关于可容许项结构的范围

有趣的是，边界的大小（可以解释为不确定性的度量）随着回收率假设的增加而增加。对于低于40%的预期回收率，可将回收率对界限大小的影响视为无关紧要，但对于大于40%的回收率来说，情况已不再如此。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.550.60.650.70.750.80.850.90.951作为回收率界限的函数，标准到期日的存活概率界限3ybounds到期日5ybounds到期日7ybounds到期日10Y图4：根据截至2007年12月17日的AIG CDS利差计算的标准到期日的生存概率界限。贴现曲线是这样的：PD（t，t）=exp(-3%（t- t） ）.4可接受期限结构的构造在上一节中，我们解释了如何计算无套利和市场一致性贴现或信用曲线的标准到期日界限，给出了一些流动交易工具的一组市场报价。特别是，我们没有对重建的曲线施加任何平滑条件，这导致识别具有不切实际行为的“极端曲线”。在本节中，我们还要求重构曲线具有足够的规则性，因此在定义2的意义上是可接受的。3.提出的可容许曲线构造是基于这样一个想法，即动态术语结构模型的类别足够丰富，可以生成可容许的术语结构。构造的术语结构是均值回复有效模型的副产品。例如，利率曲线（swapcurves或债券收益率曲线）将定义为在短期利率模型中获得的零息票价格的初始期限结构。同样，信用曲线将定义为在违约强度模型中获得的生存概率的初始项结构。

曲线构建过程依赖于长期平均参数的逐日恒定规定，该参数允许完美再现一般利率产品（债券、掉期）和CDS合约的市场价格，同时保持一定程度的平滑度。在续集中，Y表示一个L’evy过程，W表示一个标准布朗运动。我们假设所有引入的过程都是基于随机基础定义的(Ohm, F、 F，Q）。对于每一个被考虑的dl′evy过程Y，其累积量函数用κ表示，即κ（θ）=logeeθY表3给出了布朗运动和两类L’evy从属函数的一些累积量函数，这些函数由一个变量λ参数化，该变量反过来控制L’evy过程的跳跃大小。我们请读者参考Cont和Tankov（2003），了解有关列维过程的更多详细信息。当时的期限结构曲线是根据当时观察到的一组市场行情S=（S，···，Sn）建立的，并与一组不断增加的到期日T=（T，··，Tn）相关。对于任何i=1。

，n，市场报价Si对应于到期日为Ti的金融工具的市场价格。L′evy测度累积布朗运动ρ（dx）=0κ（θ）=θ伽马过程ρ（dx）=e-λxxx>0dxκ（θ）=-日志1.-θλ逆高斯过程ρ（dx）=√2πxexp-λxx> 0dxκ（θ）=λ-√λ- 2θ表3：L’evy度量和累积量的示例我们假设，在风险中性概率度量Q下，根据构造下的曲线类型，短期利率或违约强度由扩展的L’evy驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程（L’evy驱动的OU）dXt=a（b（t）控制- Xt）dt+σdYct，（26）或扩展的CIR进程dxt=a（b（t）- Xt）dt+σpXtdWt，（27）其中长期平均参数b被假定为时间的确定函数，a是控制均值回归速度的正参数，σ是正波动参数。关于L’evy驱动的OU规范26，我们使用了一个额外的正参数c，它显示为时间t的递增变化→ 计算机断层扫描。该参数也可以被解释为波动性参数，但与σ相反，它控制跳跃频率（c的增加使潜在的L’evy过程更频繁地跳跃）。让Xbe为过程X的时间值。使用L’evy过程作为短期利率或违约强度动态的驱动源于这样一个事实，即由一些L’evy过程驱动的过程比由布朗运动驱动的过程在债券收益的时间序列上提供更好的效果。关于期限结构或信用风险建模的更多细节，读者可以参考Eberlein和Raible（1999年）、Cariboni和Schoutens（2004年）、Kluge（2005年）、Cr’epeyet等人（2012年）。备注4.1。规格（26）对应于L’evy Hull White extended Vasicek模型，但焦点放在曲线构造上，而不是曲线投影上。

在开创性的赫尔和怀特方法（见赫尔和怀特（1990））中，初始术语结构作为模型输入给出，函数b的定义方式是通过模型再现输入术语结构。在我们的方法中，与Hull and White框架相反，确定性函数b直接在marketquotes集合上校准。可容许曲线的拟议构造基于长期平均参数b的分段常数规定，即对于Ti，b（t）=bi-1.≤ t<Ti，i=1，n、 （28）式中T:=T。本规范由以下论点驱动：利率曲线，例如债券收益率曲线或OIS贴现率曲线，可以从零息票价格的期限结构中推导出来。信用曲线可以被视为生存概率的术语结构。正如我们将在第4.1小节中看到的，当在模型（26）和（27）中计算时，这些术语结构存在解析表达式此外，分段常数函数（28）具有对应于标准成熟度T，Tn.我们将在第4.2小节中看到，该功能允许将当前值的超参数化线性系统转换为可迭代求解的非线性方程三角系统。在某些条件下，无套利要求在隐含水平bi，i=1，n且校准后获得的曲线满足定义2.2.4.1曲线显式分析表达式的平滑条件。我们依赖于标准定价框架，在没有套利机会的情况下，到期时间为t的无违约零息债券的时间价值由p（t，t）=经验-ZttXudu| 英尺, （29）其中F是短期利率过程X的自然过滤。

注意，（29）也是生存概率Q（t，t）=Q（τ>t | Ft）的表达式，当X是违约时间τ的风险中性违约强度时。让我们用P（t，t）表示到期日为t的通用基本量的时间值。根据正在构建的曲线类型，该量可以是短期利率模型中零息债券的价格，也可以是违约强度模型中特定参考实体的生存概率。当均值回复水平b是时间的确定函数时，下面的引理是有效项结构模型理论中的经典结果，它给出了L’evy驱动的OU模型类中P（t，t）的分析表达式。引理4.2。在L’evy驱动的OU模型（26）中，成熟度为t的一般基本量的时间值由p（t，t）=exp给出-φ（t）- t） X- aZttb（u）φ（t）- u） 杜- cψ（t）- （t）（30）其中函数φ和ψ由φ（s）定义：=a1.- E-像, （31）ψ（s）：=-Zsκ(-σφ（s）- θ） ）dθ。（32）证据。利用它的^o引理，L’evy驱动的OU过程是这样的，对于任何t>tXt=e-a（t）-t） X+aZttb（θ）e-a（t）-θ） dθ+σZtte-a（t）-θ） dYcθ。（33）并且，使用（26）和（33），积分TxUDU可以重新表示为ZTxUDU=φ（t- t） X+aZttb（u）φ（t）- u） du+σZttφ（t- u） 迪库。（34）表达式（30）从（29）和（34）中获得，并使用Eberlein和Raible（1999）中的引理3.1。2当假设b是（28）定义的时间分段常数函数时，（30）右侧的积分可以在时间网格（Ti）i=0，。。。，这立即导致了以下命题。提案4.3。别这样-1<t≤ Ti。

在Levy驱动的OU模型中，如果b是（28）定义的阶跃函数，则P（t，t）=exp(-其中I（t，t，X）：=Xφ（t- t） +i-1Xk=1bk（ξ（t- Tk-1) - ξ（t）- Tk）+biξ（t）- 钛-1） +cψ（t）- t） 其中函数φ和ψ分别由（31）和（32）给出，ξ由ξ（s）定义：=s- φ（s）。（37）备注4.4。请注意，函数φ（以及由此产生的ξ）不取决于L’evy工艺规范。此外，对于大多数L′evy过程，（32）中累积量变换的积分没有简单的封闭形式解，但可以很容易地用数值计算。读者可以参考Hainaut和Devolder（2008）中关于L’evy过程的例子，其中（32）中定义的函数ψ允许一个封闭形式的表达式。当基本短期利率（或违约强度）过程遵循具有确定性长期平均参数b的扩展CIR过程时，类似的分析表达式可用。引理4.5。在扩展的CIR模型（27）中，成熟度为t的一般基本量的时间值由p（t，t）=exp给出-X k（t）- （t）- aZtt~n（t）- u） b（u）du（38）式中，φ由φ给出：=2（1）- E-hs）h+a+（h）- a） e-hs（39）和h：=√a+2σ。证据对于任何到期日t，由于Feynman-Kac公式，函数P定义为t≤ U≤ t×P（u，x）：=EQ经验-ZtuXudu| Xu=x是以下PDE的解决方案~P（u，x）u+a（b（u）- 十）~P（u，t）x+σx~P（u，t）十、-P（u，t）x=0，（40），最终条件为P（t，x）=1，对于所有x。可以直接检查P（u，x）=exp-x k（t）- u）- aZtu~n（t）- s） b（s）ds式（39）中给出的是PDE（40）的溶液。2用（28）定义的分段常数函数替换（38）中的b，得到以下结果。提案4.6。别这样-1<t≤ Ti。

在扩展的CIR模型中，如果b是由（28）定义的阶跃函数，则p（t，t）=exp(-I（t，t，X））（41），其中I（t，t，X）：=X- t） +i-1Xk=1bk（η（t- Tk-1) - η（t）- Tk）+biη（t）- 钛-1） （42）其中函数η由（39）定义，函数η由η（s）给出：=2ash+a+σlogh+a+（h- a） e-hs2h（43）和h：=√a+2σ。之前的结果也可以在Bielecki等人（2014年）中以更一般的形式找到。Schl¨ogland Schl¨ogl（2000）还考虑了一个具有分段常数参数的扩展CIR模型，以构造初始收益率曲线，但零息债券的价格在其方法中以递归方式给出，而它们在这里以闭合形式表示。备注4.7。在信用曲线构造的情况下，从曲线投影的角度来看，在费勒条件下的扩展CIR模型中，或者在选择一个L’evy下属作为L’evy驱动时，在L’evy驱动的OU模型中，可以保证违约强度过程的正性。根据所选的期限结构模型，假设2.4成立，命题4。3或命题4.6可用于计算曲线构造所选仪器的现值。请注意，与一些L’evy驱动的OU模型相反，扩展CIR规范下不需要数值积分。4.2容许曲线构造我们现在解释如何构造定义2.3中描述的容许曲线。回想一下，该曲线是通过匹配一组市场报价S=（S，…，Sn）建立的，对应于一系列到期日T=（T，…，Tn）不断增加的金融产品。在假设2.4下，曲线t→ P（t，t）与输入集S兼容，如果对于某个支付时间网格（t，…，tp。

，tpn），其中tpi=Ti，列向量P=（P（t，tk））k=1，。。。，以下矩形线性系统的pnis解A·P=B（44），其中A是n×pnis矩阵，B是n×1矩阵。此外，我们假设，对于任何i=1，n、 前一个系统的第i行对应于成熟度为Ti的金融产品的市场状况。请注意，矩阵A和B仅取决于市场报价S、标准到期日和产品特征。对于OIS贴现曲线构造，P=Pd和矩阵A和B可以很容易地从系统（6）中提取。对于基于CDS利差的信用曲线构造，P=Q矩阵A和B可从（18）所述系统的离散化版本中获得。作为一个矩形系统（n<pn），（44）可以接受多种解决方案。我们现在认为曲线t→ P（t，t）由命题4.3或命题4.6给出。简单地说，对于任何i=1，n、 当t属于时间间隔（t，Ti）时，P（t，t）仅取决于b，毕。由于市场信息系统44的第i行只涉及到期日小于Ti的曲线值，求解之前的矩形系统P相当于求解一个三角形非线性系统b=（b，…，bn），可以迭代求解第一步：找到解Pxj=1A1jP（t，tj；b）=b（45）o第二步：对于k=2，n、 假设b，··········································bk-1已知并发现“bk”是Kxj=1AkjP（t，tj；\'b，·bk）的溶液-1，bk）=bk（46），其中bk表示向量B的第k个元素，Akjdenotes表示矩阵A的（k，j）-项。在大多数情况下，A的所有项都有相同的符号，因此（46）的左侧是bk的单调函数。那么，如果存在解决方案，它就是唯一的解决方案。

前面的算法是一个所谓的bootstrap过程，在此过程中，非线性方程组的分辨率降低为单变量方程组的连续分辨率。考虑到方程在未知参数下是单调的，根解算器可以在每一步非常有效地获得数值解。备注4.8。注意，对于任何i=1，n、 如果隐含参数“biexists”，则后者取决于市场报价S，S和到期日为T，Ti。除此之外，它还依赖于基础模型参数，即L’evy OU模型的p:=（X，a，σ，c，pL）或扩展CIR模型的p:=（X，a，σ）。如果到期日严格增加，即T<…<Tn，A是一个满秩矩阵（秩n），且（44）的解在维数等于n的线性空间中演化- 请注意。一旦通过之前的迭代程序找到了一组隐含的参数（\'b，…，\'bn），市场条件就满足了。然而，定义2.3中描述的容许曲线满足了两个额外要求：曲线必须足够平滑且无套利。如何确保使用这些隐含参数生成的曲线具有这两个附加特性？提案4.9。曲线t→ 在之前的均值回复期限结构模型中构造的P（t，t）是一个绝对连续的导数。因此，曲线满足定义2.2中描述的平滑条件。证据让我们考虑一条由L’evy-OU期限结构模型构建的曲线。

根据方程式30，曲线t→ P（t，t）是连续的，其对t的导数由下式给出：P（t，t）t=P（t，t）-Xe-a（t）-（t）- 阿兹特-a（t）-u） b（u）du+cκ(-σφ（t）- t） )（47）因此，相应的瞬时正向曲线由f（t，t）=Xe给出-a（t）-t） +aZtte-a（t）-u） b（u）du- cκ(-σφ（t）- t） ）（48）这是t的绝对连续函数，即使b是时间的分段常数函数。对于信用曲线，基本违约时间t的密度函数→ P（t，t）f（t，t）作为两个绝对连续函数的乘积也是绝对连续的。给定等式38，对于由扩展CIR模型构建的曲线，也应采用相同的论证，其中瞬时正向速率为nByFCIR（t，t）=Xа（t- t） +aZtt~n（t）- u） b（u）du（49），其中φ表示（39）定义的函数的导数。2我们证明了根据我们的方法构造的曲线满足平滑条件。为了符合无套利要求，必须检查相应的瞬时远期曲线是否真的为正。注意，在给定（48）和（49）的情况下，两种方法中的瞬时远期利率都有近似的表达式。假设使用之前的迭代程序找到了一组隐含的均值回复参数b=（\'b，…，\'bn）。让我们成为这样一个成熟期吧-1.≤ t<Ti。隐含远期利率由f（t，t）=Xe给出-a（t）-t） +ai-1Xk=1’bk（φ（t- Tk-1) - φ（t）- Tk）+a′biφ（t- 钛-1) - cκ(-σφ（t）- t） ）（50）而隐含的CIR远期利率由fcir（t，t）=X~n（t）给出- t） +ai-1Xk=1℉（t- Tk-1) - ~n（t）- Tk）+aābiā（t）- 钛-1). （51）一种简单的方法是检查在Nt和Tn之间的每个时间点的远期利率的正性。下一个命题表明，对于每种期限结构，可以非常有效地检查构造远期利率的正性。提案4.10。