关于可容许项结构的范围

至于信贷市场，CDS合同通常被认为是3年、5年、7年和10年保护期限的流动性合同。在解决曲线不确定性及其对定价和风险管理的影响之前，第一步是确定可容许曲线可获得的值的范围。在本节中，我们将自己限制在曲线构造过程中，这两个过程都尊重无套利和市场约束。在曲线构建过程的这个阶段，没有特定的平滑条件。我们展示了如何在最液态的成熟度下构造基本主量的界。。我们用t<···<tp<··<tpn=tn表示截至最后一个到期日的年度时间网格，其中t<t和指数Pi被定义为tpi=t或i=1。。。，n、 换句话说，Pi是支付时间网格中与标准到期日Ti相关的指数。我们假设OIS合同的票面利率在以下期限内是可靠的：1至10年，然后是15、20、25和30年。请注意，前10个年度到期日的付款和到期时间网格重合，即t=t，··，t=t（pi=i，对于i=1，…，10）。让ibe为最小索引，使Ti6=ti（在我们的应用程序中，i=11）。回想例2.6，在市场条件下，贴现系数Pd（t，tk），k=1，Pn通过以下（矩形）线性方程组连接：Sipi-1Xk=1δkPD（t，tk）+（Siδpi+1）PD（t，Ti）=1，i=1，N

（6） 瞬时远期利率可以通过以下关系从贴现系数中推导出来：fD（t，t）PD（t，t）=-Pt（t，t）。对于i<i，方程的数量与未知贴现因子的数量相同。然后，找出未知因素相当于求解一个三角形线性系统。因为我≥ i、 它的方程少于未知的贴现因子，通过无套利曲线可以得到一整套贴现因子。下一个命题给出了与市场兼容的无套利曲线在标准到期日可能达到的价值范围。提议3.1。假设在时间t，引用OIS票面利率S，对于标准到期日T<…<Tn.回想一下，我与第一个利率支付日的指数相关，该指数与标准到期日不同。在到期日T，Tn，与市场兼容和无套利曲线相关的贴现因子为：PD（t，t）=1+Sδ，（7）PD（t，Ti）=1+Siδi1.-西西-1.1.- PD（t，Ti）-1), i=2，我- 1（8）和，对于任何i=i，n、 PDmin（t，Ti）≤ PD（t，Ti）≤ PDmax（t，Ti）（9），其中pdmin（t，Ti）=1+Siδpi1.-西西-1.1.- (1 - 硅-1Hi）PD（t，Ti-1), （10） PDmax（t，Ti）=1+Si（Hi+δpi）1.-西西-1.1.- PD（t，Ti）-1), （11） 带Hi:=pi-1Xk=pi-1+1δk.证明。对于任何i=2，n、 第一行- 线性系统（6）的1和i线可以表示为asSi-1pi-1Xk=1δkPD（t，tk）+PD（t，Ti-1） =1，Sipi-1Xk=1δkPD（t，tk）+SipiXk=pi-1+1δkPD（t，tk）+PD（t，Ti）=1。通过组合前面的两行，线性系统（6）的第i行可以重新表示为asSiSi-1.1.- PD（t，Ti）-1)+ 西皮-1Xk=pi-1+1δkPD（t，tk）+（1+Siδpi）PD（t，Ti）=1。（12） 然后我们指出，对于i=1，我-1，线性系统（6）是双对角线的，可以很容易地快速求解。这可以归结为方程（7）和（8）。

考虑到无套利贴现曲线是非递增的，因此在任意两个连续的标准到期日之间-1和Ti，i=i，n、 折扣系数必须大于Tiand Smaller的价值，而不是Ti的价值-1.因此，（10）和（11）分别给出的最小和最大贴现值PDmin（t，Ti）和PDmax（t，Ti）可以立即从方程（12）中推导出来，并且在没有套利机会的情况下，PD（t，Ti）≤ PD（t，tk）≤ PD（t，Ti）-1） ，对于k=pi-1+ 1, . . . , 圆周率- 1.2标记3.2。请注意，只要i>i，这些界限就无法明确计算，因为PDmin（t，Ti）和PDmax（t，Ti）可能取决于未知的贴现因子PD（t，Tk），k=i，i、 然而，当在每个标准成熟度下剥离曲线时，这些界限可以与自举程序一起使用，以连续限制可能的勘探因素集。我们现在给出一个递归算法，它允许获得不依赖于任何构建过程的边界（无模型边界）。对于一个特定的到期时间Ti，表达式（10）和（11）中的未知贴现因子可以用在前一个日期Ti计算的最坏界限代替-1.提案3.3。假设，对于任何i=i，n、 数量1-硅-Hi呈阳性。以下递归过程为标准到期日的OIS贴现系数提供了无模型界限第一步：对于i=1，我- 1.使用方程（7）和（8）递归计算PD（t，Ti）。o第二步：对于i=i，n、 Pmin（Ti）≤ PD（t，Ti）≤ Pmax（Ti）（13），其中Pmin（Ti）=1+Siδpi1.-西西-1(1 - (1 - 硅-1Hi）Pmin（Ti-1)), （14） Pmax（Ti）=1+Si（Hi+δpi）1.-西西-1(1 - Pmax（Ti）-1)).

（15） 此外，下界是尖锐的，即市场兼容的无套利曲线Pmin（t，·）达到的下界集（Pmin（Ti））iis和另一个市场兼容的无套利曲线Pmax（t，·）达到的上界集（Pmax（Ti））iis。证据如果，对于任何i=i，n、 数量1- 硅-1HI为正值时，表达式（10）和（11）的左侧对应于PD（t，Ti）的递增函数-1). 对于PD（t，Ti），在t达到最小（或最大）值-1） =Pmin（Ti）-1） （分别适用于PD（t、Ti）-1） =Pmax（Ti）-1)). 界限（14）和（15）是尖锐的，因为它们是由一些“极端”无套利曲线达到的。更具体地说，值（Pmin（Ti））是在Ti，i=i，n乘以曲线Pmin（t，·），这样，对于任何i=1，我-1，Pmin（t，Ti）由（7-8）定义，对于任何i=i，n、 Pmin（t，t）=Pmin（Ti-1） ，Ti-1.≤ t<Ti。在时间Ti，i=i，n乘以曲线Pmax（t，·），这样，对于任何i=1，我-1，Pmax（t，Ti）由（7-8）定义，对于任何i=i，n、 Pmax（t，t）=Pmax（Ti），Ti-1<t≤ Ti。2标记3.4。为了推导方程14，我们隐式假设，对于任何i=i，n、 数量1-硅-1HI为阳性，因此表达式（10）的左侧对应于PD（t，Ti）的递增函数-1). 对于基于OIS的贴现曲线构建，HI通常小于10（两个连续的标准到期日之间的间隔不超过10年），只要OIS票面利率小于10%，所有标准到期日都可以满足此假设。备注3.5。注意，对于任何i=i，n、 区间中的每一个值（Pmin（Ti）、Pmax（Ti））都是通过一条特定的无套利曲线来实现的，该曲线可以提供市场报价。

这是因为特定值Piin（Pmin（Ti），Pmax（Ti））以Pmin（Ti）和Pmax（Ti）的凸组合为特征，即（0，1）中存在α，使得Pi=αPmin（Ti）+（1）- α） Pmax（Ti）。由αPmin（t，·）+（1）定义的曲线PDα-α） Pmax（t，·）通过点（Ti，Pi），此外，它提供市场报价，并且无套利，因为后两个属性通过凸组合保持不变。图1显示了每个标准到期日的无套利贴现因子集（上图）和相应的连续复合即期利率曲线集（下图），这些曲线与截至2013年5月31日的OIS票面利率报价完全一致（见表1）。回想一下，从1年到10年的到期日，可以在没有不确定性的情况下计算贴现系数。对于下一个成熟度，可以使用命题3中描述的算法计算夏普模型自由边界。3.与到期时间15y、20y、30y和40y相关的界限用黑色段表示。我们还绘制了符合0 5 10 15 20 25 30 35 400.40.50.60.70.80.91 Time"ito"i到期OIS贴现因子的曲线Pmin（t，·）（实线）和Pmax（t，·）（虚线）0 5 10 15 20 25 30 35 4000.511.522.533.5time"ito"i到期OIS即期利率（百分比）界OIS贴现因子图1：上图：根据OIS票面利率构建的贴现因子界截至2013年5月3日。实线对应于达到下限（14）的曲线Pmin（t，·），而虚线对应于达到上限（15）的曲线Pmax（t，·）。下图：连续复合即期汇率的相应界限和“极端”曲线。（分别）这些到期日的下限和上限。

请注意，在两个标准到期日之间，贴现率的范围可以大于一个百分点。命题3.3的另一个应用是确定任何无套利和完美贴现曲线必须存在的矩形的并集sni=1Riin。考虑到无套利贴现因子没有增加，这些矩形由以下几点（左下、右上）定义：R={（0，PD（t，t）），（t，1）}，Ri={（Ti）-1，PD（t，Ti）），（Ti，PD（t，Ti-1） }对于i=2，我- 1和Ri={（Ti-1，Pmin（Ti）），（Ti，Pmax（Ti-1） }，因为i=i，n、 对于截至2013年5月31日OIS引用的票面利率，矩形的并集如图2所示。请注意，命题3.3也可用于检测市场数据中是否存在套利机会。市场报价集（Si）i=1，。。。，如果任何i=1，…，nis无套利，我- 1，PD（t，Ti）是指PD（t，Ti）<PD（t，Ti-1） 其中PD（t，t）：=1，如果对于任何i=i，n、 PDmin（t，Ti）<PDmax（t，Ti）。下面的命题给出了一种方法来检测报价OIS票面利率集中的套利机会。提议3.6。假设通过启动命题3.3中描述的递归算法来计算OIS折扣因子和模型自由边界。可以在数据集（Si）i=1，。。。，第一个指数是<硅-1+δiPD（t，Ti-1)1 - PD（t，Ti）-1)-1，i=2。

我- 1、（16）到期日（年）1 2 3 4 5 6 7掉期利率（百分比）0.0720 0.1530 0.2870 0.4540 0.6390 0.8210 0.9930到期日（年）8 9 10 15 20 30 40掉期利率（百分比）1.1570 1.3090 1.4470 1.9300 2.1160 2.1820 2.2090表1：截至5月31日的OIS掉期利率，20130 5 10 15 20 25 30 35 400.40.50.60.70.80.91 Time"ito"i到期OIS贴现系数OIS贴现曲线的界限图2：任何无套利贴现曲线必须位于2013年5月31日报价OIS票面利率上的矩形的并集。是的<硅-1+（Hi+δpi）Pmax（Ti-1)1 - Pmax（Ti）-1)-1，i=i，n、 （17）证据。如果第一个指数i介于2和i之间- 1，由于（8）不等式（16）导致PD（t，Ti）>PD（t，Ti）-1). 如果第一个指数i是i和n，则不等式（17）产生PDmin（t，Ti）>PDmax（t，Ti），在这种情况下，（Ti）上没有非递增曲线-1，Ti）这是一个时间Ti的市场利率。2标记3.7。根据命题3.6，OIS票面利率的增加顺序≤ ··· ≤ SNI总是与无套利曲线联系在一起。3.2风险中性生存概率的界限在上一小节中，我们提出了一种在标准到期日为OIS贴现因子建立市场一致性无套利界限的方法。这里，同样的方法适用于信用曲线的情况，即一组CDS利差隐含的违约概率的期限结构。我们考虑一个特定的标的实体（公司或主权发行人）或一个信用指数，CDS保护在几个到期日报价。让我们假设，对于该实体，CDS公平展期，···，在标准保护到期日T<···<Tn时观察到陷阱。

我们用byt<···<tp<··<tpn=TN表示保费支付日期，其中t<和一组指数（pi）表示tpi=TIF或i=1。。。，n、 回想例2.8，在市场失效条件下，生存概率Q（t，tk），k=1，Pn通过以下线性方程组连接：SiPixk=1δkPD（t，tk）Q（t，tk）+（1- R） PD（t，t）Q（t，t）+（1）- R） ZTitfD（t，t）PD（t，t）Q（t，t）dt=1- R，i=1，n、 （18）其中R是预期回收率，fD（t，t）是与贴现曲线PD（t，·）相关的瞬时远期利率。下一个命题给出了与市场兼容的无套利信用曲线在标准到期日可能达到的生存概率范围。提案3.8。假设在时间t，引用了公平价差S，Snare对于标准CDS测试是可靠的对于任何i=1，n、 与市场相容且无套利的信用曲线相关的生存概率Q（t，Ti）为：Qmin（t，Ti）≤ Q（t，Ti）≤ Qmax（t，Ti）（19），其中qmin（t，Ti）=1- R-iXk=1（（1- R） Mk+水槽）Q（t，Tk-1） PD（t，Ti）（1）- R+Siδpi，（20）Qmax（t，Ti）=1- R-我-1Xk=1（（1- R） Mk+水槽）Q（t，Tk）PD（t，Ti）-1)(1 - R） +Si（Ni+δpiPD（t，Ti）），（21），其中p:=1，t:=t（因此PD（t，t）=Q（t，t）=1），对于任何i=1，n、 Mi:=PD（t，Ti）-1) -PD（t，Ti）和Ni:=pi-1Xk=pi-1δkPD（t，tk）。证据通过考虑生存概率的无套利期限结构必须是非递增的，从而在任意两个连续的标准到期日之间-1和ti，i=i，n、 生存概率应大于Tian的值，小于Ti的值-1.

因此，分别由（20）和（21）给出的最小和最大生存概率值Qmin（t，Ti）和Qmax（t，Ti）可以立即从等式（18）和以下不等式组中导出：Q（t，t）≤ Q（t，t）≤ 1代表t≤ t<t，。。。Q（t，Ti）≤ Q（t，t）≤ Q（t，Ti）-1） 对于Ti-1.≤ t<Ti（22）备注3.9。请注意，这些边界无法显式计算，因为对于每个i=1，n、 上下限（20）和（21）取决于生存概率Q（t，Tk），k=1，我-1而后一种可能性并不确定。然而，对于基于OIS的贴现曲线，当在每个标准到期日剥离曲线时，这些界限可以与引导过程一起使用，以连续限制可能生存概率的探索集。对于特定的成熟期Ti，未知生存概率Q（t，Tk），k=1，我- 1在表达式（20）和（21）中，可以用在前面步骤sk=1，我- 1.这一论点导致了一个迭代过程的构建，该过程允许计算每个标准CDS到期日的生存概率的无模型界。下面的命题给出了这个过程。提案3.10。对于每个标准CDS到期日，可以使用以下递归过程计算隐含生存概率的无模型界限。对于i=1，n、 递归计算qmin（Ti）≤ Q（t，Ti）≤ Qmax（Ti）（23），其中qmin（Ti）=1- R-iXk=1（（1- R） Mk+水槽）Qmax（Tk-1） PD（t，Ti）（1）- R+Siδpi）（24）Qmax（Ti）=1- R-我-1Xk=1（（1- R） Mk+水槽）Qmin（Tk）PD（t，Ti-1)(1 - R） +Si（Ni+δpiPD（t，Ti））（25）和Qmax（t）：=1。至于基于OIS的贴现曲线构造，命题3.10可用于确定矩形的Unionofs ni=1Riin，任何无套利且完美的信用曲线都必须位于该Unionofs。

事实上，考虑到生存概率的任何无套利期限结构都是非递增的，这些矩形由以下几点（左下、右上）定义：Ri={（Ti-1，Qmin（Ti）），（Ti，Qmax（Ti-1） }，fori=1，n其中T=tand Qmax（Ti-1) = 1. 对于截至2007年12月17日的AIG CDS利差（见表2），矩形的并集如图3所示，其中对于所有标准到期日，模型自由边界（23）均用黑色段表示。0 1 2 3 4 5 6 7 8 100.910.920.930.940.950.960.970.980.991到期日CDS隐含生存概率CDS隐含生存概率界限图3：在2007年12月17日对AIG的CDS利差进行拟合时，任何无套利生存曲线必须位于的矩形并集。生存概率界限（24）和（25）是在R=40%和贴现曲线（如PD（t，t）=exp）下计算的(-3%（t- t） ）。到期日（年份）3 5 7 10CDS利差（bp）58 54 52 49表2:2007年12月17日的AIG CDS利差图4显示了与回收率假设相关的下限和上限的敏感性。正如所料，对于任何标准到期日，界限都是回收率的递减函数。这与以下事实一致：当违约情况下的预期损失减少时，违约概率必须增加，以达到相同的CDS利差水平。