关于可容许项结构的范围

让我们→ P（t，t）是一条由L’evy-OU期限结构模型构造的曲线，假设隐含均值回复水平的向量b=（\'b，…，\'bn）存在。前向曲线t→f（t，t）由（50）给出。假设p:=（X，a，σ，c，pL）是一个正参数向量，并且L′evy累积量κ的导数存在，并且严格单调(-∞, 0）。构造曲线在时间间隔（t，Tn）上是无套利的当且仅当，对于任何i=1，n、 f（t，Ti）>0且下列条件之一成立：Ft（t，Ti）-1)Ft（t，Ti）≥ 0,oFt（t，Ti）-1)Ft（t，Ti）<0和f（t，Ti）>0，其中Ti是这样的：Ft（t，ti）=0，我们回忆起t:=t证明。如果P（t，t）是t的非递增函数，则曲线是无套利的。根据等式（30）和（47），如果（50）给出的f（t，t）对区间（t，Tn）中的任何t都是正的，则确实如此。注意，f（t，t）=f（t，t）=X>0，对于任何i=1，n和任何一个-1.≤ t<Ti，转发速率f（t，t）可以表示为f（t，Ti）的函数-1） 和“bi:f（t，t）=”bi+f（t，Ti）-1） +cκ(-σφ（Ti）-1.- t） )-“bi”E-a（t）-钛-1)- cκ-σa1.- E-a（Ti）-1.-t） e-a（t）-钛-1)（52）将（Ti）中定义的功能-1，Ti），这样gi（t）=exp(-a（t）- 钛-1)). On（Ti）-1，Ti），函数t→ f（t，t）是指f（t，t）=Ki（gi（t）），其中Ki定义为（gi（Ti），1）byKi（x）=bi+f（t，Ti）-1） +cκ(-σφ（Ti）-1.- t） )-“bi”十、- cκ-σa1.- E-a（Ti）-1.-t） x. （53）注意f（t，t）在（Ti）上是严格正的-1，Ti）当且仅当Ki在区间上严格为正（gi（Ti），1）。As f（t，Ti）-1） >0且f（t，Ti）>0，那么kii在极值点gi（Ti）和1处也是严格正的。此外，如果κ是可微分的，则Ki的第一个导数由Ki（x）=f（t，Ti）给出-1） +cκ(-σφ（Ti）-1.- t） )-“bi”-cσae-a（Ti）-1.-t） κ-σa1.- E-a（Ti）-1.-t） x.

（54）假设κ是上的严格单调函数(-∞, Ki也是区间（gi（Ti），1）上的严格单调函数，作为κ的组成与x的函数的有效变换Ft（t，t）=Ki（gi（t））·gi（t），其中对于[Ti]中的所有t，gi（t）<0-1.Ti]。然后，让我们来处理以下三种可能的情况：o如果Ft（t，Ti）-1)Ft（t，Ti）>0，然后Ki（gi（Ti））Ki（1）>0。因此，Ki（gi（Ti））和Ki（1）具有相同的符号，并且由于Ki是严格单调函数，因此Ki不能穿过x轴。因此，Ki是（gi（Ti），1）上的严格单调函数。由于Ki在（gi（Ti），1）的极值点处严格为正，因此在该区间内保持为正如果Ft（t，Ti）-1)Ft（t，Ti）=0，那么，Ki（gi（Ti））=0或Ki（1）=0，但是前面的两个量不能同时等于零，因为Ki是严格单调的。然后，Ki在（gi（Ti），1）上是正的或负的，我们可以像前面的例子一样得出结论如果Ft（t，Ti）-1)Ft（t，Ti）<0，然后Ki（gi（Ti））Ki（1）<0。因此，Ki（gi（Ti））和Ki（1）具有相反的符号，并且由于Ki是严格单调函数，Ki在（gi（Ti），1）上穿过x轴一次。让xibe使Ki（xi）=0。然后Ki在xi处出现一个唯一的极值。由于Ki是连续增加和减少或连续减少和增加，并且Ki在（gi（Ti），1）的极值点处严格为正，所以Ki在（gi（Ti），1）上为正当且仅当Ki（xi）>0。这相当于f（t，ti）>0，其中ti=gi（xi）。注意，如果Y是一个L′evy从属函数，其累积量函数具有以下形式（例如，参见Applebaum（2009）中的定理1.3.15）κ（θ）=αθ+Z∞eθy- 1.ρ（dy）（55），其中α是正参数，ρ是Y的L′evy度量。如果ρ有一个有限的平均值，则κ在(-∞, 0）自θeθy- 1.= 叶θy≤ y表示θin(-∞, 0）安德烈∞yρ（dy）<∞.

因此，κ的衍生物(-∞, 0）由κ（θ）=α+Z给出∞yeθyρ（dy）。（56）然后，如果L’evy-OU期限结构模型由L’evy从属函数驱动，其累积量函数κ在(-∞, 0）只要基础L’evy度量的平均值确定，并且从（56）开始，其导数κ是一个严格递增的函数(-∞, 0）。在Vasicek项结构模型中，driveris是一个布朗运动，从表3可以看出，κ（θ）=θ和κ显然是一个递增函数。表3中的其他例子对应于L’evy从属函数，我们可以检查这些例子，κ是一个递增函数。提案4.11。让我们→ P（t，t）是由扩展的CIR期限结构模型构造的曲线，并假设隐含均值回复水平的向量b=（\'b，…，\'bn）存在。前弯→ fCIR（t，t）由（51）给出。如果p:=（X，a，σ）是正参数的向量，并且对于任何i=1，··，n，隐含的···，n是正的，则构造的曲线是无套利的。证据其结果来自等式51和以下事实，即φ是一个递增函数。2标记4.12。请注意，可以在隐含“bi”上找到一个较弱的条件，以保证CIR隐含远期利率的正性。然而，在这种情况下，均值回复水平可能为负，这与定义良好的平方根模型不兼容。给定一组市场报价（S，…，Sn）和一组相应的标准到期日（T，…，Tn），曲线T→ P（t，t；\'b，\'bn）在（t，Tn）上是可容许的，如果隐含参数\'b，“B现有充分满足4.10号提案中关于列维驱动的OU模型的假设，或4.11号提案中关于CIR模型的假设。请注意，前面的两个命题可以在迭代引导算法中使用。

事实上，在寻求隐含的均值回复水平时，一旦其中一个无套利条件不满足，数值过程就可以停止。4.3数值说明现在让我们展示一些使用之前方法构建的利率和信用期限结构。可接受OIS贴现曲线的构造我们首先考虑基于2013年5月31日观察到的OIS市场报价的OIS贴现曲线构造，如表1所示。在这个例子中，L’evy驱动的OU短期利率模型（26）被用作容许曲线的生成器。选择L’evy驱动器作为伽马从属，其累积函数如表3所示，参数λ=200。λ的选择对应于年平均跳跃大小为50 bps的aGamma从属。注意，如果短期利率过程由（26）给出，那么参数c对应于短期利率在一年内预期进行的跳跃次数。为了说明容许贴现曲线的多样性，考虑了跳跃频率参数c的不同值。短期利率过程的起点XO固定为0。063%，相当于2013年5月31日到期1个月的OIS利率。参数a和σ为a=0.01和σ=1。对于每个考虑的c值，使用第4.2小节中描述的程序，从OIS交换率中自举均值回复参数SBI。命题4。3用于计算该方法中的折扣系数。图5显示了通过对集合{1，10，20，…，100}中的每个c值重复构造过程而获得的贴现因子曲线集。这些值的每一个都会产生一条容许曲线。

图6显示了相应的一组（连续复合）贴现率和瞬时远期曲线（低到期日的上一组曲线）。在图5和图6中，黑色部分对应于到期时间15Y、20y、30y和40y的无套利界限。这些界限是用命题3.3计算出来的。正如预期的那样，这些到期日显示的曲线所显示的价值属于无套利界限。0 5 10 15 20 25 30 35 400.40.50.60.70.80.91到期时间（年）OIS贴现系数可接受贴现系数曲线集图5：截至5月在L\'evy OU模型中计算的OIS贴现曲线，31 20130 5 10 15 20 25 30 35 4000.511.522.53到期时间（年）OIS贴现率（百分比）一组可接受的贴现曲线和相关的远期曲线图6：截至2013年5月31日，在列维OU模型中计算的OIS贴现率和相关的远期曲线如图5和图6所示，对于低于10年的到期日，使用参数c对这些曲线取值的多样性几乎没有影响。这是因为我们知道贴现因子对这些到期日没有不确定性。然而，随着到期日超过10年，c对曲线多样性的影响是显著的。对于贴现系数曲线，这种影响在最后两个到期日（20年、30年）和（30年、40年）加剧。请注意，对于超过10年的到期日，远期曲线（图6）的可变性远高于相关即期利率曲线（图6）和贴现曲线（图5）的可变性。两条前向曲线之间的距离可以接近两个百分点，例如在30岁时可以看到。

这表明，给定一系列可接受的构造方法，由此产生的正向曲线所取的值范围可能显著大于相关即期汇率曲线所取的值范围。这意味着曲线构造过程中嵌入的不确定性在正向曲线中被放大。作为比较，我们现在将扩展的CIR模型（27）视为折扣曲线的生成器。输入的OIS数据集与前一示例中的相同。选择CIR短期利率过程的基本参数时，X=0.063%，a=σ=1。与前一个例子相反，这里不是通过使用一些额外的自由参数来生成容许曲线的。相反，我们选择在校准过程中加入额外的fit约束，同时保留曲线的允许性质。换句话说，生成的曲线被迫在某些预先指定的到期日采用一些预先指定的值。这些预先指定的点的选择与无套利界限一致，这样生成的曲线是可接受的，并且在标准到期日的值接近无套利上限或下限。0 5 10 15 20 25 30 35 400.40.50.60.70.80.91一套可接受的贴现因子曲线到期日（年）OIS贴现因子图7：根据截至5月的掉期利率计算的OIS贴现因子曲线，31 20130 5 10 15 20 25 30 35 4000.511.522.53到期时间（年）OIS贴现率（百分比）一组可接受的贴现曲线图8:OIS贴现率曲线根据截至2013年5月31日的掉期利率计算得出。图7中绘制的每个贴现系数曲线对应于一组特定的预先指定的值，这些值可以由一组黑点识别。图8显示了相应的一组可容许贴现率曲线。

无套利界限（与图5和图6完全相同）由标准到期日的黑色部分表示。如图7和图8所示，对于低于10年的到期日，所有生成的曲线表现相似。对于大于10年的到期日，所显示的一组可接受曲线可以采用显著不同的值，尤其是在非标准到期日。注意，由于可容许曲线集的凸性（见命题2.9），两条可容许曲线之间的任何点都可以通过可容许曲线到达。如图8所示，对于某些到期日，可接受贴现率的范围几乎等于百分之一点。容许生存曲线的构造正如前几节所强调的，我们的方法也可以用于从一系列引用的CDS价差构造生存曲线或缺省分布函数。每个价差代表与同一标的债务发行人相关的保护成本，但保护期限不同。在这个例子中，我们考虑了AIG在2007年12月17日观察到的到期日为3y、5y、7y和10y的CDS利差，如表2所示。选择的曲线生成器是扩展的CIR默认强度模型（27），其中a=σ=1。如第4.2小节所述，分段常数均值回复水平bi是从AIG市场利差中提取的。图9显示了通过对集合{0.01,0.25,0.49,0.73,0.97,1.21,1.45,1.69,1.94,2.18,2.42}中100Xis的每个Xsuch值重复构造过程而获得的一组允许存活曲线。所有生成的曲线都是允许的。根据命题3.10计算的套利自由边界由标准到期日3y、5y、7y和10y的黑色部分表示。

请注意，生存曲线与无套利界限一致。0 1 2 3 4 5 6 7 8 100.910.920.930.940.950.960.970.980.991可容许生存曲线集到期至到期生存概率图9：根据截至2007年12月17日的AIG CDS利差计算的生存曲线。计算曲线时，R=40%，贴现曲线使PD（t，t）=exp(-3%（t- t） ）。正如我们所观察到的，初始违约强度对接近零的到期时间的生存概率有显著影响，尤其是在两个第一时间段（0，3y）和（3y，5y）。对于超过5年的到期日，Xis的影响不太重要。我们还可以注意到，对于远离标准到期日的到期点，可容许值的范围似乎更大。这表明，减少曲线构建过程中的不确定性的一个适当方法可能是在任意两个连续标准到期日的中间点提高市场流动性。5结论在本文中，我们提出了一种方法，可以估计期限结构函数的多样性，并具有一些可接受的特征：无套利性、市场一致性和最小平滑度。我们首先展示了如何在无套利和市场一致的期限结构函数类中计算标准到期日的模型自由边界。至于OIS贴现曲线，建议的界限是清晰的，可用于检测可能隐藏在输入市场数据集中的套利机会。对于CDS隐含生存曲线，可以获得类似的界限。这个框架可以很容易地适应债券期限结构。当需要额外的最小平滑度条件时，具有均值回归效应的DynamicerM结构模型适用于生成允许的曲线。

我们表明，在不同的情况下（OIS折扣曲线和CDS曲线构造），以及在不同的方法中（Levy驱动的OU或扩展的CIRmodel），通过使用一些额外的未设置参数，可以欣赏到允许曲线的多样性。此外，由于容许曲线集是凸的，两条容许曲线之间的任何值都由一条容许曲线达到。数值结果表明，对于OIS贴现曲线和CDS生存曲线，建立期限结构的操作任务可能与显著程度的不确定性有关。在我们看来，这种风险应该得到更多的关注。下一步是衡量曲线多样性对金融产品估值和套期保值的影响，这是正在进行的研究项目的一部分。另一个角度应该是将拟议的框架扩展到多曲线利率环境，在这种环境中，必须在联合一致的过程中构建多条曲线（可能具有不同的期限和不同的货币）。参考文献f。Ametrano和M.Bianchetti。引导流动性不足：构建多条收益率曲线，形成市场一致性远期利率估计。风险书籍，2009年。安徒生。使用张力样条曲线构造折扣曲线。衍生产品研究综述，10（3）：227–267，2007。D.阿普尔鲍姆。列维过程和随机微积分。剑桥大学出版社。，2009年，T.R.比莱基、A.堂兄、S.克雷佩和A.赫伯特森。具有随机强度和随机回收率的投资组合信用风险的自底向上动态模型。即将出版的《统计学理论与方法通讯》，2014年。N.布兰格和C.施拉格。模型风险：风险度量和对冲的概念框架。InEFMA 2004巴塞尔会议文件，2004年。J.Cariboni和W.Schoutens。在列维模型下为信用违约掉期定价。

技术报告07，鲁汶大学统计中心，2004年。M.Chibane、J.Selvaraj和G.Sheldon。在良好的基础上构建曲线。工作文件，2009年。R.Cont.模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。《数学金融》，16（3）：519–547，2006年。R.康特和P.坦科夫。具有跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔/华润出版社，2003年。S.Cr\'epey、Z.Grbac和H.N.Nguyen。银行间风险的多曲线HJM模型。《数学与金融经济学》，6（6）：155-1902012。M·H·戴维斯和D·G·霍布森。交易期权价格的范围。数学金融，17（1）：1-142007。E.德曼。模型风险。1996年，E.埃伯林和J.贾科德。关于期权价格的范围。《金融与随机》，1（2）：131–140，1997年。E.埃伯林和S.雷布尔。一般L’evy过程驱动的期限结构模型。《数学金融》，9（1）：31-531999年。N.El Karoui、M.Jeanblanc Picqu`e和S.e.Shreve。布莱克和斯科尔斯公式的稳健性。数学金融，8（2）：93-1261998。C.P.薯条。曲线和期限结构模型：利率曲线和期限结构模型的定义、校准和应用。DZ银行股份有限公司；慕尼黑理工大学数学系，2013年。M、 Fujii、Y.Shimada和A.Takahashi。关于构造带和不带抵押品的多重互换曲线的注释。FSA研究综述，6（139-157），2010年。T.C.Green和S.Figlewski。金融机构书写期权的市场风险和模型风险。《金融杂志》，54（4）：1465-149991999年。P.S.哈根和G.韦斯特。曲线构造的插值方法。应用数学金融，13（2）：89–129，2006年。D.海诺和P.德沃尔德。用L'evy过程进行死亡率建模。保险：数学与经济学，42（1）：409–4182008。P.海纳夫。模型风险的标准化度量。工作文件，2010年。J.赫尔和A.怀特。利率衍生证券的定价。