多边贸易中的便利化和内部化最佳战略

当交易者或噪声交易者没有耗尽，并且根据最大可能的强度限制卖出（买入）订单到达时，最低的询问（最高出价）价格发生。价格s有上限和下限SPA（0）- Na（T）≤ Pa（0）- Na（t）≤ 私人助理（t）≤ “爸爸∨ Pa（0）+Ra（t）≤ “爸爸∨ Pa（0）+Ra（T）；PB∧ Pb（0）- Rb（T）≤ PB∧ Pb（0）- Rb（t）≤ 铅（t）≤ Pb（0）+Nb（t）≤ Pb（0）+Nb（T）。（4.15）利用（4.2）中的不等式和[15]Daley（1978）中导出的平稳更新过程的方差界，我们得到了（4.1）中的不等式。引理4.2存在正常数CdC，因此对于任何容许的切换控制α∈ 定义4.1和任何隐藏订单策略定义∈ 根据定义2.1，交易员的现金总量和库存总量（来自策略α和H）具有边界[|Ch（T）+Cα（T）|]≤ C（Qa（0））+（Qb（0））+（Pa（0））+（Pb（0））+T+1（4.16）安第斯山脉[|I+Ih（T）+Iα（T）|]≤C（Qa（0））+（Qb（0））+（I）+（Pa（0））+（Pb（0））+T+1.（4.17）证据。在整个时间间隔[0，T]内，as k pr ice Pa（投标价格Pb）向下移动na（T）次（向上移动Nb（T）次）。一次至少有一个限额，只要k（出价）价格低于¨pa（高于pb），交易者可以接受所有最初存在的显示的限额卖出（买入）订单以及价差内曾经到达的所有显示的限额卖出（买入）订单。然后是交易者在timeT不超过（`pa）之前会买入（卖出）的总限额- Pa（0））++Na（T）（分别为Pb（0）- pb）++Nb（T））。随时∈ [0，T]，每个限价卖出（买入）订单的限价不超过a+Qa（0）+2σasup0≤T≤T | Wa（T）|（分别为b+Qb（0）+2σbsup0≤T≤T | Wb（T）|股票。每次购买（出售）时，不可能超过当前所有limitsell（购买）订单的数量，低于（高于）价格pa（分别为pb）。

我们可以通过| Iα（T）|来绑定显示订单s中的库存和现金金额≤（`pa）- Pa（0））++Na（T）a+Qa（0）+2σasup0≤T≤T|Wa（T）|+（Pb（0）- pb）+Nb（T）b+Qb（0）+2σbsup0≤T≤T | Wb（T）|;|Cα（T）|≤ （\'pa+）（`pa）- Pa（0））++Na（T）a+Qa（0）+2σasup0≤T≤T|Wa（T）|+铅+（Pb（0）- pb）+Nb（T）b+Qb（0）+2σbsup0≤T≤T | Wb（T）|.（4.18）考虑到隐藏订单，交易员最多可以收到hiddenlimit卖出指令和必和必拓（bHb（T）股票的隐藏限制购买订单。每种沙雷的最高可能价格不超过（4.2）中的界限。隐藏订单的库存和现金金额可以由| Ih（T）|限定≤啊哈（T）+bHb（T）|Ch（T）|≤aHa（T）（Pa（0）+Pa+Na（T）+Ra（T）+1+bHb（T）Pb（0）+Pb+Nb（T）+Rb（T）+1.（4.19）通过不等式（4.2）和（4.2），引理4.1，并将Burkholder-Gundy-Davisinequality应用于sup0≤T≤T | Wa（T）|和sup0≤T≤T | Wb（T）|，这个引理中的主张不能成立。定理4.1存在常数c>0，因此对于任何切换控制α∈ A和任何隐藏订单策略h∈ 我们有ξ（C（T），I（T））- 碾压混凝土≤C（Qa（0））+（Qb（0））+（I）+（Pa（0））+（Pb（0））+T+1< ∞.（4.20）此外，对于所有∈ [0，T]，在（4.1）中定义的价值过程V（T）具有增长率| V（T）|≤ C（Qa（t））+（Qb（t））+（I（t））+（Pa（t））+（Pb（t））+（t- t） +1.（4.21）证据。通过假设3.1（1）、方程（3.2）和方程（4.1），我们知道|ξ（C（T），I（T））- rCC|≤ |rC | | Ch（T）+Cα（T）+rI | rF（| z+Ih（T）+Iα（T）|+1）。（4.22）将不等式（4.2）和（4.2）代入不等式（4.2），得到不等式（4.1）。由于订单簿动态的马尔可夫特性，可以用与（4.1）相同的方法推导（4.1）中的ine质量。

定理4.1意味着（4.1）中定义的价值过程存在且不确定。5交易和价格转换之间的关系本节将在定理5.1中说明表m 3.1和问题4.1之间的关系。从定理5.1出发，命题5.1的结果表明，这两种价格转换算法提供了这两种混合交易算法的价值函数的上下界。特别是，当溢价等于零时，内部化交易者的最优混合策略可以在价格转换策略中实现。备注5.1本节的结果将有三个含义。（1） 它们有助于证明所有控制问题的适定性，如第4.2小节开头所述。（2） 当命题5.1中的上界和下界差别不大时，例如inFig。6.4，对于最优交易问题，可实现的下限切换策略几乎是最优的。推论6.1将表明后者更难计算。（3） MiFID框架定义了不同类型的交易员和策略。定理5.1比较了它们的最佳预期收益。定义5.1（分步交易策略）国际交易者和常规交易者的可接受分步交易策略集分别表示为Sintand Sreg。让字母j代表“int”或“reg”。设α={（Sn，uan，ubn）}∞n=0∈ Ajbe任意容许开关控制。过程Zaα和Zbα是交易者根据切换控制α买卖的总股份，由ziα（t）=Xn:Sn计算得出≤tgi序号，Qi（序号-), 尤因{uin≥0}, 0 ≤ T≤ T，i=a，b，（5.1），其中（4.1）中定义了Ga和Gb的映射。

当限价指令到达展区内时，交易员以旧价格Pi（Sn）买入的股份比例-) 由βiα（t）=（{uin}1{uin）计算得出∈[-1,0）}，如果t=Sn和Ni（Sn）- 镍（锡）-) = 1.否则为0；0≤ T≤ T，i=a，b.（5.2）对于某些切换控制α，可容许的步长T更新策略集定义为满足（5.1）和（5.1）要求的所有交易策略Zα=（Zaα，Zbα，βaα，βbα）的集合∈Aj。也就是说，辛特=Zα|α∈ 不是吗Sreg={Zα|α∈ Areg}。从定义4.1和定义5.1来看，内部化或常规交易者的每一步交易策略都是其价格转换策略，以买卖股份的总数表示，因此它们在不同的名称下是相同的主动交易策略。这两个定义进一步暗示SREG=Zα=（Zaα，Zbα，βaα，βbα）∈ Sint |βaα（t）≡ βbα（t）≡ 0，尽管如此∈ [0，T].注释5.1（1）内部化交易者在分步交易策略上的最佳预期回报表示为VSTP，int（）：=supZα∈圣约翰∈他ξIh，Zα（T），Ch，Zα（T）.（2） 常规交易者在分步交易策略中的最佳预期回报表示为VSTP，reg:=supZα∈斯雷格，h∈他ξIh，Zα（T），Ch，Zα（T）.定理5.1最优交易问题和最优切换问题的值函数具有以下关系：（1）Vswt，reg=Vstp，reg；（2） Vswt，int（）=Vstp，int（），表示所有≥ 0;（3） Vstp，注册号≤ Vmix，注册号；（4） Vstp，int（）≤ Vmix，int（），适用于所有≥ 0;（5） Vmix，注册≤ Vmix，int（），适用于所有≥ 0; （6） Vswt，注册≤ Vswt，int（），适用于所有≥ 0;（7） Vmix，int（0）=Vstp，int（0）；（8） 将视为变量，两个函数Vswt，int（）和Vmix，int（）在中递减。定理5.1可由下一小节5.1和5.2的结果证明。

这里提供了证据的概要。定理5.1（1）和（2）的证明大纲根据其定义，分步交易策略（定义5.1）和价格转换策略（定义4.1）彼此之间存在一一对应关系，因为这两组事实上由不同术语表示的相同主动交易策略组成。价格转换策略表示每次交易的次数和买卖限额的数量；step策略指的是b应持有并出售的最新股份总数。这解释了T heorem 5.1中的第一个和最后一个身份。（3） 这三个不等式来自引理5.1中的包含。（7） 这个恒等式来自引理5.2、引理5.1（1）和命题5.2。证明的主要思想是在引理5.2中构造一个阶梯交易策略Zα∈ 因此，该路径明智地复制了混合交易策略Z产生的库存和现金量∈ 津特。根据引理5.1（1），每一步交易策略都是混合交易策略。此外，如提案n 5.2所示，内化交易者的两种主动交易策略Z和Zα路径明智地产生相同的买卖价格，用后者代替前者不会改变隐藏订单上被动策略产生的库存和现金量。（8） 根据（3.1）、（3.1）、（3.1）和（3.2）定义的量Ch，zd，以及根据（4.1）-（6）定义的量Ch，α，视为中的函数，正在减少。（3.2）中定义的奖励标准ξ在现金金额中增加，因为RCI系数为正。（3.1）中定义的HenceVmix，int（）和（4.1）中定义的Vswt，int（）都在减少。命题5.1价格转换问题的价值函数为最优交易问题的价值函数提供了上下限。

（1） 如果最佳交易者是普通交易者，则为VSWT，reg≤ Vmix，注册≤ Vswt，int（0）。（5.3）（2）如果最优交易者是一个内部化者，那么vmix，int（0）=Vswt，int（0）（5.4）和Vswt，int（）≤ Vmix，int（）≤ Vswt，int（0），适用于所有≥ 0.（5.5）证据。（1） （5.1）中的第一个不等式来自定理5.1（1）（3）。（5.1）中的第二个不等式来自定理5.1（2）（5）（7）。（2） 根据定理5.1（2）（7），恒等式（5.1）成立。（5.1）中的第一个不等式来自定理5.1（2）（4）。为了证明（5.1）中的第二个不等式，根据定理5.1（8），它认为Vmix，int（）≤ Vmix，int（0），其右侧等于Vswt，int（0）乘以（5.1）。5.1主动策略分析可以验证（5.1）和（5.1）中定义的过程Zaα、Zbα、βaα和βbα满足定义3.1，因此每一步交易策略Zα=（Zaα、Zbα、βaα、βbα）∈ sj是容许集Zj中的混合交易策略，对于j=int，reg。然而，事实并非如此，因为混合交易策略可以在一段时间间隔内持续，但分步交易策略是一个纯粹的跳跃过程。根据定义3.1（2），规则交易者可接受的混合交易策略集是内部化交易者的混合交易策略的子集，该策略在订单到达价差时不会以旧价格下单。根据定义4.1的（4.1）和（4.1）中的定义，有一套包含Dreg$Dint。

因此，常规交易者的价格转换策略是内部化交易者价格转换策略的适当子集。引理5.1定义4.1和定义5.1中定义的交易策略的容许集合Sint、Sreg、AIT、Areg、ZIN和Zregof具有包含关系（1）Sreg$Zreg；（2） 辛特元；（3） Zreg$Zint；（4） Areg$Aint。当溢价等于零时，他的可容许分步交易策略集与内化交易者的可容许混合交易策略集表现相同，尽管如引理5.1（1）所述，前者比后者小得多。无论混合交易策略最终能产生多少库存和现金量，国际化交易者总能找到一个步调一致的交易策略。因此，内化交易者的最佳预期回报可以通过一组更小、更简单的可接受交易策略来实现。这是引理5.2的定理。引理5.2假设溢价等于零。对于任何允许的混合交易策略z=（Za，Zb，βa，βb）∈ Zint，存在一个容许的切换控制α={（Sn，uan，ubn）}∞n=0∈使阶梯交易策略Zα=（Zaα，Zbα，βaα，βbα）∈ 由（5.1）和（5.1）定义的这个α几乎肯定满足z（T）=IZα（T）和CZ（T）=CZα（T）。（5.6）证据概述。它需要构造一个特定的α′={（S′n，ua′n，ub′n）}∞n=0∈ （5.1）和（5.1）中定义的阶梯交易策略Zα′=（Zaα′、Zbα′、βaα′、βbα′）满足（5.2）中的恒等式。由于实际结构需要三页纸，因此论文中省略了详细的证明。

5.2对内化交易者隐藏顺序的影响从内化交易者那里获得一个任意可接受的混合交易策略Z，对于某些α′={（s′n，ua′n，ub′n）}∞n=0∈ 不，是在《mma 5.2》中构建的复制终端库存和现金金额的工具。让PaZand PbZdenote表示由混合交易策略Z控制的价格过程（3.1），Paα′和Pbα′表示由切换控制策略α′控制的价格过程ES（4.1）。构造是这样的，即两种策略也会产生相同的价格变化时间和数量，这意味着paz（t）=Paα′（t）和PbZ（t）=Pbα′（t），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. （5.7）让我们记录流动性事件的强度和HBA仅对利差起作用。方程（2.3）和（5.2）进一步暗示，任意隐藏订单策略的库存和现金金额h=（ha，hb）∈ H保持不变，无论使用混合交易策略Z还是阶梯交易策略Zα′。本段中的分析验证了引理5.2的强化，如下文所述。命题5.2假设保费等于零。设h=（ha，hb）∈ H可能是一种任意的隐藏顺序策略。对于任何允许的混合交易策略Z=（Za，Zb，βa，βb）∈Zint，存在一个容许的切换控制α={（Sn，uan，ubn）}∞n=0∈ 不允许步进交易策略Zα=（Zaα，Zbα，βaα，βbα）∈ 对于（5.1）和（5.1）中定义的α，几乎可以肯定满足（3.2）和（4.1）中定义的h，Z（T）=Ih，Zα（T）和Ch，Z（T）=Ch，Zα（T），其中Ih，Z（T），Ch，Zα（T），Ch，Z（T）和Ch，Zα（T）。6解决最优切换问题这一操作将提供最优交易策略的特征，并为最优切换问题4.1推导出一种算法。

无论交易者是内化的还是规则的，这个解决方案都是有效的，因此允许的切换控制集通常被表示为A。在开始解决问题之前，先介绍一些符号。代表订单两侧的二维量简称为asQ（t）=（Qa（t），Qb（t）），P（t）=（Pa（t），Pb（t）），q=（Qa，Qb），P=（Pa，Pb），u=（ua，ub）和h=（ha，hb）。如定理6.1所示，决策只需要观察状态过程{（Na，Nb）}0≤T≤Tand{（Q（t）-), Iα（t）-)+ Ih（t），P（t）-))}0≤T≤T、 其过滤比F（T）小。过程{（Q（t））的域-), Iα（t）-)+Ih（t），P（t）-))}0≤T≤表示为asD=[0，∞)×R×{（pa，pb）∈ （Pa（0），Pb（0））+N | Pa>Pb}。为了表示订单簿和交易员交易的库存中的变化，映射γ：Ohm ×[0，T]×D×N→ [0, ∞)x R定义为γ（t，q，z，u）={ua6=0}a+1{ua=0}（1- {ua}）qa{ub6=0}b+1{ub=0}（1- {ub}）qbz+gα（t，q，u）转置在时间t应用切换控制u后，体积和库存量立即变为（Q（t），I（t））=γt、 Q（t）-), Iα（t）-) + Ih（t），u.（6.1）过程{Rtr（P（s-), h（s）-))ds}0≤T≤Tde定义的asr（P（t），h（t））=- 啊哈（t）Pa（t）+Pb（t）/2.λa（Pa（t）- Pb（t））+bhb（t）Pa（t）+Pb（t）/2.λb（Pa（t）- Pb（t）），0≤ T≤ T、 是（2.3）中定义的semimar tingale CHD的Doob Meyer分解中的有限变化部分。根据（4.2）中的界，CHI的局部鞅部分是鞅。然后，可以将（4.1）中定义的值过程V替换为V（t）=supα∈在，h∈HtE钢筋混凝土∞Xn=1fα（Sn，Q（Sn-), P（Sn）-), un）+rCZTtr（P（s）-), h（s）-))ds+rIF（Ih，α（T），P（T））F（t）, 0≤ T≤ T、 （6.2）因为E[ξ（I（T），C（T））|F（T）]- rCC（t）等于上述等式右侧的期望值。

每小时∈ H0，t，过程Y（·；h）定义为asY（t；h）=Ztr（P（s-), h（s）-))ds+V（t），0≤ T≤ T.对于e非常可测函数φ：[0，T]×D→ R、 算子M定义为asMφ（t，q，z，p）=maxu∈U（t，p）fα（t，q，p，u）+φt、 γ（t，q，z，u），pa+[ua]，pb- [ub].6.1最优交易策略本小节最终将在第6.1条的前提下推导出最优价格转换策略在价值过程中的表达式。该方法基于这样一个原理：控制问题的值过程是一个上鞅，当且仅当控制是最优的时才成为鞅。它被称为“马尔廷格尔方法”，在斯奈尔（1952年）和戴维斯（1979年）分别为最优停止问题和随机控制问题首次引入。这些论点的核心是在我们的环境中形成的动态编程原理，如定理6.1。动态规划原理的参考文献是弗莱明和索纳（19 93）。引理6.1提供了价值过程的正确连续性，因此它是使用斯奈尔包络技术顺序确定每个最佳交易时间的合格候选者。引理6.2是从价值过程的鞅性来描述最优交易策略。