金融危机期间的回报和波动建模：一个时代

我们定义了二元函数：Z×Z+7-→ R byt，k=Yk-1j=0c（t- j） ，（21）加上初始值t，0=1和t，-1=0，其中c（·ha）已在上述公式（5）中定义。换句话说，t，1=c（t），和t，kfork≥ 2是k项的乘积，k项由m个时间t的时变系数c（·）组成- k+1到时间t。对于等式（2）中有m个突变的GARCH过程，我们有t，k=Yml=0cκl+1.-κll+1.（22）接下来，我们定义，r+1=t，rα*（t）- r） ，r≥ 0，（23）其中α*（t） 已在公式（4）中定义。注意，当r=0，gt，1=α*（t） ，自t起，0=1。由于TV-AGARCH（1，1）模型可以解释为“TV-ARMA（1，1）”过程，因此直接从第3.1节中的结果可以看出，方程（5）的通解具有自由常数（初始条件值）ht-k、 由hgent给出，k=hhomt，k+hpart，k=t，kht-k+k-1Xr=0t，rω（t- r） +kXr=1gt，rvt-r、 （24）式中定义了t，rand gt。分别为（21）和（23）。在上面的表达式中，hgentis分解为两个部分：hhomt，kpart，它用自由常数（ht）表示-k） )；hpart，kpart，包含时变漂移项ω（·）和不相关项（vs）。注意，在等式（24）hgent中，kis用对角行列式（s和gs）表示。接下来考虑具有常数系数的GARCH（1，1）模型的情况。

因为对于这个模型，α（t），a，和c（t），c，α+b，对于所有的t，那么t，k简化为ck和gt，kbecomes ck-1a代表k∈ Z+（例如，见Karanasos，1999）。3.2.1时变无条件方差。为了全面描述由等式（4）驱动的TV-AGARCH（1，1）过程，我们首先推导出其多步预测、相关预测误差和均方误差，其次，该过程的第一个无条件力矩（第二个无条件力矩和卵巢结构可根据要求提供）。ht，E（ht | Ft）的k步超前预测因子-K-1） ，很容易被蜜蜂吃掉（ht | Ft-K-1） =k-1Xr=0t，rω（t- r） +t，kht-k、 （25）其中，r≥ 1，t，r=E（t，r）。此外，上述k步超前预测器的预测误差FE（ht | Ft-K-1） ，由FE（ht | Ft）给出-K-1） =kXr=1gt，rvt-r、 （26）注意，这个预测值是用时间t的k个不相关项（vs）表示的- 托蒂姆t- 1，其中“系数”的形式为对角行列式（）。均方误差由Var（ht | Ft）给出-K-1） =Var[FE（ht | Ft-K-1） ]=eκkXr=1gt，rE（ht）-r） ，（27）式中，对于r，gt，r=E（gt，r）≥ 1.用k次矩E（ht）表示-r） ，来自蒂梅特-k到时间t-1，其中系数是多步预报器的平方系数乘以eκ的表达式。此外，不相关项vt的定义意味着e（εt | Ft-K-1） =E（ht | Ft-K-1） ，FE（εt | Ft-K-1） =vt+FE（ht | Ft-K-1). 时间聚集问题的关联均方和更广泛的弱GARCH过程讨论见Bollerslev and Ghysels（1996）和Ghysels and Osborn（2001，第195-197页）。E（t，r）=E[Yr-1j=0c（t- j） ]=年-1j=0c（t- j） 对于c（t），E[c（t）]=α（t）+β（t）+γ（t）。

对于具有m个突然中断的过程：E（t，r）=Yml=0cκl+1.-κll+1.E（gt，r+1）=E（t，r）[α（t- r） +γ（t）- r） /2+α（t- r） γ（t）- r） ]和，f或r≥ 1，E（t，r）=年-1j=0E[c（t- j） 其中e[c（t）]=[α（t）+β（t）]+γ（t）/2+[α（t）+β（t）]γ（t）。误差由Var[FE（εt | Ft）给出-K-1） ]=eκe（ht）+Var[FE（ht | Ft-K-1） ]=eκPkr=0gt，rE（ht）-r） 。接下来，为了获得ht的第一个无条件矩，对于所有t，我们施加以下条件：Pkr=0t，rω（t- r） 作为k→ ∞ 为正且收敛，andeκX∞r=1supt[gt，rE（ht-r） ]<M<∞, M∈ Z+，（28），这保证了，对于所有的t，等式（5）中的模型允许二阶r-MA(∞) 代表：hgent，∞= 林克→∞霍巴特，吉隆坡=∞Xr=0t，rω（t- r）+∞Xr=1gt，rvt-r、 （29）这是等式（4）中TV-AGARCH（1，1）模型的唯一解决方案。上述结果表明{hpart，k，t∈ Z+}（在公式（24）中定义）L转化为k→ ∞ 当且仅当ifPkr=0t，rω（t-r） 作为k→ ∞ ConvergenceSandpkr=1gt，rvt-Rconverge a.s.，因此在上述条件下，∞L=limk→∞hpart，KSaties eq。(24).此外，ht的第一个时变无条件矩E（ht）=σt是ht的（k+1）阶跃预测器的极限，E（ht | Ft-K-1） ，作为k→ ∞:E（ht）=limk→∞E（ht | Ft-K-1) =∞Xr=0t，rω（t- r） 。（30）请注意，第一个时刻是时变的。条件变量的期望值，即误差的无条件方差，是时变系数的有限和，其中系数（s）表示为对角线终点的期望值。最后，对于等式（2）中有m个突然断裂的过程≤ κ我们有（当且仅当ifcm+1<1）：E（ht-i） =1-cκ-i1- cω+mXl=2ecl1.-cκl-κl-1.l1.- Clωl+ ecm+11- cm+1ωm+1，（31）带ECl=cκ-艾伊l-1j=2（cκj-κj-1j），其中我们使用约定yjr=i（·）=1表示j<i，ωs和cs在等式中定义。（4） 和（5）分别。

注意，当且仅当ifc<1时，上述表达式为→ -∞ 变成：E（ht）-i） =ω1-csince ecl=cκ-i=0表示所有l . 最后，当i>κm时，也就是当我们在所有的断点之前，那么ifcm+1<1:E（ht-i） =ωm+11-cm+1.4方法和数据本节概述了我们在研究各种金融危机期间随机过程的不同性质时所采用的方法，并概述了所采用的数据。首先，我们描述了我们估计的单变量模型。然后我们提到我们采用的中断识别方法。4.1单变量模型让股票收益率用rt=（对数pt）表示- 对数pt-1） ×100，其中Pti是股票价格指数，并将其平均方程定义为：rt=u+φrt-1+φrt-2+εt，（32）式中εt | Ft-1.~ N（0，ht），即创新是条件正态的，均值和方差为零。接下来，条件方差的动态结构被描述为Glosten等人（1993）的AGARCH（1，1）过程（如Karanasos和Kim，2006），也可以使用非对称幂拱）。为了检验breaks对条件方差持续性的影响，下面的公式如下：ht=ω+Xi=1ωiDi+αεt-1+Xi=1αiDiεt-1+γS-T-1εt-1+Xi=1γiDiS-T-1εt-1+β-羟色胺-1+Xi=1βiDiht-1、（33）S在哪里-T-1=1如果et-1<0，其他0。注意，未能拒绝H：γ=0和γi=0，i=1，7，意味着条件方差遵循对称GARCH（1，1）过程。此外，二阶条件要求c<1且c+Xi=1ci<1。breakdates i=1。。。。，表1中给出了7，并且在每次休息之前和休息之后，Diare虚拟变量定义为0。我们还考虑了一个简单的GARCH（1，1）模型，该模型允许条件方差的动态在正和负股票回报之间切换。

这是因为变量中的主要结构断裂在统计上是显著的（见下文第5.1节），我们在平均值中不包括任何假人。此外，低阶AR规格捕捉了股票回报的序列相关性。c，α+β+γ和ci，αi+βi+γi/2。式（33）中的参数与式（2）中的参数之间的关系如下所示，即对于ωs:ω+Pm+1-li=1ωi=ωl,l = 1.m+1，其中右侧的ωs为等式（2）中的ωs。ht=ω+ω-D-T-1+αεt-1+ α-D-T-1εt-1+β-羟色胺-1+ β-D-T-1ht-1.（34）其中D-T-如果rt为1，则为1-1<0，否则为0。这是一个具有随机系数的TV-AGARCH模型的例子。4.2数据和中断概述我们使用从汤姆森数据流获得的股票市场指数的1-1-1988 30-6-2010期间的每日数据。为了解释平均值和/或波动率动态中出现破裂的可能性，我们使用一组非n参数数据驱动方法来确定潜在结构性破裂的数量和时间。特别是，我们采用了Karoglou（2010）的两阶段提名授予程序，以确定可能与均值和/或波动性动态的结构性变化或潜在非线性相关的中断，这些潜在非线性可能表现为均值和/或波动性动态的剧烈变化，并可能使我们的分析产生偏差。或者，我们可以采用Kim和Kon（1999年）、Bai和Perron（2003年）以及Lavielle和Moulines（2000年）中的方法选择断点（例如，见Karanasos和Kartsaklas，2009年，以及Campos等人，2012年）。5实证分析本节介绍了我们从不同计量经济工具中获得的实证结果。首先，我们介绍我们已经确定的休息时间，并讨论可能与之相关的经济事件。

然后，我们将重点放在股市回报上，并根据这些突破来调整我们的分析，首先是单变量模型的结果，然后是双变量模型的结果（见第6节）。5.1估计突破在股市回报上应用提名授予程序后，我们发现所有指数的随机行为都会产生大约三到七个突破在样本期内，平均约为两年至四年。潜在细分的主要特征是，方差的变化主要具有统计学意义。很明显，有一个或多个全球经济影响的系列，最终都是相同的。我们用α+D+t估计了另一种规格-1，β+D+t-1和ω+D+t-1，而不是α-D-T-1, β-D-T-1和ω-D-T-1，其中D+t-如果rt为1，则为1-1> 0，否则0。结果（未报告）非常相似。提名授予程序的两个阶段的详细信息以及股票市场回报率统计特性的摘要可根据要求提供。看来，1997年亚洲金融危机、2007-08年全球金融危机以及随后的欧洲主权债务危机等非同寻常事件的日期在所有股票收益率序列中都有明确的确定，几乎没有变化（见表1）。

其他不太引人注目的事件，如1998年的俄罗斯金融危机、1986-1991年的日本资产价格泡沫或英国退出欧洲汇率机制（ERM），也可能与某些系列中确定的中断日期有关。5.2单变量结果AGARCH（1，1）模型的准最大似然估计允许漂移（ωs）以及“条件方差动态”（αs、βs和γs）在考虑的断裂之间切换，如等式（33）所示，如表2所示。结果表明，估算模型具有良好的规范性：在5%的水平上，所有情况下的残差均不存在线性或非线性相关性。请注意，徽章参数不包括在内。在所有八种情况下，断裂对ω的影响都不显著。然而，对于所有股票收益率（无论考虑的是对称GARCH（1,1）还是AGARCH（1,1）模型），断裂对“条件方差的动态结构”都存在显著影响。更具体地说，虽然在标准普尔和DAX的情况下，拱形参数在一个单断点上显示出时变特征，但对于CAC和恒生，拱形参数在两个断点上移动了一个交点，对于海峡，拱形参数在三个断点上移动（见α系数）。关于GARCHparameter，CAC和日经指数显示，只有一个时段的时间参数会发生变化，但标准普尔、东京证交所和富时指数会在两个时段内发生变化。此外，GARCH参数显示，在DAX情况下，跨越三个断点的时间变化模式，在海峡情况下，跨越五个断点的时间变化模式。有趣的是，非对称性参数也显示了在考虑数据挖掘时的显著时间变化。

具体而言，TSE、DAX和恒生证券的案例在一个时段内发生了显著的变化，而SS&P、CAC和FTSE在三个时段内呈现出时间变化模式，在两个时段内呈现出海峡（见表2中的γ系数）。此外，考虑到GARCH（1，1）过程的动态性，将股票收益率转换为正和负（见表3），结果显示是稳健的。显然，ARCH和GARCH参数在所有情况下都显示出正反馈和负反馈的时间依赖性（参见α）-, 和β-系数）。总的来说，表4显示，股票回报的条件方差的持续性在不同的时间段内有所不同，详细说明了股票回报的每个截止日期与在截止日期期间或前后发生的世界或各个经济体的重大经济事件之间可能存在的关联，可根据要求提供，以下是各细分市场的描述性统计数据摘要。标准AGARCH（1，1）模型的准最大似然估计可根据要求提供。Paraskevopoulos等人（2013年）报告了对称GARCH（1，1）模型的结果，该模型允许条件方差的动态在考虑的缺陷之间切换。通过考虑AGARCH（1，1）模型，考虑了所有情况下的断裂。持久性是用C来衡量的l= αl+ βl+ γl/2.l = 1.m+1（这也是Eq.（31）中使用的cs），例如βl= β+Xm+1-li=1βi |{z}式（33）。受这些中断影响最大的案例包括东京证交所、DAX、恒生、日经和海峡银行。特别是，在1996年中断后，TSE的条件方差e的持续性从0.93增加到0.98，在最近的金融危机期间保持在0.98，在欧洲主权债务危机后增加到接近统一。

关于DAX条件变量的持续性，它似乎不受德国重新统一的影响，在亚洲金融危机期间，其最高值为0.98，在德国宣布180亿欧元的减税计划（2003年6月17日）后，其最低值为0.94，在最近的金融危机中，它上升到了0.97，并且在苏联统治时期的债务危机中仍然存在。研究结果还表明，在2001年7月取消储蓄存款后，恒生的条件方差持续性从0.97下降至0.92（其最低值），在2007/2008年最近的金融危机期间上升至0.99，最终在欧洲主权债务危机后下降至0.94。此外，亚洲金融危机后，海峡持续性的误差从0.87增加到接近统一（0.99）。然而，这种持续性在2000年6月的break之后下降到0.91，在2001年新加坡意外的经济衰退期间保持不变，在全球金融危机爆发前反弹到0.97，然后在欧洲主权债务危机期间急剧下降到0.88。令人惊讶的是，日经指数的条件方差从0.90增加到大约0。在1986年至1991年期间，日本的资产价格泡沫持续了98年，之后仍然没有受到影响。例如，亚洲金融危机以及最近金融危机的影响都是有限的，这可能是因为日本对此类危机免疫。通过允许GARCH（1，1）过程在正收益和负收益之间切换，条件方差的持续性也显示了一种时变模式（见表5）。

特别是，它表明，来自正回报的条件方差的持续性低于负回报的条件方差的持续性。更具体地说，在大多数情况下，正回报率会将条件方差的持续性降低到0.90左右，而负回报率的持续性接近于统一（0.9）。图2显示了八种股票指数回报的估计时变无条件方差。对于标准普尔指数，gra ph的第一部分显示了i<k时的无条件方差，也就是说，当股票回报的条件方差与标准AGARCH（1，1）模型生成的持续性的时变分段持续性的曲线图可根据要求提供时。ht-三次休息后的iis（t- k（=03/97），t- k（=09/08）和t- k（=03/09））（我们使用等式（31）中的公式构造时变无条件方差）。当我→ -∞, 无条件变量收敛于ω/（1）-c） =0.001/（1）-0.990 ) = 0.100. 随着i的增加，也就是说，随着时间的推移，无条件方差以越来越快的速度增加。图的第二部分显示了当k≤ 我≤ K-1，也就是说，当-在第一次和第二次休息之间。i值越高，无条件方差越低。当i=k时，无条件变量为[（1-ck-k） /（1）-c） +ck-k（1）-ck-k） /（1）-c） +ck-kck-k/（1）-c） ]ω=0.228（见等式（31）和表4第一列中的系数）。图的第三部分显示了当k≤ 我≤ K-1.当i=k时，非条件方差为[（1-ck-k） /（1）-c） +ck-k/（1）-c） ]ω=0.105。