多边贸易中的便利化和内部化最佳战略

（3.7）交易者期望报酬最大化的目标被描述为一个随机控制问题。问题3.1（1）内化交易者寻找最佳交易策略z*= （Za）*, Zb*, βa*, βb*) ∈ 津坦德h*= （哈*, 血红蛋白*) ∈ H以达到最大预期的期望值Vmix，int（）：=sup（Za，Zb，βa，βb）∈津特（哈，血红蛋白）∈他ξIh，Z（T），Ch，Z（T）. （3.8）奖励Vmix，int（）是溢价的函数，因为现金金额Ch，Z（T）是的函数。（2） 普通交易者寻找最佳的交易策略*= （Za）*, Zb*, 0, 0) ∈ 兹雷甘德*= （哈*, 血红蛋白*) ∈ H达到最大预期报酬vmix，reg:=sup（Za，Zb，0,0）∈Zreg（ha，hb）∈他ξIh，Z（T），Ch，Z（T）.形式（3.2）的奖励函数的控制问题有五个维度的状态过程（Qa、Qb、I、Pa、Pb）。对于C（T）中非线性的奖励函数，问题3.1仍然是可解的，在这种情况下，状态过程将现金量C作为第六维度。假设3.1是一个技术假设，在这个假设下，问题4.1和问题3.1是适定的。奖励标准满足假设3.1的几种常见情况是现金和存货的线性组合，清算或注入一定数量的股票，并且仅在期末持有现金，对应于（3.2）中定义的ξ（I（T），C（T））（1）ξ（I（T），C（T））=rCC（T）+rII（T）；（2） ξ（I（T），C（T））=rCC（T）+rI | I（T）- z |或ξ（I（T），C（T））=rCC（T）+rI（I（T）- z） )；（3） ξ（I（T），C（T））=rCC（T）+rI{I（T）>0}（Pb（T）- Ub）+1{I（T）<0}（Pa（T）+Ua）I（T）。（3.9）标准（3.2）（1）意味着交易者在现金和存货方面具有线性效用函数。在（3.2）（2）中，系数Ri是负数，常数Zi是交易者希望在终端时间T持有的股份数。

在（3.2）（3）中，系数rIispositive和Ua与Ub是两个正整数；如果终端库存I（T）为正，交易者在PRIC e（Pb（T）出售其所有股票- Ub）私募股权；如果I（T）为负，他为每只兔子支付（Pa（T）+Ua）的价格。备注3.1在申请中，对冲基金或自营交易公司的交易员有权在任何交易期间进行买卖，因此Za、Zb、HAB和HB都可以是正面的。对于经纪公司的交易员来说，如果他在[0，T]时间段内进行交易，为客户填写买入（卖出）订单，遵守规定的最简单方法是不在同一时间段内卖出（买入），因此，在使用本文中的结果时，他应该设置Zb（T）≡ 0，βb（t）≡ 0和hb（t）≡ 0（分别为Za（t）≡ 0，βa（t）≡ 0和ha（t）≡ 0）对于所有0≤ T≤ T特别是，一个普通交易者设定βa≡ βb≡ 0.经纪机构允许的一套等价价格转换策略是通过设置ubn对定义4.1的修改≡ -（Nb（Sn）-铌（锡）-)) 和血红蛋白（t）≡ 0（分别为：≡ -（Na（Sn）-Na（Sn）-))和ha（t）≡ 0）。优化买入（卖出）策略只是第6.2.4小节中算法的一个特例最优切换问题本节介绍了交易者如何最优地切换买入（卖出）价格的问题，并展示了最优切换问题的适定性。与最优交易问题3.1相比，价格转换考虑的是一组更小、更简单的主动交易策略，这是一种不完全平衡的策略，表现为每次交易的次数和限额数量。4.1切换普氏[u]和{u}分别表示实数u的整数部分和小数部分。标识u=[u]+{u}保持不变。

转换价格意味着交易者选择了一系列的时间{Sn}∞n=1和两个正数序列{uan}∞n=1和{ubn}∞n=1，因此，从Pa（Sn）重新推送买卖价格a-1） to Pa（Sn）=Pa（Sn）-1） +[uan]和来自Pb（Sn-1） 至铅（锡）=铅（锡）-1) - [ubn]。在每个时间间隔内，要价和出价保持不变（Sn-1，Sn）。在交易员和其他市场参与者都采取行动的限价指令簿中，价格变化可能是由于两个可能的原因。（1） 噪音交易者耗尽了以买卖价格发出的限价指令，或者限价指令在价差内发出。假设之前的价格转换时间为Sn-1，则任一事件发生时的下一时间t可以表示为asTn:=inf{Sn-1<t≤ T | Qa（序列号-1） +σa（Wa（t）- Wa（Sn）-1） ）=0，Na（t）- Na（Sn）-1） =1，Qb（Sn）-1） +σb（Wb（t）- Wb（Sn）-1） ）=0，或Nb（t）- 铌（锡）-1) = 1} ∧ T.（4.1）（2）交易者以买入或卖出的价格卖出所有股票，并根据自己的选择，以最优惠的价格卖出一些股票。如果他在某个时候交易∈ （序号-1，Tn），然后他必须以要价或出价向所有股份注资，以触发价格变化。在（n）之后- 1） 在Sn时刻进行第四优先级切换-1.如果他等到时间Tn，交易方可以选择在时间Tn注入一些股票；即使他不交易，市场的其他部分也会在时间t以任何方式转换价格，在这种情况下，第n个价格转换的时间被设置为Sn=Tn。要求交易者必须在时间t“交易”，尽管可能是零份额，确保价格s在两个转换时间之间是常数，并给出订单动态的更简洁的表达。此外，在Tn的帮助下制定，将价格转换问题从七维路径依赖减少到五维马尔可夫。

实际的受控状态过程是{（Qa（t-), Qb（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），Pa（t-), Pb（t）-), Na（t），Nb（t））}0≤T≤T.因为（Na（T），Nb（T））中重要的是它们的指数分布到达时间，所以交易方只需要监控价差中是否有限价卖出或买入订单到达。当必须进行决策标记时，将受控到达时间Tn视为退出时间序列，状态过程简化为{（Qa（t-), Qb（t）-), Iα（t）-) +Ih（t），Pa（t）-), Pb（t）-))}0≤T≤T.可接受的价格转换策略是以下定义的转换控制。定义4.1（转换控制）内部化交易者和常规交易者可接受的转换控制集分别表示为AINT和Areg。让字母j代表上标“int”或上标“reg”。

允许的SETAJ由切换控件α组成：={（Sn，uan，ubn）}∞n=0满足以下三个标准，每n=1,2，···，S=ua=ub=0。（1） 切换时间是一个F-st时间，因此0≤ S<··<Sn-1<Sn<···。如果Sn-1.≥ T，那么Sn=T+1；如果Sn-1<T，则Sn∈ （序号-1，Tn]，其中（4.1）中定义的Tn是交易者不交易时的下一次价格变化。（2） 对于定义3.1中相同的正整数paa和pba，我们有（uan，ubn）∈Uj（Sn，Pa（Sn-1） ，Pb（Sn）-1） ，其中uj（t，pa，pb）：={0,1，···，（\'pa- pa）+}×{0,1，···，（pb）- pb）+}\\{（0，0）}，如果t<Tn，或Qi（t-) = 0，i=a或b；Dj（`pa）- （宾夕法尼亚州）∪ {2，··，（\'pa- pa）+}×{0,1，···，（pb）- pb）+}，如果Na（t）- Na（t）-) = 1.{0,1，···，（\'pa- pa）+}×Dj（pb）- pb）∪ {2，··，（pb）- pb）+}，如果Nb（t）- Nb（t）-) = 1.[0，（\'pa）- pa）+]×0（pb）- pb）+]，如果t=t；{（0，0）}，如果t=t+1。（4.2）在表达式（4.1）中，设置Dj（`pa- pa）和Dj（pb）- 实数的pb）定义为（x）：=[-1,1]，如果x≥ 1.{-1，0}，如果x=0；{-1} ，如果x≤ -1（4.3）对于内化交易者，以及asDreg（x）：={-1,0,1}，如果x≥ 1.{-1，0}，如果x=0；{-1} ，如果x≤ -1.（4.4）对于普通交易者。对于j=int，reg和t∈ [0，T]，集合ajt定义与ajt相同，只是S=T。此外，我们表示byAjt，1:=nS、 联合航空公司（ub）α={（Sn，uan，ubn）}∞n=0∈ Ajt是Ajt中所有开关控制的第一个元素。在定义4.1中，标准（1）规定了交易时间Sn。标准（2）规定了每笔交易的买卖限额的可能数量。设置Sn=T+1意味着交易者不再交易，因此必须有uan=ubn=0。内化交易者r和常规交易者的容许切换控制集仅在（4.1）和（4.1）中定义的集合Din和Dregde之间存在差异。

在本文中，当一个声明对交易者有效时，无论他是内在的还是规则的，允许的切换控制集一般表示为a s a，At和At，1。对于n=1，2，··，每次Sna切换控制α∈ A使要价从Pa（Sn）增加-1） to Pa（Sn）=Pa（Sn）-1） +[uan]和从Pb（Sn）中减去e的投标价格-1） 至铅（锡）=铅（锡）-1)-[ubn]。通过列举所有可能引发价格变化的情况，订单动态以及库存和现金量的变化可以用简洁的公式进行总结。订单动态可以用切换控制α={（Sn，uan，ubn）}来编写∞n=0∈ A：受控价格根据toPa（t）=Pa（0）+Xn:Sn移动≤t[uan]和Pb（t）=Pb（0）-Xn:Sn≤t[ubn]，0≤ T≤ T（4.5）受控体积根据Qi（t）移动=Qi（0）+σiWi（t）+Xn:Sn≤T{[uin]6=0}我- 齐（Sn）-)- 1{[uin]=0}{uin}Qi（Sn-), 0≤ t<t；Xn:Sn=T（1- {uin}）{uin≥1}i+1{[uin]=0}Qi（T-), t=t，i=a，b.定义函数Ga和gb：Ohm ×[0，T]×[0，∞) ×Z→ R asgi（t，q，u）=（{u≥1}q+（u）- 1 )我+ （倪（t）- Ni（t）-)){u≥0}i+1{[u]≤0}{u}q, t<t；{u≥1} （q+（u）- 1)i） +1{[u]=0}u·q，t=t，i=a，b，（4.6），然后是ga（Sn，Qa（Sn-), uan）和gb序列号，Qb（序列号-), 乌本分别是交易员当时买入和卖出的股票数量。quantitygα序号，Qa（序号-), Qb（序列号-), 乌本:= ga（序列号，Qa（序列号-), （乌安）- 国标序列号，Qb（序列号-), 乌本是交易者在交易发生时的库存变化。假设是交易者在新的公共关系中收到限价单后，以最低价格向交易对手支付的溢价。

定义功能faandfb：Ohm ×[0，T]×[0，∞) ×Z×N→ R asfa（t，q，p，u）={u≥1}p（q+（u- 1)a） +u（u）- 1)A.+ （Na（t）- Na（t）-)){u≥0}（p- 1)a+1{[u]≤0}（p+）{u}q, t<t；{u≥1}p（q+（u- 1)（a）+[u] （[u]- 1） +[u]·{u}A.+ 1{[u]=0}p·u·q，t=t，（4.7）和fb（t，q，p，u）={u≥1}Pq+（u）- 1 )B+u（u）- 1)B+ （注（t）- Nb（t）-)){u≥0}（p+1）b+1{[u]≤0}（p- {u}q, t<t；{u≥1}Pq+（u）- 1 )B+[u] （[u]- 1） +[u]·{u}B+ 1{[u]=0}p·u·q，t=t，然后是fa（Sn，Qa（Sn-), Pa（序列号-), uan）a和fb序列号，Qb（序列号-), 铅（锡）-), 乌本分别是交易者在交易时向卖方（从买方收到）支付的股票交易现金总额。α的数量序号，Qa（序号-), Qb（序列号-), Pa（序列号-), 铅（锡）-), 乌本:= - fa（序列号，Qa（序列号-), Pa（序列号-), uan）+fb序列号，Qb（序列号-), 铅（锡）-), 乌本（4.8）是交易者账户上的现金金额在交易发生时的变化。根据一个通用的切换控制进行主动交易∈ 定义定义的定义4。1.交易员的库存和显示订单中的现金金额分别为iα（t）=Xn:Sn≤tgα序号，Qa（序号-), Qb（序列号-), 乌本andCα（t）=Xn:Sn≤tfα序号，Qa（序号-), Qb（序列号-), Pa（序列号-), 铅（锡）-), 乌本, 为了0≤ T≤ T.（4.9）考虑到隐藏订单，交易者的总终端库存和现金量分别为tivelyI（T）h，α=I+Ih（T）+Iα（T）和Ch，α（T）=c+Ch（T）+cα（T），（4.10）式中定义了数量Ih（T）和Ch（T）。

当使用的交易策略没有歧义时，Ih，α（T）和Ch，α（T）中的上标被省略。由于每一笔使用有效订单的交易都会导致价格的变化，交易者的交易活动取决于选择何时以及在什么水平上“切换”买卖价格。时间转换的利润或成本是（4.1）中表示为数量的现金金额的变化。这就是为什么我们给本节中介绍的discretelyre balance交易策略集起了“价格转换”的名字。在所有价格转换策略中优化转换算法是一个对状态过程有影响的转换控制问题。问题4.1（1）一个内部交易者寻找一个可容许的转换控制α*∈一种最优隐序策略h*∈ 达到上限的H，int（）：=supα∈不是，h∈HE[ξ（I（T）h，α，Ch，α（T））]。

（4.11）与问题3.1中相同，奖励Vswt，int（）是溢价的函数。（2） 一个普通交易者寻找一个允许的转换控制α*∈ Aregand最优隐序策略h*∈ 达到上限的H，reg:=supα∈阿雷格，h∈HE[ξ（I（T）h，α，Ch，α（T））]。一般来说，对于内化交易者或常规交易者，问题4.1要求找到一个可管理的切换控制α*∈ A和最优隐序策略y h*∈ 达到最高的∈A，h∈HE[ξ（I（T）h，α，Ch，α（T））=supα∈A，h∈他钢筋混凝土∞Xn=1fα序号，Qa（序号-), Qb（序列号-), Pa（序列号-), 铅（锡）-), 乌本+ rCCh（T）+rIF（Ih，α（T），Pa（T），Pb（T））.（4.12）（4.1）的价值过程V定义为asV（t）：=supα∈在，h∈HtE[ξ（I（T），C（T））|F（T）]- rCC（t）。（4.13）然后，最好的预期回报（4.1）可以写成∈A，h∈HE[ξ（I（T），C（T））]=rCC+V（0）。4.2问题的适定性在寻找达到（4.1）中最大值的最优交易策略之前，有必要验证最优切换问题是否定义良好。换句话说，价值过程V是否在（4.1）定义中？这一小节将证明答案是肯定的。在命题5.1中，我们将看到最优价格转换问题给出了最优交易问题的价值函数的上下界，因此最优交易问题也是适定的。根据定理5.1（6）（8）和命题5.1，我们将看到≤ Vswt、int（）、Vmix、int（）和Vmix、reg≤ Vswt，int（0）。证明了具有零溢价的正规交易者价格转换问题和中间交易者价格转换问题的适定性。然后问题3.1和问题4.1的恰当性都随之而来。在本小节中，溢价等于ze ro。适定性在本小节末尾如定理4.1所述。

为了准备定理的证明，引理4.1和引理4.2将分别为所有允许的切换控制提供价格（Pa（T），Pb（T））、库存Ih，α（T）和现金量Ch，α（T）的统一边界。因为（3.2）中定义的回归标准ξ是（Pa（T）、Pb（T））、Ih、α（T）和Ch、α（T）的函数，所以这两个引理导致了OREM 4.1。此外，对引理4.1的一个值得注意的解释是，交易者的交易活动不会推动价格爆炸。引理4.1存在一个常数c>0，对于任何容许的开关控制α∈ 定义4.1规定，任何时候的受控买卖价格∈ [0，T]具有LboundsEh（Pa（T））i≤（Pa（0））+（\'Pa）+cT（（θa）*)+ 1） T+θa*+ 1.;嗯铅（t）我≤（Pb（0））+（Pb）+cT（（θb）*)+ 1） T+θb*+ 1.,（4.14）其中常数θa*θb*（2.1）中定义了价差内订单的最大到达率。证据买卖合约中向下（向上）移动的总数等于限价卖出（买入）指令到达价差内的次数。买盘（买入）价格向上（向下）移动的总数等于交易者已完成的限额数量加上以买盘（买入）价格成交的交易量被市场其他部分完成的次数。其他市场参与者在要价（出价）下的消耗总数不超过续期过程Ri，独立的中间人到达时间与杠杆作用时间分布相同0≤ T≤ Ti+σiWi（t）≤ 0∧ T，对于i=a，b。当展区内未收到限价卖出（买入）订单，且交易员在低于价格pa（高于价格PB）的情况下完成所有限价卖出（买入）订单时，会出现最高的询问（最低出价）价格。