技术要求，我们没有这样做。在完全市场的情况下，还可以建立每轨迹套期保值结果的轨迹，并定义一种基于自然最小最大值的定价方法，该方法也涵盖了不完全市场情况（如[2]所述）。参考附录e[12]详细介绍了不完全市场模型离散情况下的定价技术。

此外，最后一个参考为基于离散轨迹的市场建立了无套利结果，不需要对随机市场模型进行任何参考。附录技术成果和证明。引理1设0=τ≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ 根据Skorohod的度量，在Jσ，CT（x）上定义的NP停止时间（根据第10页的D e fi ni ti）是一个联合强的局部连续序列。假设infc∈C | C |>0。修正x*∈ Jσ，CT（x）。然后，存在一个开放集Ux* Jσ，CT（x）使x*∈Ux*每当xn→ 十、*在Ux中*我们有：Xs∈（τi（xn），τi+1（xn）]R\\{0}（xn（s）- xn（s）-))26 A.阿尔瓦雷斯和S.E.费兰多斯∈（τi（x）*),τi+1（x*)]R\\{0}（x）*（s）- 十、*（s）-))当n接近所有i≥ 0.证明fix*∈ Jσ，CT（x）。As 0=τ≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ T是联合强局部连续的，存在一个开放集Ux* 定义10中的Jσ，CT（x）。让{xn}n≥1是用户体验中的任意元素序列*收敛到x*在斯科罗霍德的停车学中。现在我们将考虑两种可能的情况：情况1：考虑x*跳到点y<y开放区间中的ym（τi（x*), τi+1（x*)). 作为xn→ 十、*在Skorohod拓扑中，存在一个递增函数λn:[0，T]→ [0，T]与λn（0）=0和λn（T）=T，使得λn（T）- T→ 0和xn（λn（t））- 十、*（t）→ [0，T]中的0一致。我们从[2]中的引理2中知道，对于足够大的n，轨迹xnjump a t点λn（y）<λn（y）<…<λn（ym）。当序列{τn}n=0,1，。。。是局部连续的，我们有τi（xn）→ τi（x）*) 和τi+1（xn）→ τi+1（x*) 就像小睡虫一样。另一方面，我们知道λn（t）→ 前前后后∈ [0，T]作为一个整体。然后我们可以得出τi（xn）<λn（y）<λn（y）<…<λn（ym）<τi+1（xn），意味着如果n足够大，对于x的每一次跳跃*在开放区间（τi（x*), τi+1（x*))xnin有一个跳跃（τi（xn），τi+1（xn））。案例2：现在假设x*在点τi+1（x）处准确跳跃*).

我们知道，对于足够大的n，xn将在λn（τi+1（x）点跳跃*)). 三角形不等式意味着|xn（τi+1（xn））- xn（λn（τi+1（x*)))| ≤ |xn（τi+1（xn））- 十、*（τi+1（x）*))|+|xn（λn（τi+1（x*))) - 十、*（τi+1（x）*))|.由于序列{τn}n=0,1，。。。在逻辑上是连续的。右边的第二项因xn而收敛为0→ 十、*在斯科罗霍德的停车学中。然后我们得出|xn（τi+1（xn））- xn（λn（τi+1（x*)))| 当n a p逼近时接近0，这意味着点τi+1（xn）≥ λn（τi+1（x）*)). 然后我们可以得出结论，如果x*在点τi+1（x）处准确跳跃*), 然后，对于n拉格诺，轨迹xnjump在λn（τi+1（x）处*)), 这一点满足τi（xn）<λn（τi+1（x*)) ≤ τi+1（xn）。案例1和案例2暗示X∈（τi（xn），τi+1（xn）]R\\{0}（xn（s）- xn（s）-))汇聚毒素∈（τi（x）*),τi+1（x*)]R\\{0}（x）*（s）- 十、*（s）-))当n应用程序为所有我≥ 0基于轨迹的模型，套利和连续性，命题5的证明。证明fix*∈ Jσ，CT（x），然后x*（t） =xeσz*（t） Qn*（t） i=1（1+a）*i） 为了一段时间*∈ZT（[0，T]），n*（t） =Pi[0，t]（s）*（一）∈ N（[0，T]），实数a*我∈ C、 i=1，2，N*（T）。这一命题的证明在很大程度上依赖于找到合适的开集*每种情况下。在构造这些集合之前，让我们先介绍一些符号。

认为任何元素∈ Jσ，CT（x）的形式为y（t）=eσzy（t）Qny（t）i=1（1+ayi）和zy∈ ZT（[0，T]），ny（T）=Pi[0，T]（syi）∈ N（[0，T]），和ayi∈ C、 定义：U1，x*=纽约∈ Jσ，CT（x）：0<dS（y，x）*) < o，Ux*=纽约∈ Jσ，CT（x）：syi<s*如果我≤ N*（T）o，U3，x*=纽约∈ Jσ，CT（x）：z*（t）- zy（t）<0表示≤ T≤ 到，Ux*=纽约∈ Jσ，CT（x）：a*我- ayi<0表示i≤ N*（T）o，Ux*=纽约∈ Jσ，CT（x）：（syi- s*i） a*i<0代表i≤ N*（T）o.U6，x*=纽约∈ Jσ，CT（x）：z*（t）- 的zy（t）>0≤ T≤ 到，Ux*=纽约∈ Jσ，CT（x）：a*我- ayi>0代表i≤ N*（T）o，Ux*=纽约∈ Jσ，CT（x）：（syi- s*i） a*i> 0代表我≤ N*（T）o.对于之前的每个NP停止时间序列，考虑Ux*分别是：1）Ux*= U1，x*礼服* .2） Ux*= U1，x*.3） Ux*=U1，x*TU3，x*礼服*礼服* 在案例3a和3b（见下面的证据）中，U1，x*TU6，x*礼服*礼服*在案例3c和3D中（参见下面的证据）。事实是Ux*对于这三种情况，每一种都是一个开集，它是[2]中引理2的结果。在这三种情况下，一个序列{x（n）}收敛到x*将予以考虑。当{x（n）}收敛到x时*在Skorohod度量中，则存在满足λn（0）=0，λn（t）=t的递增函数序列λn（t），使得：十、*（t）- x（n）（λn（t））→ [0，T]上的0一致为n→ ∞ （20） 和|λn（t）- t|→ [0，T]上的0一致为n→ ∞. （21）28 A.Alvarez和S.E.FerrandoCase 1）：考虑U1，x中的一系列t rajectories{x（n）}*礼服*收敛到x*在theSkorohod的拓扑结构中。假设NP停止时间τi（x）=min（iT/N，T）不依赖于定义10中的轨迹x，性质i）和iii），显然满足要求。现在让我们证明ii）。考虑一下任何一个问题∈ [0，T]。