金融危机期间的回报和波动建模：一个时代

也就是说，在t之间- k=t- kn+1和当前时间t=t- K AR过程包含n个结构断裂，从一组参数到另一组参数的切换是突然的。特别地，yτ=φ0，l+φ1，lyτ-1+φ2，lyτ-2+ετ，（1）对于l=1，n+1，τ=t-吉隆坡-1.T-kl+1，其中e[ετ| Fτ-1] =0和ετ遵循时变的阿加奇类型的过程，具有有限的方差στ（见下一节）。在AR（2）过程类别中，这种特殊情况非常普遍，允许截距和斜率偏移，以及具有时变方差的误差（另见Pesaran和Timmermann，2005年和Pesaran等人，2006年）。每个区域的特征是回归系数向量φl=（φ0，l，φ1，l，φ2，l）′，以及正的和有限的时变变量στ，τ=t-吉隆坡-1.T- 吉隆坡+1。我们将AR（2）模型称为n个突变突变点：阶数（2；n）的突变自回归过程，AB-AR（2；n）。为了保持展览的可操作性，并揭示其实际意义，我们采用低阶规格。{Ft}是σ-场Ft的非递减序列-1. 英尺 F在不丧失普遍性的情况下，我们将假设在预测范围之外没有中断。也就是说：区域一（l=1）延伸到时间τ=，t+2，t+1和第（n+1）个区域延伸到时间τ=t- k、 t- K- 1.2.2条件方差我们假设噪声项的特征是ετ=eτ的关系√hτ，其中hτ为正，概率为1，是Ft的可测函数-1.eτ是一个具有零平均值和单位秒和四阶矩的i.i.d序列：κ（i）=e（e2iτ），i=1,2。换言之，条件时间τ- 1） yτ的方差为Var（yτ| Fτ-1） =κ（1）hτ。在下文中，在不丧失一般性的情况下，我们将假设κ（1）=1。此外，我们将hτ的参数结构指定为具有m个突变的AGARCH（1，1）模型，0≤ M≤ K- 1.有时- κ、 t- κ, .

. ., T- κm，其中0=κ<κ<κ<··<κm<κm+1=k，κm∈ Z+，和κ-mis。也就是说，在t之间- k=t- κm+1和当前时间t=t- κ-Theaarch过程包含m个结构断裂，以及从一组参数到另一组参数的转换：hτ=ωl+ α*lετ-1+ βlhτ-1、（2）用于l = 1.m+1，τ=t-κl-1.T-κl+ 1.这里是α*l, αl+ γls-τ -1、带S-τ-如果eτ为1，则为1-1<0，否则为0。与AR过程一样，我们将假设在预沉积视界之外没有裂缝。显然，如果我们假设四个系数是常数，上述过程嵌套了简单的AGARCH（1，1）规范。在接下来的内容中，我们提供了该模型的主要时间序列特性的完整描述。尽管在这项工作中，我们将把注意力集中在AB-AR（2；n）-AGARCH（1，1；m）过程上。我们的结果很容易扩展到高阶模型（见Paraskevopoulos等人，2013）。2.3时变模型在本节中，我们面临着采用时变处理的突然中断过程的非平稳性。特别是，我们提出了一个框架，用于检验条件均值和方差中分别有n和m个突变的AR Agarchs规范。我们从a s a型TV-AR（2）-AGARCH（1，1）过程开始：yt=φ（t）+φ（t）yt-1+φ（t）yt-2+εt，（3）其中，对于l=1，n+1和τ=t-吉隆坡-1.T-kl+1，φi（τ），φi，l，i=0，1，2是时变漂移和AR参数；与前面一样{εt，t∈ Z} 是一系列零均值连续不相关的随机变量。这种不对称称为GJR-GARCH模型（以Glosten等人的名字命名，1993年）。

不对称powerARCH过程（见Karanasos和Kim，2006；Margaronis等人，2013）是另一种不对称变体。其他非对称GARCH模型见Francq和Zakoian（2010年，第10章）及其参考文献。这是一个AR（2）-AGARCH（1，1）模型，条件均值和方差分别有n个和m个突变。正和有限时变方差σt t、 回想一下，我们已经放松了在实践中可能被违反的同体性假设，并允许εt遵循TV-AGARCH（1,1）类型的过程：ht=ω（t）+α*（t） εt-1+β（t）ht-1、（4）去哪里l = 1.m+1和τ=t- κl-1.T- κl+ 1，ω（τ），ωl, α*（τ） ，α（τ）+γ（τ）S-T-1, α*l,和β（τ），βl是条件变分方程的时变参数。式（4）中的TV-AGARCH（1，1）公式可以很容易地看出具有以下表示式ht=ω（t）+c（t）ht-1+ α*（t） vt-1，（5）带c（t），α*（t） +β（t）=α（t）+γ（t）S-T-1+β（t），以及l = 1.m+1和τ=t-κl-1.T-κl+ 1，c（τ），cl; 条件变量vt=εt的“创新”- 通过构造，它是一个不相关项，期望值为0，E（vt）=σvt=EκE（ht）（所有t的第二个非条件矩E（ht）存在的条件可根据要求确定），Eκ=Var（et）=κ（2）- 1.

上述方程具有TV-ARMA模型的线性结构，允许对线性预测进行简单计算（见下文第3.2.1节）。虽然在下一节中，我们将重点关注TV-AR（2）-AGARCH（1，1）模型，但我们的结果很容易扩展到高阶s的时变模型（se e Paraskevopoulos等人，2013）。3理论考虑本节介绍了时变模型的一些新理论发现，这也为我们统一从中获得的结果提供了平台不同的计量经济学也是如此。也就是说，基于随机时变差分方程的可行闭式解，我们提出了一个框架，用于检验具有突然中断的AR模型，如等式（1）。在其他方面，我们举例说明了我们的理论方法如何被用于整合结构变化，在本文中，我们将其视为突然的断裂。我们还解释了如何在条件方差突然中断的情况下，将我们的方法扩展到AGARCH规范。正如Francq和Zakoian（2010年，第20页）在其他假设（暗示htorεt的二阶）下指出的，在我们的案例中，可根据要求提供，我们可以声明，如果εt遵循TV-Agrach模型，则htorεtare TV-ARMA过程也是如此。3.1平均值在式（3）中，具有时变系数的二阶齐次微分方程被写成φ（t）yt-2+φ（t）yt-1.- yt=0，t≥ τ+1=t- k+1。

（6） 上述方程中的有限方程组相当于有限线性系统，其有效矩阵为行有限（行有限矩阵为有限N×N矩阵，其行具有非零元素的计数）φ(τ + 1) φ(τ + 1) -1 ···φ(τ + 2) φ(τ + 2) -1 ···φ(τ + 3) φ(τ + 3) -1 ···...........................yτ-1yτyτ+1yτ+2yτ+3yτ+4。。。=..., （7） （这里以及在什么情况下允许矩阵中的空格必须用零替换）或以紧凑形式：Φ·y=0。等式的等价性。（6） 和（7）由以下事实得出：{1，2，3，…}中的任意i（7）的第i个等式是Φ的第i行乘以y的列等于零的结果，从时间t=τ+i开始，它相当于等式（6）。通过删除Φ矩阵的第一列，然后只保留前k行和列，我们得到以下方阵：Φt，k=φ(τ + 1) -1φ(τ + 2) φ(τ + 2) -1φ(τ + 3) φ(τ + 3) -1.φ（t）- 1） φ（t）- 1) -1φ（t）φ（t）（8） （式中τ=t）- k） 。形式上Φt，kis是一个平方k×k矩阵，其（i，j）项为1≤ i、 j≤ k由矩阵给出，向量分别由大写和小写的bol-dface符号表示。对于方阵X=[xij]i，j=1，。。。，K∈ Rk×kusing标准符号，det（X）或| X |表示矩阵X的行列式。-1如果i=j- 1、2≤ J≤ k、 φ1+d（t- k+i）如果d=0，1，i=j+d，和1≤ J≤ K-d、 否则为0。这是一个三角形或连续矩阵，这是一个上下Hessenbergmatrix的矩阵。接下来我们定义二元函数ξ：Z×Z+7-→ R乘以ξt，k=det（Φt，k）（9）加上初始值ξt，0=1和ξt，-1= 0.

ξt，k或k≥ 2是k×k矩阵的行列式；该矩阵的每两条非零对角线（超对角线下方）由时间变量φi（·）组成，i=1,2，从t开始- k+i到t。that是超对角线下方对角线中φi（·）的元素数- i+1。换句话说，ξt，kis是k阶三对角判定式。对于ab-AR（2；n）过程，ξt，kis由ξt给出，k=det（Φt，k）=φ1，n+1-1φ2，n+1φ1，n+1-1.φ2，lφ1，l-1φ2，lφ1，l-1.φ2,1φ1,1-1φ2,1φ1,1, （10） 就是(我,我)- 1） ，和（i，i）行中的元素i=k- 吉隆坡-1.K- （吉隆坡）- 1） ，l=1，n+1，矩阵Φt，kare分别由φ2，landφ1，l给出。式（6）的一般齐次解的一般l项，带有两个自由常数（初始条件值），yt-康提-K-1，由yhomt给出，k=ξt，kyt-k+φ（t）- k+1）ξt，k-1yt-K-1.（11）同样地，一般特解ypart，k，可以用部分表示，k=k-1Xr=0ξt，rφ（t- r） +k-1Xr=0ξt，rεt-r、 （12）具有自由参数yt的等式（3）的通解-k、 yt-K-1由齐次解和特解之和给出：ygent，k=yhomt，k+ypart，k=ξt，kyt-k+φ（t）- k+1）ξt，k-1yt-K-1+k-1Xr=0ξt，rφ（t- r） +k-1Xr=0ξt，rεt-r、 （13）（参见附录以及Paraskevopoulos等人，2013年和Karanasos等人，2014a）。在上述表达式ygent中，kis分解为两个部分：yhomt，kpart，它是根据两个自由常数（yt）编写的-K-i、 i=0,1）；以及包含时间t的时变漂移项（φ（·））和误差项（εs）的ypart，kpart-k+1到时间t。当k=1时，由于ξt，0=1和ξt，1=φ（t），上述表达式简化为等式（3）。还请注意，对于具有n个突然中断的模型，我们有-1Xr=0ξt，rφ（t- r） =n+1Xl=1φ0，lkl-1Xr=kl-1ξt，r和φ（t- k+1）=φ2，n+1，式中ξt，ris在式（10）中给出。

我们的TV模型/方法的主要优点是，我们假设参数s的演化规律未知，尤其是它们可能是随机的（即，我们可以有一个平稳或非平稳的过程）或非随机的（例如，周期模型作为一个例子，见Kar anasos et al.，2014a，b）。因此，不限制时变AR参数的函数形式。在非随机情况下，该模型允许（过去/已知）突然中断。3.1.1第一时刻我们将注意力转向考虑TV-AR（2）-AGARCH（1，1）过程的时间序列特性。让三胞胎(Ohm, {Ft，t∈ Z} ，P）表示过滤为{Ft}的完全概率spa ce。lp表示具有有限P阶的有限复随机变量的P-等价类的空间。最后，H=L(Ohm, Ft，P）表示具有有限第一和第二矩的随机变量的希尔伯特空间。假设漂移和两个AR时变系数φi（t），i=0，1，2是非随机的，并采用等式（13）关于σ场Ft的条件期望-kyields是ytE（yt | Ft）的K阶前最优（L-意义）线性预测器-k） =k-1Xr=0ξt，rφ（t- r） +ξt，kyt-k+φ（t）- k+1）ξt，k-1yt-K-1.

（14） 此外，上述k步ahea d预测的预测误差为，FE（yt | Ft-k） =yt- E[yt | Ft-k] ，由fe（yt | Ft）给出-k） =k-1Xr=0ξt，rεt-r、 （15）是时间t中k个误差项的线性组合- k+1到时间t，其中时变系数ξt，r为（对于r≥ 2） r×r三对角矩阵（Φt，r）的行列式；该矩阵的每个非零变量对角线由AR时变系数φi（·）组成，i=1，从时间t开始为2- r+i到t。以下假设提供了用于获得具有非随机系数的非平稳时变过程的Wold分解等价物的条件。假设1。Pkr=0ξt，rφ（t-r） 作为k→ ∞ 所有t和p的收敛性∞r=0supt（ξt，rσt）-r） <M<∞,M∈ Z+。我们面临的挑战是，在时变模型中，由于时间相关系数的存在，我们无法反转AR多项式。我们克服了这个困难，提出了一种时变Wold分解定理（另见Singh和Peiris，1987；Kowalski和Szynal，1991）。在假设1下，具有非随机系数的等式（3）中的模型允许s秒阶(∞) 代表：ytL=limk→∞吉隆坡伊帕特=∞Xr=0ξt，r[φ（t- r） +εt-r] ，这是TV-AR（2）-AGARCH（1，1）模型（3）的独特解决方案。换句话说，YIT被分解为非随机部分和零均值随机部分。具体而言，与时间相关的第一时刻：E（yt）=limk→∞东（yt |英尺-（k）=∞Xr=0ξt，rφ（t- r） （17）是YTLimk的非随机部分→∞铁（钇英尺）-k） =P∞r=0ξt，rεt-ris为零均值随机参数。ytis的时变期望值是时变漂移的有限和，其中时变系数表示为连续矩阵的行列式（ξs）。3.1.2秒动量下面的本节和第3.2.1节讨论了TV-AR（2）AGARCH（1，1）模型的二阶特性。

接下来，我们陈述二阶矩结构的结果。均方误差[FE（yt | Ft-k） ]=k-1Xr=0ξt，rσt-r（18）是时间t的k个方差的线性组合- k+1到时间t，时间变异系数（平方ξs）。此外，在假设1下，存在第二个时变无条件矩y，并且给出了byE（yt）=[E（yt）]+∞Xr=0ξt，rσt-r、 （19）是误差的时变无条件方差σt的有限和-r、 （见下文第3.2.1节）具有时变“系数”或权重（ξs的平方值）。另外，时变自协方差函数γt，kis由γt，k=Cov（yt，yt）给出-（k）=∞Xr=0ξt，k+rξt-k、 rσt-K-r（20）=ξt，kVar（yt）-k） +φ（t）- k+1）ξt，k-1Cov（yt）-k、 yt-K-1） ，其中第二个等式来自MA(∞) 表示式（16）中的ytin和式（13）中的通解中的第三个，以及COV（yt-k、 yt-K-1) =∞Xr=0ξt-k、 r+1ξt-K-1，rσt-K-1.-r、 对于任何固定的t，limk→∞γt，k→ 0当limk→∞ξt，k=0 t、 对于具有n个突然中断的过程。（1） ξt，kis由式（10）给出。图1作为一个示例，图1显示了具有三次中断和同余/独立创新的AR（1）模型的自相关（ACR）。面板B中的左图显示了第一顺序ACR，Cor（yt-i、 yt-我-1） ，对于一个在时间t处有中断的AR（1）模型-k（=100），t-k（=120）a无损检测- k（=140），自回归系数φ1,1=0.98，φ1,2=0.80，φ1,3=0.70，φ1,4=0.90。gra ph的第一部分显示了当i<k=100时的ACR，即当yt-三次休息后的iis:t- i>t- k（自相关的构造基于公式（20））。随着i的增加，也就是说，随着时间的推移，一阶ACR以增加的速度下降。

图的第二部分显示了k时的ACR≤ 我≤ K-1，也就是说，当yt-在第一次和第二次休息之间。图的第三部分显示了当k≤ 我≤ K- 1.自第三次破裂后，AC R增加，自回归系数从0.70增加到0.90。最后，我≥ k、 估算预测模型时变参数的第一个顺序超出了本文的范围（参见Elliott and Timmermann，2008，了解适用于《应用经济学人》的预测方法的优秀调查）。详情可按要求索取。参见第一作者个人网页上的附加附录：http://www.mkaranasos.com/PublicationsB.htmACR不受三个断裂的影响，因此等于φ1,4=0.90，而当→ -∞,ACR收敛到φ1,1=0.98。此外，面板C中的右图显示了七阶ACR（yt-i、 yt-我-7） 对于一个AR（1）mo de LW，在t时间有三次中断- k（=100），t- k（=121）和t- k（=142），自回归系数φ1,1=0.60，φ1,2=1.20，φ1,3=0.80，φ1,4=0.92和同质/独立创新。图的第二部分显示了当我≤ K-1和k+1≤ i+7≤ k、 图的下半部分显示了k时的ACR≤ 我≤ K- 1和k+1≤ i+7≤ k、 图的第六部分显示了当k≤ 我≤ K- 1和k+1≤ i+7。不，当我≤ K- 1或k≤ 我≤ K- 1第七个或第七个ACR随i增加，而当k≤ 我≤ K- 1它们随着i的增加而减少。最后，对我来说≥ k、 ACR等于φ1,4=0.56，而当→ -∞, ACR转换为φ1,1=0.03.3.2条件方差为了简化本节分析的描述，我们将引入以下符号。与之前一样，t代表当前时间，k代表预测范围。